Transcript dosyayı indirmek için tıklayınız.

~~MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ~~
Öğretmen:Murat Güner
 Hazırlayan:H.Eyyüb Uçan
 NO:689 / 10-BS / Asım Ülker Ç.P. Lisesi
 Konu:Permütasyon
 Kaynak:ANALİTİK & ZİRVE ÖSS ye hazırlık dergisi (eski sayı) .

Ana sayfa
ANA SAYFA
I.
II.
Dersler
Çıkış
TANIM
PERMÜTASYON
Tanım: n elemanlı sonlu bir küme A olmak üzere, A dan A ya
tanımlanan birebir ve örten her fonsiyona, A nın bir
permütasyonu denir.
A={a,b,c} olmak üzere,
A dan A ya tanımlanan
bire bir ve örten
fonksiyonlardan biri,
yandaki şekilde görülüyor.
Bu fonksiyonu,
sonraki sayfa
A
A
f
.a
.a
.b
.b
.c
.c
TANIM
PERMÜTASYON
f={(a,b), (b,a), (c,c)} veya
f=( ab ba cc )
biçiminde yaza biliriz. O hâlde, f fonksiyonu, A kümesinin bir
permütasyonudur.
f fonksiyonunun görüntü kümesi olan (b,a,c) sıralı üçlüsünde, elemanlar
yer değiştirmez.
f=( ab ba cc ) permütasyonunu kısaca f=(b a c) şeklinde yazabiliriz.
f=(b a c) permütasyonuna, A nın elemanlarının farklı sıraya dizilişlerinden
biride diyebiliriz.
Bu durumda, permütasyonun tanımını aşağıdaki biçimde de yapabiliriz.
Tanım:n elemanlı, sonlu bir A kümesinin elemanlarının birbirinden farklı her
sıralanışına, A kümesinin bir permütasyonu denir.
DERSE BAŞLA…
DERSLER



PERMÜTASYON
TEKRARLI PERMÜTASYON
DAİRESEL PERMÜTASYON
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 1:
P(n,1) + P(n,2) + P(6,3) =156 olduğuna göre n kaçtır?
A) 4
B)5
C)6
D)7
E)8
Çözüm:
P(n,1) + P(n,2) + P(6,3) =156
n+n . (n-1) + 6 . 5 . 4 =156
n+n² -n + 120 =156
n²-36 =0  n² =36  n = ± 6 dır.
n Є Z + olduğu için n=6 dır.
Cevap C şıkkıdır.

sayfa 1
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 2:
P(n, 2)= 2.P(2n, 1)
A) 2
B)3
olduğuna göre n kaçtır ?
C)4
D)5
E)6
Çözüm:
P(n, 2)= 2.P(2n, 1)
n.(n-1)= 2.2n
n2 -n= 4n
n2 -5n= 0
n.(n-5)= 0
n=0 veya n=5 tir.
+
n Є Z olduğu için n=5 tir.
Cevap D şıkkıdır.

sayfa 2
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 3:
10 atletin katıldığı bir yarışta, ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir?
A) 120 B)360 C)420 D)640 E)720
Çözüm:
Ι.Yol: Çarpma kuralına göre; birinci 10 yolla; ikinci, kalan 9 kişi
arasından 9 yolla; üçüncü, kalan 8 kişi arasından 8 yolla belirlenir.
Buna göre ilk üç derece, 10.9.8=720 yolla belirlenir.
ΙΙ.Yol: 10 atletin 3 ü sıralamaya gireceği için, sıralama
P(10,3)=10.9.8=720 değişik şekilde yapılabilir.
Cevap E şıkkıdır.

sayfa 3
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 4:
7 kişilik bir komisyon, kendi aralarında 1 başkan ve 1 başkan
yardımcısını kaç farklı şekilde seçebilir ?
A)42
B)35
C)21
D)14
E)8
Çözüm:
Soru kökünde geçen seçme kelimesi bizi kombinasyona yönlendirebilir.
Halbuki problem bir permütasyon (sıralama) sorusudur. Eğer herhangi
iki kişi seçilseydi problem kombinasyon sorusu olurdu.
Buna göre, seçim P(7.2)=7.6=42 farklı şekilde yapılabilir.
Cevap A şıkkıdır.

