Transcript X - WordPress.com

İTİCÜ
Mühendislik ve Tasarım
Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Bölümü
İSTATİSTİK VE OLASILIK I
3. Hafta: Dağılma Ölçüleri
Öğr. Gör. Berk Ayvaz
2013
Dağılma Ölçüleri






Uygulamada bir serinin tasvir edilmesinde sadece yer ölçüleri
yeterli gelmez.
Serideki birimlerin merkezi eğilim etrafındaki dağılma durumunu
da ortaya koymak gerekir.
Mesela ortalamaları eşit iki seri düşünelim. Bu serilerin hangisinde,
birimlerin ortalama etrafında daha sık, hangisinde daha seyrek
biçimde dağıldığını bilmek isteriz.
Çünkü birimleri ortalama değer etrafında daha sık dağılan serilerde
ortalama değeri seriyi yüksek temsil gücüne sahiptir.
Bu durumun tespiti için dağılma ölçülerine ihtiyaç vardır.
Dağılma ölçüleri serideki bir kısım rakamlar üzerinden hesaplanan
(parametrik olmayan) ve serideki tüm rakamlar üzerinden
hesaplanan (parametrik) olmak üzere ikiye ayırmak mümkündür.
Dağılma Ölçüleri
o
o
o
o
o
Değişim aralığı
Kartil aralığı
Yarı kartil aralığı
Desil aralığı
Yarı desil aralığı
o
o
o
o
Ortalama sapma
Varyans
Standart sapma
Değişim katsayısı
1- Değişim Aralığı


Basit bir seride en büyük sayıdan en küçük sayının çıkartılması ile
elde edilir.
Gruplandırılmış serilerde ise en yüksek sınıfın üst sınırından en
düşük sınıfın alt sınırı çıkartılarak elde edilir.
Değişim aralığı = DA = Xmax − Xmin


Değişim aralığı serinin değişkenliği hakkında zaman kaybetmeden
genel bir bilgi sağlar.
En büyük dezavantajı serideki bütün birimlerin hesaplamaya girmeyip,
sadece iki değerle neticeye ulaşılmasıdır. Bundan dolayı değişim
arağılı aşırı değerlerin direkt etkisi altındadır.
Örnek 1
Basit Seride:
X
Değişim aralığı: 𝐗 𝐦𝐚𝐱 − 𝐗 𝐦𝐢𝐧 : 20-10 = 10
10
12
18
20
Sınıflandırılmış Seride:
X
4
5
7
9
f
1
2
4
3
Değişim aralığı: 𝐗 𝐦𝐚𝐱 − 𝐗 𝐦𝐢𝐧 : 9 - 4 = 5
Örnek 2
Gruplar
f
2-4
2
5-7
13
8-10
4
11-13
1
Çözüm 2
Gruplar
f
2-4
2
5-7
13
8-10
4
11-13
1
Değişim aralığı: 𝐗 𝐦𝐚𝐱 − 𝐗 𝐦𝐢𝐧 : 13 - 2 = 11
Örnek 3
Sınıflar X
4-8
8-12
12-16
16-20
20-24
24-28
28-32
32-36
36-40
f ( Frekans)
1
2
1
2
1
2
2
1
2
Verilen sınıflandırılmış serinin değişim aralığı nedir ?
D.A = 40 – 4 = 36’dır.
2- Kartil Aralığı


Üçüncü kartilden birinci kartilin çıkarılmasıyla elde edilir.
Serinin üst ve alt kısımlarındaki %25’lik değerler dikkate alınmadığı
için uç değerlerden daha az etkilenir.
Kartil aralığı: KA: 𝐐𝟑 − 𝐐𝟏

Kartil aralığı ikiye bölünmek suretiyle yarı kartil aralığı bulunur.
Yarı Kartil Aralığı: KA:
𝐐𝟑 −𝐐𝟏
𝟐
Örnek 4
Gruplar
1-3
3-5
5-7
7-9
f
1
2
4
3
k.f
1
3
7
10

