Transcript 1 Vektorer i planet

1
Vektorer i planet
1.1
VEKTORER I KOORDINATSYSTEM
Tallinje
-1
0
1
2
Tallinja representerer tallmengden R1 dvs alle reelle tall
Koordinatsystem
Består av to slike tallinjer kalt akser
P
Hvis aksene står vinkelrett på hverandre
og enhetene på aksene er like store
har vi et ortonormert koordinatsystem
( ortogonalt = vinkelrett )
I dette kurset er det underforstått at
alle koordinatsystem er ortonormert
.
Planet R2
Et slikt system representerer tallmengden R2 som er hele planet
( til uendelig i alle retninger )
I planet opererer vi med to grunnbegreper punkt
Punkt
og
Et punkt i planet har to koordinater
P = ( 2 3 ) er tegnet inn på figuren
Linje i planet
En ligning med to ukjente representere en linje i planet
Ligningene ser i prinsippet slik ut
a, b, c  R1
ax + by = c
Alle punkter ( x y ) som passer i ligningen ligger på linja
1
rett linje
Eksempel
Skjæring mellom to linjer
x + 2y = 8
3x - 2y = 0
Løsning:
summere ligningene:
 4x = 8  x = 2
 32 – 2y = 0  y = 3
y
x + 2y = 8
3x – 2y = 0
x
Skjæringspunkt = felles punkt for de to linjene
y
B
y2 – y1
A
Linjestykke
x2 – x1
x
Linjestykket på figuren er begrenset av to punkter A og B
A = ( x1 y1 ) og B = ( x2 y2 )
Retning
Vi tenker oss at vi skal gå fra A til B
da er det naturlig å gi linjestykket AB retning
og vips har vi fått en vektor
En vektor som er definert ved to punkter kalles ofte en fastvektor
og skrives slik
AB
hale
spiss
2
Vektor
Et orientert rett linjestykke, gitt ved lengde og retning.
a
En vektor er normalt ikke stedfast,
men kan parallellforskyves i planet