sayfa 4
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 5:
2 kız ve 3 erkek, kızlar yan yana gelmek şartıyla 5 kişilik bir kanepeye
kaç farklı şekilde oturabilir ?
A)240 B)120 C)50
D)48
E)24
Çözüm:
Kızların yan yana gelmesini sağlamak için iki kızı bir kişi gibi düşünelim.
Bu durumda, kanepeye oturacakların sayısı 4 olur. Bu 4 kişi kanepeye
4! farklı şekilde oturabilir. Yan yana olmakla birlikte kızlar kendi arasında 2! farklı şekilde oturabilir.
Çarpma kuralına göre kızlar yan yana gelmek şartıyla bu 5 kişi kanepeye 4! .2!=24.2=48 farklı şekilde oturabilir.
Cevap D şıkkıdır.
sayfa 5
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 6:
4 farklı kalem 6 öğrenciye dağıtılacaktır.
Bir öğrenci en çok bir kalem alacağına göre, dağıtım kaç farklı şekilde
yapılabilir ?
A)15
B)30
C)60
D)180 E)360
Çözüm:
Kalemler aynı özellikte olsaydı problem kombinasyon sorusu olacaktı.
4 farklı kalem 6 öğrenciye P(6,4)=6.5.4.3=360 farklı şekilde dağıtılabilir
Cevap E şıkkıdır.

sayfa 6
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 7:
P(n, 1) + P(n, 2) =49 olduğuna göre n kaçtır?
A)9
B)8
C)7
D)6
E)5
Çözüm:
P(n, 1) + P(n, 2) =49
n + n(n- 1) =49
n + n 2– n =49
n =49 ise n =-7 veya n =7 dir.
2
Permütasyon sadece pozitif tam sayılar için tanımlı olduğundan dolayı
n=7 dir.
Cevap C şıkkıdır.

sayfa 7
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 8:
Farklı 5 matematik kitabı bir rafa yan yana kaç değişik şekilde
sıralanabilir?
A)5
B)12
C)24
D)120 E)720
Çözüm:
5 kitabın beşi de sıralanacaktır. Bunun için, sıralama
P(5,5) =5. 4. 3. 2. 1 =120 değişik biçimde yazılabilir.
Cevap D şıkkıdır.

sayfa 8
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 9:
10 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı biçimde oluşabilir?
A)48
B)120 C)350 D)600 E)720
Çözüm:
1.Yol
Permütasyon sayısını veren formülden yaralanarak sonuca gidelim:
10 kişinin 3 ü sıralamaya gireceği için sıralama
P(10,3) =10. 9. 8. =720
değişik şekilde oluşabilir.
2.yol

sayfa 9
DERSLER
PERMÜTASYON
2. yol:
Çarpma kuralına göre hesap yapalım:
Birinci, 10 kişi arasında 10 farklı şekilde belirlenir.
İkinci olacak kişi, kalan 9 kişi arasından 9 farklı şekilde belirlenir.
Üçüncü olacak kişi, kalan 8 kişi arasından 8 farlı şekilde belirlenir.
Buna göre, ilk 3 derece
10. 9. 8 =720
Değişik şekilde oluşabilir.
Cevap E şıkkıdır.

sayfa 10
DERSLER
PERMÜTASYON
Örnek 10:
Farklı; 5 matematik, 6 fizik, 2 kimya kitabı aynı dersin kitapları yan
yana gelmek koşuluyla bir rafa yan yana kaç değişik şekilde sıralanabilir?
A)5! . 6! . 2! . 3!
B)5! . 6! . 2!
C)13!
D)5 . 6 . 2 . 3
E)5! . 6! . 2! . 3
Çözüm:
5 matematik kitabı kendi arasında P(5,5) değişik biçimde sıralanabilir.
6 fizik kitabı kendi arasında P(6,6) değişik biçimde sıralanabilir.
2 kimya kitabı kendi arasında P(2.2) değişik biçimde Ayrıca matematik
kitapları bir kitap, fizik kitapları bir kitap, kimya kitapları bir kitap gibi
düşünülürse bu üç kitapta kendi arasında P(3,3) değişik biçimde
sıralanabilir. Çarpma kuralı gereği istenen sıralama:
P(5,5). P(6,6). P(2,2). P(3,3) =5!. 6!. 2!. 3! değişik biçimde sıralanabilir.

Cevap A şıkkıdır.
sayfa 11
TANIM
TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin n1 tanesi 1.çeşitten, n2 tanesi 2.çeşitten, n3 tanesi 3.çeşitten, …nr
tanesi r. çeşitten olsun n=n1+n2+n3+ … +nr olmak üzere, bu n tanesinin n li
permütasyonlarının sayısı:
n
n!
dir.
=
n1 , n2 , n3 , … , nr
n1 ! . n2 ! . n3 ! … , nr !
(
)
DERSE BAŞLA…
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek 1:
3 tane 2 ve 2 tane 5 rakamı kullanarak 5 basamaklı kaç farklı sayı yazabiliriz?
A)5
B)10
C)15
D)20
E)40
Çözüm:
İstenen sayılardan bazıları ; 22255, 22552, 25522, 25225, … dır. Bunlar gibi,
5
5!
5 . 4 . 3!
5 . 2 = 10 tane sayı yazılabilir.
=
=
=
3,2
3! . 2!
3! . 2 . 1
( )
Cevap B şıkkıdır.

