Transcript Örnek - WordPress.com

KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMİ
KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMİ
KÜMELERDE FARK İŞLEMİ
KÜMELERDE TÜMLEME İŞLEMİ
1
Tuvalet
Banyo
Fırat’ın
Odası
Mutfak
Hol
Cengiz’in
Odası
Salon
Üniversite öğrencisi olan Fırat ve Cengiz aynı evde
kalıyorlar. Evin planı yandaki gibidir. İki arkadaştan her biri şekildeki
gibi birer odayı kendilerine alarak yerleşmişlerdir. Buna göre evde
ortak kullanılan bölümler hangileridir?
Sadece Fırat’a ait olan bölümleri ve sadece Cengiz’e ait
olan bölümleri söyleyiniz. Evde Fırat’ın yada Cengiz’in kullandığı
tüm bölümleri söyleyiniz.
2
Aysel hanım misafirleri için yemek hazırlayacaktır. Mutfağa gittiğinde
elindeki malzemelerle sadece patlıcan ve fasulye yemeği pişirebileceğini görür. Çünkü
evdeki domates, soğan ve biber bir yemek için yeterlidir.
evde bulunan malzemeler
patlıcan, domates, soğan,
Biber, fasulye, dolmalık biber
,sarımsak, salatalık, yağ
patlıcan yemeği için
fasulye için gerekli
gerekli malzemeler
malzemeler
patlıcan, domates
fasulye, domates, biber,
biber, soğan, sarımsak
soğan, yağ
yağ
a) Listeye göre ortak kullanılabilecek malzemeler hangileridir?
b) Her iki yemek için gerekli olan tüm malzemeler hangileridir?
c) Patlıcan yemeğinde kullanılıp fasulye yemeğinde kullanılmayan malzemeler
nelerdir?
d) Aysel hanımın evindeki malzemelerden patlıcan veya fasulye yemeğinde
kullanılmayan malzemeler hangileridir?
3
Yukarıdaki örnekte mutfakta bulunan
malzemelerin kümesi E ile patlıcan
yemeği için gerekli malzemeler A ile,
fasulye
yemeği
için
gerekli
malzemeler B ile gösterilmiştir. Bu
kümenin
elemanlarını
yandaki
tabloda uygun yerlere yerleştiriniz.
E
A
.
.
.
.
İki kümenin birleşimi bu iki kümenin
tüm elemanlarından oluşur. Birleşim
işlemi “∪” sembolüyle gösterilir. A ve
B gibi iki kümenin birleşimi sembolle
“A ∪ B” biçiminde gösterilir, “A
birleşim B” diye okunur.
4
.
.domates
.
.biber
B
.
İki kümenin ortak elemanlarının
oluşturduğu küme, bu kumelerin
kesişim kümesidir.
Kesişim işlemi “∩” ile gösterilir. A ve
B gibi iki kümenin kesişimi sembolle
“A ∩ B” biçiminde gösterilir, “A
kesişim B” diye okunur.
KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMLERİ
Örnek: C = {z, t} ve D = {3, t, z} kümeleri veriliyor. C ∪D ve
D∪C kümelerini bulup karşılaştıralım.
Çözüm: C ve D’ nin ortak elemanları vardır. Bu elemanlar
birleşim kümesine yalnız bir kez yazılmalıdır. O halde;
C ∪ D = {z, t} ∪ {3, t, z} = {z, t, 3} olur.
D ∪ C = {3, t, z} ∪ {z, t} = {3, t, z} olur. Buradan, C ∪ D = D ∪
C olduğu görülür. Buradan şu sonuç çıkmaktadır;
Kümelerde birleşim işleminin değişme özelliği vardır.
5
GERİ
Örnek:B={2,3,4} , C={1,2,5} , D={5,6}
işlemini inceleyelim:
kümelerinin birleşim
Çözüm:
B ∪ (C ∪ D)= {2, 3, 4} ∪ ({1, 2, 5} ∪ {5, 6})
= {2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5, 6}
= {2, 3, 4, 1, 5, 6} olur.
