(AB)C=A(BC) (AB)C =ABC

Transcript (AB)C=A(BC) (AB)C =ABC

IV. Küme Teorisi Ve Olasılık Hesapları

•

Küme Kavramı

benzer Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde bulunan birimlere eleman adı verilmektedir.

• Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle, elemanlar ise a, b, c, gibi küçük harflerle gösterilirler. Kümelere, takım sınıf, cümle, set gibi isimler de verilmektedir.

• • Eğer herhangi bir a elemanı, herhangi bir B kümesine ait ise bu ifade şöyle yazılabilir. a  B • • Eğer a, B nin elemanı değilse a  B şeklinde yazılır.

• • • • •

Kümelerle İlgili Kavramlar

Bir

birim

Kümenin içinde sadece bir eleman varsa böyle kümelere

küme

adı verilir.

ya Eğer A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A B’nin

alt

Yani x

küme

si denir.

 veya B  A (A A x  B ise A, küme kendisinin bir alt kümesidir. A 

Hiçbir elemanı olmayan kümeye veya  ={} A B’nin alt kümesidir, ve A  B kapsanır B veya B kapsar A) şeklinde gösterilir. Her

boş küme

adı verilir ve  şeklinde gösterilir. Mesela “elma sepetinden alınan portakallar ise C=  kümesi” boş bir kümedir. Eğer C={x; x= 4, x tek sayı} olur.

Boş küme her kümenin bir alt kümesidir. Yani  A vs.

İncelemeye konu olan bütün kümelerin oluşturduğu kümeye

evrensel (universal) küme

denir ve büyük harf U ile gösterilir.

Mesela nüfus sayımı çalışmalarında evrensel küme, dünyada yaşayan bütün insanların oluşturduğu kümedir.

A= U= {Türkiye’de yaşayan insanlar} {Dünyada yaşayan insanlar} A  U

• •

5 Eşit küme:

İki küme aynı elemanlara sahip ise birbirlerine eşit olurlar. Bunu şöyle yazabiliriz.

–

A  B ve B Her  A ise A=B • Mesela A={a,b} ve B={b,a} ise A=B olur. Bu tanıma göre Küme kendisine eşittir ve bu bütün kümeler için doğrudur. A=A – –

b) c)

A=B ise B=A olur [simetri A=B ve B=C ise A=C olur özelliği] [geçişlilik özelliği] • • •

A, B, C gibi herhangi A  B ve B  C ise A üç küme için  C dir.

[geçişlilik]

Sınırlı sayıda eleman içeren kümelere

sınırlı küme

denir.

• Örnek: A={X:x alfabedeki sesli harfler } • Bir küme içindeki elemanlar sayılamayacak kadar çok ise böyle kümelere

sınırsız küme

adı verilir.

•

Eşlenik Küme: Elemanları arasında bire bir karşılaşma olan kümelere • Örnek: A = {1,2,3,} ve B={2,4,6} ise bu kümeler eşleniktir. Çünkü A’daki her sayıya B kümesinde iki katı bir sayı karşılık gelmektedir .

eşlenik küme

denir.

• • •

9- Kuvvet Kümesi

: Sınırlı sayıda eleman içeren bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye

Kuvvet Kümesi

denir.

A sınırlı sayıda eleman içeren bir küme ise kuvvet kümesi

P A

şeklinde gösterilir.

• Örnek: A={1,2,3} olsun. Bu kümenin kuvvet kümesi • •

Teorem

P A P A ={  , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} ’nın 2 n A kümesi n sayıda eleman içeren sınırlı bir küme ise sayıda elemanı olur, ya da 2 n tane alt kümesi olur.

• Yukarıdaki örnekte A’nın 3 elemanı vardı öyleyse A kümesinin 2 3 =8 alt kümesi olur.

Küme İşlemleri Venn Diyagramları:

U evrensel kümesi genellikle bir dikdörtgenle gösterilir. U’nun alt kümeleri dairelerle gösterilir. Kümeler arasındaki bu ilişkiyi geometrik şekillerle gösteren diyagramlara Venn diyagramları adı verilir.

•

Bileşim işlemi:

olsun. A ve A ve B tesadüfi olarak verilmiştir iki küme B’nin bileşimi A  B şeklinde gösterilir ve böylece yeni bir küme teşkil edilmiş olur. Bu küme, A ve B’nin (veya hem A ve hem de B’nin ikisini birden) elemanlarına sahiptir.

