Transcript E(X 2 )

Beklenen değer ve Momentler
• Çoğu zaman rassal değişkenin olasılık dağılımının
yanı sıra onun özelliklerini yansıtan parametreleri ile
ilgilenilir. Rassal değişkene ait olasılık fonksiyonları
ile
işlem
yapılabilmesi
için
öncelikle
bu
parametrelerin bilinmesi gerekir.
• Olasılıkta bir olayın davranışına ait fonksiyonun
parametreleri için ilk ele alınan kavram beklenen
değer ve bunun uzantısı olan moment kavramdır.
• Beklenen değer, ya da matematik ümit, kısaca
rassal değişkenin aritmetik ortalamasıdır.
• Bir rassal değişkenin beklenen değeri E(X) ile
gösterilir ve şöyle tarif edilir.
Beklenen değer
• Bir rassal değişkenin beklenen değeri E(X) ile
gösterilir ve şöyle tarif edilir.
 xi  f ( xi )
xi : kesikli

E( X )   
x : sürekli
 x  f ( x)dx
• Şu halde beklenen değer rassal değişkenin aldığı
değerler ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımının
toplamına eşittir.
• Beklenen değerin buluna bilmesi için  xi  f ( xi )
serisinin yakınsak,  x  f ( x)dx
integralinin belirli
olması gerekir.
Beklenen Değer
• Örnek: Bir futbol takımının yaptığı maçlarda
attığı gol sayılarının dağılımının aşağıdaki gibi
olduğu verilmiştir. Buna göre takımın yaptığı bir
maçta attığı gol sayısının beklenen değeri ne
olur?
Attığı gol sayısı (xi)
0
1
2
3
4
Toplam
Olasılığı f(xi)
0,15
0,2
0,25
0,3
0,1
1
• Çözüm:
• Beklenen değer tarifinden E(X) = ∑xif(xi) işlemi
yapılır.
Beklenen Değer
Attığı gol sayısı (xi)
0
1
2
3
4
olasılığı f(xi)
0,15
0,2
0,25
0,3
0,1
∑xif(xi)
0
0,2
0,5
0.9
0,4
E(X)
2
• Şu halde takımın yaptığı maçlarda beklenen gol
sayısı E(X) = 2 olur.
• Örnek: Üç para ile yapılan atışta yazı sayısının
beklenen değeri ne olur?
• Çözüm: Üç para ile yapılan atış deneyinin örnek
uzayı 23 =8 nokta içerir. Yazı sayısı değişkeni (X)
ise 0,1,2,3 değerlerini alır. Önce rassal
değişkenlerin bu değerleri alma olasılıkları
belirlenerek beklenen değer hesaplanır.
Beklenen Değer
Yazı sayısı (xi)
0
1
2
3
Olasılık f(xi)
3
 
 0   0.125
8
 3
 
1   0.375
8
3 
 
 2   0.375
8
 3
 
 3   0.125
8
Beklenen değer E(X)
Xif(xi)
0*0.125 = 0
1*0.375 = 0,375
2*0.375 = 0,75
3*0,125 = 0,375
1,5
Beklenen Değer
• Örnek: Aşağıda verilen sürekli olasılık yoğunluk
fonksiyonundan hareketle X rassal değişkeninin
beklenen değerini bulunuz.
2(1  x)
f ( x)  
0
0  x 1
diger haller
• Çözüm
1
 2 2x 
E ( X )   x 2(1  x)dx   (2 x  2 x )dx   x 

3

0
0
0
1
 2
E ( X )  1    E ( X ) 
olur.
3
 3
1
1
3
2
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
• Beklenen değer teorik bir değer olup X rassal
değişkeninin tartılı aritmetik ortalamasıdır. Belli bir
deney sonucu beklenen değerin mutlaka elde
edileceğini söylemek mümkün değildir. Ancak deney
sayısının arttırılması halinde sonucun beklenen
değere yaklaşacağını söylemek mümkündür.
• X rassal değişkeni xi değerini alırken g(x) rassal
değişkeni de X e bağlı olarak g(xi) değerini alabilir. Bu
durumda g(x) in beklenen değeri şöyle olur.

