Transcript Dik koordinat sistemi

Dik koordinat sistemi
O;e ,e 
y
1
2
Üçlüsüne düzlemin dik koordinat
sistemi denir. O noktasına bu
koordinat sisteminin orijini, birim
e2
O
x
e1
vektörleri taşıyan doğrulara
koordinat sisteminin eksenleri denir.
Nokta ile vektör eşleştirmeleri
Yer vektörü: Başlangıç noktası O olan vektördür.
y
b
B
P(a, b)
P noktasının belirttiği yer vektörü:
OP  P
OP  OA  OB
b  e2
ae1
e2
OP  a  e1  b  e2  P(a,b)
e1
O
be2
a  e1
A
a
x
P noktasına karşılık yalnız bir yer vektörü ve
(a,b) reel sayı ikilisi karşılık gelir. Bu reel sayı
ikilisine Hem P noktasının hem de OP yer
vektörünün koordinatları denir. 1. bileşen
apsis, 2. bileşen ordinat adını alır.
P  (a,b)  a  e1  b  e2
Alıştırma
y
A(3, 4) noktasına karşılık gelen yer vektörünü
analitik düzlemde gösteriniz ve birim vektörler
türünden lineer birleşimini yazınız.
B  4  e1  5  e2
1
O
x
B noktasının koordinatlarını yazınız ve
analitik düzlemde gösteriniz.
1
C(a – 3, a + 3) noktası x ekseni üzerinde
olduğuna göre analitik düzlemde gösteriniz.
Birim vektörlerin koordinatlarını yazınız analitik
düzlemde gösteriniz.
Analitik düzlemin bölgeleri
y
x  0,y  0
x  0,y  0
x
O
x  0,y  0
x  0,y  0
Alıştırma
İki vektör arasında tanımlanmış işlemler
u  x  e1  y  e2  (x, y)
v  x ' e1  y ' e 2  (x ', y ')
Toplama işlemi:
Reel sayı ile çarpma işlemi:
Çıkarma işlemi:
Çarpma işlemi(iç çarpım):
Özet
(x, y)  (x ', y ')  (x  x ', y  y ')
k  (x, y)  (k  x,k  y)
(x, y)  (x ', y ')  (x  x ', y  y ')
(x, y)  (x ', y ')  x  x ' y  y '
u  v  (x  x ')  e1  (y  y ')  e 2  (x  x ', y  y ')
k  u  k  x  e1  k  y  e 2  (k  x,k  y)
u  v  (x  x ')  e1  (y  y ')  e 2  (x  x ', y  y ')
u  v  u,v  x  x ' y  y '
Alıştırma – Ödev
u  (3,1),
v  ( 2,2)
w  ( 3,2)
uv ?
2u  ?
uv  ?
uv  ?
uu  ?


u v  w  ?
uv  u w  ?


u v  w  ?
u  v   w  ?
u  v   u  v   ?
Vektör işlemlerinin özellikleri
Herhangi bir vektörün koordinatları
Uç noktaları A(x’, y’) ve B(x, y) olan AB vektörünün koordinatları:
y
A(x’, y’)
B(x, y)
OA  AB  OB
OA  A  (x ', y ')
AB  OB  OA
OB  B  (x, y)
AB  B  A
x
O
AB  B  A  (x, y)  (x ', y ')
AB  (x  x ', y  y ')
Alıştırma
Uç noktaları A(2, 3) ve B(10, 10) olan AB vektörünün koordinatlarını bulunuz.
Koordinatları (3, 1) olan vektör, bitim noktası A(4, 4) olan AB vektörüne eşit olduğuna
göre B noktasının koordinatlarını bulunuz.
Bir vektörün uzunluğu (normu)
u herhangi bir vektör olmak üzere,
uu
biçiminde tanımlanan işleme u vektörünün
normu (uzunluğu) denir ve u ile gösterilir.
u  uu
 u
2
x
 uu
u  (x, y) olsun,
u  u  x +y olduğundan
2
2
u 
uu
u 
x 2 +y 2
2
 y
2
y
x
Pisagor bağıntısı ile norm (uzunluk) aynıdır. Bu
da tanımların amaçsız yapılmadığına güzel bir
örnektir.
Alıştırma
a  (3,4) olmak üzere
1) a  ?
2) a  a  ?
3)
a
a
?
4) 3. soruyu yorumlayıp genelleyiniz.
5) A(3,2) ve B(6,6)  AB =?
Öklit iç çarpımın ikinci tanımı
u  v  u  v  cos 
v
 : u ile v arasındaki açı (0o    180o )
u ve v sıfır vektöründen farklı herhangi iki vektör