• Yani; A  B={X:x  A ve/veya diyagramı ile şöyle gösterilir.

x  B} Bu işlem Venn Şekildeki taralı alan A  B’yi vermektedir.

•

Kesişim:

Ortak hem de ve B’ kümelerinin kesişimini verir ve A  B Yani A  B’nin ortak elemanlarının meydana getirdiği küme A B={X:x  A ve x  B} şeklinde gösterilir.

Şekilde taralı alan A  B’yi göstermektedir.

elemanların oluşturduğu kümedir. Hem A, •

Ayrık küme:

A  B=  ise yani A ve B elemanları yoksa bu tip kümelere Kümelerinin ortak

Ayrık Küme

adı verilir.

Aşağıdaki şekilde ayrık bir küme görülmektedir.

•

İki Kümenin Farkı:

A’ya ait olup ta B’ye ait olmayan elemanların teşkil ettiği küme A’nın B’den farkı adını alır ve A-B veya A\B şeklinde gösterilir. Şekildeki taralı alan bu farkı göstermektedir.

• A - B = A\B = {X: x  A ; x  B} •

Tamamlayan Küme:

Tamamlayıcı küme mutlak ve izafi tamamlayıcı küme olmak üzere iki şekilde ele alınır. Mutlak tamamlayıcı küme evrensel kümeye göre ifade edilen bir küme olup A gibi bir kümenin tamamlayıcısı A’, A yazılır. A’ =A c = U-A = { X: x  U ve x  A } olur.

c veya  A şeklinde

• •

İzafi tamamlayıcılık

ise bir üst kümeye göre olan tamamlayıcılıktır. B kümesi A nin alt kümesi ise, yani B  A ise B nın A ye göre tamamlayıcısı;

B A c

= { X: x  A ve x  B } şeklinde yazılır ve aşağıdaki gibi gösterilir.

B c A • A  B’nin tamamlayıcısı ise (A  B) c yazılır.

veya (A  B) ’ şeklinde

Küme Aritmetiği

• Yukarıdaki küme işlemlerinden faydalanarak küme aritmetiği ile ilgili aşağıdaki kurallara ulaşmak mümkündür.

• Kuralın adı Birleşim Kesişim

Yansıma (idempotent) A



A=A A



A=A Birleşme (associative) (A



C=A



C) (A



C=A



C) (A



C =A



C (A



C=A



C Değişme (commutative) A



B=B



A A



B=B



A Dağılma (distributive) A





C)=(A







C) A





C)=(A







C) Özdeşlik (identity) A



=A A





Özdeşlik (identity) A



U=U Tamamlayıcılık (complement) A



A c =U Tamamlayıcılık (complement) (A c ) c De Morgan =A (A



B) c =A c



B c A A



U=A



A c =



U c =



c =U (A



B) c =A c



B c

Sayma Teknikleri

• Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun zaman alır ve bazı hallerde doğrudan saymak mümkün olmaz. Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational analysis) adı verilir.

• SAÜ fakültelerinde eğitim gören öğrencilerin cinsiyet ve öğrenim gördüğü fakülte yönünden sınıflandırılması halinde kaç farklı durumun olacağını belirleyelim.

• Cinsiyet vasfının kız ve erkek olmak üzere iki şıkkı vardır.

• Fakülte vasfının mühendislik, İİBF, Fen edebiyat, Teknik eğitim, Eğitim ve İlahiyat olmak üzere 6 şıkkı vardır. Buna göre

ağaç diyagramı

çizildiğinde SAÜ öğrencilerinin bu vasıflara göre kaç farklı durumda olduğu görülebilir.

Ağaç diyagramı

• Ağaç diyagramı ile sayma • Yandaki ağaç diyagramından öğrencilerin cinsiyet ve fakülte vasfının şıklarına göre 12 farklı durumda bulunduğu anlaşılmaktadır.

• 2 cinsiyet, 6 fakülte • 2*6 = 12 durum

• • Yukarıdaki ağaç diyagramından hareketle aşağıdaki sayma kuralına ulaşabiliriz.

Çarpım Kuralı:

içeriyorsa, A 1 ’in bir elemanı ile A 2 ’nin bir elemanını seçmenin n n 1 x n 2 1 x n 2 A 1 ve A 2 kümeleri sırasıyla n 1 ve n 2 eleman değişik yolu vardır. Yani iki olay aynı anda değişik şekilde meydana gelir.

