Transcript E(X 2 )
Beklenen değer ve Momentler
• Çoğu zaman rassal değişkenin olasılık dağılımının
yanı sıra onun özelliklerini yansıtan parametreleri ile
ilgilenilir. Rassal değişkene ait olasılık fonksiyonları
ile
işlem
yapılabilmesi
için
öncelikle
bu
parametrelerin bilinmesi gerekir.
• Olasılıkta bir olayın davranışına ait fonksiyonun
parametreleri için ilk ele alınan kavram beklenen
değer ve bunun uzantısı olan moment kavramdır.
• Beklenen değer, ya da matematik ümit, kısaca
rassal değişkenin aritmetik ortalamasıdır.
• Bir rassal değişkenin beklenen değeri E(X) ile
gösterilir ve şöyle tarif edilir.
Beklenen değer
• Bir rassal değişkenin beklenen değeri E(X) ile
gösterilir ve şöyle tarif edilir.
xi f ( xi )
xi : kesikli
E( X )
x : sürekli
x f ( x)dx
• Şu halde beklenen değer rassal değişkenin aldığı
değerler ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımının
toplamına eşittir.
• Beklenen değerin buluna bilmesi için xi f ( xi )
serisinin yakınsak, x f ( x)dx
integralinin belirli
olması gerekir.
Beklenen Değer
• Örnek: Bir futbol takımının yaptığı maçlarda
attığı gol sayılarının dağılımının aşağıdaki gibi
olduğu verilmiştir. Buna göre takımın yaptığı bir
maçta attığı gol sayısının beklenen değeri ne
olur?
Attığı gol sayısı (xi)
0
1
2
3
4
Toplam
Olasılığı f(xi)
0,15
0,2
0,25
0,3
0,1
1
• Çözüm:
• Beklenen değer tarifinden E(X) = ∑xif(xi) işlemi
yapılır.
Beklenen Değer
Attığı gol sayısı (xi)
0
1
2
3
4
olasılığı f(xi)
0,15
0,2
0,25
0,3
0,1
∑xif(xi)
0
0,2
0,5
0.9
0,4
E(X)
2
• Şu halde takımın yaptığı maçlarda beklenen gol
sayısı E(X) = 2 olur.
• Örnek: Üç para ile yapılan atışta yazı sayısının
beklenen değeri ne olur?
• Çözüm: Üç para ile yapılan atış deneyinin örnek
uzayı 23 =8 nokta içerir. Yazı sayısı değişkeni (X)
ise 0,1,2,3 değerlerini alır. Önce rassal
değişkenlerin bu değerleri alma olasılıkları
belirlenerek beklenen değer hesaplanır.
Beklenen Değer
Yazı sayısı (xi)
0
1
2
3
Olasılık f(xi)
3
0 0.125
8
3
1 0.375
8
3
2 0.375
8
3
3 0.125
8
Beklenen değer E(X)
Xif(xi)
0*0.125 = 0
1*0.375 = 0,375
2*0.375 = 0,75
3*0,125 = 0,375
1,5
Beklenen Değer
• Örnek: Aşağıda verilen sürekli olasılık yoğunluk
fonksiyonundan hareketle X rassal değişkeninin
beklenen değerini bulunuz.
2(1 x)
f ( x)
0
0 x 1
diger haller
• Çözüm
1
2 2x
E ( X ) x 2(1 x)dx (2 x 2 x )dx x
3
0
0
0
1
2
E ( X ) 1 E ( X )
olur.
3
3
1
1
3
2
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
• Beklenen değer teorik bir değer olup X rassal
değişkeninin tartılı aritmetik ortalamasıdır. Belli bir
deney sonucu beklenen değerin mutlaka elde
edileceğini söylemek mümkün değildir. Ancak deney
sayısının arttırılması halinde sonucun beklenen
değere yaklaşacağını söylemek mümkündür.
