Transcript KONİKLER 01

Tanım:Sabit bir noktası F ve sabit bir doğrusu Δ olan bir Π
düzleminin (P) = {P:|PF| = |PH| , Δ , F , P € Π } noktalarının
kümesine parabol denir.
Burada F odak,O tepe(köşe), Δ doğrultman,2p parametre ve
parabolün simetrik olduğu doğru da eksen adını alır.Ekseni X
ve Y,köşesi başlangıç noktası olan parabolleri görüyorsunuz.
,
Ötelenmiş Parabol Denklemi
2
b
4
ac

b
1
2
2
y = ax + bx + c ise F(
,
) ve
4a
2a
doğrultman denklemi
4ac  b 2  1
y=
4a
dır.
,
Parabol Ve Doğru
y2 = 2px parabolü ile y = m.x + n doğrusu kesiştiğinde
( m.x + n )2 = 2px denkleminden kesim noktalarının apsisleri
bulunur.Burada :
p - 2mn < 0
durumunda doğru parabolü kesmez.
P - 2mn > 0
durumunda doğru parabolü farklı 2 noktada keser.
P - 2mn = 0
durumunda doğru parabole teğet olur(değme koşulu).
Değme Noktası
n
,2n )
(
m
olur.
Parabole Bir Noktadan Çizilen Teğet Denklemi
Parabol ve (x0 , y0 ) noktası verilsin.Bu noktadaki teğet denklemi :
,
y2 = 2px
için
yy0 = p( x + x0 )
x2 = 2py
için
xx0 = p( y + y0 )
dır.
Parabolün Köşegeni
Eğimleri aynı olan kirişlerin orta noktalarının kümesine köşegen
denir. y 2 = 2px parabolünün eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarını
kümesi y=p / m olur. y = p / m doğrusu ,eğimi m olan teğetin
değme noktasından geçer. y = p / m doğrusuna ve eğimi m olan
kirişlere birbirinin eşleniği denir.
ELİPS
Tanım: π düzleminin farklı ve sabit iki noktası F , F’ ; değişen bir
noktası P ise düzlemin P noktalarının
(E) = {P,|PF| + |PF’ | = 2a , F , F’ , p € π , a > c > 0 , |FF’ | = 2c}
kümesine elips denir.
,
a2
y
c
y2 x2
 2 1
2
a
b
a2
y
c
Burada , F , F’ odakları ; A , A’ , B , B’ köşeler ; Δ ve Δ’
doğrultmanlardır. |AA’ | = 2a , |BB’ | = 2b ve |FF’ | = 2c olur. a2 = b2 + c 2
olduğunu görünüz.
,
Elips Ve Doğru
x2 y 2
 2  1 elipsi ile y = m.x + n doğrusunun kesişmeleri durumu :
2
a
b
a2 m2 + b2 - n2 > 0
ise iki farklı noktada kesişirler.
a2 m2 + b2 - n2 < 0
ise kesişmezler.
a2 m2 + b2 - n2 = 0
ise bir noktada keser, teğet olur(değme koşulu).
Değme noktası ise
a 2m b2
(
, )
n n
dır.
Elipse Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi
Elips merkezinden geçen kirişlere elipsin köşegeni denir.
,
b2
Eğimleri arasında m1 . m2 =  2 bağıntısı bulunan iki köşegene
a
eşlenik köşegenler adı verilir.,
y = m.x
b2
y 2 x
a m
köşegeninin eşleniği
olur.
Elipsin Parametresi
Elipsin odaklarından birinden eksene çizilen dik kiriş uzunluğuna
parametre denir.
2b 2
Parametre = 2p =
a
dır.
Elipsin Dışmerkezliği
Elipste dışmerkezlik
Elipsi Alanı
x2 y 2
 2 1
2
a
b
c
e
a
oranına verilen addır. e < 1 dır.
elipsinin alanı
πab dır.
,
HİPERBOL
Tanım: π düzleminin sabit iki noktası F , F’ ve herhangi bir noktası P
ise P noktalarının ;
( H ) = { P : [|PF | - |PF’ | = 2a , |FF’ | = 2c , a < c , F , F’ , F € π }
kümesine hiperbol denir.
Burada ; F , F’ odaklar ; A , A’ , B , B’ köşeler ; Δ ve Δ
doğrultmanlardır. a2 = a2 + b2 olduğunu görüyorsunuz.
,
Ötelenmiş Hiperbol Denklemi
Hiperbol Ve Doğru
x2 y2
 2  1 hiperbolü ile y = m.x + n doğrusunun kesişmeleri
2
a
b
durumu :
,
n2 + b2 - a2 m2 > 0
ise doğru hiperbolü iki noktada keser.
n2 + b2 - a2 m2 <0
ise doğru hiperbolü kesmez.
n2 + b2 - a2 m2 = 0
ise doğru hiperbole teğet olur (değme koşulu)
Değme noktası da
a 2m h2
(
, )
a n
dır.
Hiperbole Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi
Hiperbol ve
denklemi :
x2 y2
 2 1
2
a
b
P ( x0 , y0 ) noktası verilsin.Bu noktadaki teğet
için
xx 0 yy 0
 2 1
2
a
b
( x  h) 2 ( y  k ) 2