Normalstilling
En vektors koordinater er de koordinater
spissen vil få hvis vi parallellforskyver vektoren
a
slik at halen faller i origo
Vektoren er da i normalstilling
Retningen til vektoren kan gis som
den vinkelen vektoren danner med x-aksen.
Notasjon
Vektorer noteres med små bokstaver i fete typer: a
i håndskrift setter vi pil over.
Vektor AB på foregående side har koordinatene: AB = ( x2 – x1 y2 – y1 )
Eksempel
A = ( 2 3 ) B = ( 5 -2 ) 
Nullvektoren
Nullvektoren har lengde 0 og derfor ingen definert retning
AB = ( 3 -5 )
Den kan derfor representeres ved et punkt og har koordinatene ( 0 0 )
0= (0 0)
Oppgaver 1.1
1
Tre punkter i planet er gitt: A = ( 4 5 ) , B = ( 2 2 ) og C = ( 4 8 )
Tegn punktene i et koordinatsystem
Bestem vektorene AB, AC, BC, CA og CB
2
I et koordinatsystem ligger kvadratet ABCD
A= (1 1), B=(5 4), C=(8 0)
Finn koordinatene til det 4. hjørnet
Bestem koordinatene til alle de 12 vektorer som disse punktene definerer.
3
1.2
REGNING MED VEKTORER
Likhet
To vektorer er like hvis de er like lange og har samme retning
Lengden av en vektor
Vektoren u = ( x y ) lengden av u skrives | u |
x2  y2
Pythagoras: | u | =
u
y
x
Fastvektor
En fast vektor i planet er definert av to punkter:
A = ( x1 y1 ) og B = ( x2 y2 )
Lengden er da gitt ved
| AB | =
(x 2  x1 ) 2  (y2  y1 ) 2
B
y2 – y1
A
x2 – x1
4
Addisjon
a+b
a
b
Summen av vektorene a og b er diagonalen i det parallellogrammet
som vektorene utspenner
Gå-metoden
Vi flytter a slik at halen
b+a
faller i spissen på b
a
summen er da vektoren fra
halen til b til spissen av a
b
Eller omvendt
b
a
Rekkefølgen spiller altså ingen rolle
Koordinatform
a = ( x1 y1 ) og b = ( x2 y2 ) 
a+b
a + b = ( x1 + x2 y1 + y2 )
B
Assosiativ lov
(a+b)+c = a+(b+c)=a+b+c
Innskuddsetningen
Motsatt av summesetningen
E
C
Du kan dele opp en vektor på
så mange måter du vil
A
dvs du kan gå fra A til B
f eks via C eller via D og E
5
D
Eksempel
I femkanten har vi f eks:
AC = AB + BC
D
AC = AD + DC
Finn flere måter å skrive AC
E
C
A
Motsatte vektorer
B
Når summen av to vektorer er nullvektoren sier vi at de er motsatte
dvs de har lik lengde men motsatt retning.
a = ( x y )  motsatt vektor til a har koordinatene ( -x -y )
summerer: ( x y ) + ( -x -y ) = ( x – x y – y ) = ( 0 0 )
Notasjon: motsatt vektor til a skrives -a
Subtraksjon
u
u
a
a
b
-b
Vi snur b : -b + a = u 
u=a-b
Vi ser at a = b + u
Koordinatform
a = ( x1 y1 ) og b = ( x2 y2 ) 
u = a - b = ( x1 - x2 y1 - y2 )
u har retning fra spissen av b til spissen av a
Fortegn og
parentesregler
a = ( x1 y1 ) , b = ( x2 y2 ) og c = ( x3 y3 )
Vi skal løse opp parentesen i a - ( b – c )
a - ( b – c ) = ( x1 y1 ) - [( x2 y2 ) - ( x3 y3 )] = ( x1 y1 ) – ( x2 - x3 y2 - y3 )
= ( x1 – ( x2 – x3 ) y1 – ( y2 – y3 )) = ( x1 – x2 + x3
= ( ( x1 – x2 ) + x3 ( y1 – y2 )+ y3 ) = ( a – b ) + c
Resultat: a - ( b – c ) = ( a – b ) + c = a – b + c
Samme regel som for tallregning
6
y1 – y2 + y3 )
Oppgaver 1.2
1
Finn lengden av disse vektorene a = ( 2 3 ) , b = ( 5 -5 )
2
Tre punkter i planet er gitt: A = ( 4 5 ) , B = ( 2 3 ) og C = ( 3 -5 )
Tegn punktene i et koordinatsystem
Bestem lengden av vektorene AB, AC og BC
3
Bestem x slik at vektorene er lik hverandre
( 3 2 ) = ( 3 x2 + 2x +2 )
(x+1 4)=(3 x+2)
4
5
Vis i et koordinatsystem og beregn a + b og a - b
a)
a=(3 2), b=(6 1)
b)
a = ( 4 -3 ) , b = ( -2 -2 )
c)
a = ( -5 2 ) , b = ( 4 1 )
d)
a = ( -3 0 ) , b = ( -4 -5 )
Gitt vektorene AB = ( 3 2 ), BC = ( -1 5 ), CD = ( 4 4 ) og DE = ( 1 -2 )
Bestem
6
a)
AB + BC + CD
b)
BC + CD + DE
Skriv så enkelt som mulig
a)
AB + BC + CD
b)
AB + EF + BE
c)
DE + AB + EF+ BD
d)
AE + BC + EB + CD
7
1.3
VEKTORLIGNINGER
Vektorer vs tall
Vektorer og tall er to forskjellige begrep derfor må vi definere eventuelle kombinasjoner
a
4a
ka = k ( x y ) = ( kx ky ) k R1
Regneregler
( k1 + k2 ) a = k 1 a + k 2 a
k 1 ( k2 a ) = k1 k 2 a
k ( a + b ) = ka + kb
Lineære
vektorligninger
bevises ved å bruke koordinater
Lover som gjelder for vektorligninger
a+c=b+c  a=b
k  0  ka = kb  a = b
Lineær avhengighet
To vektorer i planet er lineært avhengige hvis den ene kan
skrives som et tall multiplisert med den andre
a = kb k  R1  koordinatene til a og b er proposjonale
Eksempel
3a + 2b = 0  a = - 23 b
Det betyr at a || b , men motsatt rettet og lengden av a er
2
3
av b
b
a
Lineær uavhengighet
To vektorer i planet som ikke er parallelle er lineært uavhengige
Da kan ikke den ene skrives som et tall multiplisert med den andre
v
u
u og v er
lineært uavhengig
8
Oppgaver 1.3
1
Regn ut vektoren c = 2a + 3b
2
Finne x uttrykt ved a og b grafisk
3
Bestem x når
a)
b)
4
når a = ( 4 -1 ) og b = ( -3 2 )
x
 

