Transcript Çözüm

GEOMETRİ
PROJE
ÖDEVİ
BERRİN
CANERİ
9/G
419
KONU: koordinat DoGRUSU, DIK KOORDINAT
DUZLEMI,VEKTORLER
KAYNAK: INTERNET,FEM YAYINLARI.
GEOMETRİ
Dik koordinat düzlemi
Bir düzlemde dik kesişen iki sayı
doğrusunun oluşturduğu düzleme “
analitik düzlem “ denir.
Analitik düzlem dik koordinat sistemi
veya dik koordinat düzlemi olarak
adlandırılır.
Dik koordinat sisteminde yatay eksen
X ekseni (apsis ekseni), düşey eksen
ise Y ekseni (ordinat ekseni)’dır dır
Eksenlerin kesiştiği noktaya “orijin”
denir.
Analitik düzlemde her noktaya her
noktaya bir (x,y) sayı ikilisi
karşılık gelir. Bu sayı ikilisine
noktanın koordinatları denir.
P(x,y) noktası iççin ,x
noktasının apsisi, y de ordinatı dır.
Apsis ve ordinat değerleri
eksenlere çizilen dik doğruların
eksenleri kestiği noktalardır
Orjin koordinatları 0(o,o)’dır.
X ekseni üzerinde noktaların ordinatları
sıfırdır. A(a,0) noktası gibi, y ekseni
üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır
B(0,b) noktası gibidir.
*koordinat eksenleri analitik düzlemi 4
bölgeye ayrılırlar.
1- Bölge = x>0
y>0
2-Bölge = x<0
y>0
3-Bölge = x<0
y<0
4-Bölge = x>0
Y<0
Örnek-1 : A(5,y+2) noktası 0x
ekseni üzerinde B(x+4,3)
Noktası 0y ekseni üzerinde
olduğuna göre C(x.y) noktası
hangi bölgelerdir?
(A) 1. BÖLGE
(B) 2.BÖLGE
(C) 3.BÖLGE
(D) 4.BÖLGE
(E) HİÇBİRİ
Çözüm-1: cevap C’dir
Y+2=0 x+4=0
Y=-2
x=-4
C (-4 -2)
Örnek-2 : (a-3, b+2) noktası
kordinat sisteminin 3,
Bölgesinde olduğuna göre (a,b)
ikilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
(2,-3) (B) (1-2) (C) (1,1) (D)
(0,1) (E) (4,-4)
Çözüm- : cevap A dır.
(a-3,b+3)
a-3<0 b+2<0
a<0
b<-2
(a,b)
DOĞRU ANALATİĞİ
. Doğrunun denklemi:
Bir doğru üzerindeki denklemin kordinatlarını veren
eşitliğe “ doğrunun denklemi” denir.
Y= mx+n
Y= mx+n eşitliğine m= eğim n= sabit sayıdır.
Ax+by+c=0 şeklinde verilen denklemde y yalnız
bırakılırsa.
Y= - a x – c elde edilir.
b
d
x’in katsayısı - a eğimi verilir.
Öyle ise,
b
Ax + by+c =0 doğrusunun eğimi
M=-a
B
Eğimi eşit olan doğrulara “paralel doğrular” denir.
Örnek:
A(1) ve B(11) olmak üzere c noktası A ile
B arasında bulunup [AC] = 2 koşulunu
sağlıyorsa c noktası kordinatını bulunuz.
[CB]
3
A-7
B-9
C-8
D-10
E-2
Çözüm: Cevap B dir çünkü ;
[AC] =x-1 [BC] = x-11
x-1 = 2
11-x
3
3x-3 =22-2x
5x=25
X=5
C (9)
Vektörler
Düzlemdeki yönü doğru olan
parçaların üzerinde tanımlı eşlik
bağlantısın oluşturduğu denkilk,
sınıflarının her birine vektör denir.
AB yönlü doğru parçasına eş olan
doğru parçalarından bazıları
gösterilmiştir. AB yönlü doğru
parçasına eş olan tüm yönü doğru
parçaların kümesi ( xy : xy =AB )’ dir
AB vektörü AB =( xy : xy =AB
)’ şeklinde gösterilebilir.
