Transcript Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri
•Ortalamalara dayanan (Pearson)
•Kartillere dayanan (Bowley)
•Momentlere dayanan
asimetri ve basıklık ölçüleri
III. Asimetri ve Basıklık ölçüleri
• Asimetri ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem
değerlerinin dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir. Bu
ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri dikkate
alınır. Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal bir
basıklığa sahiptir. Asimetri ölçüsü serinin frekans
dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini
gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal dağılıma göre
ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde dağıldığını
gösteren ölçülerdir.
• Asimetri ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin çarpıklığının
yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün büyüklüğü
verilerin ortalama civarında aşırı yoğunlaştığına,
küçüklüğü ise verilerin ortalamaya etrafında fazla dağınık
olduğuna işaret etmektedir.
III. 1- Ortalamalara Dayanan (Pearson) Asimetri
Ölçüleri
• Asimetrisi hafif serilerde ortalamalar arasında aşağıdaki
gibi bir ilişki söz konusudur.
( X  mod)  3  ( X  medyan)
• Bu ilişkinin her iki tarafı standart sapmaya oranlandığında
iki asimetri ölçüsü elde edilir.

1)
As 
2) As 
X  mod

3  ( X  m edyan)

• As = 0 ise seri simetrik
• As > 0 ise seri sağa çarpık
• As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilir.
• Yukarıdaki asimetri ölçülerinden daha çok birincisi
kullanılır. Modun hesaplanamadığı durumlarda ikinci
formül kullanılarak asimetri belirlenir. Bu asimetri ölçüsü
±1 e yaklaştıkça çarpıklık kuvvetli hale gelirken, 0,5 e
yaklaştıkça orta şiddette 0’a yaklaştıkça hafif şiddette
çarpıklık söz konusu olur.
• Sağa çarpık durumda gözlem değerlerinin büyük bir
kısmı modun sağında, sola çarpık durumda ise solunda
yer alacaktır. Diğer bir deyişle sağa çarpık serilerde
aritmetik ortalama sağa doğru (büyük değerler yönüne)
kayarken, sola çarpık serilerde aritmetik ortalama sola
(küçük değerler yönüne) kayma göstermektedir.
• Örnek : X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil
tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda
verilmiştir. Pearson asimetri ölçülerini bulup sonucu
yorumlayınız.
Ömür (saat) Pil sayısı
mi
f im i
f im i2
100-120
120-140
140-160
160-180
10
50
60
20
110
130
150
170
1100
6500
9000
3400
121000
845000
1350000
578000
180-200
Toplam
10
150
190
1900
21900
361000
3255000
• Pearson asimetri ölçülerini elde edilebilmesi için serinin
aritmetik ortalaması, standart sapması, mod ve
medyanının bilinmesi gerekir.
• Aritmetik ortalama
fm

X
f
i
i
i
Kareli ortalama
21900

 146saat
150
• Standart sapma
K 
2
2
f
m
 i i
f
i
3255000

 21700
150
 2
  K 2  X  21700 1462  384  19,6saat
• Mod
1
10
Mod   1 
 s  140
.20  mod  144saat
1   2
10  40
• Medyan
N m1
  Ni
75  60
2 i 1
Medyan l1 
.S m  140
 20  m edyan 145saat
Nm
60

1) As 
X  mod 146 144

 As  0,1  0 seri sağa çarpik

19,6

2) As 
3(X  Medyan)

 As 
3(146 145)
 As  0,15  0 seri sağa çarpik
19,6
Serinin şeklinin Histogram ve frekans poligunu ile
gösterimi
III.2) Kartillere Dayanan (Bowley) Asimetri
Ölçüsü
• Simetrik serilerde Q3-Q2 = Q2-Q1 olduğu bilinmektedir. Eğer
Q3-Q2 > Q2-Q1 ise serinin sağ tarafında bir yoğunlaşma
olduğu, aksi halde sol tarafta bir yoğunlaşma olduğu
söylenebilir. Bu durumu daha iyi ortaya koymak için Bowley
tarafından geliştirilen aşağıdaki asimetri ölçüsü kullanılabilir.
(Q3  Q2 )  (Q2  Q1 )
As 
(Q3  Q1 )
•
•
•
•
As = 0 ise seri simetrik
As > 0 ise seri sağa çarpık
As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilebilir.
Bu ölçü sıfıra yaklaştıkça asimetri hafifler ±1 e yaklaştıkça
asimetri kuvvetli hale gelir.
Örnek: Yukarıdaki pillerin ömür deneyi örneği için Bowley
asimetri ölçüsünü bularak sonucu yorumlayınız.
Ömür
100–120
fi
10
fi
10
120–140
140–160
160–180
180–200
50
60
20
10
60
120
140
150
N .h 150 .1