 g ( xi )  f ( xi )
E[ g ( x)]  
g ( x)  f ( x)dx


X kesikli
X sürekli
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
• Örnek: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
aşağıdaki gibi verilmiştir.
X
f(xi)
•
•
•
•
1
0.1
2
0.3
3
0.35
4
0.2
Yukarıdaki tablodan hareketle;
a) E(X2)
b) E(3X+4)
c) E(X3/3) beklenen değerlerini bulunuz.
5
0.05
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
Çözüm a)
X=x
1
2
3
4
5
Toplam
f(xi)
x i2
xi2f(xi)
0.1
1
0.1
0.3
4
1.2
0.35
9
3.15
0.2
16
3.2
0.05
25
1.25
8.9
4
0.2
16
3.2
5
0.05
19
0.95
E(X2) = 8.9
b)
X=x
f(xi)
3x+4
(3x+4)f(xi)
1
0.1
7
0.7
E(3X+4) = 12.4
2
0.3
10
3
3
0.35
13
4.55
Toplam
12,4
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
Örnek: X sürekli değişkeni için oyf aşağıdaki gibi
verilmiştir.
2(1  x)
f ( x)  
0
0  x 1
diger haller
a) E(X3)
b) E(2X2+3)
c) E(X2/3) bulunuz.
Çözüm
1
1
E ( X 3 )   x3 2(1  x)dx   (2 x3  2 x 4 )dx
a)
0
0
1
 x 2x 
1 2
1
3
E( X )   
   E( X ) 

5 0 2 5
10
2
4
3
5
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
•
b)
1
1
E (2 X  3)   (2 x  3)2(1  x)dx   4 x 2  2 x 3  6  6 x)dx
2
2
0
0
1
 4x

x
4 1
E (2 X 2  3)  

 6 x  3x 2     6  3
2
3 2
 3
0
23
E (2 X 2  3) 
6
3
• c)
X
E 
 3
2
4
1

 2x
x
2x
2x
x 
   2(1  x)dx   (

)dx  
 
3
3
6 0
 0 3
 9
0
1
2
1
2
 X 2  2 1
X2  1
E
      E

 3  9 6
 3  18
3
3
4
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
• Teorem 1. c bir sabit sayı ise c nin beklenen değeri c, yani sabit
sayı olur E(c)=c.
• Teorem 2. c bir sabit, X sürekli veya kesikli rassal değişken ise
E(cX) = c·E(X) veya,
E[c(g(x)] = c·E[g(x)] olur.
• Teorem 3. a ve b sabit X kesikli veya sürekli bir rassal değişken
ise; E(a·X + b) = a·E(X)+b olur.
• Teorem 4. X ve Y kesikli veya sürekli iki rassal değişken ise;
E(X + Y) = E(X) + E(Y) olur.
Teoremi
genelleştirirsek:
X1,X2,…,XN
ortalamaları
E(X1),E(X2),…,E(XN) olan rasgele değişkenler olsunlar.
E(X1+X2+…..+XN) = E(X1)+E(X2)+…..+E(XN) olur.
• Teorem 5. u(x) ve v(x) X rassal değişkeninin iki olasılık
fonksiyonu, a ve b sabit sayılar ise;
E[ a·u(x) + b·v(x)] = a·E[u(x)] + b·E[v(x)] olur.
• Teorem 6. X ve Y bağımsız kesikli veya sürekli iki rassal
değişken ise;
E(X·Y) = E(X)·E(Y) olur.
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
• Teorem7. X ve Y kesikli veya sürekli iki
rassal değişken ise;
Eg ( X , Y )  
i
(g(x , y )  f (x , y )
i
j
i
j
olur. ( Kesikli)
j
E g ( X , Y )    g ( x, y )  f ( x, y )dydx olur . ( sürekli )
x y
• Teorem 8. a ve b sabit sayılar X rassal
değişkeni kesikli veya sürekli ise;