Gruplandırılmış serinin kartil ve yarı
kartil aralıklarını bulunuz.
Çözüm 4
Gruplar
1-3
3-5
5-7
7-9
f
1
2
4
3
k.f
1
3
7
10

Gruplandırılmış serinin kartil ve yarı
kartil aralıklarını bulunuz.
Hatırlatma
N
− fi
4
𝑄1 = L1 +
.c
f𝑄1
3N
− fi
4
𝑄3 = L1 +
.c
f𝑄3
𝑄1 = 3 +
2,5 − 1
. 2 = 4,5
2
𝑄3 = 7 +
7,5 − 7
. 2 = 7,33
3
Kartil aralığı: 𝐐𝟑 − 𝐐𝟏 = 7,33 – 4,5 =2,83
Yarı Kartil Aralığı:
𝐐𝟑 −𝐐𝟏
𝟐
= 2,83 / 2 = 1,42
3- Desil Aralığı




Bilindiği üzere kartil aralığı en büyük ve en küçük %25 ‘lik
dilimlerdeki değerleri dikkate almamaktadır.
Bundan dolayı bazı istatistikçiler bu dilimlerdeki rakamların dikkate
alınmamasının hatalı sonuçlar doğurabileceğini söylemişlerdir.
Desil aralığı en büyük desilden en küçük desilin çıkarılması ile elde
edilir.
Bu şekilde en büyük ve en küçük %10 ‘luk dilimdeki değerler dikkate
alınmamış olur.
Desil Aralığı: DA: 𝐃𝟗 − 𝐃𝟏

Desil aralığı ikiye bölünmek suretiyle yarı desil aralığı bulunur.
Yarı Desil Aralığı: YDA:
𝐃𝟗 −𝐃𝟏
𝟐
Örnek 5
Gruplar
1-3
3-5
5-7
7-9
f
1
2
4
3
k.f
1
3
7
10

Gruplandırılmış seride desil aralığını
hesaplayınız.
Çözüm 5
Gruplar
1-3
3-5
5-7
7-9
f
1
2
4
3
k.f
1
3
7
10

Gruplandırılmış seride desil aralığını
hesaplayınız.
Hatırlatma
N
− fi
10
𝐷1 = L1 +
.c
f𝐷1
9N
− fi
10
𝐷9 = L1 +
.c
f𝐷9
𝐷1 = 1 +
1−0
.2 = 3
1
𝐷9 = 7 +
9−7
. 2 = 8,33
3
Kartil aralığı: 𝐃𝟗 − 𝐃𝟏 = 8,33 – 3= 5,33
Yarı Kartil Aralığı:
𝐃𝟗 −𝐃𝟏
𝟐
= 5,33 / 2 = 2,67
Parametrik Dağılma Ölçüleri
olmayan dağılma ölçülerinin en büyük
dezavanatjı serideki tüm birimleri dikkate almamasıdır.
 Bu dezavantaj parametrik dağılma ölçüleri ile bertaraf
edilmektedir.
 Bu ölçülerin tümü serideki rakamların aritmetik
ortalamadan sapmalarını dikkate alır.
 Parametrik
1- Ortalama Sapma



Serideki rakamların aritmetik ortalamadan farklarının toplamı sıfırdır.
Elde edilen farkların bir kısmı negatif, bir kısmı pozitif değer taşır.
Toplandığında sıfıra eşit olurlar.
Bu farkların mutlak değerlerinin toplamı rakam sayısına bölündüğünde
ortalama sapma değeri bulunur.
𝑶𝑺 =