5x  a 
 a  2x
2
 
 

2 x  a 3x  b

 2a
3
2
b
a
Bestem x og y når
a)
x+y=a  x-y=b
b)
3x - 2y = 4a  -2x + 3y = -6a
D
F
C
Tegn figur som viser løsningen
5
ABCD er et parallellogram
H
I
E
Gjennom punktet E på diagonalen AC
er trukket GF || BC og HI || AB
Ta stilling til følgende påstander:
6
7
a)
EI og AB er lineært avhengige
b)
CI og BI er lineært avhengige
c)
AG + AH er lineært avhengig med EC
d)
GB + BI er lineært avhengig med AE
A
Undersøk om vektorene er lineært avhengige
a)
( 2 3 ) og ( 4 6 )
b)
( -1 2 ) og ( - 32 3 )
c)
( 0 1 ) og ( 1 0 )
d)
( 9 12 ) og ( 39 52 )
Bestem t slik at vektorene blir lineært avhengige
a)
( 1 3 ) og ( 2 – 5t 1 + 4t )
b)
( 1 3 ) og ( 2 + 2t 1 + t )
9
G
B
1.4
ENKEL TRIGONOMETRI
Trigonometri
Trekantmåling
brukes til å finne sider og vinkler i trekanter
De trigonometriske funksjoner er definert utfra en
rettvinklet trekant og er knyttet til en av de spisse vinklene
Definisjoner
hypotenus
katet
katet
sinus (vinkel)
motstående katet
hypotenus
cosinus (vinkel)
=
tangens (vinkel)
= motstående katet
hosliggende katet
Eksempel
hosliggende katet
hypotenus
B
3
5
C
Generelt
=
4
sin A =
3
5
sin B =
4
5
cos A =
4
5
cos B =
3
5
tan A =
3
4
tan B =
sin A =
a
c
sin B =
b
c
cos A =
b
c
cos B =
a
c
tan A =
a
b
tan B =
4
3
A
B
a
c
C
b
A
10
b
a
Sammenheng
Vi ser av figuren på forrige side at
mellom sin og cos
sin A = cos B og cos A = sin B
siden  C = 90° må vi ha:
 A = 90° -  B og  B = 90° -  A

For enhver vinkel u gjelder:
sin u = cos ( 90° – u ) og cos u = sin ( 90° – u )
Beregne vinkler
Innenfor denne definisjonen svarer en verdi for sinus,
cosinus eller tangens til en vinkel.
Eksempel
sin A = 0,47  A = inv sin 0,47 = 28,0°
( slå inn 0,47  trykk på inv sin )
tan v = 1,379  A = inv tan 1,379 = 54,0°
( Noen kalkulatorer har shift tan eller tan-1 istedenfor inv tan )
Eksempel
bruk av trigonometri i praktiske problemer
En stige på 2 m stilles opp mot en vegg.
Vinkelen med gulvet er 60°.
2m
Hvor høyt opp på veggen rekker stigen?
sin 60 =
h
60°
h
2

h = 2 · sin 60° = 1,73 m
11
Oppgaver 1.4

a)
Regn ut:
c)
B
sin A =
7,7
cos A =
4,5
B
tan A =
5
C
b)
Finn vinklene A og B og lengden c
6,3
A
5
C
Regn ut vinkel A ved å bruke tan A
d)
12
A
Finn vinklene A og B
Regn så ut c uten å bruke Pythagoras
og lengden b
B
B
7
8,2
C
12
A

