Transcript Document

 İzotropik malzemelerin mekanik özellikleri
bütün doğrultularda aynıdır.
 Anizotropik malzemeler mekanik özellikleri
yönlere farklılık gösterene malzemelerdir.
İsotropik
δ1= δ2
malzeme
(METALler)
Anisotropik
Malzemeler
(AHŞAP)
δ1
Ξ
δ2
δ1≠ δ2
δ1
≠
δ2
Hooke Kanunu
• Hooke Kanunu : Elastik malzemeler için, gerilme
ile birim şekil değiştirme doğru orantılıdır ve
zamandan bağımızdır.
Elastisite Modülü, E:
F
s
E
s=Ee
e
Lineerelastik
F
Basit çekme
deneyi
 Anizotropik malzemeler için, gerilme birim şekil
değiştirme arasında altı denklemle verilen doğrusal
ilişki,
 “Genelleştirilmiş Hooke kanunuları olarak
adlandırılır”
σxx = C11εxx+C12εyy+C13εzz+C14γxy+C15γxz+C16γyz
σyy = C21εxx +C22εyy+C33εzz+...........
σzz = C31εxx + C32εyy+..........
τxy = C41εxx +...........
τxz = C51εxx +...........
τyz = C61εxx +...........
 Geneleştirilmiş altı Hooke denklemleri matris
formunda yazılabilir
Gerilme
Elastik sabitler
Birim şekil
değiştirme
Gerilme-şekil değiştirme ilişkilerine bünye
denklemleri denir.
 Simetriden C12=C21, C31=C13...olduğu
gösterilebilir.
Buradan , anizotropik malzemelerin bağımısız
elastik sabitleri 21 düşer.
İzotropik elastik sabitlerinin sayısı 2 ye düşer.
Aslında , bunlar 4 dür (E, ν, K, G) Fakat
sadece 2 bağımsızdır.

Izotropik malzemeler için Geneleştirilmiş Hook
denklemleri
E, n ve G elastik
sabitlerdir
YANLIZCA ÇEKMEYE MARUZ
İZOTROPIK MALZEMELER
YANLIZCA KESMEYE MARUZ
İZOTROPIK MALZEMELER
 Elastik malzemelerde gerilme birim şekil
değiştirme ilişkileri doğrusaldır ve zamandan
bağımsızdır. Ancak bu ideal davranıştan
herzaman bir sapma söz konusudur.
σ
ε
σ
A
o
B
C
Mekanik def.
Thermal
def.
ε
 Malzeme hızlı çekildiğinde (OA Doğrusu), Hacmi artar
ve sıcaklığı düşer (Çevreden ısı transferine zaman
kalmadan)
 Eğer malzeme etki eden yük altında yeteri kadar uzun
süre tutulur ise oda sıcaklığına erişecek kadar ısınır ve
uzar (AB doğrusu)
σ
Adiabatik
doğru
A
o
B
C
Mekanik
def.
Thermal
def.
ε
 Yük kaldırılırsa malzeme geri döner(BC dogrus) ve
sıcaklığı artar. Soğumasına izin verilirse oda sıcaklığına
kadar soğur (CO doğrusu).
 Bu davranışa “adiabatik proses”. adı verilir. Burada
çevreden herhangi bir ısı alış verişi yoktur.
 Eğer malzeme sıcaklık değişimini sabit tutacak
şekilde yüklenirse “isothermal davranış”
gösterir. OB doğrusu.
σ
Eadiabatic > Eisothermal
A
B
Adiabatik
doğru
Isothermal l
o
doğru
C
Mekanik def.
Thermal
def.
ε
 Gerçekte, adiabatik davranış söz konusu
değildir, herzaman belli oranda bir ısı transferi
olmaktadır.
 Bu nedenle σ-ε eğrisi aşağıdaki şekildeki
gibidir
σ
ε
Bu döngüye “HYSTERESIS DÖNGÜ” yükleme ve
boşaltma sırasındaki disipe olan ısıyı temsil
eder.(kayıp olan enerji)