𝑿−𝑿
𝒏
Gruplanmış serilerde sınıf sınırlarından sınıf değerleri hesaplandıktan
sonra, seri sınıflandırılmış seriye çevrilmiş olur.
Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde 𝑋 − 𝑋 farkları karşılarındaki
frekanslarla çarpılarak toplanır. Bulunan toplam, serideki rakam sayısına
bölünür.
𝑶𝑺 =
𝒇 𝑿−𝑿
𝒇
Örnek 6
X
10
12
18
20
Yandaki serinin ortalama sapma değerini hesaplayınız.
Çözüm 6
X
Yandaki serinin ortalama sapma değerini hesaplayınız.
10
12
18
20
X
𝐗−𝐗
𝐗−𝐗
10
-5
5
12
-3
3
18
3
3
20
5
5
OS =
𝐗−𝐗
=
𝐧
𝑋=
𝑋
𝑛
=
60
4
= 15
𝟏𝟎−𝟏𝟓 + 𝟏𝟐−𝟏𝟓 + 𝟏𝟖−𝟏𝟓 + 𝟐𝟎−𝟏𝟓
𝟏𝟔
=
=4
𝟒
𝟒
Örnek 7
Gruplar
f
1-3
1
3-5
2
5-7
4
7-9
3

Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride
Ortalama sapma değerini bulunuz.
Çözüm 7
Gruplar
1-3
3-5
5-7
7-9

f
1
2
4
3

Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride Ortalama
sapma değerini bulunuz.
Öncelikle sınıf sınırlarından sınıf değerleri hesaplanır.
X
f
fX
𝐗−𝐗
𝐗−𝐗
f 𝐗−𝐗
2
1
2
-3,8
3,8
3,8
4
2
8
-1,8
1,8
3,6
6
4
24
0,2
0,2
0,8
8
3
24
2,2
2,2
6,6
𝑋=
OS =
𝑓𝑋
𝑓
=
58
10
f X−X
𝑓
= 5,8
=
𝟏∗ 𝟐−𝟓,𝟖 +𝟐∗ 𝟒−𝟓,𝟖 +𝟒∗ 𝟔−𝟓,𝟖 +𝟑∗ 𝟖−𝟓,𝟖
𝟏𝟎
=
𝟏𝟒,𝟖
𝟏𝟎
= 1,48
Örnek 8
Sınıflar X
f ( Frekans)
0-4
1
4-8
2
8-12
2
12-16
1
16-20
2
20-24
2
Verilen sınıflandırılmış
serinin ortalama sapmasını
bulunuz ?
Çözüm 8
Sınıflar X
f ( Frekans)
Xi
f. Xi
Xi – X
│ Xi – X │
f.│Xi – X │
0-4
1
2
2
-11
11
11
4-8
2
6
12
-7
7
14
8-12
2
10
20
-3
3
6
12-16
1
14
14
1
1
1
16-20
2
18
36
5
5
10
20-24
2
22
44
9
9
18
N = 10
T =128
Topl = 60
2- Varyans

Ortalamadan sapmaların karelerinin toplamının serideki birim sayısına
bölünmesi ile elde edilir.
2
s =

X−X
n−1
2
Örneklemdeki eleman sayısı
büyük ise n-1 yerine n alınabilir.
Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde varyans aşağıdaki şekilde
hesaplanır.
s2
=
f X−X
𝑓
2
Örnek 9
X
10
12
16
18
Yandaki serinin varyansını hesaplayınız.
Çözüm 9
X
Yandaki serinin varyansını hesaplayınız.
10
12
16
18
s2
X
𝐗−𝐗
(𝐗 − 𝐗 )𝟐
10
-5
25
12
-3
9
16
3
9
18
5
25
=
X−X 2
n
=
𝑋=
𝑋
𝑛
=
60
4
= 15
10−15 2 + 12−15 2 + 16−15 2 + 18−15 2
4
= 22,67
Örnek 10
Gruplar
1-3
3-5
5-7
7-9
f
1
2
4
3

Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride
varyans değerini bulunuz.
Çözüm 10
Gruplar
1-3
3-5
5-7
7-9
f
1
2
4
3

Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride
varyans değerini bulunuz.
𝟐
X
f
fX
𝐗−𝐗
(𝐗 − 𝐗 )
2
1
2
-3,8
14,44
14,44
4
2
8
-1,8
3,24
6,48
6
4
24
0,2
0,04
0,16
8
3
24
2,2
4,84
14,52
𝑋=
𝑓𝑋
𝑓
s2
f X−X 2
𝑓
=
=
58
10
= 5,8
=
35,6
10
= 3,56
f(𝐗 − 𝐗 )
𝟐
3- Standart Sapma