 37 ,5
r
4
37,5  10
Q1  120 
.20  131
50
• Q2 için N .h  150 .2  75
r
4
• Q1için
75  60
Q2  140 
.20  145
60
112 ,5  60
N .h 150 .3
Q3  140 
.20  157 ,5
Q 3 için

 112 ,5
60
r
4
(Q3  Q2 )  (Q2  Q1 )
(157,5  145)  (145 131)
As 
 As 
(Q3  Q1 )
(157,5  131)
As  0,05  0 oldugundan sola hafif çarpiktir.
III.3. Momentlere Dayanan Asimetri ve Basıklık
Ölçüleri
• Moment Tanımı ve Çeşitleri : Moment bir serideki gözlem
değerlerinin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan farklarının
kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır. Bu ölçüler serinin
frekans dağılımının şeklinin belirlenmesinde kullanılan
ölçülerdir.
• Bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan çeşitli derecelerdeki
farklarının ortalamasına sıfıra göre moment adı verilir. Sıfıra
göre moment “Mr“ şeklinde yazılır. Burada “r” momentin
derecesi olup, fark alma işleminin derecesini gösterir. Buna
göre sıfıra göre momentler şöyle formüle edilir.
Basit seride M r
( X  0)


N
T asnif edilmisseride M r 
r
 Mr
X


r
f
(
X

0
)
 i i
f
i
r
i
N
 Mr 
r
f
X
 i i
f
i
Gruplanmisseride M r


f i (mi  0) r
fi
 Mr


f
f i mir
i
• Burada r = 1,2,3,4 değerlerini alır. Asimetri ve basıklık için
daha üst derecelerde momentler gerekli değildir.
Xi 

X
• Sıfıra göre 1.moment aritmetik ortalamaya M 1 
N
2
Xi
  K2
M

2
• 2.moment ise kareli ortalamanın karesine
N
eşittir. Sıfıra göre momentleri kullanarak asimetri ve basıklık
ölçüsünü elde etmek mümkün değildir. Asimetri ve basıklık
ölçüleri aritmetik ortalamaya göre momentler yardımı ile elde
edilebilir. Ancak sıfıra göre momentler kullanılarak aritmetik
ortalamaya göre momentler elde edilebilir.
Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler
• Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamalardan çeşitli
derecelerdeki farklarının ortalamalarına aritmetik ortalamaya
göre momentler adı verilir. Aritmetik ortalamaya göre
momentler “r” şeklinde gösterilir. Burada “r” momentin
derecesi olup 1,2,3,4 değerlerini alır. Aritmetik ortalamaya
göre momentler şöyle yazılır.

Basit seride  r 
r
(
X

X
)
 i
N
T asnif edilmisseride  r 
Gruplanmisseride  r 



fi ( X i  X )r
f
i

f i (mi  X ) r
f
i
• r =1 için 1 = 0 olur
1
(X



i
 X)
N
0
 0
N

• r =2 için 2 =
2
yani varyans olur.  
2
2
(
X

X
)
 i
N
 2
• 3.1. Momentlere Dayanan Asimetri Ölçüsü (3)
• Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3), asimetrik ortalamaya
göre 3. momentin standart sapmanın küpüne oranlanması ile
elde edilir.
 3 olup
•
3 
•
•
•
•
3
3 = 0 ise seri simetrik
3 > 0 ise seri sağa çarpık
3 < 0 ise seri sola çarpık olmaktadır.
3 için bir üst sınır olmamakla birlikte
asimetrinin kuvvetli olduğu kabul edilir.
 3  0,5
olursa
• 3.2. Momentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü (4)
• Momentlere dayanan basıklık ölçüsü, asimetrik ortalamaya
göre 4. momentin standart sapmanın 4. kuvvetine
oranlanması ile elde edilir.
•
•
•
•
•
4
4  4

olup,
4 = 3 ise serinin basıklığı normal
4 > 3 ise seri normal dağılıma göre daha sivridir.
4 < 3 ise seri normal dağılıma göre daha basıktır.
Eğer bir seri 3 = 0 ve 4 = 3 şeklinde bir dağılım
gösteriyorsa bu serinin dağılımının normal olduğu söylenir.
•
•
•
•
•
Örnek: Yukarıdaki pil örneği için;
a-) Sıfıra göre momentleri bulunuz.
b-) Aritmetik ortalamaya göre momenti hesaplayınız.
c-) 3 asimetri ölçüsünü bularak yorumlayınız.
d-) 4 basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız.
Ömür (x10)
fi
mi
fimi
fimi2
fimi3
fimi4
10–12
12–14
10
50
11
13
110
650
1210
8450
13310
109850
146410
1428050
14–16
16–18
18–20
60
20
10
15
17
19
900
340
190
13500
5780
3610
202500
98260
68590
3037500
1670420
1303210
Toplam
150
2190
32550
492510
7585590
• a) Sıfıra göre momentler
f i mi 2190