Vi skal finne høyden på en vertikal mast AC.
11,5
C
A
C
Vi befinner oss i B 35 m fra masta og måler siktevinkelen
til toppen av masta til 47,5°.
47,5°
A
12
35 m
B


Tegn trekantene og beregn de ukjente sidene:
a)
 A = 49,0° ,  B = 90° , AC = 4,5 cm
b)
 A = 90° ,  B = 75,3° , BC = 5,5 cm
c)
 B = 34,2° ,  C = 90° , BC = 2,8 cm
Tegn trekantene og beregn de ukjente vinklene:
a)
 A = 90° , AB = 4,6 cm , BC = 6,3 cm
b)
 C = 90° , AB = 8,4 cm , BC = 5,3 cm
c)
 B = 90° , AB = 5,6 cm , BC = 2,8 cm
13
1.5
VEKTOR GITT VED LENGDE OG RETNING
Vektor
En vektor er fullstendig bestemt hvis vi kjenner
vektorens lengde og den vinkelen den danner med x – aksen
a

Sammenhengen mellom de to måtene å bestemme en vektor i planet:
A) x- og y-koordinat
y
B) lengde og retning.
(x y)
a

a


x
a = (x y)
|a| =  x2 + y2
x = |a| cos 
tan  = y / x
y = |a| sin 
14
Eksempel 1
Finne lengde og retning til vektoren a = ( -5 2 )
Lengde
|a| =  52 + 22 =  29  5,4
Retning
tan  = -2 / 5
a
Vi ser at  ligger i 2. kvadrant   = 158.2°
Eksempel 2
Finne koordinatene til en vektor b når | b | = 7 og  = 37°
x = |b| cos  = 7 · cos 37 = 5,6
y = |b| sin  = 7 · sin 37 = 4,2
Oppgaver 1.5

Finn lengde og retning til vektorene a = ( 4 2 )
b = ( -4 5 ) og c = ( 3 -7 )

Finn koordinatene til vektor d som har lengde |d| = 5,2
og danner en vinkel  = 144° med x - aksen.

En vektor har halen i punktet P = ( -2 1 ) og spissen i Q = ( 3 3 )
Finn koordinatene til vektor a = PQ ( parallellforskyv vektoren så P faller i origo )
Regn ut vektorens lengde og retning.

En vektor har halen i punktet T = ( x1 y1 ) og spissen i S = ( x2 y2 )
Finn koordinatene til vektor b = TS
Vis at vektorens lengde kan skrives |b| =  (x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2
Vis at vinkelen  med x - aksen kan finnes ved tan  = y2 - y1
x2 - x1
15