• X rassal değişkeni xi değerini alırken g(x) rassal
değişkeni de X e bağlı olarak g(xi) değerini alabilir. Bu
durumda g(x) in beklenen değeri şöyle olur.
g ( xi ) f ( xi )
E[ g ( x)]
g ( x) f ( x)dx
X kesikli
X sürekli
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
• Örnek: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
aşağıdaki gibi verilmiştir.
X
f(xi)
•
•
•
•
1
0.1
2
0.3
3
0.35
4
0.2
Yukarıdaki tablodan hareketle;
a) E(X2)
b) E(3X+4)
c) E(X3/3) beklenen değerlerini bulunuz.
5
0.05
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
Çözüm a)
X=x
1
2
3
4
5
Toplam
f(xi)
x i2
xi2f(xi)
0.1
1
0.1
0.3
4
1.2
0.35
9
3.15
0.2
16
3.2
0.05
25
1.25
8.9
4
0.2
16
3.2
5
0.05
19
0.95
E(X2) = 8.9
b)
X=x
f(xi)
3x+4
(3x+4)f(xi)
1
0.1
7
0.7
E(3X+4) = 12.4
2
0.3
10
3
3
0.35
13
4.55
Toplam
12,4
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
Örnek: X sürekli değişkeni için oyf aşağıdaki gibi
verilmiştir.
2(1 x)
f ( x)
0
0 x 1
diger haller
a) E(X3)
b) E(2X2+3)
c) E(X2/3) bulunuz.
Çözüm
1
1
E ( X 3 ) x3 2(1 x)dx (2 x3 2 x 4 )dx
a)
0
0
1
x 2x
1 2
1
3
E( X )
E( X )
5 0 2 5
10
2
4
3
5
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
•
b)
1
1
E (2 X 3) (2 x 3)2(1 x)dx 4 x 2 2 x 3 6 6 x)dx
2
2
0
0
1
4x
x
4 1
E (2 X 2 3)
6 x 3x 2 6 3
2
3 2
3
0
23
E (2 X 2 3)
6
3
• c)
X
E
3
2
4
1
2x
x
2x
2x
x
2(1 x)dx (
)dx
3
3
6 0
0 3
9
0
1
2
1
2
X 2 2 1
X2 1
E
E
3 9 6
3 18
3
3
4
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
• Teorem 1. c bir sabit sayı ise c nin beklenen değeri c, yani sabit
sayı olur E(c)=c.
• Teorem 2. c bir sabit, X sürekli veya kesikli rassal değişken ise
E(cX) = c·E(X) veya,
E[c(g(x)] = c·E[g(x)] olur.
• Teorem 3. a ve b sabit X kesikli veya sürekli bir rassal değişken
ise; E(a·X + b) = a·E(X)+b olur.
• Teorem 4. X ve Y kesikli veya sürekli iki rassal değişken ise;
E(X + Y) = E(X) + E(Y) olur.
Teoremi
genelleştirirsek:
X1,X2,…,XN
ortalamaları
E(X1),E(X2),…,E(XN) olan rasgele değişkenler olsunlar.
E(X1+X2+…..+XN) = E(X1)+E(X2)+…..+E(XN) olur.
• Teorem 5. u(x) ve v(x) X rassal değişkeninin iki olasılık
fonksiyonu, a ve b sabit sayılar ise;
E[ a·u(x) + b·v(x)] = a·E[u(x)] + b·E[v(x)] olur.
• Teorem 6. X ve Y bağımsız kesikli veya sürekli iki rassal
değişken ise;
E(X·Y) = E(X)·E(Y) olur.
Beklenen Değer İşleminin Özellikleri
• Teorem7. X ve Y kesikli veya sürekli iki
rassal değişken ise;
Eg ( X , Y )
i
(g(x , y ) f (x , y )
i
j
i
j
olur. ( Kesikli)
j
E g ( X , Y ) g ( x, y ) f ( x, y )dydx olur . ( sürekli )
x y
• Teorem 8. a ve b sabit sayılar X rassal
değişkeni kesikli veya sürekli ise;
E (aX b)2 a 2 E( X 2 ) 2abE( X ) b2 olur.