Metallerin elastik analizinde gerilmenin sadece birim
şekil değiştirmeye bağlı olduğu kabul edilir. Bu tamamı
ile doğru değildir ve elastisitenin zamana bağlılıkta söz
konusudur.
Metallerde zaman bağlılık etkisi az olduğundan ihma
edilebilir düzeydedir.
Ancak polimer malzemelrde bu etki önemli
boyutlardadır.
Zaman bağlı elastisite genel olarak
“anelasticity”.elastisiteden sapma ve malzeme ic yapı
sürtünmesi ile alakalıdır.
Örnek 1:
P1
5cm
10cm
P3
P2
P2
50cm
P3
Prismatik çelik numune
aşağıdaki yük
kombinasyonuna maruz
kalıyor
.
P1=900kN P2=-900kN
P3=900kN ν=0.26, E=200GPa
P1
Hacimdeki değişimi bulunuz.
Hacimsel değişme olmaması için uygulanması gereken basınç
kuvveti ne olmalıdır
 Başlangıç hacmi V0 = 1
 Son hacim Vf olsun:
(1+ε) (1-νε) (1-νε) = (1+ε) (1-2νε+ν2ε2)
= 1 - 2νε + μ2ε2 + ε-2νε2 + ν2ε3
= 1 + ε - 2νε - 2νε2 + ν2ε2 + ν2ε3
ε is small, ε2 & ε3 are smaller and can be neglected.
 Vf = 1+ ε - 2νε → ΔV = Vf - V0 = ε (1-2ν)
 Eğer bütün yüzeyleri eşdeğer basınca maruz
kalırsa:
ΔV = 3ε (1-2ν)
σ
σ
σ
σ
σ
Ξ
K=
+
σ
SΔV = 3ε (1-2ν) =
K=
+
savg
DV/V0
=
ε (1-2ν)
(σ+σ+σ)/3
3ε (1-2ν)
E
3 (1-2ν)
+
=
ε (1-2ν)
σ
3ε (1-2ν)
+
=
ε (1-2ν)
E
3 (1-2ν)
 K ile E arsında
bağıntı :
K=
E
3 (1-2ν)
 G ile E arasındaki
bağıntı
 G, E ve K arasındaki
bağıntı
G=
1
E
E
2 (1+ν)
=
1
1
+
9K
3G
a) σ1 =
P1
A1
900*103(N)
=
= 2180 MPa = 0.18 GN/m2
50x100(mm )
P1
A1
σ2 =
-P2
A2
=
-900*103
500x50
A2
P2
= - 0.036 GN/m2
σ3 =
A3
P3
P3
A3
=
900*103
500x100
= 0.018 GN/m2
σavg =
σ1+σ2+σ3
3
0.18-0.036+0.018
=
= 0.054 GN/m2
3
V0 = 0.05 x 0.10 x 0.5 = 2.5x10-3 m2
200
E
2
=
138.96
GN/m
=
K=
3(1-2ν)
3(1-2*0.26)
138.96 =
0.054
ΔV/2.5x10-3
ΔV = 9.7x10-7 m3
b) For ΔV = 0
ν = 0.26
ν = 0.5
or σavg = 0
ise σavg = 0 olmalıdır
σavg = σ1 + σ2 + σ3 = 0.18 + σ2 + 0.018 = 0
σ2 = -0.198 GN/m2
P2 = -0.198 * 500 * 50 = -4950 kN
Örnek 2: 3 cm çapında ve 75 cm boyundaki Bir
aluminyum alaşım çubuk 2000 kgf luk bir çekme
yüküne maruz kalıyor
Eksenel birim şekil değiştirme, εl
b) Boydaki değişim, Δl
c) Çaptaki değişim, Δd
Malzeme sabitleri
E = 7x105 kgf/cm2
ν = 0.33
a)
75
cm
2000 kgf
3
cm
2000 kgf
a) E =
σ
εl
σ
εl =
E
2000/(π*32/4)
=
7x105
εl = 4.042x10-4 cm/cm
b) εl =
ΔL
L
εyanal
c) ν =
εeksenel
(Çekme)
ΔL = 4.042x10-4 * 75 =0.0303 cm
εlat = ν . εl
Δd = ν . εl . d
Kısalma
= 0.33 * 4.042x10-4 * 3 = 0.0004 cm
d) K =
σavg
=
ΔV/V0
E
3(1-2ν)
σavg*3*(1-2ν)
ΔV
=
V0
E
ΔV = V0
σavg*3*(1-2ν)
E
=
= 0.073 cm3
*
Hacimsel genişleme
 Kristal yapılarda plastik deformasyon
dislokasyon hareketleri ile oluşur.
 Kristalik olmayan yapılarda ise plastik
deformasyon viskoz akış yüzünden olur
 Vikoz akışın karakterisitiği, viskozite, kristal
olmayan yapıların deformasyona karşı
gösterdiği direncin ölçülmesidir.
A plakası
F
L
V
Teğetsel bir (F) kuvveti
sıvı üzerindeki bir
plakaya uygulandığında
,plaka tabana göreceli
olarak hareket eder
 Herbir seviyedeki sıvı parçacıklarının hızı L
mesafesinin bir fonkisyonudur.Bu nedenle
parçacıkların pozisyonlarının değiştiği andaki
oran, akış oranın ölçümünü verir.
Hız gradyantı
 Newton eşitliği:
τ=
1
F/A
τ = η dV
dL
dV
dL
=
dγ
dt
Akış
oranı
dV
F=η
dL
A
η : viskozite katsayısı
&
τ=η
dγ
dt
2

