Transcript Merkezi Eğilim Ölçüleri

İTİCÜ
Mühendislik ve Tasarım
Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Bölümü
İSTATİSTİK VE OLASILIK I
2. Hafta:
Öğr. Gör. Berk Ayvaz
Merkezi Eğilim Ölçüleri



Merkezi eğilim ölçüleri istatistiğin özetleme işini en ileri
düzeyde yerine getiren ölçülerdir.
N=10000 birim büyüklüğündeki bir anakütle 100 adet grup
ile ifade edilebileceği gibi bir adet sayıdan oluşan ortalama
değer ile de temsil edilebilir.
Merkezi eğilim ölçüleri ikiye ayrılır:
1. Serinin bütün birimlerine tabi olan eğilim ölçüleri
2. Serinin bütün birimlerine tabi olmayan eğilim ölçüleri
Parametrik Merkezi Eğilim Ölçüleri





Birinci gruba girenler parametrik merkezi eğilim ölçüleri
olarak adlandırılır.
Bunlar serideki tek bir rakamın değişmesinden direkt olarak
etkilenirler.
Bundan dolayı parametrik merkezi eğilim ölçüleri srideki aşırı
uçların etkisinde kalırlar.
Sınıf uçlarının belli olmadığı serilerde sınıf değerleri
hesaplanamayacağı için parametrik merkezi eğilim ölçülerinin
hiçbiri hesaplanamaz.
Bu gruptaki parametrik merkezi eğilim ölçüleri: aritmetik
ortalama, Geometrik ortalama, harmonik ortalama ve
kareli ortalamadır.
Aritmetik ortalama



Serideki tüm birimlerden etkilenen bir ortalama türüdür.
İstatistikte en çok kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür.
Basit bir şekilde serideki tüm birimlerin değerlerinin toplamının birim
sayısına bölünmesi ile bulunur.
𝑋
𝑋=
𝑛

Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde ise aritmetik ortalama
aşağıdaki gibi hesaplanır:
𝑋=

𝑓𝑋
𝑓
Gruplandırılmış serilerde X değeri sınıf orta noktalarını yani sınıf
değerlerini gösterir. X değerlerine ait ağırlıklar varsa frekans yerine
ağırlıklar kullanılarak ağırlıklı aritmetik ortalamalar hesaplanır.
Örnek 1
 Aşağıdaki
serinin artimetik ortalamasını hesaplayınız.
X= 10, 12, 18, 24, 30
CEVAP:
𝑋=
𝑋
𝑛
=
10+12+18+24+30
5
= 16,8
Örnek 2
 Aşağıdaki
sınıflandırılmış serinin aritmetik ortalamasını
bulunuz.
X
4
5
7
9
f
1
2
4
3
CEVAP:
X
4
5
7
9
f
1
2
4
3
Fx
4
10
28
27
𝑋=
𝑓𝑋
𝑓
=
4∗1 + 5∗2 + 7∗4 +(9∗3)
1+2+4+3
= 6,9
Örnek 3

Aşağıda bir öğrenciye ait ders notları verilmiştir. Buna göre bu
öğrencinin ağırlıklı not ortalamasını hesaplayınız.
İstatistik
Yöneylem araştırması
Veri tabanı
Üretim yönetimi
notu
75
88
64
76
ders kredisi
3
3
2
3
notu ders kredisi ağırlıklı not
İstatistik
75
3
Yöneylem araştırması 88
3
Veri tabanı
64
2
Üretim yönetimi
76
3
Çözüm 3
CEVAP:
notu ders kredisi ağırlıklı not
İstatistik
75
3
225
Yöneylem araştırması 88
3
264
Veri tabanı
64
2
128
Üretim yönetimi
76
3
822
𝑋=
𝑓𝑋
𝑓
=
75∗3 + 88∗3 + 64∗2 +(76∗3)
3+3+2+3
= 76,82
Örnek 4
İstatistik dersinden alınan vize notları aşağıdaki
gruplandırılmıştır. Buna göre sınıf ortalamasını bulunuz.
notlar
0-50
50-70
70-85
85-100
f
4
15
8
3
gibi
Çözüm 4
X=sınıf değeri
25
60
77,5
92,5
notlar
0-50
50-70
70-85
85-100
𝑋=
𝑓𝑋
𝑓
=
f
4
15
8
3
fX
100
900
620
277,5
25∗4 + 60∗15 + 77,5∗8 +(92,5∗3)
4+15+8+3
= 63,25
Geometrik Ortalama



Serideki n tane birimin çarpımının n. dereceden kökü alınarak bulunur.
Seride 0 yada negatif değerler varsa geometrik ortalama
hesaplanamaz.
Geometrik ortalama, geometrik dizi şeklinde artış gösteren serileri en iyi
temsil eden parametrik merkezi eğilim ölçüsüdür.
𝐆=