u
90o    180o  cos   0  u  v  0
0o    90o  cos   0  u  v  0
  90o  cos90o  0  u  v  0 (diklik şartı)
  0o  cos90o  1  u  v  u  v (aynı doğrultuda olma)
yani;
u kv
İki vektör arasındaki açının ölçüsü ile ilgili yorum yapabilmek için iç çarpım kullanmak gerekir.
Ek ileri bilgi
  90o  (  )
(x’, y’)
(x, y)



x  A  cos 
y  A  sin 
x'  B  sin
y'  B  cos 
A  ( A  cos  , A  sin )
B  ( B  sin, A  cos )
A  B  A  cos   B  sin  A  sin   A  cos 
A  B  A  B (cos   sin  sin   cos )
sin( )cos[90o ( )]
A  B  A  B  cos 
Alıştırma 1
?
?
v  (6,6)
v  (1,1)


u  (0,8)
u  (0,1)
Alıştırma 2
a  (4,1)
b  (3,5)
vektörleri arasındaki
açı kaç derecedir?
a  (1,1)
b  ( 3,1)
vektörleri arasındaki
açı kaç derecedir?
y
x
O
Alıştırma 3
u  (3,1)
v  (1,3)
vektörleri arasındaki
açı  olduğuna göre,
cos  = ?
Alıştırma 4 – Ödev
u  3 ve v  5 olan u ve v vektörleri
u
v
arasındaki açının ölçüsü 120o olduğuna göre,
a) u  v  ?
b) u  v  ?
Alıştırma 5 – Ödev
u  (3,2)
v  (4,k)
A(3,2)
B(4,k)
C(0,1)
D(3,4)
a) u  v  k  ?
b) u ile v doğrultuları aynı  k  ?
a) AB  CD  k  ?
b) AB // CD  k  ?
Aralarındaki açının ölçüsü  olan
Dik izdüşüm
a ve b vektörleri veriliyor.
cos  
b
b' vektörüne,
b'
b
b vektörünün a vektörü üzerindeki
................................. vektörü denir.
1)
b' =
b'

a b
a
a
a
2) b'=
a b
a
3) b'=
a
a
2
a 
a b
a
aa
 b  cos 
olduklarını gösteriniz.
b'
a
Dik izdüşüm özel durumları

Alıştırma 1
u = (3, 4) vektörünün v =(8, 0) vektörü
üzerindeki dik izdüşüm vektörünü ve
dik izdüşüm vektörünün uzunluğunu
bulunuz.
Alıştırma 2
Uzunluğu 8 birim olan u vektörünün
aralarındaki açının ölçüsü 60o olan
v vektörü üzerindeki dik izdüşüm
vektörünün uzunluğunu bulunuz.
Alıştırma 3
u = (5, -1) vektörünün v =(3, 2) vektörü
üzerindeki dik izdüşüm vektörünü bulunuz.
Ödev
x ekseniyle pozitif yönde 150o lik açı yapan birim vektörü bulunuz.
İç çarpım işleminin alan yorumu 1
u  v  u  v  cos   u  v'
v'
v
 dar açı ise Taralı Alan = u  v

u
 geniş açı ise Taralı Alan =  u  v
Taralı Alan = u  v
İç çarpım işleminin alan yorumu 2
u  v  u  v  cos 
Taralı Alan = u  v
v

u
İç çarpım işleminin alan yorumu 3
Yol gösterme:
sin2   cos2   1
v
TA  u  v  sin 

u  v  u  v  cos 
u
Taralı Alan =
2
2
 
u  v  u v
olduğunu gösteriniz.
2
Alıştırma
A(1, 1)
B(5, 3)
C(0, 6)
C(0, 6)
Alan(ABC)=?
B(5, 3)
A(1, 1)
Ödev 1
Ödev 2
Ödev 3
Ödev 4
Ödev 5
Ödev 6
Ödev 7
Ödev 8
Ödev 9
Ödev 10
Ödev 11
Ödev 11
Ödev 12
Ödev 13
Ödev 14
Ödev 15
Ödev 16
Ödev 17
Ödev 18