1.6
BASISVEKTORER
Enhetsvektorer
I vektorregning bruker vi enhetsvektorer eller basisvektorer
på aksene i koordinatsystemet. Her kaller vi dem i og j
At koordinatsystemet er ortonormert defineres slik:
|i|=1|j|=1ij
B
a
j
O
Dekomponering
i
A
Vektoren a er plassert i normalstilling
koordinatene til a finner vi ved å trekke normaler
fra spissen av a til koordinataksene
Koordinatene til a er x = OA og y = OB
Hvis vi betrakter disse som vektorer: OA = xi  OB = yj
 a = xi + yj
skrevet slik sier vi at a er dekomponert
i x- og y-retning
På figuren er a = 4i + 3j
Basis
Vi sier at vektorene i og j er basisvektorer for R2
fordi alle vektorer i R2 kan uttrykkes ved i og j
i og j er en ortonormert vektorbasis
16
Generelt
En vektor kan dekomponeres langs to hvilke som helst
ikke-parallelle linjer f eks m og n
n
Q
a
komponent langs n
komponent langs m
O
P
m
a = OP + OQ
Komponentene fremkommer ved at vi trekker paralleller med linjene
Generell basis
Vi kan ha andre vektorbasiser enn de ortonormerte
Generelt kan ethvert par av ikke-parallelle vektorer i R2 være basis for R2
Eksempel
Vi skal dekomponere v langs a og b
v
b
O
a
v = 3a + 2b
17
Oppgaver 1.6
1
Skriv disse vektorene uttrykt ved basisvektorene i og j
a = (3 4)
a+b
2
b = ( 4 -9 )
c =(3 0)
c – a 2a – 3c
Tegn en likesidet trekant ABC slik at AB = 3 cm
La AB og AC være vektorbasis og tegn følgende vektorer
u = ( 1 2 ) v = ( -1 -1 )
w = ( 1 -3 )
18
1.7
PROJEKSJONER
Vinkel mellom
Vi plasserer vektorene hale mot hale
to vektorer
vinkelen mellom dem defineres som den minst mulige
Notasjon:  = ( a, b )  [ 0 180 ]
a

b
Projeksjon på
Vi skal finne projeksjonen av en vektor a på en linje n
en linje
Vi trekker normaler fra hale og spiss ned til linjen
og en linje m || n gjennom vektorens hale
a

m
n
an : projeksjonen av a på n
Projeksjonens lengde:
| an | = | a | cos 
an har retning langs n
Vi ser at an = a m fordi m || n
Projeksjon på
en vektor
Blir helt tilsvarende:
a

ab
| ab | = | a | cos   ab || b
19
b
Hvis  > 90 defineres det slik:
| ab | = - | a | cos 
Fordi lengden av en vektor
ikke kan være negativ
a

ab
b
Eksempel
ab er projeksjonen av a på b
|ab |= | a | cos 60 = ½ | a |
a
60
ab
b
Hvis  = 120 får vi | ab | = - | a | cos 120 = - | a |  ( -½ ) = ½ | a |
Oppgaver 1.7
1
Finn lengden av projeksjonene
b
|b| =5
30
a
|a|=3
45
2
Finn lengden av projeksjonene ab og ba når | a | = 4 og | b | = 2
b
a
65
a
b
130
b
a
20
1.8
SKALARPRODUKT
Prikkprodukt
Skrives a  b ( prikken må være med ), leses a ”prikk” b
Defineres a  b = | a |  | b |  cos 
a

b
Vi konstaterer at prikkproduktet er et tall  R1
Det kalles også skalarprodukt.
dvs en skalar.
a  b = 0  | a | = 0  | b | = 0   = 90 dvs a  b
Med det vi vet om projeksjoner kan vi slutte at
a  b = a  ba = ab  b
Regneregler for
prikkprodukt
Kommutativ lov - ombyttingsloven :
a  b = | a |  | b |  cos  = | b |  | a |  cos  = b  a
Distributiv lov:
a ( b + c ) = a  b + a  c
Assosiativ lov gjelder ikke ( a  b )  c  a  ( b  c )
( a  b )  c er en vektor || c
a  ( b  c ) er en vektor || a
Divisjon
ba = ca  a  b = a  c
Eksempel
Vi ser at b  c
b
Vi kan altså ikke dividere eller
forkorte med en vektor
c
a
21
a2 = a  a = | a |  | a |  cos 0 = | a |
Kvadrering