E (aX  b)2  a 2 E( X 2 )  2abE( X )  b2 olur.
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Örnek: Bir firma ürettiği mamulleri 100 birimlik kutulara
koyarak pazarlamaktadır. Kutularda bulunan kusurlu
mamul sayıları ve olasılıkları şöyledir. Bu verilere göre
• a) Kutlarda beklenen (ortalama) kusurlu mamul sayısını
bulunuz.
• b) E(3X+4) ü bulunuz
• c) E(X2/2) yi bulunuz.
• d) Mod ve medyanını bulunuz.
• Çözüm: a)
Kusurlu sayısı (X)
0
Olasılık f(xi)
0,7
xif(xi)
0
1
2
3
4
5
0,14 0,09 0,04 0,02 0,01
Toplam
1
0,14 0,18 0,12 0,08 0,05 E(X)=0,57
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• b) E(3X+4) = 3E(X)+4 =3*0.57+4 → E(3X+4) = 5.71
• c)  X 2  1
2
  E ( X ) olur.
E 
 2  2
Kusurlu sayısı (X)
0
1
2
3
4
5
X2
0
1
4
9
16
25
Olasılık f(xi)
0,7
xi2 f(xi)
0
0,14 0,09 0,04 0,02 0,01
Toplam
1
0,14 0,36 0,36 0,32 0,25 E(X2)=1,43
 X2  1
 X2 
1
2
  E ( X )  1.43  E
  0.715
E
2
 2  2
 2 
• d) Mod frekansı (olasılığı) en yüksek değerdir. Mod=0
• e) Medyan dağılımın ortası, yani kümülatif olasılığın 0.5
olduğu noktadır. Medyan = 0
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Medyan: Bir dağılımı iki eşit parçaya bölen değer medyan olarak
tanımlanır.
• Kesikli dağılımlar için medyan Olasılıklar toplamının 0,5 e eşit olduğu
değere eşit olur. Yani ∑f(xi)=0,5 yapan xi değeri medyan olur.
• Sürekli dağılımlarda medyan şöyle ifade edilir.
x


x
 f (u)du   f (u)du 0,5
•
•
•
•
yapan x değeri medyan olur.
Mod: Bir dağılımda en çok tekrarlanan değerdir (tepe değer).
Kesikli dağılımlarda olasılığı en büyük olan değerdir.
Sürekli dağılımlarda tek maksimumlu fonksiyonlar için dağılımın türevini
sıfır yapan değerdir.
df ( x )
0
dx
• d) Mod frekansı (olasılığı) en yüksek değerdir. Mod=0
• e) Medyan dağılımın ortası, yani kümülatif olasılığın 0.5 olduğu noktadır.
Medyan = 0
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Örnek: X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu
aşağıdaki gibidir. Buna göre;
a) X in beklenen değerini [E(X)] bulunuz.
b) (3x3-4) ün beklenen değerini [ E(3x3-4)] bulunuz.
c) E(2X2/5) i bulunuz.
d) Medyanı bulunuz.
 3x 2

f ( x) 64
0

0 x4
x0
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• a)
4
E( X ) 
• b)
4
3x 2
3x 3
3x 4
E( X )   x
dx  
dx 
64
64
4  64
0
0
4
0
3  256

4  64
768
 E( X )  3
256
4
E (3 X 3  4)  3E ( X 3 )  4  3 x 3
0
2
4
5
3x
3x
3x
dx  4  3
dx  4  3 
4
64
64
6  64 0
0
 3  32  4  E(3X 3  4)  92
• c)
4
4
2
2X 2  2
2
3
x
2
3x 4
2
2
E
dx  
dx
  E( X )   x
50
64
5 0 64
 5  5
4
 2 X  2  3x 
5
E


(9.6)



 5  5  320 0 2
2
5
6 4
2X 2 
E
  24
 5 
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• d) Medyan
Med