Viskozitenin birimi Pa.s (Pascal-saniye)
(N.s/m2)
 (1) ve (2) denklemlerine uyan akışkanlara Newton akışkanı
denir. Defermasyon hızının kayma gerilmesiyle doğru orantılı olduğu
akışkanlara Newton tipi akışkanlar denilmektedir
Newtonian
liquids
η
 Viskozite sıcaklığa bağlı olarak değişir..
A: Sabit
1 = A . e-E/RT
η
E: Enerji aktivasyonu
R: Gaz sabiti
T: Sıcaklık
 Newton akışkanına katı parçacıklar
eklendiğinde, viskozite artar.
1) η = η0 (1+2.5 Ø)
η0: mevcut akışkanın
viskozite katsayısı.
Ø: katı parçacıkların
2) η = η0 (1+2.5 Ø + 14.1 Ø2) hacimsel yoğunluğu
NEWTON TİPİ OLAMYAN MALZEMELER
 Bazı özel malzemeler, τ-dγ/dt ifadesi Newton
tarafından tanımlana lineerliğe uymaz. Yani Viskozite
kayama birim şekil değişterme hızı ile değişiyordur.
η, kayma
hızının artışıyla artıyor ise,
Dilatant(Kalınlaşan):
Newtonian
dγ/dt or τ (kil)
η
Newton tipi: (bütün
akışkanlar)
Psödoplastik: η, kayma
hızının artışıyla azalıyorsa,
dγ/dt or τ (plastikler, kan, elma
püresi)
dγ/dt ve τ
arasındaki ilişki genel olarak aşağıdaki denklemle