𝐧
𝐗𝟏, 𝐗𝟐, … … . 𝐗𝐧
Seride çok sayıda eleman bulunduğunda bu formül pek elverişli
olmamaktadır.
Bunun yerine aşağıdaki formül tercih edilir.
𝐥𝐨𝐠 𝐆 =
𝟏
𝐧
𝐥𝐨𝐠 𝐗 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠 𝐗 𝟐 + … … . . 𝐥𝐨𝐠 𝐗 𝐧
Harmonik Ortalama



Harmonik ortalama serideki birimlerin çarpmaya göre terslerinin
aritmetik ortalamasının tersidir.
Seride 0 yada negatif değerler varsa harmonik ortalama
hesaplanamaz.
𝐧
𝐇=
𝟏
𝐗𝐢
Gruplandırılmış ve sınıflandırılmış serilerde ise aşağıdaki formülle
hesaplanır.
𝐇=
𝒇
𝒇𝒊
𝐗𝐢
Kareli Ortalama


Serideki birimlerin karelerinin aritmetik ortalamasının kare köküdür.
Basit serilerde kareli ortalama:
𝐊=

𝐗𝟐
𝐧
Gruplandırılmış ve sınıflansırılmış serilerde ise aşağıdaki formülle
hesaplanır.
𝐊=
𝐟𝐗 𝟐
𝒇
Parametrik Olmayan Merkezi Eğilim Ölçüleri
Mod





Bir seride en çok tekrarlanan, yani frekansı en yüksek olan
değerdir.
Bir sayı setinde sayıların hepsi birbirinden farklı ise bu serinin
modu yoktur.
Sınıflandırılmış seride mod en yüksek frekansa sahip olan X değeridir.
Gruplandırılmış serilerde ise mod en yüksek frekansa sahip olan sınıf
sınırları içindedir.
Gruplandırılmış serilerde mod, formül ya da frekans histogramı
yardımıyla yaklaşık değer olarak elde edilebilir.
∆𝟏
𝑴𝒐𝒅 = 𝑳𝟏 +
.𝒄
∆𝟏 + ∆𝟐
Mod sınıfının alt sınırı
Mod sınıfı frekansı ile bir önceki sınıfın
frekansı arasındaki fark
Mod sınıfının sınıf büyüklüğü
Mod sınıfı frekansı ile bir sonraki
sınıfın frekansı arasındaki fark
Mod



Grafik metotla mod tespit edilirken önce çizilen frekans histogramında
yüksekliği en fazla olan kutucuğun üst iki köşesi işaretlenir.
Daha sonra bu kutucuğun sağındaki kutunun sol üst köşesi ve
solundaki kutunun sağ üst köşesi işaretlenir.
İşaretlenen bu noktalar çaprazlama olarak birleştirildiklerinde
doğruların kesişme noktasının X eksenindeki karşılığı serinin modunu
verir.
Örnek 5
X
10
Tablodaki serinin modunu bulunuz.
12
18
20
Cevap: Her değer bir kere tekrarlandığı için mod yoktur.
Örnek 6

Sınıflandırılmış serinin modunu
bulunuz.
X
f
4
1
5
2
7
4
9
3
Çözüm 6

Cevap: Sınıflandırılmış seride frekansı en yüksek olan değer
7 olduğu için Mod:7 ‘dir.
X
f
4
1
5
2
7
4
9
3
Örnek 7

Gruplandırılmış serinin modunu
hesaplayınız.
Gruplar
f
2-4
2
5-7
13
8-10
4
11-13
1
Çözüm 7
Dikkat
gruplandırılmış seri
kesikli
verilmiş.
Bunun sürekli hale
dönüştürülmesi
gereliyor.





Gruplar
f
Gruplar
f
2-4
2
2-4,5
2
5-7
13
4,5-7,5
13
8-10
4
7,5-10,5
4
11-13
1
10,5-13
1
mod
Cevap: frekansı en yüksek olan 5-7 sınıfı dağılımın mod sınıfıdır.
Bu sınıfın alt sınırı = 4,5
Mod sınıfı ile bir alt sınıfın frekans farkı = 13 – 2 = 11=∆1
Mod sınıfı ile bir üst sınıfın frekans farkı = 13 - 4 = 9 =∆2
Mod sınıfının büyüklüğü= 7,5 – 4,5 = 3= c olduğından;
𝑀𝑜𝑑 = 𝐿1 +
∆1
.𝑐
∆1 +∆2
= 4,5 +
11
.3
11+9
= 6,15
Çözüm 7
Medyan (M)



Orta değer, ortanca demektir.
Bir serinin elemanları küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru
sıralandığı takdirde tam orta noktaya düşen değere medyan denir.
Basit ve sınıflandırılmış serilerde, N toplam frekansı göstermek üzere serilerde
medyan aşağıdaki formülle hesaplanır.
𝑵+𝟏
M=
𝟐


Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride M. değerin içerisinde yer aldığı kümülatif frekans,
sınıflandırılmış seride medyanı, gruplandırılmış seride ise medyan sınıfını gösterir.
Gruplandırılmış serilerde yukarıdaki formüldeki +1 kısmı dikkate alınmayabilir. Bu durumda
Gruplandırılmış seri için formül şu şekilde olur.
M=
𝑵
𝟐
Medyan (M)