Sayfa 1
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek 2:
4344004 sayısındaki rakamlarla 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
A)56!
B)7!
C)48
D)60
E)75
Çözüm:
Yazılacak sayının soldan iki rakamı 0 olamaz. Bunun için soldan ilk rakam diğer
rakamlar arasından seçilir.
Önce tekrar durumunu göz ardı edelim. Daha sonra bulunan sonucu (4, 4 kez
0, 2 kez tekrarlandığı için) 4! . 2! e bölelim.
5 65 432 1
5 . 6!
5 . 6!
=
4! . 2!
5 . 6 . 5 . 4!
4! . 2 . 1
= 5 . 3 . 5 = 75
Cevap E şıkkıdır.

Sayfa 2
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek 3:
Aynı özellikte 4 matematik kitabı ve fizik kitabı bir rafa yan yana kaç farklı
şekilde dizilebilir ?
A)21
B)35
C)42
D)48
E)60
Çözüm:
( )
7
4,3
=
7!
4! . 3!
=
7 . 6 . 5 . 4!
4! . 3 . 2 . 1
= 7 . 5 = 35
Cevap B şıkkıdır.

Sayfa 3
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek 4:
MENEMEN kelimesinin harflerle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı
kelime yazılabilir ?
A)35
B)70
C)105 D)210 E)240
Çözüm:
N, 2 kez ; E, 3 kez; M, 2 kez tekrarlandığına göre,
( )
7
2, 3, 2
=
7!
2! . 3! . 2!
=
7. 6. 5. 4. 3!
2. 1. 3!. 2. 1
= 7. 6. 5 = 210
tane değişik kelime yazılabilir.

Cevap D şıkkıdır.
Sayfa 4
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek 5:
GARGARA kelimesindeki harflerle G harflerini A harfleri takip etmek şartıyla
(GA şeklinde) 7 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir ?
A)30
B)36
C)40
D)42
E)48
Çözüm:
GA R GA RA kelimesinde GA bir harf gibi düşünülürse ifade 5 harfli bir
kelimeye indirgenir. GA harfi 2 kez ve R harfi 2 kez tekrarlandığına göre,
()
5
2, 2
=
5!
2!. 2!
=
5. 4. 3. 2. 1
2. 1. 2. 1
= 5. 3. 2 = 30
farklı kelime yazılabilir.
Cevap A şıkkıdır.

Sayfa 5
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek 6:
Özdeş; 5 matematik, 6 fizik, 2 kimya bir rafa kaç değişik şekilde sıralanabilir?
A) 13!
B) 13! . 3! C) 13! . 2! D)
13!
E) 13!
5! . 6! . 2!
5! . 6! . 2!
5! . 6! . 2!
5! . 6! . 2! . 3!
5.6.2
Çözüm:
Özdeş nesnelerin kendi aralarında yerlerinin değiştirilmesi sıralamayı
değiştirmez. Sözgelimi özdeş 5 matematik kitabının kendi aralarında yerlerinin
değiştirilmesi sıralamayı değiştirmez. Yani bu 5 kitabın sıralanışı tek türlüdür.
5 + 6 + 2 = 13 kitap yan yana
13
13!
değişik biçimde sıralanabilir.
5, 6, 2 = 5! . 6! . 2!
( )
Cevap A şıkkıdır.

Sayfa 6
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek 7:
PAPATYA
Kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı yada anlamsız 7 harfli kaç
değişik kelime yazılabilir?
A)60
B)120 C)420 D)640 E)840
Çözüm:
2 tane P harfi, 3 tane A harfi, 1 tane T harfi, 1 tane Y harfi ile 7 harfli anlamlı yada
anlamsız
7
7
2, 3, 1, 1 = 2! . 3! . 1! . 1!
7 . 6 . 5 . 4 . 3!
=
2 . 3!
= 420 kelime yazılabilir.
( )
Cevap C şıkkıdır.

Sayfa 7
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek 8:
32322200
Sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 8 basamaklı kaç değişik sayı
yazılabilir?
Çözüm:
2 tane 3 rakamlı, 4 tane 2 rakamlı, 2 tane 0 rakamı ile
7
8
2, 4, 2 = 2! . 4! . 2!
8 . 7 . 6 . 5 . 4!
= 2 . 4! . 2
=2.7.6.5
= 420
( )
sonraki sayfa

Sayfa 8
DERSLER
TEKRARLI PERMÜTASYON
Değişik sayı yazılabilir. Ancak, bu sayıların bazısının en solundaki rakam 0
olacağı için bunlar 8 basamaklı sayı değildir. 8 rakamdan 6 sıfırdan farklı
olduğu için, 420 sayının
6
. 420 = 315
8
tanesi 8 basamaklıdır.
Cevap C şıkkıdır.

