Transcript FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 3

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim
Obligatorisk oppgave 3
Oppgave 1
a)
Fra Bohrs formel for energinivåene i H-atomet kan vi vise at det emitterte lyset vil ligge
utenfor det synlige området ved alle overganger til det laveste nivået (Lyman-serien). For et
hydrogenatom H, kan vi anta at
hvor
1.0967757 · 10
utgangspunktet kan vi finne
For
1,
for
er Rydbergkonstanten for hydrogen. Med dette
2,
3 [...] og
∞.
2
1
1.215 · 10
1215 Å , hvor 1Å
For
1,
10
3
1
1.025 · 10
1025 Å
For
1,
4
1
9.72 · 10
972 Å
For
1,
4
1
9.72 · 10
Side 1 av 8 FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim
972 Å
For
1,
∞
lim
1
9.11 · 10
911 Å
Fra dette ser vi at det emitterte lyset vil ligge utenfor det synlige området definert ved 4000
7000 Å. Bølgelengdene vil alså ligge mellom 911 1215 Å ved overgang til laveste nivå.
b)
Dersom vi nå betrakter Balmer-serien, kan vi finne den korteste og lengste bølgelengden ved
3 og
∞.
2.
overganger til det nest laveste nivået. Vi løser her for
For
2,
3
6.564 · 10
6564 Å
For
2,
∞
lim
3.647 · 10
3647 Å
Dette gir at den lengeste
c)
6564 Å, mens den korteste
Videre kan vi finne hvor mange spektrallinjer som ligger i det synlige området i Balmerserien. Vi må da løse for til
4000 Å.
For
2,
4
4.862 · 10
Side 2 av 8 3647 Å.
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim
4862 Å
For
2,
5
4.342 · 10
4342 Å
For
2,
6
4.102 · 10
4102 Å
For
2,
7
3.971 · 10
3971 Å
Fra dette ser vi at ligger i det synlige området for lik 3, 4, 5 og 6. Dette gir at vi har fire
spektrallinjer som befinner seg mellom 4000 7000 Å i Balmer-serien.
Side 3 av 8 FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 2
a)
Vi skal i denne oppgaven betrakte et fysisk system beskrevet av bølgelingninger som tillater
cos
som løsninger, der sirkelfrekvensen er en reell funksjon av bølgetallet
, kalles for et lineært, dispersivt system. Funksjonen
kalles for dispersjonsrelasjonen til
systemet. Vi skal begynner med å vise at dispansjonsrelasjonen for frie, relativistiske
elektronbølger er gitt ved
der er elektronets hvilemasse. Vi tar utganspunkt i
relativistisk. Tilsvarende, er frekvensen til en materiebølge gitt ved
da vi må regne
.
Samtidig kan vi definere
2
. Vi tar utgangspunkt
og
og .
Dette viser at dispersjonsrelasjonen for frie, relativistiske elektronbølger er gitt ved
.
b)
Videre kan vi finne et uttrykk for fasehastigeten
.
bølgene. Vi tar utgangspunkt i
Tilsvarende, så har vi
.
,
Side 4 av 8 og gruppehastigheten
til disse
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim
√
√
Fra dette har vi funnet fasehastigheten
og gruppehastigheten
og se at dette er uavhengig av .
. Videre kan vi løse for
·
Dette viser at
c)
er konstant og er uavhengig av .
. Dette bryter likevel ikke med den spesielle
Fra uttrykket for , ser vi at
relativitetsteorien fordi partikkelen ikke fører med seg noe informasjon. Vi ser også at
,
som betyr at enhver partikkel i denne gruppen beveger seg i henhold til den spesielle
relativitetsteorien. Så siden en gruppe har fart
, vil alltid
uten at dette bryter med
spesiell relativitetsteori.
Side 5 av 8 FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 3
a)
Dersom vi legger sammen to sinusbølger, vil de superponere/interferere. Vi kan enkelt vise
hva vi legger i dette dersom vi anvender MATLAB for to vilkårlige sinusfunksjoner. Vi har
sin 0.6 og
sin 0.7 , hvor
1. Disse er
for de følgende figurene brukt
relativt ekle funksjoner, og er kun brukt for å demonstrere hva som skjer dersom to funksjoner
med tilnærmet lik frekvens legges sammen.
Figur 1:
og
plottet separat.