 1 için
2
2
a
b
( x  h)( x1  h) ( y  k )( y1  k )

1
2
2
a
b
dır.
,
Hiperbolün Köşegeni
Hiperbolün merkezinden geçen doğrulara köşegen denir.Eğimleri
b2
b2
arasında m1 .m2 = 2 bağıntısı bulunan y = m.x ve y = 2 . X
a m
a
köşelerine de eşlenik köşegenler adı verilir.
Hiperbolün Parametresi
Hiperbolün bir odağında eksene dik olan kiriş uzunluğuna parametre
denir.
b2
2p  2
a
dır.
Hiperbolün Dışmerkezliği
c
oranına dışmerkezlik denir. e > 1
e
a
dır.
,
Hiperbolün Asimptotları
b2
x2
-
a2
y2
=
a2
b2
dır.
b
hiperbolünün asimptot denklemleri y =  x
a
İkizkenar Hiperbol
a = b olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir.denklemi x2 - y2 = a2
olur.
Eşlenik Hiperboller
Birinin asal köşeleri , diğerinin yedek köşeleri olan hiperbollere
eşlenik hiperboller denir.
x2 y2
 2  1 ile
2
a
b
x2 y2
 2  1 eşlenik hiperbol denklemleridir.
2
a
b
,
MERKEZLİ KONİKLERİN SINIFLANDIRILMASI
Tanım: R2 uzayının sabit bir Δ doğrusu ile
bunun dışında sabit bir F noktası verilsin.F
P(x,y)
------------ H
noktasına olan uzaklığın Δ doğrusuna olan
uzaklığa oranı sabit olan P ( x , y ) noktalarının
kümesine konik denir.Yani ,
|PF |
(K)={P:
=e
|PH |
F(m,n)
a.x + b.y + c = 0
ve e > 0 }
dır.
Konik ; e < 1 ise elips , e = 1 ise parabol ve e > 1 ise hiperbol olur.
Bu koniğin genel denklemi
Ax2 + B.x.y + Cy2 +D.x + Ey + F = 0
biçimindedir.
,
Koniğin merkezinin koordinatları ;
fx = 0
2Ax + B.y + D = 0
fy = 0
B.x + 2C.y + E = 0
Sisteminin çözümünden elde edilir.
Sistemin çözümü varsa , denklem , merkezli konik (elips,hiperbol)
belirtir.
B | = 4AC - B2 = 0 ise merkezli konik vardır.
δ = | 2A
B 2C
Δ=
1.
A B/2 D/2
B/2 C E/2
D/2 E/2 F
diyelim.
4AC - B2 > 0 ya da B2 - 4AC < 0
ise konik elips türündendir.
a) δ = 4AC - B2 > 0 ve A . Δ < 0
ise gerçel elips ,
b) δ > 0 ve A . Δ > 0
c) δ > 0 ve Δ = 0
ise sanal elips ,
ise nokta elips ( yozlaşmış elips ) olur.
,
4AC - B2 < 0 ya da B2 - 4AC > 0 ise konik hiperbol türündendir.
2.
a)
δ = 4AC - B2 < 0
ve Δ = 0 ise denklem hiperbol belirtir.
b) δ < 0 ve Δ = 0 ise kesişen doğru çifti (yozlaşmış hiperbol)
belirtir.
Genel Konik Denkleminin Parabol Olması Durumu
δ = 4AC - B2 = 0
i)
i i)
durumunu göz önüne alalım.
2A B
D