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Örnek: Bir firma ürettiği mamulleri 100 birimlik kutulara
koyarak pazarlamaktadır. Kutularda bulunan kusurlu
mamul sayıları ve olasılıkları şöyledir. Bu verilere göre
• a) Kutlarda beklenen (ortalama) kusurlu mamul sayısını
bulunuz.
• b) E(3X+4) ü bulunuz
• c) E(X2/2) yi bulunuz.
• d) Mod ve medyanını bulunuz.
• Çözüm: a)
Kusurlu sayısı (X)
0
Olasılık f(xi)
0,7
xif(xi)
0
1
2
3
4
5
0,14 0,09 0,04 0,02 0,01
Toplam
1
0,14 0,18 0,12 0,08 0,05 E(X)=0,57
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• b) E(3X+4) = 3E(X)+4 =3*0.57+4 → E(3X+4) = 5.71
• c) X 2 1
2
E ( X ) olur.
E
2 2
Kusurlu sayısı (X)
0
1
2
3
4
5
X2
0
1
4
9
16
25
Olasılık f(xi)
0,7
xi2 f(xi)
0
0,14 0,09 0,04 0,02 0,01
Toplam
1
0,14 0,36 0,36 0,32 0,25 E(X2)=1,43
X2 1
X2
1
2
E ( X ) 1.43 E
0.715
E
2
2 2
2
• d) Mod frekansı (olasılığı) en yüksek değerdir. Mod=0
• e) Medyan dağılımın ortası, yani kümülatif olasılığın 0.5
olduğu noktadır. Medyan = 0
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Medyan: Bir dağılımı iki eşit parçaya bölen değer medyan olarak
tanımlanır.
• Kesikli dağılımlar için medyan Olasılıklar toplamının 0,5 e eşit olduğu
değere eşit olur. Yani ∑f(xi)=0,5 yapan xi değeri medyan olur.
• Sürekli dağılımlarda medyan şöyle ifade edilir.
x
x
f (u)du f (u)du 0,5
•
•
•
•
yapan x değeri medyan olur.
Mod: Bir dağılımda en çok tekrarlanan değerdir (tepe değer).
Kesikli dağılımlarda olasılığı en büyük olan değerdir.
Sürekli dağılımlarda tek maksimumlu fonksiyonlar için dağılımın türevini
sıfır yapan değerdir.
df ( x )
0
dx
• d) Mod frekansı (olasılığı) en yüksek değerdir. Mod=0
• e) Medyan dağılımın ortası, yani kümülatif olasılığın 0.5 olduğu noktadır.
Medyan = 0
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Örnek: X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu
aşağıdaki gibidir. Buna göre;
a) X in beklenen değerini [E(X)] bulunuz.
b) (3x3-4) ün beklenen değerini [ E(3x3-4)] bulunuz.
c) E(2X2/5) i bulunuz.
d) Medyanı bulunuz.
3x 2
f ( x) 64
0
0 x4
x0
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• a)
4
E( X )
• b)
4
3x 2
3x 3
3x 4
E( X ) x
dx
dx
64
64
4 64
0
0
4
0
3 256
4 64
768
E( X ) 3
256
4
E (3 X 3 4) 3E ( X 3 ) 4 3 x 3
0
2
4
5
3x
3x
3x
dx 4 3
dx 4 3
4
64
64
6 64 0
0
3 32 4 E(3X 3 4) 92
• c)
4
4
2
2X 2 2
2
3
x
2
3x 4
2
2
E
dx
dx
E( X ) x
50
64
5 0 64
5 5
4
2 X 2 3x
5
E
(9.6)
5 5 320 0 2
2
5
6 4
2X 2
E
24
5
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• d) Medyan
Med
0
med
x
3x
dx 0.5
64
64 0
2
3
0.5 Medyan3 32
Medyan 3 32 Medyan 3.17
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Örnek: Aşağıda bileşik
fonksiyonu verilmiştir.
xy 2
f ( x, y ) 12
0
0 x3
bir
olasılık
yoğunluk
0 y2
diger
• a) E(X+Y) yi bulunuz.
