Del-operator - Kvantefysikk
Download
Report
Transcript Del-operator - Kvantefysikk
Kvantefysikk
Schrødinger-ligningen
Tids-uavhengig
Hydrogenatomet
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
H ih
t
Tids-avhengig / Tids-uavhengig
H ih
t
Tids-avhengig
Schrødinger-ligning
h2 2
(r , t )
V (r , t ) (r , t ) ih
2
m
t
V V (r )
Tids-uavhengig
(r , t ) (r ) (t )
potensial
h2 2
V
(
r
) (r ) (t ) ih (r ) (t )
t
2m
h2 2
(t )
(t )
V (r ) (r ) ih (r )
t
2m
1 h2 2
1 (t )
V
(
r
) (r ) ih
E
( r ) 2m
(t ) t
h2 2
V
E
2
m
h2 2
V
(
r
)
(
r
)
E
(
r
)
2
m
Tids-uavhengig
ih
1 (t )
E (t )
(t ) t
i
(t ) Ae
Schrødinger-ligning
Et
h
i Eth
( r , t ) ( r )e
Total tilstandsfunksjon
i Eth
( r , t ) ( r )e
2
(r , t ) (r , t ) * (r , t )
Tids-uavhengig
sannsynlighet
i Eth * i Eth
2
(r )e (r )e (r )
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Tids-uavhengig
h2 2
V
E
2
m
H E
h2 2
V
(
r
) E
2
m
h2 2
V
(
r
)
(
r
)
E
(
r
)
2
m
h2
V
(
x
,
y
,
z
)
( x, y, z ) E ( x, y, z )
x 2 y 2 z 2
2
m
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Sfæriske koordinater - Radiell/Sfærisk funksjon
h2 2
V
E
2
m
h2
V
(
x
,
y
,
z
)
( x, y, z ) E ( x, y, z )
2
2
2
2m x y z
Skriver del-operatoren vha sfæriske koordinater:
e2
V V (r ) k
r
h2 1 2 1 1
1
2
V (r ) (r , , ) E (r , , )
2
sin
2
2 r
2
2
m
r
r
r
r
sin
sin
(r , , ) R(r )Y ( , )
Tidsuavhengig tilstandsfunksjon:
Et produkt av en radiell del og en angulær del
h 2 2 R(r )
h2 1
Y ( , )
1 2Y ( , )
2
0
r
2m r V (r ) E
sin
2
2
R(r ) r
r
Y ( , ) sin
sin
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Sfæriske koordinater - Radiell/Sfærisk funksjon
h2 2
V
E
2
m
(r , , ) R(r )Y ( , )
h 2 2 R(r )
h2 1
Y ( , )
1 2Y ( , )
2
0
r
2m r V (r ) E
sin
R(r ) r
r
Y ( , ) sin
sin 2
2
h 2 2 R(r )
h2 1
Y ( , )
1 2Y ( , )
2
r
2m r V (r ) E
sin
2
2
R(r ) r
r
Y ( , ) sin
sin
h2 1
Y ( , )
1 2Y ( , )
L2
sin
2
2
Y ( , ) sin
sin
h 2 2 R(r )
L2
E 0
r
V (r )
R(r ) r
r
2m r2
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Sfæriske koordinater - Sfærisk funksjon
h2 2
V
E
2
m
h 2 2 R(r )
h2 1
Y ( , )
1 2Y ( , )
2
0
r
2m r V (r ) E
sin
R(r ) r
r
Y ( , ) sin
sin 2 2
h2 1
Y ( , )
1 2Y ( , )
L2
sin
2
2
Y ( , ) sin
sin
h 2 2 R(r )
L2
E 0
r
V (r )
R(r ) r
r
2m r2
(r , , ) R(r )Y ( , ) R(r ) P( ) F ( )
1 d 2 F ( ) L2
sin d
dP( )
2
sin
sin
0
F ( ) d 2
h2
P( ) d
d
Kvantefysikk
h2 2
V
E
2
m
Schrødingerligningen
Sfæriske koordinater - Sfærisk funksjon
2
1
F ( )
2
h2
P( )
1
h 2 2 F ( )
2
ml c
L
sin
2
2
F ( )
sin P( )
sin F ( ) 2
L2
sin d
dP( )
2
ml 2 sin 2
sin
0
2
2
h
P
(
)
d
h F ( )
2 2
ml h
F ( ) 2
1
P( ) ml
L2
2
sin
P( )
sin 2
h
2
F ( ) e
x cos
F ( ) Aeiml
iml
2
ml
d 2P
dP L2
1 x
2x
P 0
dx2
dx h 2 1 x 2
2
F ( ) Aec
F ( ) F ( 2 )
(1) m
P ( x) l 1 x 2
2 l!
x cos
l
ml
L2 h 2l (l 1)
ml l
ml integer
m/2
l
d l m 2
x
1
dxl m
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Sfæriske koordinater - Tidsuavhengig funksjon
F ( ) Aeiml
R(r ) er / na0 r l Ln
ml int eger
(1) m
P ( x) l 1 x 2
2 l!
x cos
l
ml
m/2
h2 2
V
E
2
m
nl
l
d l m 2
x
1
dxl m
Yl ,ml ( ,) P( )F () Pml l (cos )eiml l positive integer ml l
l
2 (n l 1)! na0 2r ml
Yl ( , )
nlm (r , , )
e
3
na0 2n(n l )!
