Transcript DM - Arnaud Jobin

ECE2-B
2014-2015
Suites implicites : étude assistée par Scilab
I Dans votre dossier Info_2a, créez le dossier DM.
I. Lecture graphique de propriétés
Soit n ∈ N∗ . On considère la fonction fn définie sur R par : fn (x) = nx3 + n2 x − 2.
I Dresser le tableau de variation de la fonction fn .
En déduire que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution sur R (citez précisément le
théorème utilisé). Par la suite, on notera αn cette solution.
I Donnez la valeur de α1 .
On dispose des programmes Scilab suivants.
// La fonction du DM - 2a
function y = f(x, n)
y = n?x∧ 3 + n∧ 2?x - 2
endfunction
// Un script d’affichage
scf();
a = gca();
n = input("Entrez un entier n : ");
X = linspace(-1,6);
a.x_location = "origin";
a.y_location = "origin";
for k = 1:n
Y = f(X,k);
plot2d(X,Y,k);
end
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I Récupérez les fichiers f.sci et implicite.sce et enregitrez-le dans le dossier DM. Ouvrez ensuite
ces éléments dans l’éditeur SciNotes et exécutez-le (touche F5).
I Rappelez l’utilité de l’argument k dans l’appel plot2d(X,Y,k).
I Décommentez les commandes drawlater(), sleep(500) et drawnow() du script.
Expliquez leur utilité. (on introduit ici ces commandes mais elles ne sont pas à connaître)
I Décommentez les commandes a.auto_scale et a.data_bounds du script.
Expliquez leur utilité. (ces commandes ne sont pas officiellement au programme)
I Que représentent les courbes affichées par le script ?
Où peut-on lire les valeurs de la suite (αn ) ?
I À la suite de ces lectures graphiques, émettre des hypothèses quant aux propriétés générales
de la suite (αn ) (bornes, monotonie, convergence, valeur de l’éventuelle limite α).
•
Monotonie :
•
Bornes :
•
Convergence :
•
Valeur approchée de α, limite de la suite (αn ) :
Expliquez brièvement votre démarche expérimentale (notamment le choix des n qui
ont permis d’effectuer ces hypothèses).
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II. Démonstration des conjectures
I Démontrez votre conjecture sur les bornes de la suite (αn ).
Pour n ∈ N∗ , on pourra calculer fn (0) et fn (1) (on citera précisément le théorème utilisé).
I Démontrez votre conjecture sur la monotonie de la suite (αn ).
On pourra raisonner par l’absurde après avoir démontré l’égalité :
3
3
∀n ∈ N∗ , (αn+1
− αn3 ) × n + (αn+1 − αn ) × n2 + 2n × αn+1 + αn+1 + αn+1
=0
I En déduire que la suite (αn ) est convergente vers un réel α ∈ [0, 1].
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III. Calcul approché de la limite de la suite (αn )
On dispose de la fonction Scilab suivante.
// Calcul approché de la valeur de alpha_n
function res = calculApproche(a, b, n, eps)
c = (a+b)/2;
while abs(a-b) >= eps
if f(a,n)?f(c,n) <= 0 then
b = c
else
a = c
end
c = (a+b)/2;
end
res = c
endfunction
I Récupérez le fichier calculApproche.sci et enregitrez-le dans le dossier DM. Ouvrez ensuite cet
éléments dans l’éditeur SciNotes et exécutez-le (touche F5).
I La fonction calculApproche illustre une méthode de calcul approché.
Comment se nomme cette méthode ? Expliquer brièvement son fonctionnement.
On précisera notamment le rôle des variables a, b et c.
I Que contient la variable res à la fin de l’exécution ?
Peut-on remplacer la dernière affectation par res = a ? Par res = b ?
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On considère enfin le programme Scilab suivant.
eps = input("Entrez la valeur de eps : ");
prec = input("Entrez la valeur de prec : ");
u = calculApproche(0,1,1,eps);
v = calculApproche(0,1,2,eps);
i = 2;
while abs(u-v) >= prec
i = i+1,
u = v;
v = calculApproche(0,1,i,eps);
end
disp(v);
disp(i);
I Récupérez le fichier alpha_approche.sce et enregitrez-le dans le dossier DM. Ouvrez ensuite
cet élément dans l’éditeur SciNotes et exécutez-le (touche F5).
I Le but de ce programme est de calculer une valeur approchée de la valeur α par calculs
successifs des valeurs de la suite (αn ). Quel est le critère choisi pour arrêter l’itération ?
Commentez ce choix.
I Que contient la variable i à la fin de l’exécution ?
I En vous aidant de ce programme, donnez une valeur approchée de α.
Expliquez brièvement votre démarche expérimentale (notamment les choix des eps et prec).
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I Démontrez que : ∀n ∈ N∗ ,
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αn3
+ αn = 2 .
n
n
I En déduire la valeur de α.
I Déduire aussi de l’égalité précédente la nature de la série
P
αn .
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