I figuren over har vi plottet de to sinusfunksjonene hver for seg. Dersom vi nå superponerer
dem, altså legger dem sammen, vil vi få ett plott.
Side 6 av 8 FYS2140 Kvantefysikk
Figur 2: Superponert bølge,
Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim
.
Fra figuren over ser vi hvordan resultatet blir dersom de to sinusfunksjonene blir lagt sammen.
Måten vi kan tolke de to delene av denne funksjonen på er at de påvirker hverandre, noe som
vi kaller interferens. Det vil si at de enten forsterker eller svekker hverandre.
b)
Vi bruker videre ”fasegruppe.m” for å animere en superponert bølge. Dette gir hva vi ser i
figur 3 – da riktignok animert.
Side 7 av 8 FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 3
Nicolai Kristen Solheim
Figur 3: Den ”animerte”, superponerte bølgen.
Fra animasjonen kan vi se forholdet mellom fasehastigheten og gruppehastighet. Det vi med
en gang kan påpeke er at det kun er det ene av plottene som antyder til gruppehastighet.
Utover det ser vi at den superponerte bølgen utbrer seg med en annen fasehastighet enn
fasehastigheten til de enkelte bølgene hver for seg. Det kommer av forskjellig bølgetall , og
på den måten blir bølgene enten forsterket eller svekket av hverandre. Det er dette vi ser i den
superponerte bølgen, og som et resultat av dette dannes det en rekke grupper som hver for seg
er begrenset av områder uten bølgebevegelse. Dette er hva kompendiet beskriver som
omhyllingskurve.
Side 8 av 8 06.02.11 20:28
C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2140\Oblig 03\trea.m
x=linspace(0,100,101);
a=sin(0.6*x);
b=sin(0.7*x);
c=(a+b);
figure(1); plot(x,a,x,b)
title('To sinusbølger')
legend('sin(0.6*x)','sin(0.7*x)'); xlabel('x'); ylabel('y')
figure(2); plot(x,c)
title('Superponert bølge')
legend('superponert bølge'); xlabel('x'); ylabel('y')
1 of 1
06.02.11 20:28
C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2140\...\fasegruppe.m
function M = fasegruppe(k, x, t)
%FASEGRUPPE(k, x, t)
Plotter en boelge med boelgetall
% lik det foerste elementet i vektoren k samt superposisjonen
% av boelger med boelgetall lik hvert av elementene i k.
%
% k er en vektor som angir boelgetallet til hver av boelgene
%
som skal superponeres. Velg f.eks. verdiene 0.6 og 0.7.
%
% x er en vektor med alle x-verdiene det skal plottes for.
%
La x gå f.eks. fra 0 til 120 og bruk ca 200 punkter.
%
%
% t er en vektor med alle tidene det skal plottes ved, og antallet
%
elementer i t angir dermed hvor mange frames animasjonen skal
%
inneholde. La t gå f.eks. fra 0 til 150.
%
Du boer nok ha i hvert fall rundt 100 rammer for aa faa en pen
%
animasjon av passe lengde.
%
Vi velger enheter slik at massen er 1
mass = 1;
%
%
DEFINER VEKTORENE x, t OG k HER:
x = linspace(0,120,121);
t = linspace(0,150,151);
k = [0.6, 0.7];
% y skal holde verdiene til boelgefunksjonene i hvert punkt x
y = zeros(size(x));
% Matrisen M skal inneholde plott som settes sammen til en animasjon (movie)
M = moviein(length(t));
% k maa vaere en soeylevektor, saa vi transponerer den
k = k.';
% For aa legge sammen flere boelger trenger vi en matrise av
% t-verdier med like manger rader som elementer i k:
T = zeros([length(t), length(x)]);
for i = 1:length(x)
T(:,i) = t.';
end
% Sett passende aksestoerrelse paa plottene
% axis([x(1) x(length(x)) -2 2]);
% Begynn plottingen. Lag et plott for hvert element i t
% og legg det til i en matrise av plott med kommandoen getframe.
for j = 1:length(t)
y = sin(k*x - sqrt(k.*k + mass*mass)*T(j,:));
plot(x,[y(1,:);sum(y)]);
M(:,j) = getframe;
1 of 2
06.02.11 20:28
C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2140\...\fasegruppe.m
end
% Lag en animasjon av plottene lagret i M
movie(M)
2 of 2