• b) E(XY) = E(X)*E(Y) durumunu araştırarak X ve Y
nin bağımsız olup olmadığını belirleyiniz.
• Çözüm:
E(X+Y) = E(X)+E(Y) için önce marjinal fonksiyonlar
elde edilir.
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
a)
2
f x ( x)
0
2
3 2
xy
xy
dy
12
36
f x ( x)
0
2x
9
0 x3
3
2x3
2x
E ( X ) x dx
E( X ) 2
9
27 0
0
3
3
x2 y2
xy
3y 2
f y ( y)
dx
f y ( y)
12
8
24 0
0
3
2
0 y2
2
3y 4
3y 2
E (Y ) y
dy
E (Y ) 1.5
8
32
0
0
2
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 2 1.5 E( X Y ) 3.5
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• b)
3 2
E ( XY ) xy
0 0
3 2
2
2
3
3
2
4 2
xy
x y
x y
dx
dydx
12
12
48
0 0
0
dx
0
3
x
x
E ( XY ) dx E ( XY ) 3 olur.
3
9 0
0
3
•
•
•
•
2
3
X ve Y bağımsız olduğunda E(XY)=E(X)*E(Y) idi
E(X)= 2 ve E(Y)=1.5 bulunmuştu. Buna göre;
E(XY)=E(X)*E(Y) = 2*1.5 =3 olur.
Şu halde E(XY)=E(X)*E(Y) olduğundan X ve Y
bağımsız rassal değişkenlerdir.
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Örnek: Aşağıda verilen kesikli bileşik olasılık yoğunluk
fonksiyonundan hareketle
• a) E(X+Y) yi hesaplayınız.
• b) E(XY) yi hesaplayarak X ve Y nin bağımsız olup
olmadığını araştırınız.
Y takımının attığı gol
sayısı
fx(xi)
0
1
2
3
X takımının attığı gol sayısı
0
1
2
0,1
0,15
0,1
0,1
0,1
0,05
0,05
0,07
0,05
0
0,02
0,04
0,25
0,34
0,24
3
0,05
0,03
0,04
0,05
0,17
fy(yi)
0,4
0,28
0,21
0,11
1
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• Çözüm
• a) E(X+Y)=E(X)+E(Y) olduğuna göre:
X
fx(xi)
0
1
2
3
Toplam
0.25 0.34 0.24 0.17
xi fx(xi)
0
0.34 0.48 0.51
Y
0
fy(yi)
0.4
0.28 0.21 0.11
yi fy(yi)
0
0.28 0.42 0.33
1
2
3
1.33
Toplam
1.03
• E(X+Y) = 1.33+1.03 = 2.36 olur.
Beklenen Değerle İlgili Örnekler
• b) X ve Y rassal değişkenleri bağımsız ise
E(XY) = E(X)*E(Y) olur.
• E(XY)=1*0.1+2*0.07+3*0.02+2*0.05+4*0.05
+6*0.04+3*0.03+6*0.04+9*0.05= 1.62
• E(X) = 1,33 ve E(Y)=1.03 olup,
• E(X)*E(Y) = 1.33*1.03 = 1,37
• E(XY)=1.62 ≠ E(X)*E(Y) = 1.37 olduğundan
X ve Y bağımsız değildir.
Momentler
• Moment bir rassal değişkenin nasıl dağıldığını
belirlemede kullanılan ölçüler olarak tarif edilmişti.
Momentler sıfıra (orjine) veya aritmetik ortalamaya
göre hesaplanırlar.
• Bir dağılımın sıfıra göre momenti kendisine ait
rassal değişkeninin kuvvetlerinin beklenen değeri
olarak tarif edilebilir. X rassal değişkeninin sıfıra
göre r. momenti Mr ile gösterilir ve şöyle yazılır.
• Kesikli dağılımlar için :
• Sürekli dağılımlar için:
M r E[ X r ] xir f ( xi )
M r E[ X r ] x r f ( x)dx
• Burada : r momentin derecesi olup r=0,1,2,3,4 olur.
