ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME DERSİ

Doç.Dr. Nadir Çeliköz Yıldız Teknik Üniversitesi Eğitim Fakültesi

TEMEL İSTATİSTİK İŞLEMLER

MERKEZİ EĞİLİM (YIĞILMA) ÖLÇÜLERİ

Puanların bir merkezde toplanma durumunu gösterir

mod Merkezi Yığılma Ölçüleri medyan Aritmetik ortalama Normal Dağılımda; mod = medyan = aritmetik ortalama bir birine eşittir

MOD

•Dağılımda en çok tekrar eden değerdir •Sınıflama türü ölçekler için uygundur •Ortalama ve ortancanın hesaplanmadığı durumlarda kullanılır En tipik ölçümler bilinmek isteniyorsa, kabaca hesaplanmak gerekiyorsa moda bakılır Bir dağılımın birden fazla modu olabilir •Ardışık eşit sayıda tekrarlanan varsa orta noktasıdır •Dağılımdaki ölçümlerin hepsi aynı ise mod yoktur •Uç noktalardan etkilenmez •En az güvenilen merkezi eğilim ölçüsüdür •Az sayıdaki ölçümler için uygun değildir Örnek: Öğrencilerin vizeden aldığı notlar şu şekilde verilmiştir: 68, 71, 71, 74, 80, 80, 80, 80, 82, 88, 88 Cevap: 68, 71, 71, 74,

80, 80, 80, 80,

82, 88, 88

MEDYAN (ORTANCA)

% 50 ortanca % 50 •Dağılımı iki eşit parçaya bölen değerdir (%50 - %50) • Sıralama türü ölçekler için uygundur Ham puanların sayısından etkilenir. Uç değerlerden etkilenmez •Dağılımın tam ortası isteniyorsa, uç değerler ortalamayı etkiliyorsa, ortalamayı hesaplamak için süre yoksa kullanılır •Medyan bulunurken puanlar sıraya konulur •Formülü: Çift sayılarda [(N/2) + (N/2)+(1)]/2 Örnek: Öğrencilerin vizeden aldığı notlar şu şekilde verilmiştir: 68, 71, 74, 80, 82, 88 Ortanca = [(6/2) + (6/2)+1 ] /2 = (3 + 4)/2 = (74+80)/2 = 77 68, 71, 74, (

77

) 80, 82, 88 Formülü: Tek sayılarda (N+1)/2 Örnek: Öğrencilerin vizeden aldığı notlar şu şekilde verilmiştir: 68, 71, 74, 80, 82 Ortanca = [(5+1)/2] = 3 68, 71, ( 74 ) 80, 82

ARİTMETİK ORTALAMA

A. ortalama • • En çok kullanılan merkezi yığılma ölçüsüdür ( x ) ile gösterilir •Ölçümlerin toplamının, ölçüm sayısına bölümünü ifade eder • Dağılımın uç değerlerinden etkilenir • Bütün ölçümlerin kullanılmasıyla elde edilir Dağılım simetrikse, yani çarpık değilse ve üst düzey istatistiksel işlemler yapılacaksa kullanılır Öğrenci 1 2 3 4 5 6 Test Puanı 70 70 71 75 75 76 A.O.= (70+70+71+75+75+76) / 6 A.O.= 72.83

MERKEZİ DAĞILIM (YAYILMA) ÖLÇÜLERİ

Puanların bir merkezde etrafındaki dağılımını gösterir

Merkezi Dağılım Ölçüleri

Ranj Çeyrek Kayma Standart Kayma

RANJ

•En yüksek puanla, en düşük puan arasındaki farktır •Yalnızca iki uç değer kullanılmaktadır • Ranj büyükse güvenilir bir yayılma ölçüsü olarak kullanılamaz Örnek: Öğrencilerin vizeden aldığı notlar şu şekilde verilmiştir: 68, 71, 71, 74, 80, 80, 80, 80, 82, 88, 88 Cevap: 88 - 68 = 2

0

ÇEYREK SAPMA (KAYMA)

• •Q Sembolüyle gösterilir •Puanların Ortanca’dan ne kadar saptığını gösterir.

1. çeyrek ile 3. çeyrek arasındaki farkın yarısıdır •Dağılımların yalnızca % 50’si dikkate alındığı için güvenilir değildir Puanlar büyükten küçüğe doğru sıralanır ve aşağıdaki formülle hesaplanır: Q = (Q3 – Q1) 2 Örnek: Öğrencilerin finalden aldığı notlar şu şekilde verilmiştir: 30, 41, 46, 56, 68, 71, 71, 74, 80, 80, 80, 80, 82, 88, 88, 91, 93, 98, 99 Cevap: Q1 (25. Yüzdelik) = 19 (25/100) = 4.75 yani 5. puan = 68 Q3 (75. Yüzdelik) = 19 (75/100) = 14.25 yani 14. puan = 88 Q3 = (88-68) / 2 Q3= 20 / 2 = 10

STANDART SAPMA (KAYMA)

•

S

ya da σ Sembolüyle gösterilir • Ölçme sonuçlarının ortalamadan farklarının kareleri ortalamasının kare köküdür.

• Standart kaymanın karesine

varyans

denir. • Aritmetik ortalama ile birlikte kullanılır Standart sapmanın küçük olması grubun homojen olduğunu gösterir Formülü: S = √ (X – X)

2

N Örnek: Öğrencilerin finalden aldığı notlar şu şekilde verilmiştir: 30, 40, 50, 60, 70 Sınıfın aritmetik ortalaması ve standart sapması kaçtır?