M1 

 14,6
 fi 150
M3
fm


f
i
i
i
3
M2 
M4 
492510

 3283 ,4
150

f
f i mi

f
f i mi
2

i
4

i
32550
 217
150
7585590
 50570 ,6
150
b) Aritmetik ortalamaya göre momentler

mi  X


f i ( mi  X ) f i ( m i  X )
2

f i (mi  X )
3

f i (mi  X ) 4
-3,6
-36
129,6
-466,56
1679,616
-1,6
-80
128
-204,8
327,68
0,4
24
9,6
3,84
1,536
2,4
48
115,2
276,48
663,552
4,4
44
193,6
851,84
3748,096
0
576
460,8
6420,48
Toplam
• b) Aritmetik ortalamaya göre momentler:

f (m  X )
0



0
150
f
1
i
i
i
3

f (m  X )


f
i
i
i
2 
3
460 ,8

 3,072
150
4


f i (mi  X ) 2
f
i
 2   2   2  3,84   1,96
3,072
3 
 0,4  0
3
(1,96)
olduğundan seri sağa çarpıktır.

f (m  X )


f
c) 3 asimetri ölçüsü:
3
3  3

i
i
i
4


576
 3,84
150
6420 ,48
 42,8
150
• d) Basıklık Ölçüsü
 4 42,8
4  4 
 2,9  3
4

1,96
olduğundan seri hafif basıktır.
• Şu halde seri normal dağılan bir seriye göre sağa çarpık ve
hafif basık bir dağılış göstermektedir. Kabaca grafiği şöyle
çizilebilir.
Sıfıra Göre Momentlerden Hareketle Aritmetik
Ortalamaya Göre Momentlerin Bulunuşu
• Sıfıra göre momentlerden yararlanarak aritmetik ortalamaya göre
momentler elde edilerek serinin asimetri ve basıklığı
hesaplanabilir. Burada basit seri için aritmetik ortalamaya göre
momentlerin sıfıra göre momentlerden bulunuşu gösterilecektir.
Diğer seriler için de aynı formüller geçerlidir.
• Aritmetik ortalamaya göre 1. moment:

1 
(Xi  X )
acilirsa
X

i


NX

 X  X  0 olur.
N
N
N
• Aritmetik ortalamaya göre 2. moment

2 
(Xi  X )
2
N
2
2
 M 2  2M 1  M 1

 Xi
N

2

2 X  Xi
N
2  M 2  M
2
1

N X2

N
• Aritmetik ortalamaya göre 3. moment
3
(X



i
 X)
3
X



3

i
3X X
 2
2
i

N
N
N
3  M 3  3M2 M1  3M12 M1  M13
3X
X
 3

i
N
NX
N
μ3  M3  3M2M1  2M13
• Aritmetik ortalamaya göre 4. moment
4
(X



i
 X)
N
4
X


N

4
i

4X
X
 2
3
i
N

6X
X
 3
2
i
N

N
4  M4  4M3M1  6M2M  4M M1  6M
2
1
4
1
3
1
μ4  M4  4M3M1  6M2M  3M
2
1
X
4X
4
1
 4
i

NX
N
• Örnek: Yukarıdaki pil örneği için sıfıra göre momentleri
kullanarak aritmetik ortalamaya göre momentleri bularak
asimetri ve basıklığı belirleyiniz.
• Çözüm: Yukarıda bu örnek için sıfıra göre momentler
bulunmuştu. Buna göre;
M1  14,6 ; M2  217 ; M3  3283,4; M4  50570,6
• Bu verilenden hareketle 2, 3 , 4 ‘ü yukarıda verilen
formülleri kullanarak bulalım.
 2  M 2  M 12  217 (14,6) 2   2  3,84 yani  2  3,84
• Standart sapma
• 3. moment
  3,84  1,96
3  M 3  3M 2 M1  2M13  3283,4  3(21714,6)  2(14,6) 3  3,072
• Aritmetik ortalamaya göre 4. moment:
4  M 4  4M 3 M 1  6M 2 M 12  3M 14
 50570,6  4(3283,4 14,6)  6(21714,62 )  3(14,6) 4
 4  50570,6 191750,56  277534,32 136311,56
 4  42,8
• 3 asimetri ölçüsü:
3 3,072
3  3 
 0,4  0 sağa çarpik
3