ifade edilir
dγ
= τn . 1
η
dt
If n=1 → Newtonsal
n > 1 → Psödoplastik
n < 1 → Dilatant
Taze çimento hamuru ve karışımı, sıvı
ortamında çok ciddi oranda yoğun katı
paçacıkalrına sahiptir. Bu malzemenin davranışı
Bingham denklemi ile tanımanır.
τ = τy + η dγ
dt
dγ
dt
τy
τ
( τy kadar akış yoktur)
VISKOELASTISİTE ve REOLOJİK
MODELER
 Viskoelastik davranış, isminde anlaşılacağı
gibi, elastisite ve viskozitenin birleşimidir.
 Böyle bir davranış Reolojik Modellerle
tanımlanır.Bu modeller elastisiteyi tanımlayan
yaylardan ve viskoziteyi tanımlayan
dashpots(amortisör)den oluşur.
Yük
(Yük)
t0
Birim
Şekil
Değiştir
me
Strain
t1
Zaman
(Elastik)
ε = σ/E
t0
t0
Strain
t1
t1
Zaman
Zaman
(Viskoz)
dε/dt = σ/γ
(Viskoelastik)
t0
t1
Zaman
 Viscoelastik davranışı tanımlayan Reolojik
Modeller:
• Maxwell Model
• Kelvin Model
• 4-Elemen Model (Burger’s Model)
1. Maxwell Model:
σ
 Bir yay ve amortisör olarak
bağlanır
k=E
β = 1/η
σ
 Herbir elemenadaki gerilme
aynıdır:
σyay = σdashpot
 Ancak, deformasyon aynı
değildir:
εyay ≠ εdashpot
 Yük (gerilme) yaya uygulandığı zaman yay
hemen karşılık verir ve εyay = σ/E şeklinde
deforme olur
 Aynı zamanda dashpot pistonuda hareket
etmeye başlar ve βσ = σ/η oranında hareket
eder ve t anındaki pistonun deformasyonu
s
e dashpot   sdt   dt

0
0
t
 Sistemin toplam deformasyonu:
t
s
s
e t  e spring  e dashpot    dt
E 0
t
P
ε
εdashpot
εspring
t
εdashpot→ kalıcı viskos def.
 Dinlenme: Viskoz malzemelerin önemli bir
davranış şeklidir. Malzemenin sabit birim şekil
değiştirme altında iken gerilmenin ani düşmesi
olayıdır.
σ
ε
σ0
ε0
t
t
e  e spring  e dashpot
de de s de d


dt
dt
dt
&
de d s

dt

If ε sabit ise →
ds
Es

dt

Bu dif denk
çöümü
de s 1 ds
s
es  

E
dt
E dt
de 1 ds s


dt E dt 
de
1 ds s
0
 0
dt
E dt 
s  s 0 .e
E
 t

Burada :
σ0 = Eε0
ε
t rel 
ε0

E
Dinlenme zamanı viskozite
parametresidir
t
 Eğer cisim sabit strain
σ
σ0
Slope @ t=0
0.37σ0
trel
t
altında ise , gerilme
zamanla azalarak kayıp
olur(relaks). Bu olay bazı
seramiklerde, camlarda ve
betonda görülür.
2. Kelvin Model:
 Yay & a dashpot paralel
σ
1/η
E
σ
bağlanmıştır.
 Bu durumda
deformasyonlar aynı fakat
gerilmemeler farklıdır.
 εspring = εdashpot
 σspring ≠ σdashpot
 σ = σspring + σdashpot
E.e spr
de dash
.
dt
σ
de
s  Ee  
dt
σ0
t
E

t 

s0 
s  de
 
e 
e 
1 e

E E dt
E 

ε
(Delayed elasticity)
t
 Her bir strain artımında yay σ/E kadar deforme olur.
Yükün bır kısmı yay tarafından karşılandığından
pistondaki yük azalır. Bu nedenle zaman en son
deformasyon asimptotik olarak yaklaşılır ve yük
kaldırıldığı zaman, σ=0. oluncaya kadar asimptotik
geri dönüş olur
 Viscoelastik Kelvin modeli sabit grilmeye maruz
kaldığında σ0, davranış diff denklemin çözülmesi ile
aşağıdaki gibi elde edilir.
e
s 0 
E 
E
1 e
 t