Cevap: X = (30+40+50+60+70) / 5 = (300/5) =

50

S = 30-50 = 20 (-20) 2 = 400 40-50 = 10 (10) 2 50-50 = 0 (0) 2 60-50 = -10 (-10) 2 70-50 = 20 (20) 2 = 100 = 0 = 100 = 400 + 1000 s=√1000/5 s= √200 s=

14.14

STANDART SAPMANIN HESAPLANMASI (KAYMA)

1. aritmetik ortalamayı hesapla 2. puanların ortalamadan farkını bul ve karelerini al 3. Karelerini topla 4. toplamı, öğrenci sayısına böl 5. sonucun karekökünü al: "bu standart sapmadır" Standart sapması küçük olan gruplarda notlar ortalamaya daha yakın, büyük olanlarda ise ortalamadan hayli uzak noktalarda olur.

Ders Türkçe Matematik Coğrafya Fizik Kimya Ortalama 70 71 70 80 75 Standart sapma 3 4 4 5 4 En başarılı ders: En başarısız ders: sapmaya bak.

En başarılı grup: ortalamaya bak.

ortalamaya bak.

ortalamalar eşit ise standart Standart sapmaya bak, eşitse

ÇARPIKLIK Sağa çarpık: Simetrik:

Normal dağılım. Ortalama=mod=medyan Sınıf başarısı düşük. Mod

Sola çarpık:

Sınıf başarısı yüksek. Ortalama

Z

ve

T

puanlarının hesap lanması

Standart puanlar (Z Puanı veya T puanı)

grup içindeki yerini gösterir.

Öğrenci puanının

Z

= öğrenci puanı – ortalama /standart sapma

T

=50+(öğrenci puanı-ortalama/standart sapma)*10 Hangi testte başarılı?

Dilara’nın puanı Ortalama SS Test1 Test2 Test3 Test4 45 25 7 40 55 5 35 40 10 20 25 9 Z veya T puanı Test1’de daha yüksek. Orada başarılı

KORELASYON

•Grupların değişik derslerden aldığı notlar arasındaki ilişki.

•+1 ile -1 arasında bir değer alır.

•Pozitif ilişki bir not yüksek ise diğer notun da yüksek olacağını (veya tersi), negatif ilişki bir not yüksek ise diğerinin düşük olacağını, sıfıra yakın değerler ise iki ders notları arasında bir ilişkinin olmadığını gösterir.

•Korelasyon katsayısı hesaplanarak çok sağlam tahminlerde bulunulabilir.

SORULAR

1 6. soruları aşağıdaki verilerden yararlanarak cevaplandırınız.

Bir öğrenci grubunun resim dersinden aldıkları notlar; 3,3,4,5,6,6,6,7,9,10 biçimindedir.

1) Puan dağılımının ranjı kaçtır?

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

SORULAR

2) Puan dağılımının modu kaçtır?

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

SORULAR

3) . Puan dağılımının ortancası kaçtır?

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

SORULAR

4)

Puan dağılımının aritmetik ortalaması kaçtır?

a) 5.36

b) 5.9

c) 6.0

d) 6.55

e) 6.65

SORULAR

5)

Puan dağılımının standart sapması kaçtır?

a) 1.01

b) 2.21

c) 4.89

d) 5.36

e) 6.65

SORULAR

6) Puan dağılımının varyansı kaçtır?

a) 1.01

b) 2.21

c) 4.89

d) 5.36

e) 6.65

SORULAR

7)

Zor bir test sınıfa verildiğinde, dağılımın nasıl olması beklenir?

a) normal dağılım b) sağı çarpık dağılım c) solu çarpık dağılım d) dikdörtgen dağılım e) negatif çarpık dağılım

SORULAR

8)

Aşağıdakilerden hangisi medyan için söylenemez?

a) merkezi eğilim ölçüsüdür b) dağılımdaki ham puanların sayısından etkilenir c) ortancayı bulurken, veriler mutlaka sıraya konulmalıdır d) ham puanların ortalama etrafındaki yayılma derecesini gösterir e) % 50’si bir tarafta, % 50’si de diğer tarafta olmak üzere grubu ikiye ayırır

SORULAR

9)

Aşağıda standart sapmanın hesaplanmasında izlenen aşamalar verilmiştir. Hangi adımlar yer değiştirdiğinde, basamaklar doğru olarak sıralanmış olur?

I) ölçme sonuçlarının her birinin ortalamadan farkları bulunur II) ortalamadan farkların kareleri alınır III) çıkan sayının karekökü alınır IV) kareler toplamı, n sayısına bölünür A) I – III B) II – III C) II – IV D) III – IV E) sıralama doğrudur

SORULAR

10)

Bir öğrenci 25 kişinin katıldığı matematik sınavında 6. sırada, 35 kişinin katıldığı Türkçe sınavında 8. sırada ve 60 kişinin katıldığı tarih sınavında 10. sırada yer almıştır. Öğrenci hangi dersten daha başarılıdır?

a) Tarih – Türkçe – Matematik b) Türkçe – Tarih – Matematik c) Matematik – Türkçe – Tarih d) Matematik – Tarih – Türkçe e) Tarih – Matematik –Türkçe

SORULAR

11)

Bir öğretmen sınıfta uyguladığı testlerin normal dağılım gösterdiğini görmüştür; bu testlerin birinde ortalama ile ortalama -2 standart kayma aralığına 5, ortalama ile ortalama +2 standart kayma aralığına 6 notunu vermiştir. Yaklaşık olarak bu sınıfın yüzde (%) kaçı 5 ve 6 notlarını almıştır?

a) 13 b) 47 c) 68 d) 81 e) 95

SORULAR

12)

Z puanı -1.5 bulunan bir kişinin ortalama=100 ve standart kayma=20 ile hesaplanan standart puanı nedir?

a) 19.5

b) 30 c) 70 d) 78.5

e) 80