Sayfa 9
TANIM
DAİRESEL PERMÜTASYON
n tane elemanın, bir çember etrafındaki sıralanışlarının her birine n elemanının
dairesel permütasyonu denir.
n elemandan birinin yeri sabit gibi düşünülüp diğerlerinin bu elemana göre
sıralanışı göz önüne alınırsa,
n elemanın dairesel permütasyonlarının sayısı (n-1)! olur.
DERSE BAŞLA
DERSLER
DAİRESEL PERMÜTASYON
Örnek 1:
7 kişilik bir aile yuvarlak bir masada yemek yiyecektir.
1-) Kaç farklı şekilde oturabilirler ?
2-) Anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, kaç farklı şekilde oturur ?
Çözüm:
1-) 7 kişi yuvarlak bir masa etrafına 6! =720 farklı şekilde oturabilir ?
2-) Anne ile baba bir kişi gibi düşünülürse aile 6 kişi olur.
6 kişi yuvarlak bir masa etrafında 5! =120 değişik şekilde oturur.
Anne ile baba kendi aralarında 2! =2 değişik şekilde oturur.
Buna göre, 7 kişilik bir aile anne ile baba yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir
masa etrafında 5! . 2!=120. 2=240 değişik şekilde oturabilir.

Sayfa 1
DERSLER
DAİRESEL PERMÜTASYON
Örnek 2:
11 değişik anahtar bir halkaya kaç değişik şekilde takılabilir ?
A)2. 11!
B)10!
C)2. 9!
D)2. 10!
E)5. 9!
Çözüm:
Masa etrafına oturma olayında sıralama yukarıdan bakılarak yapılır. Halbuki
halkaya yukarıdan bakılacağı gibi, ters çevril erekte bakılabilir. Bu da sıralanış
sayısını yarıya düşürür.
Buna göre, 11 değişik anahtar bir halkaya,
(11- 1)!
10!
10. 9!
= 2 = 2 = 5. 9!
2
değişik şekilde takılabilir.
Cevap E şıkkıdır.

Sayfa 2
DERSLER
DAİRESEL PERMÜTASYON
Örnek 3:
4 tane profesörün her birinin 2 şer tane asistanı vardır. 4 profesör ve 8 asistan bir
yuvarlak masa etrafında oturacaklar.
Her profesörün kendi asistanlarının arasına oturacağına göre, kaç farklı biçimde
oturulabilir.
A)12
B)24
C)48
D)54
E)96
Çözüm:
Her prof. un kendi asistanlarının arasına oturmalarını sağlamak için üçüncü bir
adam gibi düşünelim. Bu durumda 12 kişiyi 4 kişi gibi düşünebiliriz. 4 yuvarlak
masa etrafında ; (4-1)!=3!=6 değişik şekilde oturabilir.
Her profesörün kendi asistanları aralarında 2 değişik şekilde oturabilirler. 4 tane
profesörün 2 şer asistanının kendi aralarında, yer değiştirme durumunda göz
önüne alınırsa, yuvarlak masa etrafında, istenen şartlara uygun oturma;
6. 2. 2. 2. 2= 96 değişik biçimde yapabilir.
Cevap E şıkkıdır.

Sayfa 3
DERSLER
DAİRESEL PERMÜTASYON
Örnek 4:
5 matematik ve 5 fizik öğretmeni yuvarlak bir masa etrafına bir matematikçi bir
fizikçi, bir matematikçi bir fizikçi, … şeklinde kaç değişik şekilde sıralanabilir?
A) 4! . 5!
B) 10!
C) 2! . 5!
D) 9!
E) 4! .4!
Çözüm:
Önce 5 matematik öğretmeni yuvarlak masa etrafına, aralarında birer kişilik
boşluk bırakarak sıralansınlar. Masa yuvarlak ve oturulacak yerler özdeş
olduğundan dolayı sıralama belirsizliğini ortadan kaldırmak için, bir matematikçi
sabit tutularak diğerleri (5-1)!= 4! değişik şekilde sıralanabilir.
Matematikçiler oturduktan sonra sıralama belirsizliği ortadan kalkar. Sözgelimi
matematikçi Ali ve Veli beyin arasındaki boş koltuk ve benzer şekilde diğer boş
koltuklar numaralı koltuk gibi düşünülebilir. Bunun için, 5 fizikçi boş (numaralı)
koltuklara 5! 5 değişik şekilde sıralana bilirler.
Çarpma kuralı gereği tüm oturma biçimlerinin sayısı: 4! . 5! olur.

Cevap A şıkkıdır.
Sayfa 4