Transcript Formelsamling for Mekatronikk

Mech2
rotasjon
z }| {
z }| {
1
1
2
mVG + Io ω 2
T =
2
2
U = mg∆h
U = 21 k(∆x)2
T1 + U1−2 = T2
0
T1 + U1−2
+ V1 = T2 + V2
T1 = 12 · m · VG2 + 12 · IG · ω12
translasjon
Arbeid & Energi
Kim Timothy Engh
08/09/12
Kinetisk energi T:
00:17
Massesenter
Masse Senter (MC):
,→ y trekant
xtot =
Samlet Massesenter:
ΣxA
ΣA
R
xda
x= R
R da
1
y da
2
y= R
da
y tot = ΣyA
ΣA
Friksjon
Potensiel Energi:
,→ Ekstern Kraft:
Konst. mek. T:
0
U1−2 = arbeidet av alle ytre krefter. U1−2
= arbeidet av alle
ytre krefter unntatt tyngdekraft og elastiske krefter.
Effekt
P
Friksjonskrefter (J):
Maksimal statisk friksjon:
Kinetisk friksjon:
F = ON = J + Fa + Fb · · ·
FFrikMax = µs N
FFrikKinetisk = µk N
Effekt beskriver energi/tid, der [W ] = [J/s]
dV
dt
Effekt
=
F
V
=F ·V
Spenning, Tøyning & Skjæring
Spenning (σ)
Strekk om σ > 0
Trykk om σ < 0
G
J
J = Friksjonskreftene
N = Normalkreftene
Tøyning (ε)
µs
µk
N
µs = Statisk friksjonskoeffisient
µk = Kinetisk friksjonskoeffisient
ε=
Hookes Lov
Possion’s forhold(ν)
εt = tøyning på tvers
εl =tøyning på langs
possion’s tall = 0.285
Finn J og FFrikMax
J > FFrikMax ?
Beregn kinetisk friksjon
J gjelder
σ=
Ja?
Ingen bevegelse
Nei?
∆D
∆L
=
L
D
E
σ=
ε
ν=−
εt
εl
AE
∆L
L
Z
Q=
yda
Kraft (P )
I bevegelse
P
A
P =
Første Arealmoment (Q)
(statisk moment)
A
Hastighet / akselerasjon (a er konstant)
1
2
2 (V1
Z
Arealtreghetsmoment (I)
I=
V02 )
Akselerasjon:
Strekning:
Hastighet:
,→
a(s1 + s2 ) =
−
s1 = V t1 + s0
v1 = at1 + V0
v 2 = V02 + 2a(s − s0 )
Konstant akselerasjon:
,→
Konstant hastighet:
v = vo + a · t
s = so + vo · t + 21 · a · t2
s = so + v · t
y 2 da
A
Moment ? (M )
Bøynings kurve(k)
k = bøyningskurve
ρ = bøyningsradius
M =E·k·I
1
k=
p
Strekkbøyningsmoment (σx )
Bevegelse med vektorer
Hastighet:
Akselerasjon:
Sammenheng mellom V og r˙
~v = ω
~ x~r
~a = α
~ x~r + ω
~ x~r
r˙ = V = ω
~ x~r
Derivasjon av bevegelsesvektor:
cos θ
− sin θ
cos θ
˙
˙
ro = l
r˙o = lθ
+l
cos θ
sin θ
sin θ
− sin θ
− cos θ
r¨o = lθ¨
+ lθ˙2
cos θ
− sinθ
− sin θ
cos θ
+ 2l˙θ˙
+ ¨l
cos θ
sin θ
θ=θ
θ˙ = ω
kraft
moment
torsjon
z}|{ z}|{ z }| { N
M · y M2 · z
σx = σxn + σxm + σxm2 =
−
+
a
Iz
Iy
L
L0
y
M2
∆L
y
N
z
z
x
M
N
M2
θ¨ = α
Summen av moment:
Summen av kraft (Newtons 2. lov):


ωy · rz − ωz · ry
ω
~ × ~r =  −(ωz · rx − ωx · rz ) 
ωx · ry − ωy · rx
P
P M = Iα
F = ma
Skjærespenning (τ )
Gjennomsnittlig
skjærespenning (τ ):
τ=
V
A
Skjærespenning i bjelker med
retangulært areal:
τmax =
VQ
V h2
3V
=
=
Ib
8I
2A
Viktig å huske
Torsjon i sirkulære stenger
L
x
T
M P a = N/mm2
q
ρ
γ
r
T
φ
φ(x)
q0
φ
L
T ·L
φ=
G · Ip
E
G=
2(1 + ν)
τ =G·γ
θ=
Vridningsraten:
Vridningslengde:
Skjæremodulen:
Hookes lov for forskyvning:
τMax = G · r · θ
ρ
γ = ρ · θ = · γmax
r
r·φ
γMax = r · θ =
L
Maksimal skjærespenning:
Intern skjæretøyning:
Maksimal intern skjæretøyning:
Tilnærmet skjærespenning i tynnveggete rør
t2
r
τMax =
T
2 · t · Am
Am
t
h
Am
t1
b
T ·L
φ=
G·J
4A2
J = R lm m
1
t ds
0
T
θ=
G·J
Bøying av prismatiske bjelker
Utregning av bøynigsvinkler og lengder av bjelker der det er et
konstant treghetsmoment og E-modul.
EI · v 00 = M (x)
EI · v
000
= V (x)
v(x) = Bøyningslengde
0
v (x) = θ(x) = Vinkeldreining
EI · v 0000 = −q(x)
M (x)
V (x)
q(x)
v(x)
θ(x)
θ(x)
v(x)
Husk konstantene C under integrasjonsprosessen. Husk også
rand betingelser og kontinuitets betingelser.
Se apendix G i Gere/Goodno Mechanics of Materials for ferdig
intigrerte uttrykk for standard-tilfeller. Om det er flere krefter
så kan flere standardtilfeller summeres sammen.
Måling av tøyninger
Positiv ε betyr strekk, mens negativ ε betyr trykk.
εp =
ε1 + ε2
2
εm =
ε2 − ε1
2
Ekvivalent spenning
Von Mises formel for ekvivalent spenning:
r
(σx−σy )2+(σy−σz )2+(σz−σx )2
2 + τ2 + τ2 )
σeq =
+3(τxy
yz
xz
2
Husk at strekkbønigsmomentet, σ, skal inkludere eventuelle
skjærespenninger, bøningsmoment og vridningsmoment.
P a = N/m2