SIFIR VEKTÖRÜ
Başlangıç ve bitim noktası aynı
olan vektöre sıfır vektörü’’ denir.
O = (AA , BB ,…) kümesinde 0
= AA = BB,… şeklinde
gösterilir.
0 vektörünün uzunluğu [AA]
= [BB] = 0 yönü ve doğrusu
tanımsızdır…
TERS VEKTÖRLER
Doğrultuları aynı yönleri ters
olan vektörlere denir. Bu
yönlü doğru parçalarlının
boyları eşit de olabilir farklıda
olabilir.
BİR VEKTÖRÜN
NORMU
AB yönlü doğru parçalarının A
noktasının ile B noktasının arasındaki
uzaklığı AB vektörünün normu denir.
AB yönlü doğru parçasının uzunluğu ,
|AB| sembolü ile gösterilir.
AB vektörünün büyüklüğü(normu) ,
||AB|| sembolü ile gösterilir.
AB vektörünün normu diye okunur.
||AB|| = ||AB|| =a ise , a > 0’dır.
||AA|| = ||0|| = 0 dır.
ÖRNEK
A=(-3 , 5) ve B=(-6 , -2) vektörleri
veriliyor.
3.A - C = 2.B olduğuna göre , C
vektörü kaçtır ?
A) (4.12)
B) ( 8,10)
C) (10 ,
14 ) D) (3 , 12)
E) (3 , 19)
ÇÖZÜM
Cevap E’ dir. çünkü ;
3A – 2B = C
3(-3 , 5) – 2( -6,-2) = C
(-9 , 15) +(12 , 4 ) = C
C = ( 4 , 19)
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
S-1) A(2 , 1) VE B(1 ,3) noktaları ile CD = (4 , 5) vektörü
veriliyor. Buna göre , AB – CD vektördür aşağıdakilerden
hangisidir ?
( -5 , -1) B) ( -5 , 1) C) ( -4 , -1) D) ( -4, -1) E) ( 3 , 9)
ÇÖZÜM
Cevap A’dır . Çünkü ;
AB = B – A =(1,3)-(2,-1)
AB =(-1,4)
AB – CD = (-1 , 4) – (4,5)
=(-5,-1)
S-2) e1 ve e2 birim vektörler olmak üzere ;
A:3e1 + 4e2
B:12e1 + 5e2
İse |A| + |B| kaç birim’dir ?
A ) 14 B) 18 C ) 20 D) 24 E) 25
ÇÖZÜM
Cevap B’dir. Çünkü ;
A= 3e1+4e2=A =(3 , 4)
B=12e1+5e2=b=(12,5)
|A|=√ 3^2+4^2 = 5
I B I = √12^2+5^2 = 13
13+5=18
S,3= iki koordinat sisteminde a(m+3,n-1) noktası,
4. Bölgesinde B(m,n) noktası kaçtır?
A ) (-2,-1)
B) (-2,3)
C) (3,4)
D) (8,2)
E) (10,-7)
ÇÖZÜM
Cevap A dır. Çünkü:
A(m+3, n-1 ) noktası 4 . bölgede ise
M+3 > 0…..m>-3
n-1 <0……..n<1
=(-2,-1)
S.4 A(-3,7) ve B(5,1) noktaları arasındaki uzaklık
kaç birimdir?
A ) 20
B) 30
C) 15
D) 10
E) 5
ÇÖZÜM
Cevap C dir çünkü ;
[AB] = √ (-3-5)2+(7-1)2
=√64+36 = √100
=10 birim
S.5 A(1,4) ve B(3-10) noktaları veriliyor [AB] orta
noktasının orjine uzaklığı kaç birimdir?
A) √12
B) √13
C) 14
D) 24
E) √10
ÇÖZÜM
Cevap B dir Çünkü; [AB]’ nin orta noktası C(x0,y0)
olsun
X0= 1+3 =2, y0 4-10 =-3
C(2,-3) noktasının orjine uzaklığı,
[0C] =√22+(-3)2 =√13 birimdir.