Gruplandırılmış seride medyan formülle yada grafik yoluyla elde
edilebilir.
Medyanı gösteren değer
𝐍
−
𝟐
𝐌 = 𝐋𝟏 +
Medyan sınıfının alt
sınırı
𝐟𝐦−𝟏
𝐟𝐦
.𝐜
Medyan sınıfından bir
önceki sınıfın kümülatif
frekansı
Medyan sınıfının sınıf büyüklüğü
Medyan sınıfının frekansı
Örnek 8

X
Tablodaki serinin medyanını bulunuz.
10
12
18
20
Cevap:
M=
N+1
4+1
=
2
2
M=
= 2,5. değer
18+12
2
= 15
Buna göre medyan 2. ve 3. değerlerin
ortalamasıdır.
Örnek 9

Sınıflandırılmış serinin medyanını
bulunuz.
X
f
4
1
5
2
7
4
9
3
Çözüm 9
M=
X
f
k.f.
4
1
1
5
2
3
7
4
7
9
3
10
N+1
10+1
=
2
2
= 5,5. değer
5,5’inci değer kümülatif frekans serisinde 7 değerinin içerisinde yer alır.
Bu yüzden 7 değeri serinin medyanıdır.
Örnek 10

Gruplandırılmış serinin medyanını
hesaplayınız.
Gruplar
f
2-4
2
5-7
13
8-10
4
11-13
1
Çözüm 10
Gruplar
f
k.f.
2-4
2
2
5-7
13
15
8-10
4
19
11-13
1
20
N
M= 2 =

20
2
= 10. değer
Kümülatif frekans serisinde 10. değer 15’in
içerisindedir. Kümülatif frekansı 15 olan 5-7
sınıfı içerisinde medyanı bulunduran sınıftır.
Dikkat gruplandırılmış seri kesikli
verilmiş. Bunun sürekli hale
dönüştürülmesi gereliyor.
M = L1 +
N
−
2
fm−1
fm
. c = 4,5 +
Gruplar
f
2-4,5
2
4,5-7,5
13
7,5-10,5
4
10,5-13
1
20
−𝟐
2
Sınıf büyüklüğü: 7,5- 4,5 = 3
𝟏𝟑
. 3 = 6,35
Kantiller
Kartiller (Dörde Bölenler)



Büyüklük sırasına konulmuş bir seriyi dört eşit kısma bölen
değerlerdir.
Bir seride 3 kartil mevcuttur ve ikinci kartil medyandır.
Birinci kartil Q1, ikinci kartil Q2 ve üçüncü kartil Q3 ile gösterilir.
Basit ve sınıflandırılmış serilerde;
𝑄1 =
𝑁+1 ′
𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
4
𝑄2 =
2(𝑁 + 1) 𝑁 + 1 ′
=
𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
4
2
3(𝑁 + 1) ′
𝑄3 =
𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
4
Kartiller

Gruplandırılmış serilerde ise aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
N
− fi
4
𝑄1 = L1 +
.c
f𝑄1
2N
− fi
4
𝑄2 = L1 +
.c
f𝑄2
3N
− fi
4
𝑄3 = L1 +
.c
f𝑄3
Desiller



Desiller, büyüklük sırasına konulmuş bir seriyi 10 eşit kısma
bölen değerlerdir.
Dokuz adet desil vardır.
Basit ve sınıflandırılmış serilerde desiller aşağıdaki gibi
hesaplanır.
𝐷1 =
𝑁+1 ′
𝑛𝑐𝑢 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
10
𝐷2 =
2(𝑁 + 1) 𝑁 + 1 ′
=
𝑛𝑐𝑢 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
10
5
5(𝑁 + 1) ′
𝐷5 =
𝑛𝑐𝑢 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
10
9(𝑁 + 1) ′
𝐷9 =
𝑛𝑐𝑢 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
10
Desiller

Gruplandırılmış serilerde ise aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
N
− fi
10
𝐷1 = L1 +
.c
f𝐷1
2N
− fi
10
𝐷2 = L1 +
.c
f𝑄2
9N
− fi
10
𝐷9 = L1 +
.c
f𝑄9
Pörsentiller



Pörsentiller, büyüklük sırasına konulmuş bir seriyi 100 eşit kısma
bölen değerlerdir.
99 adet desil vardır.
Basit ve sınıflandırılmış serilerde desiller aşağıdaki gibi hesaplanır.
𝑃1 =
𝑁+1 ′
𝑛𝑐ü 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
100
𝑃2 =
2(𝑁 + 1) 𝑁 + 1 ′
=
𝑛𝑐ü 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
100
50
𝑃50
5(𝑁 + 1) ′
=
𝑛𝑐ü 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
100
𝑃99
9(𝑁 + 1) ′
=
𝑛𝑐ü 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟
100
Pörsentiller

Gruplandırılmış serilerde ise aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
N
−
100
𝑃1 = L1 +
f𝑃1
2N
−
100
𝑃2 = L1 +
f𝑃2
𝑃99
fi
fi
.c
.c
99N
− fi
100
= L1 +
.c
f𝑃99