σ
e
s0
E
t ret 
t
ε
s0
t=∞

E
Geciktirme
zamanı
Gerildiğinde yaydaki elastik
deformasyon dashpotun
viskoz deformasyonu
tarafından geciktirilir
ε0
0.63ε0
E
tret
Geciktirilmiş elastik
strain (delayed elastic
strain)
3. Burger’s Model:
 Gerçek viskoelastik davranış oldukca
karmaşıktır. Basit modeller, Maxwell & Kelvin
Models,temel vskoelastik davranışı açıklar.
 The Maxwell Model, örneğin, viskoz karaktersitiği
vardır ve viskoelastik malzmelerin dinlenme
davranışını açıklar
 Diğer taraftan Kelvin Model katı karaktersitiği vardır
ve geciktirilmiş elastisiteyi açıklar.
 Ancak bu modellerden hiç biri kompleks
viskoelastik davranışı tanımlamaz.
 E ve η sabitlerinden farklı diğere sabitlere
sahip karmaşık modeller vardır.
 Bunlardan biri BURGER, tarafından
geliştirilmiştir. Bu modelde Maxwell Model ve
Kelvin Modeli seri halinde birleşitirmişitir
σ
σ
σ0
E1
t
η1
η2
E2
σ
εvis+εret
ε
ε1
ε1
t
εvis
E2

t

s0
s0
s0 
e 

t
1  e 2
E1
1
E2 

Spring Dashpot
(elastik) (viscous)




Kelvin (geciktirilmiş
elastisite)
Çoğu mühendislik mazlemelerinin 4-Element Modeli
tanımlanmış davranışdan belli sapmalar içermektedir..
Bu nedenle deformasyon denklemi genellikle aşağıdaki
gibi yaklaşık olarak ifade edilir

s

 qt
n
   ks 1  e   s t
E
Elastik
Geciktirilmiş
Elastisite
Viskozite
Burada “k, β & γ” malzeme sabitleri & “α, n”
ise lineer olamayan davranışla ilgili sabitlerdir.
1
k
E

q
1
t ret

E

1

Örnek 1: Bir tür yağın, aşağıdaki grafikle deneysel
olarak belirlenmiş kayma gerilmesi ile
deformasyon(akış) hızı arasındaki ilişki verilmiştir.
Buna göre bu yağın viskozite katsayısını bulunuz.
d 1

   
d
dt 
dγ/dt (1/sec)
0.9
dt
0.6
20
N

 33.3 2 sec .
0 .6
m
0.3
10
20
30
τ (Pa)
Example 2: Uzunluğu 75 cm olan beton numune
150 kgf/cm2 lık sabit basınç gerilmesi altında
iken aşağıdaki değerler elde ediliyor.
t (month)
ε
0
0.0006
1
0.0007
Farz
edin ki
s
e   B.s .t
E
B sabit.
150 kgf/cm2 gerilme altındaki betonun 6 ay sonraki
deformasyonu ne olur?
s
@ t  0  e   0.0006
E
1  10 4
@ t  1  e  0.0007  0.0006  B.150.1  B 
150
1  10 4
@ t  6months  e  0.0006 
 150  6  0.0012
150
Example 3: A glass rod of 2.5 cm in diameter &
2.5 m in length, is subjected to a tensile load
of 10 kgf @ 450°C.
a) Calculate the deformation of the rod after
100 hrs.
η=2x1012 poise @ 450°C & E=1.55x105 kgf/cm2
Assume that the behavior of glass at this
temperature can be approximated by a
Maxwell Model.
a) For Normal Stresses & Strains the viscous
behavior is described by dε/dt=σ/λ where λ is
called “the Coefficient of Viscous Traction” &
equals to “3η”.
s
10kgf
  2.5 4
2
 2.04 kgf
cm 2
η=2x1012 poise (1 poise = 1 dyne.sec/cm2) & (1 kgf = 106 dyne)
de s
2.04  10 dyne 
7 1



3
.
4

10
sec
dt 3 3.2  1012  poise 
6
After 100 hrs the total strain is 3.4x10-7x100x60x60 =
0.1244
Δ = 0.1244x250 = 30.6 cm