Varyansın karekökü alındığında standart sapma elde edilir.
Standart sapma uygulamada en çok kullanılan dağılma ölçüsüdür.
Anakütle ya da örneklemdeki birimlerin ölçüsü (m, kg, cm, TL) ne
ise standart sapmanın da ölçüsü o ölçü cinsindendir.
Genellikle örneklem standart sapması s, anakütle standart sapması
𝝈 sembolleri ile ifade edilir.
s2
s2
2
=
X−X
n−1
=
f X−X
𝑓
Basit seriler için
2
Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış
seriler için
4- Değişim Katsayısı





Gerek standart sapma gerekse dağılma ölçüleri ölçü biriminden
bağımsız değildir.
Bundan dolayı aynı seri farklı ölçü birimleriyle ifade edildiğinde
değişik standart sapma değerleri elde edileceği gibi, farklı ölçü
birimleriyle ifade edilmiş iki ayrı serinin mukayesesi de yanıltıcı
sonuçlar verecektir.
İşte diğer dağılım ölçülerinin bu dezavantajını gidermek için değişim
katsayısı geliştirilmiştir.
Bu katsayıda mutlak yerine nisbi dağılma esas alınmıştır.
Yani, değişim katsayısında standart sapma aritmetik ortalamanın
yüzdesi olarak ifade edilir.
𝑫𝑲 =
𝒔
𝑿
. 100
Örnek 11 a

Ortalaması 15 ve standart sapması 4,76 olan serinin değişim
katsayısını bulunuz.
DK =
s
X
. 100 = 4,76
. 100 = %31,73
15
Örnek 11 b

Bir işletmenin yaptığı üretim belirli bir zaman diliminde ölçülmüş ve
aşağıdaki veriler elde edilmiştir.
115 94 110 103 92 104 114 106 100 102 100 95
97 113 98
101 99 103 93 107 96 113 110 108 102 114 90 100 103 114
111 105 99 102 98
97
93
91
99 114 108 103 100 98 101
104 110 114 113 109 108 106 115 103 111 109 112 104 104 102
107 106 119 105 96
a) Dağılım aralığı ?
94
96 101 101 106 107 105 113 112 99
Örnek 12
Sınıflar
Frekans
90-92
3
93-95
5
96-98
8
99-101
12
102-104
14
105-107
11
108-110
9
111-113
8
114-116
5
Yukarıdaki değerlere göre;
a)Aritmetik ortalamayı,
b)Ortancayı,
c) Standart sapmayı,
d) Standart hatayı bulunuz
Çözüm 12
Örnek 13
Sınıflar X
f ( Frekans)
0-4
4-8
8-12
12-16
16-20
20-24
24-28
28-32
32-36
36-40
2
2
2
2
2
1
2
3
2
2
Verilen sınıflandırılmış serinin varyans ve
standart sapmasını bulunuz ?
Çözüm 13
Sınıflar X
0-4
4-8
8-12
12-16
16-20
20-24
24-28
28-32
32-36
36-40
f ( Frekans)
2
2
2
2
2
1
2
3
2
2
N = 20
Xi
2
6
10
14
18
22
26
30
34
38
f. Xi
4
12
20
28
36
22
52
90
68
76
T =408
Xi – X
-18
-14
-10
-6
-2
2
6
8
14
18
( Xi – X ) 2
324
196
100
36
4
4
36
64
196
324
f. (Xi – X ) 2
648
292
200
72
8
4
72
300
392
648
Topl = 2736
Örnek 14
8 öğrenciden oluşan bir grup lise 1 öğrencisi yabancı dil eğitimi
için yurt dışına gönderilmiş , döndüklerinde sınava tabi
tutulmuşlardır. Aldıkları puanlar aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin
aldıkları puanlara ilişkin varyansı ve standart sapmayı
hesaplayınız.
Çözüm 14
Örnek 15
Çözüm 15
Örnek 16
Çözüm 16