Enhetsvektor

a2 
2
a a
Bestemme en enhetsvektor langs vektoren a
dvs en vektor som har lengde 1 og samme retning som a
a
ea
|ea | = 1  ea = ka 
1
a
1
a
| ka | = 1  k | a | = 1  k =   ea =   a
Oppgaver 1.8
1
Regn ut prikkproduktet a  b når vi har
|a|
1
3
0
p
2
4
6
0,5
7
q
Finn ut om disse uttrykkene er tall eller vektorer
2ab
3
|b|
2abc
a(b +c)
(ab)(cd )
Regn ut vinkelen mellom vektorene
ab =6
|a|=3
|b|=8
a  b = -3
|a|=1
|b|=4
Bestem enhetsvektor langs
a= (6 2)
22
b = ( 8 -5 )
( a,b )
45
120
83
60
1.9 PRIKKPRODUKT PÅ KOORDINATFORM
v
u
j
i
u = ( x1 y 1 ) 
v = ( x2 y 2 ) 
u = x1 i + y1 j  v = x2 i + y2 j 
u  v = ( x1 i + y1 j )  ( x2 i + y2 j ) 
x1x2 i2 + ( x1y2 + y1x2 ) i  j + y1y2 j2  i2 = j2 = 1  i  j = 0 
u  v = x1x2 + y1y2
Vinkel mellom
to vektorer
Av overstående følger: u  u = u2 = x12 + y12 
x12  y12
|u|=
Pythagoras’ setning
u
v

 
u v
u  v = | u |  | v |  cos   cos  =   
u v
Med koordinater:
 
u v
cos  =   
u v
x1 x2  y1 y 2
x  y12  x22  y 22
2
1
23
Trekantberegninger
b
c=a-b
a
c=a-b
Kvadrerer: c2 = ( a – b )2 = ( a – b )  ( a – b )
= a2 – a  b - b  a + b2  a  b = b  a
= a2 – 2a  b + b2
Dette kalles Cosinussetningen eller den utvidede Pythagoras
Kvadratsetninger
Cosinussetningen er 2. kvadratsetning for vektorer
De andre kan utledes på tilsvarende måte
1
( a + b )2 = = a2 + 2a  b + b2
2
( a – b )2 = = a2 – 2a  b + b2
3
( a + b )  ( a – b ) = a2 –b2
Disse kan brukes til å finne lengden til en sammensatt vektor
Eksempel
u = 3a + 2b  | a | = 2, | b | = 1, ( a,b ) = 120
u=




 
u 2  (3a  2b ) 2  9a 2  12a  b  4b 2
 9  2 2  12  2 1  cos120  4 12
 36  12  4  28  2 7
24
Projeksjoner
Vi skal nå finne projeksjonen av en vektor på koordinatform
| va | = | v | cos 
v
va || a

 va || ea
når ea er enhetsvektor || a
a
1
a
ea =   a
va
( se 1.9 )
1
a

va = | v | cos     a
Projeksjonen av v = ( 2 1 ) på a = ( -3 1 )  -a = ( 3 -1 )
Eksempel
Bruker -a fordi va har motsatt retning av a
1
a
ea =   -a =
Enhetsvektor:
a
(3  1)
3 1
2
=
(3  1)
10
v

va
 
ea v
cos  =   
ea v
va = | v | cos   ea
va = ( 32
=
=
(3  1) (2 1)

10
2 2  12
 2 2 + 12

=
3  2 1
5
1


10 5
10  5
2
1 (3  1)

= 5
2
10

1 (3  1)

= ½ ( 3 -1 )
2
10
- 12 )
Oppgaver 1.9
1
Bestem a  b og vinkelen mellom a og b og sjekk ved å tegne.
a=(2 3)
b = ( -1 1 )
a = (- 2 5 )
b = (1 3)
2
Bestem t slik at a  b når
3
Finn projeksjonen av vektoren u = ( 2 4 ) på b = ( -2 9 )
a=(2 3)
b = ( -1 –2t 1 + t )
25
a=(0 4)
b = (4 6)
1.10
RETTE LINJER PÅ VEKTORFORM
Rette linjer
Ligninger av typen ax + by = c fremstiller en rett linje i planet ( se 1.1 )
Ligningen kan skrives slik y = kx + d
Hvor k er stigningstallet og d skjæring med y-aksen
y
B
y2 – y1
A
x2 – x1
d
l
x
Vi finner k vha to punkter A og B
A = ( x1 y1 ) og B = ( x2 y2 )

