Transcript 1T kapittel 6 Geometri Kapitteltest

Løsninger
1T kapittel 6 Geometri
Kapitteltest
Del 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
motstående katet til A
=
hypotenusen
hosliggende katet til A
A
=
cos=
hypotenusen
A
sin=
28
= 0,28
100
96
= 0,96
100
Oppgave 2
Hosliggende katet til v har lengde 4. Vi bruker definisjonen for tangens og finner den motstående
kateten til v som vi kaller x.
motstående katet til v 3
=
hosliggende katet til v 4
3 x
=
4 4
3⋅ 4 x ⋅ 4
=
4
4
3= x
Den motstående kateten til v har lengde 3.
tan v
Bruker pytagorassetningen til å finne hypotenusen, y:
2
y=
42 + 32
y
=
16 + 9
y = 25
y=5
Hypotenusen i trekanten har lengde 5.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 1 av 7
Løsninger
Oppgave 3
a
Vi har, fra definisjonen av cosinus, at hosliggende katet til A er 4 og hypotenusen er 5. Tegner
en trekant som stemmer med disse opplysningene.
b
Vi bruker pytagorassetningen og finner motstående katet til A.
2
5=
42 + x 2
25 − 16 =
x2
9=x
3= x
motstående katet til A BC 3
tan=
A
= =
hosliggende katet til A AB 4
c
Bruker formlikhet og finner AC dersom AB = 8 :
8 x
=
4 5
x ⋅5
2⋅5 =
5
10 = x
AC = 10 dersom AB = 8 .
Oppgave 4
1
Bruker arealsetningen: F = bc sin A .
2
Siden sin150
=
° sin 30° > sin 25° er arealet av II større enn I.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 2 av 7
Løsninger
Oppgave 5
a
Bruker cosinussetningen til å finne lengden av BC.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
a 2 = 32 + 7 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅
2
3
a 2 =9 + 49 − 28
a = 30
BC har lengde
b
30 .
Bruker arealsetningen til å finne sin B .
7 5 1
= ac sin B
2
2
7 5 1
= ⋅ 30 ⋅ 7 ⋅ sin B
2
2
7 5
= sin B
7 30
5
= sin B
30
1
= sin B
6
1⋅ 6
= sin B
6⋅ 6
6
= sin B
6
Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 6
a
BC
AC
x
sin 35° =
8,6
8,6 ⋅ sin 35° = x
4,93 = x
BC har lengde 4,9 m.
sin A =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 3 av 7
Løsninger
b
AB
AC
y
cos 35° =
8,6
8,6 ⋅ cos 35° = y
7,04 = y
g ⋅ h 7,04 ⋅ 4,93
=
A =
= 17,35
2
2
Arealet til trekanten er 17,4 m2.
c DEF og ABC har to like vinkler og er derfor formlike.
DF = AC ⋅1,5 = 8,6 ⋅1,5 = 12,9
DE DF
= = 1,5
AB AC
DE =1,5 ⋅ AB =1,5 ⋅ 7,0 =10,5
cos A =
EF DF
= = 1,5
BC AC
EF =1,5 ⋅ BC =1,5 ⋅ 4,9 =7,4
g ⋅ h 10,5 ⋅ 7,4
=
= 39
2
2
Arealet av trekanten er 39 m2.
=
A
Oppgave 7
a
x
8
8 ⋅ sin 70° = x
7,5 = x
Stigen når 7,5 m opp på veggen.
sin 70° =
b
7
8
v= 61°
Stigen danner en vinkel på 61° med bakken.
sin v =
Oppgave 8
a
1
F = ⋅ 4,3 ⋅ 6,5 ⋅ sin 40°
2
F = 9,0
Arealet av landområdet er 9,0 km2.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 4 av 7
Løsninger
b
x
4,3
4,3 ⋅ sin 40° = x
2,8 = x
Avstanden fra C til siden AB er 2,8 km.
Finner først a (BC)
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
sin 40° =
c
a 2 = 4,32 + 6,52 − 2 ⋅ 4,3 ⋅ 6,5 ⋅ cos 40°
a 2 = 17,9
a = 17,9
a = 4,23
Bruker deretter sinussetningen til å finne vinkel C.
sin A sin C
=
a
c
sin 40° sin C
=
4,23
6,5
6,5 ⋅ sin 40°
= sin C
4,2
C = 81° ∧ C = 99°
Det er to vinkler som passer med verdiene vi har regnet med her. Vi sjekker derfor vinkel B
og vinkelsummen.
sin A sin B
=
a
b
sin 40° sin B
=
4,23
4,3
4,3 ⋅ sin 40°
= sin B
4,2
B = 41° ∧ B = 131°
Her ser vi at vinkel B= 41° , vinkelen er ikke butt. Siden vinkelsummen i en trekant er 180°
har vi at vinkel C= 99° .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 5 av 7
Løsninger
Oppgave 9
a
Finner først lengden av b(AC).
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
b 2= 532 + 252 − 2 ⋅ 53 ⋅ 25 ⋅ cos120°
b 2 = 4759
b = 4759
b = 68,99
Vinkel D
= 180° − 30° − 40=
° 110° . Finner lengden av AD.
sin110° sin 40°
=
AD
68,99
sin 40° ⋅ 68,99
AD =
sin110°
AD = 47,19
AD har lengden 47.
b Arealet av  ABC
1
F1 = ac sin B
2
1
= ⋅ 53 ⋅ 25 ⋅ sin120°
2
= 573,74
Arealet av  ACD
1
F2 = ⋅ AD ⋅ AC ⋅ sin A
2
1
=⋅47,19 ⋅ 68,99 ⋅ sin 30°
2
= 813,91
=
F 573,74 + 813,91=1387,65
Arealet av firkanten ABCD er 1390.
Oppgave 10
a
sin 25° sin 50°
=
2,5
BD
sin 50° ⋅ 2,5
BD =
sin 25°
BD = 4,53
BD har lengden 4,5.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 6 av 7
Løsninger
b
Arealet av  ABD .
1
A ABD = ⋅ AD ⋅ BD ⋅ sin105°
2
1
= ⋅ 2,5 ⋅ 4,53 ⋅ sin105°
2
= 5,47
Arealet av BCD :
Bruker pytagorassetningen og finner BC:
2
4,53
=
4,02 + x 2
4,532 − 4,02 =
x2
4,52 = x
2,13 = x
BC = 2,1 .
g ⋅ h 4,0 ⋅ 2,13
A=
=
= 4,26
BCD
2
2
A = 5,47 + 4,26 = 9,73
Arealet av hele firkanten ABCD er 9,7.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 7 av 7