Transcript Diferansiyel Denklemler - Yaşar Üniversitesi | Fen Edebiyat

Diferansiyel
Denklemler
Prof.Dr.Şaban
EREN
Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi
Bölüm 1
1.4.Değişkenlerine ayrılabilir
diferansiyel denklem tipi:
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.4.Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem
tipi:
2
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.4.Değişkenlerine ayrılabilir
diferansiyel denklem tipi:
(1.17)
f(y) sadece y’nin, g(x) ise sadece x’in bir
fonksiyonudur.
3
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.4.Değişkenlerine ayrılabilir
diferansiyel denklem tipi:
(1.17)
f(y) sadece y’nin, g(x) ise sadece x’in bir
fonksiyonudur. Yukarıdaki ifade
f (y) dy = g (x) dx
şeklinde de yazılabilir.
4
(1.18)
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.18) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa,
5
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.18) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa,
elde edilir.
6
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.8.
(1.19)
diferansiyel denkleminin özel çözümünü x = 0,
y = 0 şartı için elde ediniz.
7
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.8.
(1.19)
diferansiyel denkleminin özel çözümünü x = 0,
y = 0 şartı için elde ediniz.
Verilen eşitliği değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel
denklem türüne dönüştürmeye çalışalım.
(1.19) eşitliği düzenlenirse
elde edilir.
8
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Görüldüğü gibi y değişkeni bir tarafta, x değişkeni
diğer tarafta yer almaktadır. Her iki tarafın integrali
alınırsa,
(1.20)
genel çözümü elde edilir. Burada y direk olarak x’in
bir fonksiyonu şeklinde ifade edilmemektedir (y,
x’in kapalı (implicit) bir fonksiyonudur).
9
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0, y = 0 (1.20) nolu eşitlikte yerine konursa,
-1 =1 + A eşitliğinden A = -2 elde edilir. Bu değer
(1.20)’de yerine konursa özel çözüm,
e
y
 (1  x )
olarak bulunur.
10
2
1
2
2
(1.21)
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0, y = 0 (1.20) nolu eşitlikte yerine konursa,
-1 =1 + A eşitliğinden A = -2 elde edilir. Bu değer
(1.20)’de yerine konursa özel çözüm,
e
y
 (1  x )
2
1
2
2
(1.21)
olarak bulunur. (1.21) nolu ifade düzenlenirse özel
çözüm,
şeklinde elde edilir.
11
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem
türüne ilişkin örnekler aşağıda sunulmuştur.
Örnek: 1.9.
diferansiyel denkleminin x = 1, y = 0 şartı için özel
çözümünü elde ediniz.
12
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğini önce değişkenlerine ayrılabilen tür haline
dönüştürelim.
13
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
14
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
15
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
16
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
17
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
18
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
19
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan,
20
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan,
21
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan,
22
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
u  1  x , du  2 xdx , xdx 
2
du
2
1 y  1
 
ln 
2 1 y  2
1

du
u

1
ln u
2
1 y  1
2
  ln( 1  x )  A
ln 
2 1 y  2
1
23
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa
24
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa
25
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa
elde edilir.
26
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu değer genel çözümde yerine konursa,
27
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu değer genel çözümde yerine konursa,
28
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu değer genel çözümde yerine konursa,
29
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
30
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
31
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
32
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
33
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
34
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
özel çözümü
elde edilir.
35