Transcript FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 10

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 10
Mitt navn og gruppenummer
16. april 2015
Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer!
Dette er nok en oblig som dreier seg om hydrogenatomet og er en del av en
tidligere eksamensoppgave.
Oppgave 1
I denne oppgaven ser vi bort fra elektronets egenspinn. H-atomet kan da
beskrives ved tilstandsfunksjonene ψnlml (~r) som har følgende egenskaper:
ˆ 0 ψnlm (~r) = En ψnlm (~r),
H
l
l
2
2
ˆ
L ψnlml (~r) = h
¯ l(l + 1)ψnlml (~r),
ˆ
Lz ψnlm (~r) = h
¯ ml ψnlm (~r),
l
Z
l
∗
(~r)ψn′ l′ m′l (~r) d3~r = δn,n′ δl,l′ δml ,m′l ,
ψnlm
l
hvor
δk,k′ =
(
1 for k = k′
0 ellers.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
a) Hva kaller vi disse (to) typene ligninger?
ˆ 0 er tidsuavhengig. Kvantetallet n kan anta verdiene 1, 2, . . ..
Operatoren H
For en gitt verdi av n kan l anta verdiene 0, 1, . . . , n − 1, og ml kan for en
gitt verdi av l anta verdiene −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.
I denne oppgaven trengs ingen andre opplysninger enn de som er gitt
ovenfor. Det er ikke nødvendig å kjenne de eksplisitte uttrykkene for operaˆ 0, L
ˆ 2 og L
ˆ z . Det skal ikke tas hensyn til elektronets egenspinn.
torene H
ˆ 0, L
ˆ 2 og L
ˆz?
b) Hvilke fysiske størrelser er representert ved operatorene H
c) Hvilke fysiske størrelser har skarpe verdier i tilstanden ψnlml (~r)?
Ved tiden t = 0 er H-atomets tilstand beskrevet ved tilstandsfunksjonen
ψnlml (~r). Tidsutviklingen av tilstandsfunksjonen er bestemt av den tidsavhengige Schrödingerligningen
ˆ 0 Ψ(~r, t) = i¯h ∂ Ψ(~r, t).
H
∂t
(6)
d) Bestem tilstandsfunksjonen som beskriver H-atomets tilstand ved tiden
t.
La H-atomets tilstand ved tiden t = 0 nå være gitt ved tilstandsfunksjonen
Φ(~r) = √
l
X
1
ψnlml (~r).
2l + 1 m =−l
l
(7)
e) Vis at Φ(~r) er normert.
f ) Vis at tilstandsfunksjonen ved tiden t er
i
Ψ(~r, t) = Φ(~r) exp − En t .
¯h
(8)
ˆ 0, L
ˆ 2 og L
ˆ z i tilstanden
g) Bestem forventningsverdien for operatorene H
som er beskrevet ved tilstandsfunksjonen Ψ(~r, t) i ligning (8).
ˆ Spredningen σA i tilstanden
En størrelse A er representert ved operatoren A.
Ψ er definert slik:
q
ˆ 2.
σA = hAˆ2 i − hAi
(9)
ˆ 0, L
ˆ2
h) Finn spredningen av størrelsene representert ved operatorene H
ˆ z i tilstanden som er beskrevet ved tilstandsfunksjonen Ψ(~r, t) i
og L
ligning (8).
La H-atomets tilstand ved tiden t = 0 være gitt ved tilstandsfunksjonen Φ(~r)
i ligning (7) og la oss tenke oss at vi foretar en idéell måling av Lz .
i) Hvor stor er sannsynligheten for å observere den bestemte verdien ¯hml
for Lz ved tiden t = 0?
j) Vil denne sannsynligheten være avhengig av ved hvilken tid t > 0
målingen utføres?
Vi lar nå H-atomet befinne seg i et homogent magnetfelt B og velger z-aksen
langs magnetfeltet. Hamilton operatoren for systemet er da
ˆz,
ˆ =H
ˆ0 + e BL
H
2m
(10)
der −e er elektronets ladning og m er elektronets masse.
k) Bestem H-atomets energi i tilstanden ψnlml (~r).
ˆ Begrunn
l) Er tilstanden Φ(~r) i ligning (7) en energi-egentilstand for H?
svaret.
ˆ i tilstanden Φ(~r).
m) Bestem forventningsverdien til H