S.6 Köşe noktalarının ordinatları, A(-4 ,5), B(-2,7),
C(6,10), D(a,b) olan ABCD paralel kenarında D
noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 18
E) 12
ÇÖZÜM
Cevap E dir çünkü ;
-4+6 =-2+ aa = 4
5+10 = 7+bb= 8
A+b = 4 + 8 = 12 olur.
S.7 Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları
A(5,4) B(-1,2) ve C(a,b) olan ABC üçgenin ağırlık
merkezinin koordinatları G (4,3) ise a+b kaçtır?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 25
E) 11
ÇÖZÜM
Cevap E dir çünkü ;
4 = 5 -1 + aa = 8
3= 4 +2 + bb = 3
Buradan = a+b = 8+3
=11 olur.
S.8 0x ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yapan ve (2,1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 3
E) 0
ÇÖZÜM
Cevap E dir Çünkü ;
a= 45m
= tan45
=1
Eğimi m=1 olan A(-2,1) noktasından geçen doğru denklemi
y-1=1(x+2) y-x-3
=0 olur
S.9 Dik koordinat sisteminde d doğrusunun
denklemi nedir ?
A) 1
B) 0
C) 2
D) 4
E) 8
ÇÖZÜM
Cevap b dir çünkü
A(-2,0) ve B(0,3) noktalarından geçen doğrunun
denklemi
3x – 2y +b = 0 dir.
S.10= 2x-y+4=0 ve x+y +2=0 doğrularının kesiştiği
nokta nedir?
A) (-2,2)
B) (-3,4)
C) (-2,0)
D) (0,0)
E) (1,-2)
ÇÖZÜM
Cevap C dir. Çünkü;
2x-y+4=0
X+y+2=0
3x+6=0x =-2 elde edilir.
Denklemlerin herhangi birinde x=-2 yazılırsa y=0
bulunur bu göre bu iki doğru (-2,0) noktaları
kesişirler.
S.11= Köşelerinin koordinatları A(3,8) B(4, -6) C(8,-2) olan ABC üçgenin BC kenarına ait kenar
ortay uzunluğu kaç birimdir?
A) 8
B) 14
C) 18
D) 24
E) 13
ÇÖZÜM
Cevap E dir Çünkü;
√(29+144)
=√169 =13 olur.
S.12 Dik koordinat düzleminde verilen A(2,a-3)
B(a+2,-5) noktaları aynı bölegede olduğuklarna
göre a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) -3< a <3
B) 3< a <-2
C) -2< a <3
D) a< -2 <3
E)-2< 3 <a
ÇÖZÜM
Cevap C dir Çünkü;
a+2 > 0
a>-2
a-3<0
a<0
buna göre;
-2<a<3
S.13 A(-2) ve B(x) noktaları arasındaki uzaklık 6
birim ise x değerini bulunuz ?
A) (4,-8)
B) (-8,9)
C) (4,12)
D) (-4,8)
E) (4,8)
ÇÖZÜM
Cevap A dir. Çünkü ;
a ile b arası uzaklık [a-b]
[x-(-2)] = 6
[x+2]=6
X+2=6
x+2= -6
X=4
x=-8
X=(4,-8)
S.14 Sayı doğrusu üzerinde A(-2) ve B (7) olmak üzere
[AC]=2[BC] eşitliğini sağlayan C noktalarını bulunuz.
A) 4 veya 8
B) 5 veya 10
C) 3 veya 9
D) 4 veya 16
E) 16 veya 24
ÇÖZÜM
Cevap D dir. Çünkü;
C(x)
[x+2] =2[7-x]
x+2=2(x-7)
X+2=2(7-x)
x+2= 2x-14
X+2 = 14-2 x
x=16
3x=12
X=4
4 veya 16.
S.16 A(3,1) , B(3,-3) ise AB vektörünün uzunluğu
kaç birim. Dir.