• • Bir başka örnek İstanbul’dan Ankara’ya 3 yoldan (kara hava-demiryolu), Ankara’dan Konya’ya 3 yoldan (kara, hava, Ankara demiryolu) gidilebiliyorsa İstanbul’dan Konya’ya bağlantılı olmak üzere 3x3=9 değişik yoldan gidilebilir.

• Küme sayısı ikiden çok olduğu zaman yukarıdaki kural aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir.

Çarpım Kuralının

kümeleri sırasıyla n 1

Genelleştirilmesi:

, n 2 ,......., n k eleman A 1 , A 2 ,.......,A içeriyorsa, önce A 1 ’in bir, sonra A 2 ’nin bir, sonra A 3 ,........, A k ’nin bir k elemanını seçmenin n 1 xn 2 xn 3 x ,......., xn k vardır. Yani k olay bir arada n 1 x n 2 x........x n k meydana gelir.

değişik yolu farklı şekilde

•

Örnek

: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap şıkkı varsa bir öğrenci bu 5 soruyu kaç farklı şekilde cevaplandırır.

• 5x5x5x5x5 = 5 5 = 3125 değişik şekilde işaretleyebilir.

• Bu işaretleme hallerinden sadece birinde tüm cevaplar doğru olur. (1x1x1x1x1=1) 4x4x4x4x4= 4 5 = 1024 halde ise bütün cevaplar yanlış olur.

• Öğrencinin

4 soruyu

mümkün olur?

doğru

cevaplaması kaç farklı şekilde 5x4=20 şekilde mümkündür. (1.soru yanlış diğer şıkların doğru olması 4x1x1x1x1 olup diğer 5 soru da böyle olur)

3 sorunun 2 sorunun doğru doğru

cevaplanması (1x1x1x4x4)x10=160 cevaplanması (1x1x4x4x4)x10=640

1 sorunun doğru

cevaplanması (1x4x4x4x4)x5= 1280 şekilde mümkündür.

• Ardışık aynı şıkkın doğru olduğu bir soru bulunmadığına göre kaç farklı cevap anahtarı oluşturulabilir İlk şık 5 farklı şekilde işaretlenirken diğer şıklarda işaretlenebilecek şık sayısı 4 e düşer. Bu durumda: 5x4x4x4x4=5x4 4 =1280 cevap anahtarı oluşturulabilir.

Örnek

: {1,2,3,4,5} kümesindeki rakamlar kullanılarak seçim iadeli olmak üzere 3 haneli; Kaç sayı oluşturulabilir?

5x5x5=125 Kaç çift sayı oluşturulabilir?

5x5x2=50 300’den büyük kaç çift sayı oluşturulabilir?

3x5x2=30 Sayılardan kaç tanesi 2 ile başlar 5 ile biter?

1x5x1=5 Seçim iadesiz olmak üzere kaç sayı oluşturulabilir?

5x4x3=60

Permütasyon

• n Elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek sıra önemli olmak kaydıyla sıralanması halinde bunun kaç farklı şekilde sıralandığını gösteren sayıya

permütasyon

adı verilir ve şöyle formüle edilir;

Pr 

P r n



 (

 1 )  (

 2 )    [

 (

 1 )] 

Pr 

(



• Burada (!) işareti

faktöriyel

olarak adlandırılır ve bunun altındaki bütün pozitif tam sayıların çarpılacağı anlamına gelir. n! = n.(n-1).(n-2)......2.1 olarak 0!=1 ’e eşittir.

yazılır Özel olarak • n çok büyük olduğu zaman n!’in hesaplanması zor olacağından stirling formülü olarak tanımlanan aşağıdaki formül kullanılmaktadır.

   0



x x n dx

 ( 2

 1 3 ) 

n e n

• • • • Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte, uygulamada dikkat edilmesi gereken doğrudan uygulamak mümkündür.

bazı durumlar vardır.

Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyonu

Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır,

Herhangi bir eleman getirilmemelidir,

kullanılmamalıdır.

Hiçbir eleman bir için hiçbir kısıtlama defadan fazla • Örnek:

P 4 = 5.

n P 3 ise n’in değeri nedir?

• • Çözüm:

n P

4  5 

n P

3 

(

 4 )!

 5 

(

 3 )!



(

 1 )(

 2 )(

 3 )(

 4 )!

(

 4 )!

 5 

(

 1 )(

 2 )( (

 3 )!

(n-3) = 5  n = 8 olur.

