Transcript aritmetik ortalamaya göre momentler

İTİCÜ
Mühendislik ve Tasarım
Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Bölümü
İSTATİSTİK VE OLASILIK I
4. Hafta: Çarpıklık ve Basıklık
Öğr. Gör. Berk Ayvaz
2013
Momentler






Moment bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan veya aritmetik
ortalamadan farklarının kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır.
Bu ölçüler serinin frekans dağılımının şeklinin belirlenmesinde
kullanılan ölçülerdir.
Bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan çeşitli derecelerdeki
farklarının ortalamasına sıfıra göre moment adı verilir.
Sıfıra göre moment “Mr“ şeklinde yazılır.
Burada “r” momentin derecesi olup, fark alma işleminin derecesini
gösterir.
Buna göre sıfıra göre momentler şöyle formüle edilir.
Momentler

Basit bir serideki 𝑿𝒊 değişkenin sıfır etrafındaki r. momenti:
Mr =

Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış bir serideki 𝑿𝒊
etrafındaki r. momenti:
Mr =




Xr
n
değişkenin sıfır
f Xr
f
Sıfır etrafındaki 1. moment aritmetik ortalamaya eşittir.
Sıfıra göre momentleri kullanarak çarpıklık ve basıklık ölçüsünü elde etmek
mümkün değildir.
Çarpıklık ve basıklık ölçüleri aritmetik ortalamaya göre momentler yardımı
ile elde edilebilir.
Ancak sıfıra göre momentler kullanılarak aritmetik ortalamaya göre
momentler elde edilebilir.
Momentler
• Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamalardan çeşitli
derecelerdeki farklarının ortalamalarına aritmetik ortalamaya göre
momentler adı verilir.
• Aritmetik ortalamaya göre momentler “r” şeklinde gösterilir.
• Burada “r” momentin derecesi olup 1,2,3,4 değerlerini alır.

Basit bir serideki 𝑋 değişkenin aritmetik ortalama etrafındaki r. momenti:
μr =

Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış bir serideki 𝑋 değişkenin aritmetik
ortalama etrafındaki r. momenti:
μr =


( X−X )r
n
f ( X−X )r
f
Aritmetik ortalama etrafındaki 1. moment 0 ’a eşittir.
Aritmetik ortalama etrafındaki 2. moment ise varyansı verir.
Momentler


Sıfır etrafındaki momentler bilindiğinde aritmetik ortalama etrafındaki
momentler kolayca hesaplanabilir.
König teoremi iki moment türü arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi
açıklamaktadır.
𝝁𝟐 = 𝑴𝟐 −
𝑴𝟏 𝟐
𝝁𝟑 = 𝑴𝟑 − 𝟑 𝑴𝟏 𝑴𝟐 + 𝟐𝑴𝟏 𝟑
𝝁𝟒 = 𝑴𝟒 − 𝟒 𝑴𝟏 𝑴𝟑 + 𝟔 𝑴𝟏 𝟐 𝑴𝟐 − 𝟑𝑴𝟏 𝟒
Örnek 1
 Yandaki
a)
b)
c)
basit serinin;
Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momentini,
Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3.
momentini,
Sıfır etrafındaki momentler yardımıyla
aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3.
momentlerini bulunuz.
X
10
12
18
20
Çözüm 1
a)
Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momenti:
X
𝐗𝟐
𝐗𝟑
10
100
1000
12
144
1728
18
324
5832
20
400
8000
Mr =
Xr
n
M2 =
X2
968
=
= 242
4
4
M3 =
X3
16560
=
= 4140
4
4
Çözüm 1
Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve 3. momenti:
b)
X
60
M1 = X =
=
= 15
n
4
X
X-𝐗
( X−𝐗 ) 𝟐
( X−𝐗 ) 𝟑
10
-5
25
-125
12
-3
9
-27
18
3
9
27
20
5
25
125
( X−X )2 68
μ2 =
= = 17
n
4
( X−X )3 0
μ3 =
= =0
n
4
Çözüm 1
c) Sıfır etrafındaki momentler yardımıyla aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve
3. momentler
μ2 = M2 − M1 2 = 242 - 152
μ3 = M3 − 3 M1 M2 + 2M1 3 = 4140- (3×15×242) + (2× 153 )= 0
Çalışma Sorusu 1

Yandaki gruplandırılmış serinin;
a)
Sıfır etrafındaki 2. ve 3. momentini,
b)
Aritmetik ortalama etrafındaki 2. ve
3. momentini,
c)
Sıfır etrafındaki momentler
yardımıyla aritmetik ortalama
etrafındaki 2. ve 3. momentlerini
bulunuz.
Gruplar
f
1-3
1
3-5
2
5-7
4
7-9
3
Çarpıklık ve basıklık ölçüleri




Çarpıklık ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem değerlerinin
dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir.
Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri dikkate alınır.
Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal bir basıklığa sahiptir.
Çarpıklık ölçüsü serinin frekans dağılımının simetrik dağılımdan
uzaklaşma derecesini gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal
dağılıma göre ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde
dağıldığını gösteren ölçülerdir.
Bir başka ifade ile, çarpıklık ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin
çarpıklığının yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün
büyüklüğü verilerin ortalama civarında aşırı yoğunlaştığına,
küçüklüğü ise verilerin ortalamaya etrafında fazla dağınık olduğuna
işaret etmektedir.
Çarpıklık









