Transcript Powerpointslides

Partiell derivasjon
Partiell derivasjon
Innledning
Ordinær derivasjon
y
Partiell derivasjon
z
y
x
u
x
x+x
Derivasjon mht en enkelt variabel (x)
x
Derivasjon mht flere variabler (x,y,z,…)
Derivasjon i en vilkårlig retning
Partiell derivasjon
Anv - Høydekurver / Gradientvektor / Tangent / Tangentplan
   

,
, 
 x y z 
 f f f 
f  
,
, 
 x y z 
Gradientvektor står normalt på nivåkurver (n=2) og nivåflater (n=3)
og kan benyttes til bestemmelse av tangenter og tangentplan,
f
Partiell derivasjon
Anv - Flystøy / Sjokkbølge
Direkte sjokkbølge-område fra Concorde
T = Luft-temperatur ved bakkevivå (Kelvin)
h = Flyets høyde (kilometer)
a = Vertikal temperatur drop (Kelvin pr km)
1
 hT  2
w  w(h, T , a )  4 

 a 
dw 
Thomas Calculus
w
h
dh 
w
T
dT 
w
a
da
1
1
1


2
2
2
T
h
hT






 2    dh    dT   3  da 
  ha 

 Ta 
a 


Partiell derivasjon
Anv - Temperaturvariasjoner under jordoverflaten
Temperaturvariasjoner under jordoverflaten
w = Temperatur (modellert til [-1,1] ved jordoverflaten)
x = Dybde (fot)
t = Tiden fra den høyeste årlige temperatur (dager)
2
w  cos(1.7 10 t  0.2 x )e
w
t
w
Art Norton Starr
x
 1.7 10

2
2
sin( 1.7 10 t  0.2 x )e
2
 0.2 sin( 1.7 10 t  0.2 x )e
 0.2 x
0.2 x
 0.2 x
2
 cos(1.7 10 t  0.2 x )e
 0 .2 x
Ved 30 fot er det mindre enn 0.25% årlig temperaturvariasjon.
Ved 15 fot er det ca 5% årlig temperaturvariasjon.
Ved 15 fot er temperaturvariasjonene ca et halvt år ute av fase
i forhold til overflaten.

Partiell derivasjon
Anv - Variasjon i elektrisk resistans
Variasjoner i elektrisk resistans
1

R
1
R1
1

R2
 R
 
R i  R i
R




2

1
R3
Ordinær derivasjon
Def
y = f(x)
y
x
x
f ' ( x )  lim
x  0
x+x
f ( x  x )  f ( x )
x
 lim
x  0
y
x

dy
dx
Partiell derivasjon
Def
z = f(x,y)
y
z
fx 
fy 
f
x
f
y
 lim
x  0
 lim
y  0
f ( x  x, y )  f ( x, y )
x
f ( x, y  y )  f ( x, y )
y
Partiell derivasjon
Eks 1
Gitt funksjonen f(x,y) = x2 + 3xy – 1.
Bestem de partiell-deriverte i punktet (x,y) = (4,-5).
f ( x, y )  x  3 xy  y  1
2
fx 
fy 
f
x
f
y



x

y
x
2
 3 xy  y  1  2 x  3 1  y  0  0  2 x  3 y

x
2
 3 xy  y  1  0  3 x 1  1  0  3 x  1
1

f x ( 4,5)  2  4  3  ( 5)  8  15   7
f y ( 4,5)  3  4  1  12  1  13
Partiell derivasjon
Eks 2
Gitt funksjonen f(x,y) = ysin(xy).
Bestem de partiell-deriverte.
f ( x, y )  y sin( xy)
fx 
fy 
f
x
f
y



x

y
 y sin( xy)   y cos( xy)  (1y )  y 2 cos( xy)
 y sin( xy)   1sin( xy)  y cos( xy)  ( x 1)  sin( xy)  xy cos( xy)
Partiell derivasjon
Eks 3 - Implisitt derivasjon
Gitt implisitt funksjonen z(x,y) ved yz – lnz = x + y.
Bestem den partiell-deriverte av z mht x.
yz  ln z  x  y

x

x
y
y
 yz  ln z  

 yz  

x
z
x


z
1 z
z x
ln z 
1
1  z

1
y 
z  x

z
x

1
y
1
z
x
x  y 
ln z  
x
z  


x
z
x
x  
 1 0

x
y
Partiell derivasjon
Eks 4 - Paraboloide
Planet x = 1 skjærer paraboloiden z = x2 + y2
i en parabel.
Finn stigningstallet til parabelen i punktet (1,2,5).
Løsning 1:
zx y
2
2
x  1  z  z ( y)  1  y  1  y
2
dz
2
 0  2y
dy
dz
dy
Løsning 2:
 0  22  4
( x 1, y  2 , z  5 )
zx y
2
z
y
2
 0  2y
z
y
 0  22  4
( x 1, y  2 , z  5 )
2
Partiell derivasjon
Eks 5 - Elektrisk krets
1
Tre motstander med resistans R1, R2 og R3 er koblet i parallell.
Bestem hvordan kretsen (resultantresistansen) endres
ved små endringer i R2 for R1 = 30, R2 = 45, R3 = 90.
R
1