0
med
x 
3x
dx  0.5   
64
 64  0
2
3
 0.5  Medyan3  32
Medyan 3 32  Medyan 3.17
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Örnek: Aşağıda bileşik
fonksiyonu verilmiştir.
 xy 2

f ( x, y )   12
0

0 x3
bir
olasılık
yoğunluk
0 y2
diger
• a) E(X+Y) yi bulunuz.
• b) E(XY) = E(X)*E(Y) durumunu araştırarak X ve Y
nin bağımsız olup olmadığını belirleyiniz.
• Çözüm:
E(X+Y) = E(X)+E(Y) için önce marjinal fonksiyonlar
elde edilir.
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
a)
2
f x ( x)  
0
2
3 2
xy
xy
dy 
12
36
 f x ( x) 
0
2x
9
0 x3
3
 2x3 
2x
E ( X )   x dx  
  E( X )  2
9
 27  0
0
3
3
 x2 y2 
xy
3y 2
f y ( y)  
dx  
  f y ( y) 
12
8
 24  0
0
3
2
0 y2
2
3y 4 
3y 2
E (Y )   y
dy  
  E (Y )  1.5
8
32

0
0
2
E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )  2  1.5  E( X  Y )  3.5
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• b)
3 2
E ( XY )    xy
0 0
3 2
2
2
3
3
2
4 2
xy
x y
x y
dx   
dydx  
12
12
48
0 0
0
dx
0
3
x 
x
E ( XY )   dx     E ( XY )  3 olur.
3
 9 0
0
3
•
•
•
•
2
3
X ve Y bağımsız olduğunda E(XY)=E(X)*E(Y) idi
E(X)= 2 ve E(Y)=1.5 bulunmuştu. Buna göre;
E(XY)=E(X)*E(Y) = 2*1.5 =3 olur.
Şu halde E(XY)=E(X)*E(Y) olduğundan X ve Y
bağımsız rassal değişkenlerdir.
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Örnek: Aşağıda verilen kesikli bileşik olasılık yoğunluk
fonksiyonundan hareketle
• a) E(X+Y) yi hesaplayınız.
• b) E(XY) yi hesaplayarak X ve Y nin bağımsız olup
olmadığını araştırınız.
Y takımının attığı gol
sayısı
fx(xi)
0
1
2
3
X takımının attığı gol sayısı
0
1
2
0,1
0,15
0,1
0,1
0,1
0,05
0,05
0,07
0,05
0
0,02
0,04
0,25
0,34
0,24
3
0,05
0,03
0,04
0,05
0,17
fy(yi)
0,4
0,28
0,21
0,11
1
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Çözüm
• a) E(X+Y)=E(X)+E(Y) olduğuna göre:
X
fx(xi)
0
1
2
3
Toplam
0.25 0.34 0.24 0.17
xi fx(xi)
0
0.34 0.48 0.51
Y
0
fy(yi)
0.4
0.28 0.21 0.11
yi fy(yi)
0
0.28 0.42 0.33
1
2
3
1.33
Toplam
1.03
• E(X+Y) = 1.33+1.03 = 2.36 olur.
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• b) X ve Y rassal değişkenleri bağımsız ise
E(XY) = E(X)*E(Y) olur.
• E(XY)=1*0.1+2*0.07+3*0.02+2*0.05+4*0.05
+6*0.04+3*0.03+6*0.04+9*0.05= 1.62
• E(X) = 1,33 ve E(Y)=1.03 olup,
• E(X)*E(Y) = 1.33*1.03 = 1,37
• E(XY)=1.62 ≠ E(X)*E(Y) = 1.37 olduğundan
X ve Y bağımsız değildir.
Momentler
• Moment bir rassal değişkenin nasıl dağıldığını
belirlemede kullanılan ölçüler olarak tarif edilmişti.
Momentler sıfıra (orjine) veya aritmetik ortalamaya
göre hesaplanırlar.
• Bir dağılımın sıfıra göre momenti kendisine ait
rassal değişkeninin kuvvetlerinin beklenen değeri
olarak tarif edilebilir. X rassal değişkeninin sıfıra
göre r. momenti Mr ile gösterilir ve şöyle yazılır.
• Kesikli dağılımlar için :
• Sürekli dağılımlar için:
M r  E[ X r ]   xir f ( xi )
M r  E[ X r ]   x r f ( x)dx
• Burada : r momentin derecesi olup r=0,1,2,3,4 olur.
Orjine (Sıfıra) Göre Momentler
• r=0 için: M  E[ X 0 ] 
0
0
x
 i f (xi )   f (xi ) 1
M 0  E[ X 0 ]   x 0 f ( x)dx   f ( x)dx 1 olur.
• r = 1 için X rassal değişkeninin beklenen değeri yani
aritmetik ortalaması elde edilir.
M1  E[ X ]   xi f ( xi )  X
1
M 1  E[ X ]   xf ( x)dx  X olur.