Orjine (Sıfıra) Göre Momentler
• r=0 için: M E[ X 0 ]
0
0
x
i f (xi ) f (xi ) 1
M 0 E[ X 0 ] x 0 f ( x)dx f ( x)dx 1 olur.
• r = 1 için X rassal değişkeninin beklenen değeri yani
aritmetik ortalaması elde edilir.
M1 E[ X ] xi f ( xi ) X
1
M 1 E[ X ] xf ( x)dx X olur.
• r = 2 için X in kareli ortalamasının karesi elde edilir.
M 2 E[ X ] x f ( xi ) K
2
2
i
2
M 2 E[ X ] x f ( x)dx K elde edilir.
2
2
2
Aritmetik ortalamaya göre momentler
• Daha üst dereceden orjine göre momentler de
benzer şekilde hesaplanırlar. Orjine göre momentler
dağılımın şeklini belirlemede kullanılan aritmetik
ortalamaya göre momentlerin elde edilmesinde
kullanılırlar.
• Aritmetik ortalamaya göre moment: rassal
değişkenin
kendi
ortalamasından
farklarının
kuvvetlerinin beklenen değeri olarak tarif edilir ve
şöyle gösterilir.
Kesikli r E[(X M1 )r ] ( xi M1 )r f ( xi )
Sürekli r E[( X M 1 ) r ] ( x M 1 ) r f ( x)dx olur.
Aritmetik ortalamaya göre momentler
• r momentin derecesi olup r = 0,1,2,3,4 gibi değerler
alır.
• r = 0 için µ0= 1 dir. Çünkü bu moment olasılıklar
toplamından başka bir şey değildir.
M r E[(X M1 )0 ] ( x M1 )0 f ( xi ) f ( xi ) 1
M r E[( X M 1 ) 0 ] ( x M 1 ) 0 f ( x)dx f ( x)dx 1 olur .
• r = 1 için µ1 sıfıra eşit olur.
1 E[( X M 1 )1 ] ( xi M 1 ) f ( xi )
x f (x ) M
i
i
1
f ( xi ) M 1 M 1 0 olur.
• Sürekli dağılımlar için de bu durum geçerlidir.
Varyans
• r = 2 için µ2 varyansa eşittir.
• Ortalamaya göre ikinci moment olan varyans bir
dağılma (sapma, yayılma) ölçüsü olup standart
sapmanın karesine eşittir. Varyans, rassal
değişkenin aldığı değerlerin aritmetik ortalamaya
olan uzaklıklarının bir göstergesidir.
μ 2 x i M1 f(xi ) x i2f(xi ) 2M1 x i f(xi ) M12 f(xi )
2
E(X2 ) 2M12 M12 Var(X) M2 M12 2 olur.
Varyansla İlgili Teoremler
• Teorem 1. X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken
ve c gerçek bir sabit ise
• Var(c) = 0
• Var(X+c) = Var(X) olur.
• Teorem 2. X varyansı Var(x) olan rassal değişken, c
gerçek bir sabit ise
• Var(cX) = c2Var(X) olur.
• İspatı: Var(cX)= E[(cx)2]-[(E(cX))2]
E(cX) = cE(X) = cM1
E[(cx)2] =E[c2X2] = c2E(X2) = c2M2
Var(cX)= E[(cx)2]-[(E(cX))2] idi Var(cX) = c2M2 – (cM1)2
Var(cX)= c2(M2-M12) Var(cX) = c2Var(X) olduğu
görülür.
Teorem 3. X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken a ve
b gerçek sabitler ise;
• Var(aX+b) = a2Var(X) olur.
Varyansla İlgili Teoremler
• Teorem 4. X ve Y değişkenlerinin ortalaması
sırasıyla E(X) = µx ve E(Y) = µy, varyansları
Var(X) = x2 ve Var(Y) = y2 olup bağımsız iki rassal
değişken olsunlar. Bu iki değişkenin toplamının
varyansı şöyle olur.
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) olur.
• Yukarıdaki teoremi N tane bağımsız değişken için
de şöyle yazabiliriz.
