Transcript DIF4 - Yaşar Üniversitesi | Fen Edebiyat Fakültesi | İstatistik Bölümü

Diferansiyel
Denklemler
Prof.Dr.Şaban EREN
Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Bölüm 1
1.6.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.6.


2
Verilen diferansiyel denklemde c veya c sabitlerinden
en az birinin sıfır olmadığı varsayılmaktadır. Her ikisinin
sıfır olduğu durumda eşitlik homojen diferansiyel türüne
dönüşür.
Bu diferansiyel denklemin çözümünde iki durumun
gözönüne alınması gerekir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Durum-I:
ax + by + c = 0 ve ax + by + c = 0 doğrularının
kesişmesi durumu.
Bu durum Şekil:1.2’de görülmektedir. Şekilden de
görüldüğü gibi P noktasının koordinatları Oxy koordinat
sistemine göre P(x,y) ve OXY koordinat sistemine göre
P(X,Y)’dir. O noktasının bu iki doğrunun kesim noktası
ve koordinatlarının (h, k) olduğunu varsayalım.
3
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
4
Şekil: 1.2. P noktasının Oxy ve O’XY koordinat eksenlerine göre pozisyonu.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.31)
diferansiyel denkleminde,
x = h + X, y = k + Y konursa denklem
5
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.31)
diferansiyel denkleminde,
x = h + X, y = k + Y konursa denklem
(1.32)
şekline dönüşür.
6
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.31)
diferansiyel denkleminde,
x = h + X, y = k + Y konursa denklem
(1.32)
şekline dönüşür.
7
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(h, k) iki doğrunun kesim noktası olup doğru
denklemlerinde yerine konduğunda
ah + bk + c = 0 ve ah + bk + c = 0 olacağından
(1.32) nolu eşitlik,
(1.33)
homojen denklem türüne dönüşür.
Bu tür denklemlerin çözümü bir önceki bölümde
açıklanmış idi.
8
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.17.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
9
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.17.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
Pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit
olmadığından doğrular kesişir. Kesim noktasının
koordinatlarının (h, k) olduğu varsayılırsa,
2x + 3y –1 doğrusundan
x – 2y – 4 doğrusundan
eşitlikleri elde edilir.
10
2h + 3k – 1 = 0
h – 2k – 4 = 0
ve
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitliklerden h = 2 ve k = -1 değerleri bulunur.
Verilen diferansiyel denklemde,
x = X + h ve y = Y + k konursa diferansiyel denklem
(1.34)
homojen denklem türüne dönüşür.
11
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.34) nolu eşitlikte,
konursa
12
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.34) nolu eşitlikte,
konursa (1.34) nolu eşitlik
şekline dönüşür ve buradan,
13
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
14
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
15
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
16
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
17
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
18
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir.
19
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.35)
değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel
çözüm
20
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.35)
değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel
çözüm
şeklinde olur.
21
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.18.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
22
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Eğimleri eşit olmadığından pay ve
doğruların kesim noktası(h, k) olsun.
h–k=0
h – 8k + 7 = 0
eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir.
23
paydadaki
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Eğimleri eşit olmadığından pay ve
doğruların kesim noktası(h, k) olsun.
paydadaki
h–k=0
h – 8k + 7 = 0
eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir. Dolayısıyla
x = X + h den X = x – h = x– 1
y = Y + k dan Y = y – k = y – 1
elde edilir.
24
ve
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = X + h ve Y = Y + k
eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde
konursa, diferansiyel denklemimiz
yerine
(1.36)
homojen denklem türüne dönüşür.
25
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = X + h ve Y = Y + k
eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde
konursa, diferansiyel denklemimiz
yerine
(1.36)
homojen denklem türüne dönüşür.
Y = VX
ifadeleri (1.36)’da yerine konursa,
26
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
27
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
28
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
29
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
30
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
31
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
32
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
33
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
34
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
35
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
36
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
37
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
38
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.37)
bulunur.
39
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine
konursa
40
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine
konursa
genel çözümü elde edilmiş olur.
41
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.19.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
42
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Pay ve paydadaki doğruların eğimi eşit değildir.
Dolayısıyla bu doğrular kesişir ve kesim noktasının
(h, k) olduğunu varsayalım.
2h – k = 0
h +2k – 5 = 0
eşitliklerinden h = 1, k = 2 bulunur.
Dolayısıyla X = x – 1 ve Y = y – 2’dir.
43
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = X + h ve y = Y + k eşitlikleri verilen
diferansiyel denklemde yerine konursa diferansiyel
denklemimiz,
(1.38)
homojen denklem türüne dönüşür.
44
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Y = VX
eşitlikleri yardımıyla
denklemimiz,
45
(1.38)
nolu
diferansiyel
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Y = VX
eşitlikleri yardımıyla
denklemimiz,
46
(1.38)
nolu
diferansiyel
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Y = VX
eşitlikleri yardımıyla
denklemimiz,
47
şekline dönüşür.
(1.38)
nolu
diferansiyel
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Buradan,
48
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Buradan,
49
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Buradan,
50
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Buradan,
51
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
52
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
53
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
54
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
55
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
56
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
57
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
genel çözümü elde edilir.
58
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Durum II.
Doğruların paralel olması durumu.
diferansiyel denkleminde pay
ve paydadaki doğruların
eğimleri eşit yani doğrular
paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki
adımlar uygulanır.
59
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Durum II.
Doğruların paralel olması durumu.
diferansiyel denkleminde pay
ve paydadaki doğruların
eğimleri eşit yani doğrular
paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki
adımlar uygulanır.
dersek
60
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Durum II.
Doğruların paralel olması durumu.
diferansiyel denkleminde pay
ve paydadaki doğruların
eğimleri eşit yani doğrular
paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki
adımlar uygulanır.
dersek
olur.
61
(1.39)
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğinden
62
elde edilir.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğinden
elde edilir.
eşitliği (1.39)’da yerine konursa
63
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğinden
elde edilir.
eşitliği (1.39)’da yerine konursa
(1.40)
64
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda
(1.41)
bulunur.
65
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda
(1.41)
bulunur. Görüldüğü gibi verilen diferansiyel
denklem değişkenlerine ayrılmış olduğundan
eşitliğinin integrali alınarak sonuca gidilir.
66
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.20.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
67
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan doğrular paraleldir.
68
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan doğrular paraleldir.
z = x – 2y dersek
Dolayısıyla,
69
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan doğrular paraleldir.
z = x – 2y dersek
Dolayısıyla,
70
olur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine
konursa
71
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine
konursa
ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda
(1.42)
elde edilir.
72
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.42) nolu eşitlik değişkenlerine ayrılabilir duruma
düzenlenebilir.
Bu eşitliğin her iki yanının integrali alınırsa,
ifadesinden
73
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliği bulunur. Bu eşitlikte z = x – 2y konursa
(1.43)
genel çözümü elde edilir.
74
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.21.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
75
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Eşitlikten de görüldüğü gibi
olduğundan doğrular paraleldir.
76
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Eşitlikten de görüldüğü gibi
olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,
77
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Eşitlikten de görüldüğü gibi
olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,
78
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Eşitlikten de görüldüğü gibi
olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,
79
konursa,
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitlik
80
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitlik
81
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitlik
(1.44)
şekline dönüşür.
82
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
83
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
84
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
85
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
86
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
87
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
88
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.45)
genel çözümü bulunur.
89