(B ∪ C) ∪ D= ({2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5}) ∪ {5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Buradan,
B ∪ (C ∪ D)= (B ∪ C) ∪ D olduğu görülür.
Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
6
Örnek: M = {m, n} ve P = { } kümeleri veriliyor.
M∪P kümesini bulalım.
Çözüm: M∪ P = {m, n} ∪ { } = {m, n} olur.
Bir kümenin boş kümeyle birleşimi, o kümeye eşittir.
Örnek: K = {x, y, z} olsun K ∪ K kümesini bulalım.
Çözüm: K∪ K= {x, y, z} ∪ {x, y, z}
= {x, y, z} olur.
Bir kümenin kendisi ile birleşimi, o kümenin kendisine eşittir.
7
KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMLERİ
Örnek: L = {s, t, u} ve K = { k, t, p, s}
kümeleri veriliyor. L∩K ve K∩L
kümelerini bulalım. Bu kümeleri
karşılaştıralım.
Çözüm: L∩K = {s, t, u} ∩{k, t, p, s} = {s,
t} olur.
K∩L = {k, t, p, s} ∩{s, t, u} = {t, s} olur.
Buradan,
L∩K = K∩L olduğu görülür. Buradan;
L
K
.u
.t
.s
.t
.s
Kümelerde kesişim işleminin değişme özelliği vardır.
8
GERİ
.p
.k
Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 6} ve C = {4,5, 6} kümeleri verilsin.
A∩(B∩C) ve (A∩B)∩C kümelerini bulalım.
Çözüm: A∩(B∩C) = {1, 2, 3, 4} ∩ ({2, 3, 4, 6} ∩ {4, 5, 6})
= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 6}
= {4} olur.
(A∩B)∩C = ({1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 4, 6}) ∩ {4, 5, 6}
= {2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6}
= {4} olur. Buradan,
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C olduğu görülür. Buradan;
Kümelerde kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.
9
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {e, f} kümeleri verilsin. A∩ B kümesini
bulalım:
Çözüm: A ∩ B = {a, b, c} ∩ {e, f}
=
ø
olur. Buradan;
Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.
Ayrık kümelerin kesişim kümesi boş kümedir.
Örnek: C = {c, d} ve D = { } verilsin. C∩D kümesini
yazalım.
Çözüm: C∩D = { c, d} ∩ { } = ø olur.
C ve D ’nin ortak elemanı yoktur. Buradan;
Bir kümenin boş küme ile kesişimi, boş kümedir.
10
Örnek: A = {a, b} kümesinin kendisiyle kesişimini
bulalım.
Çözüm: A∩A = {a, b} ∩ {a, b} = {a, b} olur.
Bir kümenin kendisiyle kesişimi, bu kümeye eşittir.
11
Yandaki resmi inceleyerek
aşağıdaki soruları
cevaplayınız.
Masanın üzerinde neler
var?
Odada masanın üzerinde
olmayan neler var?
Odanın içinde neler var?
12
Bu örnekte kümeler konusunu düşünerek oda neyi temsil eder?
Masanın üzerindeki eşyalar neyi temsil eder?
Odanın içinde bulunup masanın üzerinde olmayanlar neyi temsil
eder?
Odayı temsil eden kümeye E diyelim. Masanın üzerindeki elemanlara A
diyelim.
E
13
A
Odada olup masada olmayan
elemanlar A kümesinin
tümleyenidir. Yada A kümesinin
farkıdır. (E/A) diye gösterilir.
KÜMELERDE FARK İŞLEMİ
14
GERİ
İki kümenin fark kümesi, bir kümede olup diğerinde
olmayan elemanlardan oluşur.
Kümelerde fark işlemi “ \” sembolüyle gösterilir.