• Var(X1+ X2 + X3 +……+ XN)
= Var(X1)+Var(X2)+….+Var(XN)
Ortalamaya Göre Üçüncü Moment
• Ortalamaya göre 3. moment rassal değişkenin
dağılımının asimetrisini belirlemede kullanılan bir
momenttir.
Kesikli 3 E[(X M1 )3 ] ( xi M1 )3 f ( xi )
3
3
Surekli 3 E[( X M 1 ) ] ( x M 1 ) f ( x)dx olur.
• Orjine göre momentlerle aritmetik ortalamaya göre
momentler arasındaki ilişki Binom teoremi
kullanılarak bulunabilir. Binom açılımı şöyle yazılır;
n n -r r
a b a b idi
r 0 r
n
n
• Binom açılımı aritmetik ortalamaya göre momentler
için de yazılabilir.
Ortalamaya Göre Üçüncü Moment
r EX M1
r
r r
i
r i
E M1 X
i 0 i
Bu açılımı aritmetik ortalamaya göre 3. moment için
yaparsak;
3
3
0
1
3 M1 M 30 M1 M 31
0
1
3
3
2
3
M1 M 32 M1 M 33
2
3
M 3 3M 1M 2 3M1 M1 M1
2
3
3 M3 3M1M2 2M
3
1
elde edilir.
Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3)
• Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3) olasılık
dağılımının çarpıklığını belirlemeye yarayan bir ölçü
olup şöyle hesaplanır.
3
3 3
• 3 = 0 ise dağılımın simetrik,
• 3 > 0 ise dağılımın sağa çarpık,
• 3< 0 ise dağılımın sola çarpık olduğu kabul edilir.
• 1 ise dağılımın aşırı çarpık olduğu
3
•
3 0 ise dağılımın hafif asimetrik olduğu kabul
edilir.
Ortalamaya Göre Dördüncü Moment
• Aritmetik ortalamaya göre 4. moment dağılımların
basıklığını belirlemede kullanılan bir ölçü olup şöyle
tarif edilir.
4 E[(X M1 ) ] ( xi M 1) f ( xi )
4
4
• 4. momenti de sıfıra göre momentlerle ifade etmek
mümkündür. Bunun için Binom açılımı uygulanırsa:
4
4
4
0
1
4 M1 M 40 M1 M 41 M1 2 M 42
0
1
2
4
4
3
4
M1 M 43 M1 M 4
3
4
M 4 4M 1M 3 6M1 M 2 4M1 M1 M1
2
3
• 4 M4 4M1M3 6M M2 - 3M
2
1
4
1
4
elde edilir.
Momentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü (4)
• Momentlere dayanan basıklık ölçüsü (4) olasılık
dağılımının normal dağılıma göre basık ya da
sivriliğinin belirlenmesinde kullanılan bir ölçüdür.
(4) basıklık ölçüsü şöyle hesaplanır ve yorumlanır.
4
4 4
• 4 = 3 ise dağılımın normal basık,
• 4 > 3 ise dağılımın normale göre sivri,
• 4 < 3 ise dağılımın normal dağılıma göre daha
basık olduğu kabul edilir.
• 4 değeri 3 ten ne kadar uzaklaşırsa o ölçüde
dağılım sivri ya da basık hale gelir.
Momentlerle İlgili Örnek
• X sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
aşağıda verilmiştir.
4
3
(
1
x
)
f ( x) 3
0
•
•
•
•
•
•
•
•
0 x 1
diger
Yukarıdaki fonksiyondan hareketle
a) Beklenen değeri,
b) Varyans ve standart sapmayı,
c) Sıfıra göre momentleri bulunuz.
d) µ3 (aritmetik ortalamaya göre 3. moment)
e) 3 asimetri ölçüsünü,
f) µ4 (aritmetik ortalamaya göre 4. moment)
g) 4 basıklık ölçülerini bulup yorumlayınız.