• r = 2 için X in kareli ortalamasının karesi elde edilir.
M 2  E[ X ]   x f ( xi )  K
2
2
i
2
M 2  E[ X ]   x f ( x)dx  K elde edilir.
2
2
2
Aritmetik ortalamaya göre momentler
• Daha üst dereceden orjine göre momentler de
benzer şekilde hesaplanırlar. Orjine göre momentler
dağılımın şeklini belirlemede kullanılan aritmetik
ortalamaya göre momentlerin elde edilmesinde
kullanılırlar.
• Aritmetik ortalamaya göre moment: rassal
değişkenin
kendi
ortalamasından
farklarının
kuvvetlerinin beklenen değeri olarak tarif edilir ve
şöyle gösterilir.
Kesikli r  E[(X  M1 )r ]  ( xi M1 )r f ( xi )
Sürekli  r  E[( X  M 1 ) r ]   ( x  M 1 ) r f ( x)dx olur.
Aritmetik ortalamaya göre momentler
• r momentin derecesi olup r = 0,1,2,3,4 gibi değerler
alır.
• r = 0 için µ0= 1 dir. Çünkü bu moment olasılıklar
toplamından başka bir şey değildir.
M r  E[(X  M1 )0 ]  ( x  M1 )0 f ( xi )   f ( xi )  1
M r  E[( X  M 1 ) 0 ]   ( x  M 1 ) 0 f ( x)dx   f ( x)dx  1 olur .
• r = 1 için µ1 sıfıra eşit olur.
1  E[( X  M 1 )1 ]   ( xi  M 1 ) f ( xi )
 x f (x )   M
i
i
1
f ( xi )  M 1  M 1  0 olur.
• Sürekli dağılımlar için de bu durum geçerlidir.
Varyans
• r = 2 için µ2 varyansa eşittir.
• Ortalamaya göre ikinci moment olan varyans bir
dağılma (sapma, yayılma) ölçüsü olup standart
sapmanın karesine eşittir. Varyans, rassal
değişkenin aldığı değerlerin aritmetik ortalamaya
olan uzaklıklarının bir göstergesidir.
μ 2   x i  M1  f(xi )   x i2f(xi )  2M1  x i f(xi )  M12  f(xi )
2
 E(X2 )  2M12  M12  Var(X)  M2  M12   2 olur.
Varyansla İlgili Teoremler
• Teorem 1. X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken
ve c gerçek bir sabit ise
• Var(c) = 0
• Var(X+c) = Var(X) olur.
• Teorem 2. X varyansı Var(x) olan rassal değişken, c
gerçek bir sabit ise
• Var(cX) = c2Var(X) olur.
• İspatı: Var(cX)= E[(cx)2]-[(E(cX))2]
E(cX) = cE(X) = cM1
E[(cx)2] =E[c2X2] = c2E(X2) = c2M2
Var(cX)= E[(cx)2]-[(E(cX))2] idi Var(cX) = c2M2 – (cM1)2
Var(cX)= c2(M2-M12) Var(cX) = c2Var(X) olduğu
görülür.
Teorem 3. X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken a ve
b gerçek sabitler ise;
• Var(aX+b) = a2Var(X) olur.
Varyansla İlgili Teoremler
• Teorem 4. X ve Y değişkenlerinin ortalaması
sırasıyla E(X) = µx ve E(Y) = µy, varyansları
Var(X) = x2 ve Var(Y) = y2 olup bağımsız iki rassal
değişken olsunlar. Bu iki değişkenin toplamının
varyansı şöyle olur.
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) olur.
• Yukarıdaki teoremi N tane bağımsız değişken için
de şöyle yazabiliriz.
• Var(X1+ X2 + X3 +……+ XN)
= Var(X1)+Var(X2)+….+Var(XN)
Ortalamaya Göre Üçüncü Moment
• Ortalamaya göre 3. moment rassal değişkenin
dağılımının asimetrisini belirlemede kullanılan bir
momenttir.
Kesikli 3  E[(X  M1 )3 ]  ( xi  M1 )3 f ( xi )
3
3
Surekli 3  E[( X  M 1 ) ]   ( x  M 1 ) f ( x)dx olur.
• Orjine göre momentlerle aritmetik ortalamaya göre
momentler arasındaki ilişki Binom teoremi
kullanılarak bulunabilir. Binom açılımı şöyle yazılır;
 n  n -r r
a  b    a b idi
r 0  r 
n
n
• Binom açılımı aritmetik ortalamaya göre momentler
için de yazılabilir.
Ortalamaya Göre Üçüncü Moment
r  EX  M1 
r
 r r
i
r i 
 E    M1  X  
 i 0  i 