Örnek:

10 farklı ampul a)10 farklı yere kaç değişik şekilde takılabilir?

b) 5 farklı yere kaç değişik şekilde takılabilir?

Çözüm:

a) 10!= 3628800 b)

5 

10 !

( 10



5 )!



30240

• Örnek: Bir rafta birbirinden Fizik ve 3 tane Kimya farklı 5 tane Matematik, 2 tane kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir?

• Çözüm: 5 Matematik kitabını 1 kitap, 2 Fizik kitabını 1 kitap ve 3 Kimya kitabı da 1 kitap olarak düşünülürse, bunlar 3!

şeklinde sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Fizik kitabı kendi arasında 2! ve 3 Kimya kitabı da kendi arasında 3! şeklinde sıralanabilir. Şu halde kitaplar bir rafa; • 3!*5!*2!*3! = 8640 farklı şekilde sıralanır.

• Örnek: hangisine 8! = a eşittir?

ise ( 10!

– 9! ) ifadesi aşağıdakilerden • Çözüm 10! – 9! = 10 * 9! – 9! = 9! ( 10 – 1) = 9! * 9 bu ifade = 9 * 8! * 9 şeklinde yazılırsa, = 81 * 8! = 81 a olur.

• Örnek: 4 farklı istatistik ve 5 farklı matematik kitabı, matematik kitapları birbirinden ayrılmamak üzere bir rafa kaç değişik biçimde dizilebilir?

• Çözüm: Matematik kitapları birbirinden ayrılmayacağı için hepsi bir kitap olarak düşünülebilir.

• Bu durumda 5 kitap 5! şekilde sıralanır. Ayrıca 5 matematik kitabı da kendi arasında 5! şekilde sıralanır. O halde tüm sıralamalar; • • • 5! . 5! = 120 . 120 = 14.400 olur .

Örnek:

20 kişinin katıldığı bir şiir yarışmada ilk üç dereceye girenler farklı şekillerde ödüllendirileceklerdir. Yarışma kaç değişik şekilde sonuçlanabilir?

Çözüm:

Örnekte her derecenin farklı ödülü olduğuna göre sıra önemli olduğundan permütasyon uygulanması gerekir.

3  ( 20 20  !

3 )!

 20 17 !

 20  19  17 18 !

 17 !

 20  19  18  6840

Tekrarlı permütasyon • n eleman içeren bir kümede r 1 eleman birbirinin aynısı,...... r k elemanın Permütasyon sayısı eleman birbirinin eleman birbirinin aynısı, r 2 aynısı ise n

•

1 !

r 2 !.....

r k

şeklinde hesaplanır.

• Örnek: ÇANAKKALE kelimesinin harfleri ile kaç farklı kelime yazılabilir?

• • Çözüm: Kelimede A, 3 kez tekrarlanmış, K, 2 kez tekrarlanmış, n = 9 (harf sayısı) olduğuna göre;

!

r

!.....

r k

!



9 !

3 !



2 !



30240 olur.

Problem:

Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye 3 farklı test verilecektir. Her testi alan öğrenci sayısı aynıdır. Dağıtım kaç farklı şekilde gerçekleştirilir.

(Cevap: 756756 ) 15 !

5 !

 5 !

 756756

•

Dairesel Permütasyon:

• • n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması adı verilir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.

Örnek:

7 kişilik bir komisyon bir masa etrafında oturacaktır.

• Bu komisyon yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? • Bu komisyon düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir? • Komisyon başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?

•

Çözüm:

• a) (7-1)! = 6! = 720 • b) 7! = 5040 • c) (6-1)! *2! = 5!*2! = 240

Kombinasyon

• Permütasyon sıranın önemli olduğu problemlere uygulanmaktadır. Ancak bazı problemlerde sıranın önemi yoktur.

olmaz.

Böyle durumlarda Permütasyon uygulamak doğru Sıra önemli olmak şartıyla a,b,c,d harflerinden üçerli gruplar oluşturulduğunda aşağıdaki sonuçlar elde edilir.

abc abd acb adb bac bad bca bda cab dab cba dba r! = 3! =6 r! = 3! =6 acd adc cad cda dac dca r! = 3! =6 bcd bdc cbd cdb dbc dcb r! = 3! =6 • • Tablodan görüleceği üzere üçerli grupların sayısı yani, Permütasyon sayısı; 4 !

( 4  3 )!

 24 olacaktır. • Sıra önemli olduğundan yukarıdaki her satır sadece bir alt kümenin permütasyonlarından ibarettir.