Momentlerle İlgili Örnek
• Çözüm
a)
2
5
1 2
4
4
x
x
3
|
EX M 1 x 1 x dx
30
3 2
5 o
5
2
b)
1
1
4
2
2
Var x x M1 f x dx x 1 x 3 dx
3 0
5
0
1
1
4 2 4
4
x x 1 x 3 dx
3 0
5
25
4 x3 x6 4 x2 4 x5 4
4 x4 1
. . .x . |0 0,06
3 3
6 5 2 5 5 25
25 4
Standart sapma
Var( x) 0,06 0,245
Momentlerle İlgili Örnek
c) Sıfıra göre momentler
1
3
6
1 2
4
4
4
x
x
2
2
3
2
5
E X M 2 x 1 x dx x x dx |
30
3
3 3 6 o 9
4
7
1 4 1
4
4
x
x
3
3
3
E X M 3 x 1 x dx |
30
5 4 7 o 28 7
1
5
8
1
4 4
4x x 1 1
3
E(X ) M 4 x 1 x dx |
30
3 5 8 o 10
4
d) aritmetik ortalamaya göre 3. moment
3
1 2 2 2
3
μ 3 M 3 3M1M 2 2M1 3 2
7 5 9 5
1 4 8
3 2
0,004
7 25 125
Momentlerle İlgili Örnek
• e) 3 asimetri ölçüsü:
3
0,004
3 3
3 0,27 0 saga carpik
3
(0,245)
• f) Ortalamaya göre 4. moment (µ4)
4 M4 4M1M3 6M M2 - 3M
2
1
4
1
1
1 2
2 2 2
2 4
4 4 6 ( ) 3 ( )
10
7 5
5 9
5
4 0,00796
• g) 4 basıklık ölçüsü:
4 0,00796 2,2 3 fonksiyonbasiktir
4 4
4
4
(0,245)
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı
• X ve Y gibi iki değişkenin birlikte değişimini
gösteren ölçüye kovaryans (ortak varyans) adı
verilir.
• X ve Y rasgele değişkenlerinin ortalamaları μx ve μy
olmak üzere:
• E[(X- μx)(Y- μy)] ifadesine kovaryans adı verilir ve
• Cov(X,Y) veya xy şeklinde yazılır.
• E[(X- μx)(Y- μy)] = E[XY – Xμy – Yμx + μx μy]
= E[XY] – μyE[X] – μxE[Y] + μx μy
= E[XY] - μx μy - μx μy + μx μy
•
Cov(X,Y) = E[XY] - μx μy olur.
Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y )
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı
• Kovaryans ölçüsü iki değişkenin birbiriyle olan
ilişkisini gösterir. Eğer iki değişken birbirinden
bağımsız ise,
• E(XY) =[E(X)E(Y)] = μx μy olacağından;
• Cov(X,Y) = E[XY] - μx μy = μx μy - μx μy
• Cov(X,Y) = 0 olacaktır.
• Bilindiği gibi Kovaryans ölçüsü iki değişkenin
birlikte değişimini, yani aralarındaki ilişkinin
varlığını göstermekteydi. Bu ilişkinin yön ve
şiddeti korelasyon katsayısı ile belirlenir. Bunun
için kovaryans’tan faydalanılır. Korelasyon
katsayısı xy ile gösterilir ve şöyle tarif edilir.
Pearson Korelasyon Katsayısı
• Korelasyon katsayısı: X ve Y rassal değişkenlerinin
beklenen değer e varyansları sırası ile E(X), E(Y),
Var(X) ve Var(Y) ise korelasyon katsayısı şöyle yazılır.
xy
Cov( X , Y )
Var( X ) Var(Y )
• Pearson korelasyon katsayısı X ve Y arasındaki
doğrusal ilişkiyi gösterir. Katsayının büyüklüğü ilişkinin
şiddetini, işareti ise ilişkinin yönünü gösterir.
• Korelasyon katsayısı daima 1 xy 1 aralığında olur.
xy →0 ise zayıf, xy →1 ise kuvvetli ilişkiden söz
edilir.
• Korelasyon katsayısının işareti pozitif ise ilişkinin aynı
yönde, negatif ise ters yönde olduğu söylenir.