B 2C E
ise
a) D2 - 4AF > 0
iken parabol bir çift paralel doğru olur.
b) D2 - 4AF = 0
iken parabol çakışık iki doğru olur.
c) D2 - 4AF < 0
ise parabol sanal bir çift doğru gösterir.
2A B
D


B 2C E
ise konik parabol gösterir.
,
GENEL KONİK DENKLEMİNİN STANDART DURUMA
DÖNÜŞTÜRÜLMESİ
Ax2 + B.x.y + C.y + D.x +E.y +F = 0 denklemi ile verilen genel
koniğin
fx = 2Ax + B.y + D = 0
fy = B.x + 2C.y + E = 0
sisteminin çözümünden merkez M(h,k)
elde edilir.
x = x’ + h ve y = y’ + k konularak x’li ve y’li terimler yok edilir.O
zaman genel konik denklemi Ax’2 + B.x’.y’ + C.y’2 + F’ = 0 durumuna
girer.
x‘y’ lü terimin yok edilebilmesi için eksenlerin döndürülmesi
B
yapılır.Bunun için
eşitliğini gerçekleyen Dθ
tan2θ
AC
dönme dönüşümü ;
’
’ = x . cosθ - y . sinθ
x
cosθ
-sinθ
x
x
[ y’ ] = [ sinθ
cosθ ][ y ]
y’ = x . sinθ + y . cosθ
,
konularak uygulanır.Denklem A1x2 + C1y2 + F’ = 0 biçimine gelir.
A1 , C1 katsayılarını θ açısına gerek kalmadan aşağıdaki gibi
bulabilirsiniz.
1) A1 + C1 = A + C dır.
2) A1 - C1 =  ( A  C ) 2  B 2
nin işareti olarak alınır.
dır.Karekök önündeki işaret B’
3) 4A1 . C1 = 4AC - B2 olur.
Bu üç eşitlikten uygun biçimde olanlar alınarak A1 ve C1 katsayıları
elde edilir.
ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI
1. y2=4x parabolü için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Odağının koordinatları (1, 0) dır.
B) Doğrultman denklemi x= -1 dir.
C) (1, -2) noktasındaki teğetin denklemi y = -2x-2 dir.
E) Tepesi (0, 0) noktasıdır.
ÇÖZÜM:
p
2
A) y = 2px parabolünde odak (
,0) dır. 2p = 4 olduğundan
2
p
=1 Odak (1,0) olur.
2
p
B) Doğrultman denklemi x = = -1 dir.
2
C) ( x0 ,y0 ) noktasındaki teğet denklemi y y0 = p( x + x0 ) dir. (1, -2)
noktasındaki teğet ise y.(-2) = 2(x+1) den y = -x-1 olur.
(YANLIŞ)
D) Bir doğrultuya paralel kirişlerin eşleniği olan çap (köşegen)
p
y=
dir.
m
Burada y = 2x doğrusunun eğimi 2 dir. Öyleyse çap y = =1
olur.
E) Tepesi (köşesi) (0,0) noktasıdır.
YANIT : C
x2
y2
2.
+
= 1 elipsi için aşağıdakilerden hangisi
25
9
yanlıştır?
A) Odakların koordinatları5 (
 4,0)
B) Dış merkezliği e = 4
dir.
dır.
C) Doğrultmanlarının denklemleri y =
18
D) Parametresi 2p =
dür.
5
E) Alanı 15 л dir.