• {a,b,c,d} Kümesinin her biri üç elemandan oluşan birbirinden farklı dört alt kümesi ({a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}) vardır. n elemanı bulunan bir kümeden seçilen r elemanın permütasyonları, her alt kümeyi r!

defa içinde bulundurmaktadır.

Dolayısıyla n elemanın r li kombinasyonuna ulaşabilmek için n P r ’yi r! ile bölmek gerekir.

Böylece sıranın önemi ortadan kalkmış olur.

• Buna göre kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren birbirinden farklı alt kümelerin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren sayıdır ve bu sayı şöyle bulunur.

n C r

  

n r

   (



• Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda adı da verilmektedir.

binom katsayısı

• Alfabenin ilk dört harfi ile teşkil edilen 3’erli kombinasyonların sayısı;  

n r

  

(



n r

!

)!

r!

  

4 3

  

3 !

4



!

1 !



4 olur.

• Özel olarak n C 0 = 1 ve n C n = 1 e eşittir.

• Ayrıca permütasyon ve kombinasyon arasında şöyle bir ilişki vardır.

n C r



n P r

ve

n P r





n C r r

!

• Yukarıdaki ifadelere göre kombinasyonu permütasyona bağlı olarak şöyle ifade etmek mümkündür Toplam permütasyon sayısı Kombinasyon = -------------------------------------------------- Her alt kümenin permütasyon sayısı

Permütasyon ve Kombinasyon hangi tür problemlere uygulanabilir Permütasyonda sıra önemlidir, Örneğin; sözcüklerin dizilişi, bir sıraya oturma düzeni veya bir başkan bir başkan yardımcısı ve bir veznedar seçimi.

Kombinasyonda sıra önemli değildir; örneğin komisyon ve takımların seçimi (sayma pozisyonları olmaksızın).

Permütasyonlarda genellikle çarpma kuralı uygulanır, çünkü sıralı pozisyonların her birinin seçimi, bir olaylar silsilesi olarak görülebilir.

(Kaynak: Olasılık, Schaum serisi, Nobel yayıncılık)

• • •

Örnek:

10 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde teşkil edilebilir.

Çözüm:

komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli olmadığına göre kombinasyon formülü uygulanır.

10

3

  

10 3

  

10 !

( 10



3 )!

3!



7 10 !

!

3!



10 .

9 .

8 .

7 !

3!



120

Örnek:

A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile 3 basamaklı sayılar yazılacaktır.

Bu kümedeki rakamlarla üç basamaklı kaç sayı yazılabilir. (Seçim iadeli)

Her rakam bir defa kullanılmak şartıyla (seçim iadesiz) kaç farklı sayı yazılabilir.

b şıkkındaki sayıların kaç tanesinde 4 rakamı bulunur.

Bu sayıların kaç tanesinde 4 ve 5 rakamları bulunur.

• • • • • • • • • •

Bu sayıların kaç tanesinde 4, 5 ve 6 rakamları vardır.

Bu sayıların kaçı 300’den büyüktür.

Bu sayılardan kaç tanesinin son rakamı 1’dir.

Bu sayılardan kaçı 1 ile başlar 6 ile biter.

Çözüm: a)

6x6x6 = 216

6 P 3 = 6x5x4=120

2  3 !

 3 5 !

 3!

 10  6

d) e)

 60 3 4

C

3  3 !

 

( 3

4 !

 (4 1)!

3 !



3 )!



3 !



x

3 !



6

4  6

olur.

 24 veya 6

3  5

3 olur  120  60  60 • •

4x5x4 = 80

1x5x4=20

1x4x1=4

Binom katsayıları

Binom katsayılarını genel olarak şöyle ifade edebiliriz.

(a+b) n

ifadesi açıldığında

a n-r b r

’nin katsayısı r adet b ve n-r adet a’yı seçmek için mevcut olan hal sayısına eşittir. Dolayısıyla a b’nin katsayısı, n elemanlı bir Kümeden r elemanı olan bir alt küme seçmek için mevcut olan hal sayısına eşittir. Yani kısaca  

n r

  dur.

Binom teoremi:

Eğer n pozitif tamsayısı ise;

(



)

 

n r

 0  

n r

 

a n



r b r a n



na n

 1



(

 1 )

a n

 2

2 2 .

1  ....



nab n

 1 

b n

Genel terim

r

(

n n



r

a



b

olur.