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• Örnek: Aşağıda bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu
verilmiştir.
cxy2
f ( x, y )
0
0 x2
diger
0 y 1
• a) Fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu
3x y
olabilmesi için c ne olmalıdır?
(cevap: c=3/2)
8
• b) Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
• c) E(X) ve E(Y) beklenen değerlerini bulunuz.
• d) E(XY) beklenen değerini bulunuz.
• e) Var(X) ve Var(Y) yi bulunuz.
• f) Cov(X,Y) Kovaryansı bulunuz
• g) Korelasyon katsayısını (xy ) bulunuz.
2
4
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• b)
1
2
3xy
xy
dy
2
2
0
f x ( x)
2
2
3 1
0
2
3xy
3x y
f y ( y)
dx
2
4
0
• c)
2 2
x
2
f y ( y) 3 y 2
0
2
2
x
x3
4
E ( X ) x dx
E( X )
2
6 0
3
0
1
E (Y ) y3 y 2 dy
0
2 1
• d)
f x ( x)
E ( XY ) xy
0 0
2
2
3y
4
4 1
0
2 1
2
3
4
2
3
2
2
3 xy
3x y
3x y
dydx
dydx
2
2
8
0 0
0
3 2
3x
x
dx
8
8
0
E ( XY )
E (Y )
0
E ( XY ) 1
4 1
dx
0
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• e)
Var ( X ) E ( X 2 ) E ( X )
2
4 2
2
x
x
E ( X ) x dx
2
8
0
2
2
E( X 2 ) 2
0
2
2
4
Var ( X ) 2 Var ( X )
9
3
Var (Y ) E (Y 2 ) E (Y )
2
1
3y
E (Y ) y 3 y dy
5
0
2
2
2
2
5 1
3
E (Y )
5
0
3 3
3
Var (Y ) Var (Y )
5 4
80
2
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• f)
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
4 3
Cov( X , Y ) 1 Cov( X , Y ) 0
3 4
• g)
xy
Cov( X , Y )
Var ( X ) Var (Y )
0
xy 0
2 3
9 80
• X ve Y değişkenleri bağımsız olup aralarındaki
korelasyon sıfırdır.
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• Örnek: Aşağıdaki bileşik fonksiyondan hareketle:
• a) Cov(XY) yi bulunuz.
• b) X ve Y değişkenleri arasındaki korelasyonu
bulunuz.(xy)
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
a) Cov(XY) için
E(X) = 1,33
E(Y) = 1,03
E(XY)=1,62 daha önce bulunmuştu.
Cov(XY)=E(XY)-E(X)*E(Y) = 1,62-1,33*1,03
Cov(XY) = 0,25
Kovaryans ve Korelasyon Katsayısı Örneği
• b) Korelasyon katsayısı:
• X ve Y nin varyansları hesaplanır. Bunun için E(X2)
ve E(Y2) hesaplanır.
E( X 2 ) xi2 f x ( xi ) 12 0,34 2 2 0,24 32 0,17 E( X 2 ) 2,83
E(Y 2 ) yi2 f y ( yi ) 12 0,28 22 0,21 32 0,11 E(Y 2 ) 2,11
Var( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 2,831,332
Var( X ) 1,061
Var(Y ) E(Y 2 ) [ E(Y )]2 2,11 1,032
Var (Y ) 1,0491
• Korelasyon katsayısı
Cov( X , Y )
0,25
xy 0,237
xy
Var( X ) Var(Y )
1,0611,0491
• İki değişken arasında aynı yönde ama kuvvetli
olmayan bir ilişkinin olduğu anlaşılmaktadır.
Örnek
• Aşağıda bileşik olasılık fonksiyonu verilmiştir.
2 xy
x
f ( x, y )
3
0
0 x 1 0 y 2
diger
• a) Marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
• b) E(X) ve E(Y) yi bulunuz.
• c) Var(X) ve Var(Y) yi bulunuz
• d) Cov(X,Y) yi bulunuz.
• e) Korelasyon katsayısını bulunuz.
Örnek
Örnek