Bu açılımı aritmetik ortalamaya göre 3. moment için
yaparsak;
3
 3
0
1
3    M1  M 30     M1  M 31 
0
1 
3 
 3
2
3
   M1  M 32     M1  M 33 
 2
 3
 M 3  3M 1M 2  3M1  M1  M1 
2
3
3  M3  3M1M2  2M
3
1
elde edilir.
Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3)
• Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3) olasılık
dağılımının çarpıklığını belirlemeye yarayan bir ölçü
olup şöyle hesaplanır.
3
3  3

• 3 = 0 ise dağılımın simetrik,
• 3 > 0 ise dağılımın sağa çarpık,
• 3< 0 ise dağılımın sola çarpık olduğu kabul edilir.
•  1 ise dağılımın aşırı çarpık olduğu
3
•
3  0 ise dağılımın hafif asimetrik olduğu kabul
edilir.
Ortalamaya Göre Dördüncü Moment
• Aritmetik ortalamaya göre 4. moment dağılımların
basıklığını belirlemede kullanılan bir ölçü olup şöyle
tarif edilir.
4  E[(X  M1 ) ]  ( xi M 1) f ( xi )
4
4
• 4. momenti de sıfıra göre momentlerle ifade etmek
mümkündür. Bunun için Binom açılımı uygulanırsa:
 4
 4
 4
0
1
 4    M1  M 40     M1  M 41     M1 2 M 42 
0
1 
 2
 4
 4
3
4
   M1  M 43     M1  M 4 
3
 4
 M 4  4M 1M 3  6M1  M 2  4M1  M1  M1 
2
3
• 4  M4  4M1M3  6M M2 - 3M
2
1
4
1
4
elde edilir.
Momentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü (4)
• Momentlere dayanan basıklık ölçüsü (4) olasılık
dağılımının normal dağılıma göre basık ya da
sivriliğinin belirlenmesinde kullanılan bir ölçüdür.
(4) basıklık ölçüsü şöyle hesaplanır ve yorumlanır.
4
4  4

• 4 = 3 ise dağılımın normal basık,
• 4 > 3 ise dağılımın normale göre sivri,
• 4 < 3 ise dağılımın normal dağılıma göre daha
basık olduğu kabul edilir.
• 4 değeri 3 ten ne kadar uzaklaşırsa o ölçüde
dağılım sivri ya da basık hale gelir.
Momentlerle İlgili Örnek
• X sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
aşağıda verilmiştir.
4
3
(
1

x
)

f ( x)   3
0
•
•
•
•
•
•
•
•
0  x 1
diger
Yukarıdaki fonksiyondan hareketle
a) Beklenen değeri,
b) Varyans ve standart sapmayı,
c) Sıfıra göre momentleri bulunuz.
d) µ3 (aritmetik ortalamaya göre 3. moment)
e) 3 asimetri ölçüsünü,
f) µ4 (aritmetik ortalamaya göre 4. moment)
g) 4 basıklık ölçülerini bulup yorumlayınız.
Momentlerle İlgili Örnek
• Çözüm
a)
2
5