• • • • • Binom katsayıları hesaplanabilir.

Teorem 1)

n pozitif şu üç teorem tamsayı ve r=0,1,.....n için  

n r

    

n n



  olur.

Bu ifade binom olduğunu ifade etmektedir.

kullanılarak kolayca katsayılarının simetrik

Teorem 2)

n pozitif tamsayı ve r=0,1,2,.....n-1 için 

n r

1   olduğu   

r n

 1     

n r

  olur.

Bu teoreme göre Paskal üçgenindeki üstteki iki sayının toplamının alttaki sayıya eşit anlaşılmaktadır.

teorem kullanılarak, binom katsayıları, paskal üçgeni yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir.

1 n =0 n =1 n =2 n =3 n =4 n =5 (a+b) 0 (a+b) 1 (a+b) 2 (a+b) 3 (a+b) 4 (a+b) 5 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 5 4 6 10 10 4 1 5 1 1

• Teorem 3)

r k

 

0

  

m r

     

k n



     

m k n

  

• Örnek:

(

 1

) 8 (a+1/a) 8 ifadesinin açılımında sabit terimi bulunuz.     8

 

8 

r a



olur.

Sabit terim icin a 0 olmasi gerekir.

a 8  r a  r nin a 0 olmasi icin 8  r  r  0  r  4 olur.

  8 4  

8  4

 4  8 !

4 !

( 8  4 )!

0  70 olur.

•

Örnek:

(3x-5) 10 bulunuz ifadesinin açılımında x 6 yı içeren terimi

•

Örnek:

• Çözüm:

(3+5x) 4

teriminin açılımını yazınız. ( 3  5

) 4    4 0   3 4 ( 5

) 0    4 1   3 3 ( 5

)    4 2   3 2 ( 5

) 2    4 1   3 1 ( 5

) 3    4 4   3 0 ( 5

) 4 • (3+5x) 4 • Örnek: = 81+540x+1350x+1500x+625x

( 1 2



3 4

)

3 ifadesinin açılımını yazınız.

• Çözüm:   3  0   1 2

3 3 4

0    3 1    1 2

2 3 4

 1    3  2   1 2

 1 3 4

2    3  3   1 2

0 3 4

3  1 8

3   3 

2  4   3

4   3 

2   9

2 16    27

3 64

• •

Örnek: Çözüm:

(

3 

1 )

8 ifadesinin açılımında sabit terimi bulunuz.

(

3 

1 )

8 

8   0  

8

 

(

)



1

x r r

8   0  

8

 

(

)

8 

x

r  r 8   0  

8 r

 

(

)

24  4

• Sabit terim x 0 • 24 - 4r = 0 ise r = 6 olur. Bu durumda;

24  4



0   8 6    8 .

7 .

6 !

( 8  6 )!

 28 • Olarak bulunur.

• • • •

Örnek

(2a 2

a) n

’i bulunuz -3b 3 ) n ’in açılımında terimlerden biri

ma 6 b 15

ise, •

b) m

’i bulunuz. •

Çözüm a)

terim ma 6 b 15 ise,  

  ( 2



 3

r r

) ( )  • a’nın üssü 6, b’nin üssü 15 olduğuna göre bu üsler a ve b ifadelerinin üsleri de dikkate alınarak şöyle yazılabilir.

ma 2x3 b 3x5

olur. O halde: n =3+5 = 8 dir.

n =8 olduğuna göre r = 5 olur. Buna göre;

  

n r

  ( 2

2 )



(  3

3 )

   8 5   ( 2

2 ) 8  5 (  3

3 ) 5    8 5   2 3

2  3 (  3 ) 5

3  5  56x8x(-243 )a 6

15 m  108864a 6

• •

Örnek

(

 4

) 11 ifadesinin x’ teriminin katsayısını bulunuz.

Çözüm

(

x

 4

x

) 11 

"   0   11

  (x) 11 r ( açılımındaki terimlerden 4

)

(

 4 ) 11



11   0   11

   4 r (

) 11 

(

) 



11   0    

11

   

4

r x

11  2

• • x’in katsayısı arandığı için x 1 e bakmak gerekir.

1 

11  2

' den

1=11-2r 10=2r r=5 olur. Buradan   11 5    11 !

( 11  5 )!

 11 .

10 .

9 .

8 .

7 .

6 !

 6 !

462 • 4 r = 4 5 = 1024 dolayısıyla x’in katsayısı 462x1024 =437088