15
Örnek: Yandaki şemaya göre K \ D kümesini bulalım.
Çözüm: Once D ve K’nin elemanlarını liste
yöntemiyle yazalım:
D = {a, b, t, s, z} ve K = {t, s} olur.
K’nin elemanları aynı zamanda D’nin de
elemanlarıdır.Yani K’de olup da D’de olmayan
eleman yoktur. Böylece K \ D = ø bulunur.
D\K = {a, b, z} Böylece K/D ≠ D/K olur.
Fark işleminin değişme özelliği yoktur.
16
D
.a
.b
K
.z
.t
.s
TÜMLEME İŞLEMİ
17
GERİ
Evrensel kümeyle bir kümenin farkına, o
kümenin tümleyeni denir. Bir kümeyle,
tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi verir.
18
Örnek: E = {a, b, c, 1, 2, e} ve A = {2, a, e} kümeleri verilsin. Bu iki
kümeyi Venn şemasında gösterelim.
Çözüm: A kümesinin elemanlarının hepsi E kümesinin içindedir.
Buna göre şema şöyle olmalıdır:
E
A
.2
.a
.e
.b
19
.c
.l
Venn şemasında boyalı olarak
verilen küme A kümesinin
tümleyenidir. A kümesinin
tümleyeni sembolle “A′”
şeklinde gösterilir.
ALIŞTIRMALAR
1. A = {1, 3, 5} , B = {8, 4, 1} ve C = {1, 3, 4, 7} kümeleri
veriliyor. Buna göre; Aşağıdaki işlemleri liste yöntemi ile
yazınız.
a) A ∩ B, A\C, B ∪ C, A ∩ B ∩ C
b) s(A ∩ B) = ?
c) s(A ∩ B ∩ C) = ?
d) s(B\C) = ?
2. 51 kişinin çalıştığı bir şirkette çalışanlar Fransızca ve
ingilizce dillerinden en az birini bilmektedir. 7 kişi hem Fransızca
hem ingilizce ,18 kişi ise sadece ingilizce bildi.ine göre Fransızca
bilenlerin kaç kişi olduğunu bulunuz.
20
3. 31 kişilik bir sınıfta yapılan matematik ve ingilizce sınavlarının
sonuçları aşağıdaki gibidir:
- Matematik sınavından 14 kişi geçer not almıştır.
- İngilizce sınavından 21 kişi geçer not almıştır.
- Matematikten geçer not alanların 2’si ingilizceden geçer not
alamamıştır. Verilenlere göre:
a) Yalnız matematikten geçer not alanların sayısı kaçtır?
b) Her iki dersten geçer not alanlarla geçer not alamayanlar
toplamı kaç kişidir?
21
4. Bir pastane sahibi iki saat boyunca kahve ve cay içen
müşterilerin sayısını 36 olarak bulmuştur. Çay içen müşterilerin
sayısı kahve içen müşterilerin sayısının 2 katıdır. 3 müşteri hem
çay hem de kahve içtiğine göre;
a) Bu durumu gösteren Venn şemasını çiziniz.
b) Kaç kişi kahve içmiştir?
c) Kac kişi sadece kahve icmiştir?
d) Kaç kişi sadece cay içmiştir?
5. Bir pideci gün sonunda 20 tane Kaşarlı, 16 tane kıymalı pide
satmıştır. Toplamda 32 kişiye pide sattığına göre,
a) Kac kişi hem kaşarlı hem de kıymalı pide almıştır?
b) Kaç kişi yalnızca kaşarlı pide almıştır?
c) Kaç kişi yalnızca kıymalı pide almıştır?
d) Kaşarlı pide almayan kaç kişi vardır?
22
23
24
ADI: ÖZGE
SOYADI: ARI
SINIF: 2-B
NUMARA: 110403096
BÖLÜM: İLKÖĞRETİM MATEMATİK
ÖĞRETMENLİĞİ (I.ÖĞRETİM)
25