Vektorligning
k
y2  y1
x2  x1
En rett linje er fullstendig bestemt ved en vektor v som er parallell med linja
og et fast punkt P. Q er et vilkårlig punkt på linja.
v
Q
P
linje
p
x
O
v || l  v || PQ  PQ = t  v
Vi kan finne vektoren til Q ved å gå via P ( innskuddssetningen ): OQ = OP + PQ
Vi setter OP = p og PQ = x

x =p+ tv
Dette er vektorligningen for linja, v kalles linjas retningsvektor
26
Parameterfremstilling
Skriver på koordinatform P = ( x0 y0 ), Q = ( x y )
( x y ) = ( x0 y0 ) + t ( v1 v2 )

x = x0 + v1t
y = y0 + v2t
Eksempel 1
Finne vektorligningen for en linje som går gjennom punktet ( 1 7 )
og har retningsvektor a = ( -1 3 )
setter inn i
x = p + t  v  x = ( 1 7 ) + t ( -1 3 )
Parameterfremstilling:
Eksempel 2
x=1–t
y = 7 + 3t
En linje går gjennom punktene P = ( 2 -2 ), Q = ( 3 1 )
Retningsvektor for linja: PQ = ( 3 – 2 1 + 2 ) = ( 1 3 )
setter inn i
x = p + t  v ( bruker P ) x = ( 2 -2 ) + t (1 3 )
Parameterfremstilling:
Eksempel
x=2+t
y = -2 + 3t
Finne skjæringspunkt mellom de to linjene i eksemplene over:
NB! t vil ikke være den samme i de to ligningene derfor må vi skifte navn på den ene
f eks slik
x=1–t
y = 7 + 3t
x= 2+s
y = -2 + 3s
Skjæringspunktet har samme x og y
1 – t = 2 + s  3  3 – 3 t = 6 + 3s  6s = 6  s = 1
7 + 3t = - 2 + 3s
7 + 3t = -2 + 3 s
 skjæringspunkt
x=2+1=3
y = -2 + 3 1 = 1
Sjekk: 3 = 1 – t  t = -2
1 = 7 + 3t  t = -2
27
Stemmer fordi vi får samme verdi for t
Sammenligning
med linje gitt på formen y = kx + b
B=(1 k+b)
A=(0 b)
retningsvektor for linja: AB = ( 1 k )  vektorform: x = ( 0 b ) + t ( 1 k )
Eksempel 1
Linja y = 2x – 3 skrevet på vektorform:
retningsvektor ( 1 2 ) punkt på linja ( 0 -3 )
setter inn i
x = p + t  v  x = ( 0 -3 ) + t (1 2 )
Parameterfremstilling:
Sammenligning
x=t
y = -3 + 2t
med linje gitt som ax + by = c 
a
c
a
y   x   retningsvektor || ( 1 - )
b
b
b
Vi prøver og unngå brøker og velger retningsvektor v = ( -b a )
Vektoren n = ( a b )  v fordi
n  v = ( a b)  ( -b a ) = -ab + ab = 0
derfor kalles n normalvektor til linjen
n
v
ax + by = c
Skjæring med y-aksen: y =
Linja på vektorform: x = ( 0
c
b
 punkt på linja er ( 0
c
b
) + t ( -b a )
28
c
b
)
Eksempel
Linja 4x + 3y = 6 skrevet på vektorform:
retningsvektor ( -3 4 ) punkt på linja ( 0 2 )
setter inn i
x = p + t  v  x = ( 0 2 ) + t ( -3 4 )
Parameterfremstilling:
Eksempel
x = -3t
y = 2 + 4t
Overgang fra vektorligning/parameterfremstilling til formen ax + by = c eller y = kx + b
Linje
x = ( 5 -2 ) + t ( 4 -1 )
eller
x = 5 + 4t
y = -2 - t
normalvektor for linja n = ( 1 4 )  x + 4y = c
Setter inn punktet ( 5 -2 ):
5 + 4( -2) = -3 = c
 Ligning for linja:
x + 4y = -3
eller
y=-
Vinkel mellom to linjer Den minste vinkelen som to linjer danner med hverandre
dvs   [ 0 90 ]
u