na0
r
4 0 h 2
a0
m2e 2
Bohr radius
5.291011 m 5.29Å
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Radiell funksjon R - Sannsynlighetstetthet
n
l
1
0
Rn ( r )
2
a0
2
0
e r / a0
3
2a0
2
1
3
1
24a0
3
0
3
1
r r / 2 a0
1
e
2a 0
1
3
r
2 r 2 r / 3 a0
1 2
e
2
2
3
3
a
27
a
0
27a0
0
2
8
27 6a0
3
2
r r / 2 a0
e
a0
3
r
r r / 3 a0
1
e
a 0 6a 0
r
3 a
81 30a0 0
4
2
r r / 3 a0
1
e
6
a
0
h2 2
V
E
2
m
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Sfærisk funksjon Y - Sannsynlighetstetthet
Yl ,ml ( , )
Yl ,ml ( , )
l
ml
1
4
3
0
7
5 cos3 3 cos
16
0
3
cos
4
3
1
21
sin 5 cos2 1 e i
64
1
1
3
sin e i
8
3
2
105 2
sin cosei 2
32
2
0
5
3 cos2 1
16
3
3
35
sin 3 e i 3
64
2
1
15
sin cose i
8
2
2
15
sin 2 e i 2
32
l
ml
0
0
1
h2 2
V
E
2
m
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Tidsuavhengig funksjon - Sannsynlighetstetthet
n ,l , m ( r , , )
l
1, 0, 0
1
e r / a0
3/ 2
4 a0
2,0,0
r r / 2 a0
e
2
3/ 2
2a 0
4 2 a 0
2,1, 0
r r / 2 a0
e
cos
3/ 2
a
4 2 a 0 0
2,1,1
r r / 2 a0
1
e
sin ei
3/ 2
8 a0 a0
1
1
2,1, 1
r r / 2 a0
1
e
sin e i
3/ 2
8 a0 a0
h2 2
V
E
2
m
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Tidsuavhengig funksjon - Sannsynlighetstetthet
n ,l , m ( r , , )
l
1, 0, 0
1
e r / a0
3/ 2
4 a0
2,0,0
r r / 2 a0
e
2
3/ 2
2a 0
4 2 a 0
2,1, 0
r r / 2 a0
e
cos
3/ 2
a
4 2 a 0 0
2,1,1
r r / 2 a0
1
e
sin ei
3/ 2
8 a0 a0
1
1
2,1, 1
r r / 2 a0
1
e
sin e i
3/ 2
8 a0 a0
h2 2
V
E
2
m
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Tidsuavhengig funksjon - Sannsynlighetstetthet
n ,l , m ( r , , )
l
h2 2
V
E
2
m
n ,l , m ( r , , )
l
r 2 r / 3 a0
1
2 e
3 cos 1
3/ 2
81 6 a 0 a0
3, 0 , 0
1
18r 2r 2 r / 3a0
27
2 e
3/ 2
a 0 a0
81 3 a 0
3, 2 , 0
3,1,0
6 r r 2 r / 3 a0
2
2 e
cos
3/ 2
81 2 a 0 a 0 a0
r 2 r / 3 a0
1
2 e
3, 2,1
sin cose i
3/ 2
81 a 0 a0
6 r r 2 r / 3 a0
2
i
2 e
3,1,1
sin
e
3/ 2
81 a 0 a 0 a0
6 r r 2 r / 3 a0
2
2 e
3,1, 1
sin e i
3/ 2
81 a 0 a 0 a0
r 2 r / 3 a0
1
i
2 e
3, 2, 1
sin
cos
e
3/ 2
81 a 0 a0
3, 2 , 2
r 2 r / 3 a0
2 e
sin 2 ei
3/ 2
162 a 0 a0
1
r 2 r / 3 a0
2
i
2 e
3, 2 , 2
sin
e
3/ 2
162 a 0 a0
r 2 r / 3 a0
1
2 e
3, 2, 2
sin 2 e i
3/ 2
162 a 0 a0
1
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Tidsuavhengig funksjon - Sannsynlighetstetthet
h2 2
V
E
2
m
n ,l , m ( r , , )
n ,l , m ( r , , )
l
l
r 2 r / 3 a0
1
2 e
3 cos 1
3/ 2
81 6 a 0 a0
3, 0 , 0
1
18r 2r 2 r / 3a0
27
2 e
3/ 2
a 0 a0
81 3 a 0
3, 2 , 0
3,1,0
6 r r 2 r / 3 a0
2
2 e
cos
3/ 2
81 2 a 0 a 0 a0
r 2 r / 3 a0
1
2 e
3, 2,1
sin cose i
3/ 2
81 a 0 a0
r 2 r / 3 a0
1
i
2 e
3, 2, 1
sin
cos
e
3/ 2
81 a 0 a0
6 r r 2 r / 3 a0
2
i
2 e
3,1,1
sin
e
3/ 2
81 a 0 a 0 a0
6 r r 2 r / 3 a0
2
2 e
3,1, 1
sin e i
3/ 2
81 a 0 a 0 a0
3, 2 , 2
r 2 r / 3 a0
2 e
sin 2 ei
3/ 2
162 a 0 a0
1
r 2 r / 3 a0
2
i
2 e
3, 2 , 2
sin
e
3/ 2
162 a 0 a0
r 2 r / 3 a0
1
2 e
3, 2, 2
sin 2 e i
3/ 2
162 a 0 a0
1
4,3,1
Kvantefysikk
Schrødingerligningen
Tidsuavhengig funksjon - Sannsynlighetstetthet
h2 2
V
E
2
m
4,3,1
END