 1 2
4
4
x
x
3
 | 
EX   M 1   x 1  x dx  

30
3 2
5 o
5
2
b)
1
1
4 
2
2
Var x    x  M1  f x dx    x   1  x 3 dx
3 0
5
0
1



1



4  2 4
4
   x  x   1  x 3 dx
3 0
5
25 
4  x3 x6 4 x2 4 x5 4
4 x4  1
  
 .  .  .x  .  |0  0,06
3 3
6 5 2 5 5 25
25 4 
Standart sapma
  Var( x)    0,06    0,245
Momentlerle İlgili Örnek
c) Sıfıra göre momentler
1
3
6

1 2
4
4
4
x
x
2
2
3
2
5
E X  M 2   x 1  x dx   x  x dx     | 
30
3
3  3 6 o 9
 




4
7

 1 4 1
4
4
x
x
3
3
3
E X  M 3   x 1  x dx     | 

30
5  4 7  o 28 7
1
5
8
 
1


4 4
4x x  1 1
3
E(X )  M 4   x 1  x dx     | 
30
3  5 8  o 10
4


d) aritmetik ortalamaya göre 3. moment
3
1  2  2   2 
3
μ 3  M 3  3M1M 2  2M1   3    2 
7  5  9   5 
1  4  8 
  3   2
  0,004
7  25   125
Momentlerle İlgili Örnek
• e) 3 asimetri ölçüsü:
3
0,004
3  3 
  3  0,27  0 saga carpik
3

(0,245)
• f) Ortalamaya göre 4. moment (µ4)
4  M4  4M1M3  6M M2 - 3M
2
1
4
1
1
1 2
2 2 2
2 4
4   4    6  ( )   3  ( )
10
7 5
5 9
5
4  0,00796
• g) 4 basıklık ölçüsü:
 4 0,00796   2,2  3 fonksiyonbasiktir
4  4 
 4
4

(0,245)
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı
• X ve Y gibi iki değişkenin birlikte değişimini
gösteren ölçüye kovaryans (ortak varyans) adı
verilir.
• X ve Y rasgele değişkenlerinin ortalamaları μx ve μy
olmak üzere:
• E[(X- μx)(Y- μy)] ifadesine kovaryans adı verilir ve
• Cov(X,Y) veya xy şeklinde yazılır.
• E[(X- μx)(Y- μy)] = E[XY – Xμy – Yμx + μx μy]
= E[XY] – μyE[X] – μxE[Y] + μx μy
= E[XY] - μx μy - μx μy + μx μy
•
Cov(X,Y) = E[XY] - μx μy olur.
Cov( X , Y )  E( XY )  E( X )  E(Y )
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı
• Kovaryans ölçüsü iki değişkenin birbiriyle olan
ilişkisini gösterir. Eğer iki değişken birbirinden
bağımsız ise,
• E(XY) =[E(X)E(Y)] = μx μy olacağından;
• Cov(X,Y) = E[XY] - μx μy = μx μy - μx μy
• Cov(X,Y) = 0 olacaktır.
• Bilindiği gibi Kovaryans ölçüsü iki değişkenin
birlikte değişimini, yani aralarındaki ilişkinin
varlığını göstermekteydi. Bu ilişkinin yön ve
şiddeti korelasyon katsayısı ile belirlenir. Bunun
için kovaryans’tan faydalanılır. Korelasyon
katsayısı xy ile gösterilir ve şöyle tarif edilir.
Pearson Korelasyon Katsayısı
• Korelasyon katsayısı: X ve Y rassal değişkenlerinin
beklenen değer e varyansları sırası ile E(X), E(Y),
Var(X) ve Var(Y) ise korelasyon katsayısı şöyle yazılır.
 xy 
Cov( X , Y )
Var( X ) Var(Y )
• Pearson korelasyon katsayısı X ve Y arasındaki
doğrusal ilişkiyi gösterir. Katsayının büyüklüğü ilişkinin
şiddetini, işareti ise ilişkinin yönünü gösterir.
• Korelasyon katsayısı daima 1   xy  1 aralığında olur.
xy →0 ise zayıf, xy →1 ise kuvvetli ilişkiden söz
edilir.
• Korelasyon katsayısının işareti pozitif ise ilişkinin aynı
yönde, negatif ise ters yönde olduğu söylenir.
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• Örnek: Aşağıda bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu
verilmiştir.
cxy2
f ( x, y )  
0
0 x2
diger
0  y 1
• a) Fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu
3x y
olabilmesi için c ne olmalıdır?
(cevap: c=3/2)
8
• b) Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
• c) E(X) ve E(Y) beklenen değerlerini bulunuz.
• d) E(XY) beklenen değerini bulunuz.
• e) Var(X) ve Var(Y) yi bulunuz.
• f) Cov(X,Y) Kovaryansı bulunuz
• g) Korelasyon katsayısını (xy ) bulunuz.
2
4
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• b)
1
2
3xy
xy
dy 
2
2
0
f x ( x)  
2
2
3 1
0
2
3xy
3x y
f y ( y)  
dx 
2
4
0
• c)
2 2
x
2
 f y ( y)  3 y 2
0
2
2
x
x3
4
E ( X )   x dx 
 E( X ) 
2
6 0
3
0
1
E (Y )   y3 y 2 dy 
0
2 1
• d)
 f x ( x) 
E ( XY )    xy
0 0
2
2
3y
4
4 1
0
2 1
2
3
4
2
3
2
2
3 xy
3x y
3x y
dydx   
dydx  
2
2
8
0 0
0
3 2
3x
x
dx 
8
8
0
E ( XY )  
 E (Y ) 
0
 E ( XY )  1
4 1
dx
0
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• e)
Var ( X )  E ( X 2 )  E ( X )
2
4 2
2
x
x
E ( X )   x dx 
2
8
0
2
2
 E( X 2 )  2
0
2
2
4
Var ( X )  2     Var ( X ) 
9
3
Var (Y )  E (Y 2 )  E (Y )
2
1
3y
E (Y )   y 3 y dy 
5
0
2
2
2
2
5 1
3
 E (Y ) 
5
0
3 3
3
Var (Y )      Var (Y ) 
5 4
80
2
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• f)
Cov( X , Y )  E ( XY )  E ( X )  E (Y )
4 3
Cov( X , Y )  1    Cov( X , Y )  0
3 4
• g)  
xy
Cov( X , Y )