m
n
v
Hvis retningsvektorene ligger som vist på figuren
( m,n) = ( u,v ) = 
 
u v
cos  =  
u v
29
1
4
x - 34

m

u
v
n
Hvis retningsvektorene ligger som vist på denne figuren
regner vi først ut vinkelen mellom vektorene
 
u v
cos  =  
u v
og finner så vinkelen mellom linjene: ( m,n ) = 180 - 
Eksempel
Finn vinkelen mellom linjene x = ( 0 1 ) + t ( 3 -4 ) og x = ( 5 4 ) + t ( -2 1 )
vinkelen  mellom linjenes retningsvektorer ( 3 -4 ) og (- 2 1 ):
cos  =
3
4   2 1
32  4 2  2 2  12
=
3  (2)  (4) 1  10  2
=
=
  = 153,4
5 5
25  5
5
 vinkel mellom linjene er 180 – 153,4 = 26,6
Avstand fra et
avstand fra et punkt til en linje er lengden av
punkt til en linje
normalen fra punktet P = ( x0 y0 ) til linja
P
d
QP = ( x0 – x y0 – y )
en
Q=(x y)
Linjas ligning:
ax + by = c  Normalvektor n = ( a b )

a b 
n
Enhetsvektor langs n : en =  
n
a2  b2
30
Utledning
den = QP
prikker med en på begge sider
den  en = QP en  en  en = 1
d = QP en = ( x0 – x y0 – y ) 
d=
d=
d=
1
a2  b2
1
a
b
a2  b2
( ax0 – ax + by0 – by )
( ax0 + by0 - ( ax +by ))  ax + by = c
a2  b2
ax0  by0  c
a2  b2
Hvis P ligger på samme side som n peker blir d > 0
Hvis P ligger på motsatt side blir d < 0  i absoluttverditegn
d=
Eksempel
ax0  by0  c
a2  b2
Finn avstanden fra punktet A = ( 2 5 ) til linja 2x + 3y = 4
d=
2 x0  3 y 0  4
2 3
2
2
=
2  2  35  4
49

15
 4,16
13
Oppgaver 1.10
1
Skriv opp vektorligning og parameterfremstilling for de to linjene m og n
m går gjennom punktet P = ( -3 2 ) og har retningsvektor u = ( 4 1 )
n går gjennom punktet Q = ( 5 0 ) og har retningsvektor v = ( 0 -2 )
Finn skjæringspunktet mellom linjene og vinkelen mellom dem
2
Skriv linja x = ( 2 -1 ) + t ( 3 2 ) på formen ax + by = c og y = kx + b
Beregn avstanden fra punktet D = ( -1 -4 ) til linja.
3
Linja l går gjennom punktene A = ( 5 2 ) og B = ( 3 -3 )
Finn vektorligning og parameterfremstilling
Finn linjas skjæring med koordinataksene
31
4
En linje er gitt ved x = ( 4 3 ) + t ( -2 1 )
Finn projeksjonen av vektoren a = ( 5 3 ) på linja
5
En linje er gitt ved 3x + 5y = 4
Skriv linja på parameterform
Finn koordinatene til en vektor som har lengden 4 og står vinkelrett på linja
6
En linje m er gitt ved parameterfremstillingen x = 2 + 3t
y= 5–t
Finn ligningen for en linje n som som går gjennom punktet ( 3 -2 ) og står vinkelrett på m
Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene
32