Bir serinin simetriden ayrılmasına çarpıklık
denir.
Çarpıklık, bir dağılımın ortalaması etrafındaki
asimetri derecesini belirtir.
Simetrik dağılım gösteren serilerde merkezi eğilim
ölçüleri, dağılımın tam ortasında yer alır.
Bir başka ifadeyle, serideki rakamların %50 ‘si
merkezi eğilim ölçüsünden büyük, kalan yarısı ise
küçüktür.
Bununla beraber rakamların dağılımı her zaman
simetrik olmaz.
Uygulamada sağa ya da sola çarpık serilerle sık sık
karşılaşılmaktadır.
Serideki asimetriyi çarpıklık katsayılarına bakarak
anlayabiliriz.
Çarpıklık katsayısı 0 olan seri simetrik seridir.
Çarpıklık katsayısı negatif olduğunda seri sola
çarpık, pozitif olduğunda seri sağa çarpık
demektir.
1-Pearson Çarpıklık Katsayıları
 Simetrik
bir seride
𝐗 = Mod = Medyan
Mod = Medyan = Aritmetik Ortalama
 Sağa
çarpık bir seride:
𝑿 > Medyan > Mod
Mod < Medyan < Aritmetik Ortalama
 Sola
çarpık bir seride:
𝑿 < Medyan < Mod
Aritmetik Ortalama < Medyan < Mod
5
1- Pearson Çarpıklık Katsayıları
1
3(X−Medyan)
Çarpıklık =
s
S: standart sapma

Bu çarpıklık katsayıları:
= 0 ise dağılım simetrik,
> 0 ise dağılım sağa çarpık,
< 0 ise sola çarpıktır.
2
Çarpıklık =
(X−Mod)
s
Örnek 2

Aşağıdaki gruplandırılmış serinin medyana ve moda dayalı Pearson
çarpıklığını bulunuz.
Gruplar
f
k.f.
1-3
1
1
3-5
2
3
5-7
4
7
7-9
3
10
Çözüm 2

Medyana dayalı çarpıklık hakkında karar verebilmek için aritmetik
ortalama ve standart sapmayı da bulmamız gereklidir.
X = 5,8
S= 1,89

N=10 olduğu için N/2=5. değer medyandır. Medyan 5-7 aralığıdır.
Medyanın yaklaşık değeri,
Medyan = 𝐿1 +

𝑁
−
2
𝑓𝑚−1
𝑓𝑚
.c = 5 +
5−3
.2
4
=6
Medyana dayalı çarpıklık:
Çarpıklık =
3(X−Medyan)
s
=
3.(5,8−6)
= -0,32
1,89
Çözüm2

Moda dayalı çarpıklık:
Mod: L1 +
Çarpıklık =
∆1
.c =
∆1 +∆2
2
5+
.2
2+1
= 6,33
(X−Mod)
5,8−6,33
=
= -0,28
s
1,87
Örnek 3
A marka ampüller için yapılan ömür testinde, 150 ampülden
tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir.
Pearson asimetri ölçülerini bulup sonucu yorumlayınız.
Ömür (saat)
Ampül sayısı
100-120
10
120-140
50
140-160
60
160-180
20
180-200
10
Çözüm 3

Ömür (saat)
Ampül
sayısı
mi
fimi
fimi2
100-120
10
110
1100
121000
120-140
50
130
6500
845000
140-160
60
150
9000
1350000
160-180
20
170
3400
578000
180-200
10
190
1900
361000
Toplam
150
21900
3255000
Pearson asimetri ölçülerini elde edilebilmesi için serinin aritmetik
ortalaması, standart sapması, mod ve medyanının bilinmesi gerekir.
Çözüm 3
2-Kartil Çarpıklık Katsayısı


Herhangi bir dağılıma ait kartil değerleriyle de söz konusu dağılımın
asimetrisi hakkında fikir sahibi olunabilir.
Kartillerden yararlanmak suretiyle belli bir dağılımın çarpıklığı Bowley
tarafından geliştirilen formülle hesaplanır:
𝐐ç =
Q3 −Q2 −(Q2 −Q1 )
Q3 −Q1
=
Q3 −2Q2 +Q1
Q3 −Q1
Örnek 4
X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş
ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pillerin ömür deneyi
örneği için Bowley asimetri ölçüsünü bularak sonucu yorumlayınız
Ömür (saat)
Pil sayısı
100-120
10
120-140
50
140-160
60
160-180
20
180-200
10
Çözüm 4
3- Moment Çarpıklık Katsayısı
çarpıklık ölçülerinin yanısıra uygulamada
çoklukla kullanılan bir diğer çarpıklık ölçüsü de moment
çarpıklık katsayısıdır.
 Bu ölçü ortalama etrafındaki üçüncü momentin standart
sapmanın üçüncü kuvvetine bölünmesiyle elde edilir.
 Moment çarpıklık katsayısını 𝛼3 ile gösterirsek;
 Pearson
𝜶𝟑 =
𝝁𝟑
𝒔𝟑
• 𝛂𝟑 =0 ise dağılım simetrik
• 𝛂𝟑 > 𝟎 𝐢𝐬𝐞 𝐝𝐚ğı𝐥ı𝐦 𝐬𝐚ğ𝐚 ç𝐚𝐫𝐩ı𝐤
• 𝛂𝟑 < 𝟎 𝐢𝐬𝐞 𝐝𝐚ğı𝐥ı𝐦 𝐬𝐨𝐥𝐚 ç𝐚𝐫𝐩ı𝐤
Basıklık