1,96
• 4 basıklık ölçüsü:
4 42,8
4  4 
 2,9  3 hafif basik
4

1,96
• Aşağıda D100 karayolunun Adapazarı İzmit kesiminde meydana
gelen kazaların günlere göre dağılımı verilmiştir. Bu veriler göre
serinin;
• a) Sıfıra ve aritmetik ortalamaya göre momentleri bulunuz.
• b) Asimetri ölçüsünü bulunuz.
• c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız.
Kaza
sayısı
0
Gün
sayısı
5
fiXi
0
fiXi2
0
fiXi3
0
fiXi4
0
1
2
3
4
10
12
18
11
10
24
54
44
10
48
162
176
10
96
486
704
10
192
1458
2816
5
Toplam
4
60
20
152
100
496
500
1796
2500
6976
a) Sıfıra göre momentler
Sıfıra göre 4 moment şöyle olur.
M1
f X

X
f
i
i
M2
f X


f
i
2
i
i
M3 
M4 
3
f
X
 i i
f
i
4
f
X
 i i
f
i
i

152
 M 1  2,53
60
496

 M 2  8,27
60

1796
 M 3  29,93
60
6976

 M 4  116,27
60
Aritmetik ortalamaya göre momentlerin hesaplanması
Kaza sayısı
2
4
3
f
(
X

X
)
f
(
X

X
)
f
(
X

X
)
(
X

X
)
i
i
i
i
i
i
i
Gün sayısı
0
5
-2,53
32,09
-81,29
205,94
1
10
-1,53
23,51
-36,05
55,28
2
12
-0,53
3,41
-1,82
0,97
3
18
0,47
3,92
1,83
0,85
4
11
1,47
23,66
34,70
50,90
5
4
2,47
24,34
60,03
148,08
Toplam
60
110,93
-22,60
462,02
• Aritmetik ortalamaya göre momentlerin farklar serisinden hesaplanması

2 
2
f
(
m

X
)
 i i
f
i
110,93

 2  1,85
60

3 
3
f
(
m

X
)
 i i
f
i
 22,6

 3  0,377
60

4 
4
f
(
m

X
)
i i
f
i
462,02

 4  7,7
60
Sıfıra göre momentlerden aritmetik ortalamaya
göre momentlerin bulunuşu
2  M 2  M  8,27  2,53  2  1,87
2
1
2
μ3  M 3  3M2 M1  2M13
 29,93  3  8,27  2,53  2  2,53  3  0,45
3
μ4  M 4  4M3 M1  6M2 M1  3M
2
4
1
 116,27  4  29,93 2,53  6  8,27  2,532  3  2,534
  4  8,07
c) Asimetri ve basıklık ölçüleri
• Asimetri ölçüsü (3)
3  0,377
3  3 
 0,15  0 sola çarpik
3

1,36
• Basıklık ölçüsü (4)
4
7,7
4  4 

2
,
25

3
seri
basik
4

1,36
• Örnek: Basit bir seri için aşağıdaki verilere ulaşılmıştır. Bu
verilerden hareketle;
1
( X i  K )  1,74 2  32,6 M 3  1643,5

N
3
(
X

X
)
 1191 M 4  29339 Medyan 9,2
 i
•
•
•
•
•
•
•
•
a) Aritmetik ortalamayı (8.5)
b) Kareli ortalamayı (10,238)
c) Gözlem sayısını (N=6)
d) Modu tahmin ediniz ( Mod=10,6)
e) α3 asimetri ölçüsünü (1,07)
f) µ4 aritmetik ortalamaya göre 4. momenti (3230,6)
g) α4 Basıklık ölçüsünü (3,04)
h) Değişim katsayısını bulunuz. (%67,17)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Örnek: Basit bir seri ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir.
M2 = 69,8 DK= 38,38 Xi3 = 3429 3 = 0,059
M4 = 7282 Xi = 1920 Mod= 8,4
a) Aritmetik ortalamayı, (7,8)
b) Gözlem sayısını, (5)
c) Geometrik ortalamayı bulunuz. (4,536)
d) Standart sapmayı, (3)
e) Medyanı tahmin ediniz. ( 8 )
f) 4 basıklık ölçüsünü, (3,21)