Var ( X ) Var (Y )
0
  xy  0
2 3

9 80
• X ve Y değişkenleri bağımsız olup aralarındaki
korelasyon sıfırdır.
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• Örnek: Aşağıdaki bileşik fonksiyondan hareketle:
• a) Cov(XY) yi bulunuz.
• b) X ve Y değişkenleri arasındaki korelasyonu
bulunuz.(xy)
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
a) Cov(XY) için
E(X) = 1,33
E(Y) = 1,03
E(XY)=1,62 daha önce bulunmuştu.
Cov(XY)=E(XY)-E(X)*E(Y) = 1,62-1,33*1,03
Cov(XY) = 0,25
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• b) Korelasyon katsayısı:
• X ve Y nin varyansları hesaplanır. Bunun için E(X2)
ve E(Y2) hesaplanır.
E( X 2 )   xi2 f x ( xi ) 12  0,34  2 2  0,24  32  0,17 E( X 2 )  2,83
E(Y 2 )   yi2 f y ( yi ) 12  0,28 22  0,21 32  0,11 E(Y 2 )  2,11
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2  2,831,332
Var( X )  1,061
Var(Y )  E(Y 2 )  [ E(Y )]2  2,11  1,032
Var (Y )  1,0491
• Korelasyon katsayısı
Cov( X , Y )
0,25
 xy  0,237
 xy 

Var( X ) Var(Y )
1,0611,0491
• İki değişken arasında aynı yönde ama kuvvetli
olmayan bir ilişkinin olduğu anlaşılmaktadır.
Örnek
• Aşağıda bileşik olasılık fonksiyonu verilmiştir.
 2 xy
x 
f ( x, y )  
3

0
0  x 1 0  y  2
diger
• a) Marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
• b) E(X) ve E(Y) yi bulunuz.
• c) Var(X) ve Var(Y) yi bulunuz
• d) Cov(X,Y) yi bulunuz.
• e) Korelasyon katsayısını bulunuz.
Örnek
Örnek