R
R3

1

R1
1

1

R2
1

R1
1
1
1 R
90
3
2
1
R R2
90
 R
 
R2  R2

6

90

90


2
R
1
15

1
R2




2
2
2
R2




R3
R
R  15
 R
 
Ri  Ri
1
  1  R
1
 0 2 0
 
R  R  R2
R2
R3
45
90

R2
30

R
1

 1
  1
1
1 




 
R2  R  R2  R1 R2 R3 
R1
R2
1

R1  30, R2  45, R3  90
2
R R 30, R
1
2  45, R3  90

1
4
R1
R R 30, R
1
2  45, R3  90

1
36
R3
R R 30, R
1
2  45, R3  90
2
1
 15 
1

   
9
 45 
3

1
9
R2
Differential - Kjerneregel
Def
y = f(x)
y
df
x
dx
x
y 
df
x
dx
dy 
df
dx
Differential
dx
dy
dt

dy dx
Kjerneregel
dx dt
x  x(t)
Kjerneregel
Eks
y
dy
2
 2
dx

x
2
2
dx
 cos
dt

4
x

dt
y(x) = f(x) = x2

dt
dy dx
dx dt
dy
dt
t

4

dy dx
dx
x  d sin t   2 x cos t  2 sin t cos t  sin( 2t )
2
dt
 2 x cos t t   , x 
4
2
2
 2
2
2

2

t
2
2
dx dt
x(t)= g(t) = sin(t)
d
2
t
dy
dy
 
 sin  2    1
dt
 4
dy
y
2

1
1
2
y(t) = f(g(t)) = f(x(t)) = sin2(t)
dy
d

dt
dt
dy
2
t

4
2
 
x  sin   
2
4
dt
t

4
sin t   2 sin t cos t  sin( 2t )
2
 sin( 2t ) t    sin( 2 
4

4
) 1
Totalt differential
Innledning
z2
z
y
y
z1
x
x
z  z1  z 2
z 
dz 
z
x
z
x
x 
dx 
z
y
z
y
y
dy
z
Totalt differential
Def
y = f(x)
w  f ( x, y,...)
y
df
x
dx
w 
x
dw 
y 
dy 
df
x
dx
w
df
t
dx
Differential
dw
dx
dy
dt

dy dx
dx dt

Kjerneregel
dt

w
x
w
x
w
x 
dx 
w x
x t
w dx
x dt
y
w
y


y  ...
Totalt
differential
dy  ...
w y
y t
w dy
y dt
y  ...
Kjerneregel
 ...
Kjerneregel
Eks 1
Finn den deriverte av z = xy
langs veien x = cost y = sin t
z  xy
dz
dt

z dx
x dt

z dy
y dt
 1  y  (  sin t )  x 1  cos t
  y sin t  x cos t
 x cos t  y sin t
 cos t  cos t  sin t  sin t
 cos t  sin t
2
 cos( 2 t )
2
Kjerneregel
Eks 2 [1/2]
Finn dy / dx for y2 = x2 + sin(xy)
y
 x  sin( xy)
2
2
d
dx
d
dy
2y
y 

y  dy

2
dx
2
d
dx
dx
x
2
 sin( xy)
x 
2
d
dx
sin( xy)
dy
 2 x  y cos( xy)  x cos( xy)
dy
 x cos( xy)
dx
2 y  x cos( xy)
dy
dx

dy
dx
dx
2y

dy 

 2 x  cos( xy) 1 y  x
dx 

dy
dx
2y
d
dy
 2 x  y cos( xy)
dx
dy
dx
2 x  y cos( xy)
2 y  x cos( xy)
 2 x  y cos( xy)
Kjerneregel
Eks 2 [2/2]
 x  sin( xy)
2
2
Finn dy / dx for y2 = x2 + sin(xy)
y
Vi setter F(x,y) = y2 – x2 – sin(x,y)
Da har vi F(x,y) = 0.
Vi tar totalt fifferential på begge sider.
F ( x, y )
 y  x  sin( xy)
F ( x, y )
0
dF ( x, y )
 d (0) 0
F
x
F
y
dx 
dy
2
F
y
2
dy  0

F
x
dx
F
dy
dx
0  2 x  cos( xy)  (1  y ) 2 x  y cos( xy)
  x  

F
2 y  0  cos( xy)  ( x 1) 2 y  x cos( xy)
y
Gradientvektor - Retningsderivert
Def
f ( x , y)  f ( x 0 , y 0 )
 df 
( D u f )  
 lim

s 0
s
 ds  u , P0
y
 lim
u
f ( x 0  su 1 , y 0  su 2 )  f ( x 0 , y 0 )
s 0

x

Den deriverte av f i P0(x0,y0)
i retning av enhetsvektoren u = [u1,u2]
x = x0 + su1
y = y0 + su2
Del-operator
  