ÇÖZÜM
AB = (3,-3, -3-1)
AB = (0,-4)
[AB]=√0^2+(-4)^2
[AB]= 4 br
S.17 A(5,-2) noktası ve BA=e₁ +3e₂ vektörü
veriliyor
B vektörünün uzunluğu kaçtır?
ÇÖZÜM
BA = A-B B= A-BA
B= (5-2)-(1,3)
B= (4,-5)
[B]=√4^2+(-5)^2 = [B] = √41 birimdir.
S.18 V₁=(2,-3) ve V₂ = (-4,m)
vektörleri doğrusal bağımlı
olduğuna göre m kaçtır.
ÇÖZÜM:
2/-4 = -3/m
== m=6
S.19 [A] = 6 , [B] =5
Vektörleri arasındaki açı 30 derece olduğuna
göre A . B skalel çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM A . B = [A] . [B] . cos30
A . B = 6,5 √3/2
A . B =15√3
S.20 A(1,4), B(3,3),(-2,-5) noktaları veriliyor. AB+BC
toplam vektörünün bileşenleri kaçtır?
A) (4, 8)
B) (-3,-9)
C) (-4,-4)
D) (8,16)
E) (9,3)
ÇÖZÜM: Cevap B dir Çünkü :
AB+BC= AC
AC=C-A = (-2,-5)-(1,4)
AC= (-3,-9) olur.
GEÇEN YıLLARDA ÇIKMIŞ
SORULAR
1-) A(2) ve B(x) noktaları
arasındaki uzaklık 6 br ise x
değerini bulunuz.
[x-(-2)] = 6 [x+2]=6
X+2=6
x+2=-6
X=4
x2 = 8
X=4-8
2-) 4x-3y+2 = 0 doğrusu ile 2√2x-y+1=0 doğrusunun
arasındaki açının cosinisü aşağıdakilerden hangisidir?
A)1/3
B) 3-8√2/15
C)3+8√2/15
D)√3/2
E)√2/2
CEVAP : C
3-) [6,-2] ve [3,x] ikililerine eşlenen serbest vektörlerin
birbirine dik olması için x aşağadakilerin hangisine eşit
olmalıdır.?
A)9
B)4
C)-6
D)-9
E)2
CEVAP : A
4-) A=(3,4) vektörünün y=x doğrusu üzerindeki iz düşümü
uzunluğu kaç birimdir.?
A)3√2
B)4√2
C)7√2
D)4/√2
E) 7/√2
CEVAP : D
5) V₁= (3,4) V₂= (12,5) vektörleri arasındaki açıyı
ortalayan bir vektör V= (1,a) olduğuna göre a kaç olabilir?
A) 5/7
C)9/11
B)7/9
D)11/13
E)13/15
CEVAP : E
6) A=[2-4], B[8,-6] vektörleri veriliyor. X A+yB =[-4,-2]
eşitliğini sağlayan x,y değerleri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1,-2
C)2,-1
B)1,-1
D)2,1
E)2,2
CEVAP : C
7) A=(2,-2) ve B= (√3,1) vektörleri arasındaki açı kaç
derecedir ?
A) 90
B) 75
C)60
D)45
E)30
CEVAP : B
8) A(1,0,-1) noktasından geçen ve N=(-1,-2,1) vektörüne
dik olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir.
A) x+2y –z -2 =0
B)x-2y+2z=0
C)x+y+z-1=0
D)2x-y+z=0
E) x-y-z-1=0
CEVAP :A
9) Denklemleri d₁: x+1/-2 = y-2/3 = z-4/-1
d₂: x/a =
y/2 = z/-4 ola doğrunun birbirine dik durumu olması için a
kaç olmalıdır?
A) 1
B) 2
C)3
D)4
E)5
CEVAP : E
10) Köşe noktaları koordinatları A(-4,5), B(-2,7) C
(6,10) D (a,b) olan ABCD paralel kenarında D
noktasının koordinatı toplamı aşağıdakilerden
hangisidir.
A)12
B)24
C)14
D)9
E)18
CEVAP: A