Transcript FİZ365 TEORİK FİZİK YÖNTEMLERİ

6.Bölüm Diferansiyel Denklemler
En genel 2. dereceden lineer diferansiyel denklem;
R(x)=0 ise homojen diferansiyel denir.
y  P(x) y  Q(x) y  R (x)
Kuvvet Serisi Yöntemi: Katsayıları sabit olmayan lineer diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılır.
Çözüm;

y( x )   c k ( x  a ) k
k 0
Frobenius Yöntemi: Diferansiyel denklemin x=0 da tekil noktası varsa bu yöntem uygulanabilir.

y  x  ck x k
s
burada s reel bir sayıdır.
k 0
Legendre Diferansiyel Denklemi:
(1  x 2 ) y  2xy  p(p  1) y  0

y   cm x m
k 0
kuvvet serisi yöntemi uygulanabilir.
Seri çözüm diferansiyel denklemde yerine yazılırsa Legendre Diferansiyel denklemi için en genel çözümün,
y(x)  c0 y1(x)  c1y2 (x)
olduğu görülür.
. dereceden Legendre polinomları için,
(2  2k )!
P ( x )   (1) k
x   2k
2 !(  k )!(  2k )!
k 0
K
seri çözümüdür.
Bessel Diferansiyel Denklemi:
x 2 y  xy  (x 2  v2 ) y  0
Frobenius yöntemi ile aranacak çözüm;

y  x  ck x k
s
k 0
Seri çözüm diferansiyel denklemde yazıldıktan sonra 1. türden Bessel Diferansiyel denklemi elde edilir;

( x / 2) 2n
J v (x)  x 
n  0 n!( v  n  1)
v