Transcript Løsningsforslag prøve 1T 28.11.11: Trigonometri

Løsningsforslag prøve 1T 28.11.11: Trigonometri,
eksponential- og logaritmelikninger
Oppgave 1
Løs likningene ved regning. Husk at du må vise framgangsmåte.
a) lg2x + 4 = 3 lg 2
lg2x + 4 = 3 lg 2
lg2x + 4 = lg 2 3
2x + 4 = 2 3
2x = 4
x=2
x=2
b) 3 lg x = −6
3 lg x = −6
lg x = −6 = −2
3
10 lg x = 10 −2
x = 0. 01
x = 0. 01
c) lg x 2 − lg x − 3 = 0
lg x 2 − lg x − 3 = 0
2 lg x − lg x = 3
lg x = 3
10 lg x = 10 3
x = 1000
x = 1000
Oppgave 2
Løs likningene, så enkelt som mulig, ved regning. Husk framgangsmåte!
a) 3
x−2
= 27
3 x−2 = 27
3 x−2 = 3 3
x−2 = 3
x=5
x=5
b) 3 ⋅ 7 x = 7 ⋅ 3 x
1
3 ⋅ 7x
3x
7x
3 x
7
x
= 7 ⋅ 3x
= 3
7
= 3
7
=1
x=1
c) 3 x = 13
3 x = 13
lg 3 x = lg 13
x lg 3 = lg 13
lg 13
= 2. 334 7
x=
lg 3
x = 2. 33
Oppgave 3
I en nederlandsk matematikkbok fra 1744, Werkdadige Meetkonst, presenterte Johannes
Morgenstern en del geometriske metoder for landmåling.
I forklaringen til bildet sto det:
For å finne høyden av tårnet, AD, uten å bruke instrument som måler vinkelen kan denne
metoden benyttes: Plasser en pinne, BC, vinkelrett i forhold til bakken, i et punkt hvor du
har god oversikt over tårnet. Finn ut hvor du ser at synslinja, DC, treffer bakken. Vi kaller
det punktet E. Det betyr at du finner punktet E akkurat der hvor du ser toppen av tårnet i
høyde med pinnen. Mål så avstandene BE, AE og høyden på pinnen, BC. Når du er ferdig
med det har du alle målinger fra feltarbeidet.
a) Lag din egen figur etter bildet over. Skriv på alle bokstaver
2
b) Hvorfor er trekantene AED og BEC formlike?
∠E er den samme i begge trekantene. ∠B = ∠A = 90 °  ΔAED ∼ ΔBEC
c) Vi tar utgangspunkt i at BE = 2. 7 m, BC = 1. 8 m og AE = 450 m. Hvor høyt er
tårnet?
Når vi vet at trekantene er formlike kan vi sette opp disse forholdene:
BC = AD  AD = EA ⋅ BC = 450 ⋅ 1.8 = 300. 0
2.7
EB
EB
EA
Tårnet er 300 m
d) Hvordan kunne vi funnet høyden om vi målte vinkelen?
Hvis vi hadde målt vinkelen med en vinkelmåler kunne vi klart oss med å finne lengden
AE. Da kunne vi brukt tangens for å finne høyden, AD: tan E = AD
 AD = tan E ⋅ AE
AE
Oppgave 4
a) Tegn en trekant ABC hvor cos B =
5
9
3
b) I en rettvinklet trekant ABC er ∠A = 55 °, AB = 5, 0 cm og ∠B = 90 °. Tegn figur
og bestem de ukjente sidene i ABC.
For å finne AC benytter jeg cosinus:
AB
AB
cos A = AC
 AC = cos
= cos5.055 ° = 8. 717 2
A
Den siste sida finner jeg ved å bruke Pythagoras sin setning:
AB 2 + BC 2 = AC 2  BC = AC 2 − AB 2 = 8. 7172 2 − 5. 0 2 = 7. 140 7
AC = 8. 7 cm og BC = 7. 1 cm
Oppgave 5
Figuren under viser en trekant ABD er AC = 10 og begge de markerte vinklene 25°. Se
figuren under.
Finn lengden av sidene BC og CD.
sin ∠BAC = BC
AC
BC = AC ⋅ sin ∠BAC = 10 ⋅ sin 25 ° = 10 sin25 ° = 4. 226 2 ≈ 4 cm
AB
cos ∠BAC = AC
 AB = AC ⋅ cos ∠BAC = 10 ⋅ cos 25 ° = 9. 063 1
AB 2 + BC 2 = AC 2  AB = AC 2 − BC 2 = 10 2 − 4. 226 2 2 = 9. 063 1
tan A = BD
 BD = AB ⋅ tan A = 9. 063 1 ⋅ tan 50 ° = 10. 801
AB
4
CD = BD − BC = 10. 801 − 4. 226 2 = 6. 574 8 ≈ 7 cm
BC = 4 cm og CD = 7 cm
Oppgave 6
På bildet over ser du et utsnitt av Trondheimsfjorden. En person har stått på Byneset og
målt avstandene til Stadsbygd og Rørvik. Avstanden over fjorden til Stadsbygd er 9,69 km
og til Rørvik er avstanden 6,65 km. Vinkelen mellom de to avstandslinjene er målt til 36.4°
Regn ut avstanden i luftlinje fra Stadsbygd til Rørvik.
Vi kan bruke cosinussetningen for å finne den avstanden. Vi kaller den ukjente avstanden a
og setter inn i cosinussetningen:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 6. 65 2 + 9. 69 2 − 2 ⋅ 6. 65 ⋅ 9. 69 ⋅ cos 36. 4 ° = 34. 386
a = 34. 386 = 5. 864 0
Avstanden fra Stadsbygd til Rørvik er 5. 9 km
Oppgave 7
a) Forklar hvorfor arealet T, av trekanten ABD i figuren er gitt ved T= 1/2 ab sinD
5
Her holder det om du har forklart arealsetningen
b) Regn ut arealet av trekant ABD
T ABD = 1 ⋅ AD ⋅ AB ⋅ sin A = 1 ⋅ 6 ⋅ 12 ⋅ sin 55 ° = 29. 489 ≈ 29
2
2
Arealet av trekant ABD = 29
c) Regn ut arealet av firkant ABCD
Først må vi finne DB. Benytter cosinussetningen: DB 2 = AD 2 + AB 2 − 2 ⋅ AD ⋅ AB ⋅ cos A
DB = AD 2 + AB 2 − 2 ⋅ AD ⋅ AB ⋅ cos A = 6 2 + 12 2 − 2 ⋅ 6 ⋅ 12 ⋅ cos 55 ° = 9. 869 4
Nå kan vi finne vinkelen C
DB 2 = DC 2 + BC 2 − 2 ⋅ DC ⋅ BC ⋅ cos C
2
2
2
2
2
2
cos C = DB − DC − BC = 9. 869 4 − 5 − 7 = − 0. 334 36
−2 ⋅ DC ⋅ BC
−2 ⋅ 5 ⋅ 7
∠C = arccos − 0. 334 36 = 109. 53 ° ≈ 110 °
Nå kan vi bruke arealsetningen og finne arealet
T BCD = 1 ⋅ DC ⋅ BC ⋅ sin ∠C = 1 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ sin 109. 53 ° = 16. 493
2
2
Arealet av ABCD = 29. 489 + 16. 493 = 45. 982 ≈ 46
Arealet av ABCD = 46
6