Basıklık bir dağılımın diklik derecesinin ölçüsüdür.
Bu konuda kullanılan en yaygın ölçü, moment basıklık katsayısıdır.
Moment basıklık katsayısı, ortalama etrafındaki 4. momentin standart
sapmanın 4. kuvvetine bölünmesiyle elde edilir.
𝛼4 =
•
•
•


𝜇4
𝑠4
𝛂𝟒 = 3 ise yükseklik normal
𝛂𝟒 > 𝟑 𝐢𝐬𝐞 𝐝𝐚ğı𝐥ı𝐦 𝐝𝐢𝐤
𝛂𝟒 < 𝟑 𝐢𝐬𝐞 𝐝𝐚ğı𝐥ı𝐦 𝐛𝐚𝐬ı𝐤
Dağılımın normale göre daha basık olması, dağılımın değişkenliğinin
fazla olduğunu gösterir.
Dağılımın normale göre daha dik olması, serideki rakamların merkezi
eğiliminin yüksek olduğunu gösterir.
Örnek 5
X
10
12
18
20
Yandaki serinin basıklık durumunu irdeleyiniz.
Çözüm 5
X
X-𝐗
(X−𝐗) 𝟒
10
-5
625
12
-3
81
18
3
81
20
5
625
( X−X )4 1412
μ4 =
=
= 353
4
4
𝛼4 =
𝜇4
𝑠4
=
𝜇4
𝜇2 2
=
353
172
= 𝟏, 𝟐𝟐
𝟏, 𝟐𝟐 < 𝟑
Seri normale göre basıktır.
Örnek 6
X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve
saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir.
a-) Sıfıra göre momentleri bulunuz.
b-) Aritmetik ortalamaya göre momenti hesaplayınız.
c-) 3 asimetri ölçüsünü bularak yorumlayınız.
d-) 4 basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız.
Ömür (saat)
Pil sayısı
100-120
10
120-140
50
140-160
60
160-180
20
180-200
10
Çözüm 6
Ömür
(x10)
fi
Xi
f iX i
f iX i2
f iX i3
f iX i4
10–12
10
11
110
1210
13310
146410
12–14
50
13
650
8450
109850
1428050
14–16
60
15
900
13500
202500
3037500
16–18
20
17
340
5780
98260
1670420
18–20
10
19
190
3610
68590
1303210
Toplam
150
2190
32550
492510
7585590
Çözüm 6
Çözüm 6
Çözüm 6
Örnek 7


Bir sektördeki işletmeler büyüklülerine göre incelendiğinde, KOBİ
tarzındaki işletme sayısının varyansı 6.219, aritmetik ortalamaya
göre KOBİ tarzındaki işletme sayısının 3. dereceden momenti ise
0.6932 olarak hesaplanmıştır.
Çarpıklık moment katsayısıyla, KOBİ tarzındaki işletme sayısının
çarpıklığını yorumlayınız.
Çözüm 7
𝜶𝟑 < 𝟎 olduğuna göre, KOBİ tarzındaki işletme sayısı sola çarpıktır.
Dolayısıyla, KOBİ tarzındaki işletmeler çoğunluktadır.
Örnek 8
Aşağıda GM firmasında meydana gelen hatalı kaparto üretim
miktarlarının günlere göre dağılımı verilmiştir. Bu veriler göre serinin;
a) Sıfıra ve aritmetik ortalamaya göre momentleri bulunuz.
b) Asimetri ölçüsünü bulunuz.
c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız.
Çözüm 8
Hatalı ürün
Gün sayısı
fiXi
fiXi2
fiXi3
fiXi4
0
5
0
0
0
0
1
10
10
10
10
10
2
12
24
48
96
192
3
18
54
162
486
1458
4
11
44
176
704
2816
5
4
20
100
500
2500
Toplam
60
152
496
1796
6976
Çözüm 8

a) Sıfıra göre momentler: Sıfıra göre 4 moment şöyle olur.
M1
f X

X
f
i
i
M2
f X


f
i
2
i
i
M3 
M4 
3
f
X
 i i
f
i
4
f
X
 i i
f
i
i

152
 M 1  2,53
60
496

 M 2  8,27
60

1796
 M 3  29,93
60
6976

 M 4  116,27
60
Çözüm 8
Çözüm 8
Çözüm 8
Çözüm 8