Transcript Diferansiyel Denklemler - Yaşar Üniversitesi | Fen Edebiyat

Diferansiyel
Denklemler
Prof.Dr.Şaban
EREN
Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi
Bölüm 1
1.5.Homojen Eşitlikler:
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler:
tipindeki birinci dereceden diferansiyel
denklemler Homojen Eşitlikler olarak
sınıflandırılmıştır.
2
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler:
tipindeki birinci dereceden diferansiyel
denklemler Homojen Eşitlikler olarak
sınıflandırılmıştır.Diferansiyel denklemin çözümü için
y = vx
(1.22)
diyelim. Burada y ve v değişkenleri x’in fonksiyonlarıdır.
3
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler:
tipindeki birinci dereceden diferansiyel
denklemler Homojen Eşitlikler olarak
sınıflandırılmıştır.Diferansiyel denklemin çözümü için
y = vx
(1.22)
diyelim. Burada y ve v değişkenleri x’in fonksiyonlarıdır.
Her iki tarafın x’e göre türevi alınırsa,
(1.23)
elde edilir.
4
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler
eşitliğinde
yerine konursa
(1.24)
bulunur.
5
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler
eşitliğinde
yerine konursa
(1.24)
bulunur. (1.24) nolu ifade düzenlenirse
(1.25)
elde edilir.
6
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler
eşitliğinde
yerine konursa
(1.24)
bulunur. (1.24) nolu ifade düzenlenirse
(1.25)
7
elde edilir. Bunun sonucu olarak değişkenlerine ayrılan
eşitliği elde edilir. Her iki tarafın
integrali alınır ve ilgili değişkenler
yerine konursa verilen homojen
diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.12.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
8
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.12.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
Önce bu diferansiyel denklem türünü belirlemeye
çalışalım.
9
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan bu homojen
diferansiyel türüdür.
10
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan bu homojen
diferansiyel türüdür.
ifadesinin x’e göre türevi alınırsa
(v, x’in bir fonksiyonudur)
elde edilir.
11
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel
konursa,
12
denklemde yerine
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel
konursa,
13
denklemde yerine
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel
konursa,
denklemde yerine
(1.26)
bulunur.
14
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel
denklem türüne dönüştürmeye çalışalım.
(1.27)
15
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel
denklem türüne dönüştürmeye çalışalım.
(1.27)
eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa,
(1.28)
elde edilir.
16
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel
denklem türüne dönüştürmeye çalışalım.
(1.27)
eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa,
(1.28)
elde edilir. Bu eşitlikte
konursa,
(1.29)
elde edilir. (1.29) nolu eşitlik verilen diferansiyel
denklemin genel çözümüdür.
17
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.13.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
18
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.13.
diferansiyel denkleminin
çözümünü elde ediniz.
(1.30)
olduğundan, y = v x diyelim.
ifadesi (1.30) nolu eşitlikte yerine konursa,
19
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
20
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
21
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
22
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
23
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir. Her iki tarafın integrali alınırsa,
24
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
25
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
26
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,
27
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
28
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
29
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
bu son eşitlikte yerine konursa,
30
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
31
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
32
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir. Bu ifade verilen diferansiyel denklemin
genel çözümüdür.
33