 , 
 x y 
Gradientvektor
 f f 
f   ,

 x y 
s
f dx
x ds
f
x

u1 
f dy
y ds
f
y
u2
 f f 

,
  u1 , u 2 

x

y



 f P0  u
Retningsderivert

 df 

  f  u
 ds  u
Gradientvektor - Retningsderivert
Egenskaper
Gradientvektor
y
Retningsderivert
 f f 
f   ,

 x y 
f
u
x

 df 

  f  u
 ds  u
f øker mest i retning av f og den deriverte er |f |
f avtar mest i motsatt retning av f
f endres ikke i retning normalt på f
Regler for gradientvektorer
Nivåkurver
( kf )
f
Gradientvektorene står normalt på nivåkurvene
 kf
 ( f  g )  f  g
(fg )
f 
 
g
 fg  gf

gf  fg
g
2
Gradientvektor - Retningsderivert
Eks 1
Gitt planet x + y + z = 5.
Bestem i hvilken retning det er brattest å bevege seg i dette planet.
xyz 5
z  5 x  y
f ( x , y)  5  x  y
f
Nivå-kurver
f
x
y
 f f 
f  
,
  0  1  0,0  0  1   1,1

x

y


Det er brattest å bevege seg i retning [-1,-1].
Stigningen er 2.
f 
( 1)  ( 1) 
2
2
2
Gradientvektor - Retningsderivert
Eks 2
Finn den deriverte av f(x,y) = x2 + xy i punktet P0(1,2) i retning v = [1,1].
f ( x , y)  x  xy
2
 f f 
,
f ( x , y )  
  2 x  1  y,0  x 1  2 x  y, x 
y

x



f (1,2)  2 1  2,1  4,1


1,1  1 1 
1,1
v
,


u  

2
2
v
2
2  2
1 1

5
1
1
1 
 1
 df 


1


4

,
 f P0  u  4,1 



2
2
2
2
 ds  u , P0
 2
Det er brattest i retning f  4,1
og stigningen er der f 
4  1  17
2
2
Gradientvektor og tangent til nivå-kurver
Def
z  f ( x, y )
Nivåkurve
z  f ( x, y )  c
z
f
r(t)
y
Nivåkurve

r (t )  x(t ), y (t )
Parameteri sering av nivåkurven
f(x(t), y(t))  c
Nivåkurve
x
d
dt
 f ( x(t ), y (t ))  
f dx
f 

dr
x dt
0
dt
f  Tangenten til nivåkurven
f  Nivåkurven

f dy
y dt
d
(c )
dt
0
 f f   dx dy 
,

 ,
0
 x y   dt dt 

dr
f 
0
dt
f
 Tangenten til nivåkurven
f
 Nivåkurven
Gradientvektor og tangent til nivå-kurver
Eks 3
Finn ligningen for tangenten til ellipsen ¼ x2 + y2 = 2 i punktet (-2,1).
f
z  f ( x , y) 
x
2
y
2
Ellipsen er da nivåkurven f ( x , y)  2
4
f ( x , y)  2
 f f   2 x
 x

f ( x , y )  
,


0
,
0

2
y

,
2
y
 
 2

 

 x y   4
 2

f ( 2,1)  
,2 1   1,2
 2

A, B x  x 0 , y  y 0   0
 1,2 x  (2), y  1  0
 1( x  2)  2( y  1)  0
2y  x  4
Tangentplan - Nivåflate
Def
Nivåflate
w  f ( x, y , z )
f(x,y,z) = c
f
z
r(t)
f ( x, y , z )  c

r (t )  x(t ), y (t ), z (t ) Parameteri sering av kurve i flaten
y
x
f ( x(t ), y (t ), z (t ))  c
d
dt
 f ( x(t ), y (t ), z (t ))  
f dx
f 
Nivåflate

dr
x dt
0
dt
f
 Hastighets vektorer t il nivåflaten
f
 Tangentpla n til nivåflaten

f dy
y dt

f dz
z dt
d
(c )
dt
0
 f f f   dx dy dz 
,
,
, 0

 ,

x

y

z
dt
dt
dt 




dr
f 
0
dt
f
 Hastighets vektorer i nivåflaten f(x, y, z)  c
f
 Tangentpla n til nivåflaten f(x, y, z)  c
Tangentplan - Nivåflate
Eks 4
Finn tangentplan til flaten z = xcosy - yex i punktet (0,0,0).
w  f ( x, y , z )  x cos y  ye  z
x
z  x cos y  ye
x
Nivåflaten
f ( x, y , z )  0
 f f f 
x
x
f ( x , y , z )  
,
,
  cos y  y  e , x sin y  e ,1
 x y z 




f (0,0,0)  cos 0  0  e ,0  sin 0)  e ,1  1,1,1
0
A, B, C  x  x0 , y  y0 , z  z0   0
1,1,1 x  0, y  0, z  0  0
1,1,1 x, y, z   0
x yz 0
0
END