25
dir.
4
ÇÖZÜM :2
y
x2
+ 2 = 1 elipsinde m ve n den büyük olanı a ve eksen onun üzerindekidir.
2
m
n
A)
x2
y2
+
25
9
=1 elipsinde a2 = 25, b2 = 9 ve a2 =b2 + c2 den
c2 =16, c =  4 bulunur. Odaklar (  4, 0) olur.
c
4
B) Dışmerkezlik e =
=
dir.
5
a
a2

C) Asal eksen x ekseni olduğundan doğrultmanlar x = 
c
25
x=

olur.
4
D) Parametresi 2p = 2
edilir.
b2
a
4
olduğundan 2p = 2.
=
5
9
5
E) Alan л ab dir. A = л. 5 . 3 = 15 л olur.
YANIT : C
18
elde
5
3. y = 2px2 parabollerinden (-1,2) noktasından geçeni aşağıdakilerden hangisidir?_
A) y = 8x2
B) y = 2x2
C) y = 4x2 D) y = -4x2 E) y = -2x2
ÇÖZÜM :
Parabol (-1,2) noktasından geçeceğinden, nokta denklemi
sağlar.
2 = 2p. (-1)2
p = 1 ve parabol y = 2x2 olur.
YANIT : B
4. y2 = 4x parabolünün ,üzerindeki, (1, -2) noktasından çizilen
teğet denklemi nedir?
A) y=x+1
B) y=x-1
C) y=-x-1
D) y=-x+1 E) y=-x+3
ÇÖZÜM :
y2 = 2px parabolünün üzerindeki noktasından çizilen teğet
denklemi
yy0 = p(x + x0) idi. Öyleyse (1, -2) noktasındaki teğet y.(-2) =
2(x +1) ya da y = - x-1 olur.
UYARI : (1,-2) noktasındaki teğetin eğimi, m = y`(x ) dır.
2y. y` = 4
m=
= -1 olur. y - (-2) = -1(x-1) den y = -x1 elde edilir.
YANIT : C
5. y = 2x - 1 doğrusunun y = x2 + kx + k parabolüne teğet olması
için k nın değerler kümesi ne olmalıdır?
A) ø
B) {- 1,2}
C) {8}
D) {0,8}
E) {0,4}
ÇÖZÜM :
Doğrunun parabole teğet olması için kesim noktalarının bir tane olması
gerekir.
Öyleyse :
2x - 1 = x2 + kx + k dan x2 + (k - 2) x + k + 1 = 0 denklemi elde
edilir. Bu denklem kesim noktalarının apsislerini veren denklemdir.
Çözüm kümesinin bir elemanlı olması için Δ = 0 olmalıdır.
Δ = (k -2)2 - 4(k + 1) = k2 - 8k elde edilir.
Δ = 0 için k2 - 8k = 0
k = 0 vk = 8
Demek ki küme {0,8} dir.
YANIT : D
6. 4x2 - 9y2 = 36 hiperbolüne y = mx doğrusuna paralel iki
teğet çizilebilmesi için m ne olmalıdır?
A)
m
2
3
B) m = 5
2
2
E) m< - v m>
3
3
C) m =
1
2
D) m>0
ÇÖZÜM :
Hiperbole y = mx doğrusuna paralel çizilebilecek teğetler asimptotları
geçememelidir. Öyleyse, teğetin eğiminin mutlak değeri asimptotların
eğiminden küçük ya da 2ona eşit olmalıdır.
2
x
y
4x2 - 9y2 =36 ise
=1 ve a2 =9, b2 =4 olur.
4
9
b
2
m
m 
 3
dan
elde edilir.
a
YANIT : A
7. y2 =8x parabolünün 0x ekseni ile 135º lik açı yapan teğetinin denklemi nedir?
A) y = – x–2
B) y = – x–1
C) y = –x + 2
D) y = –x +1
E) y = x –1
ÇÖZÜM :
Teğet olacak doğru y = mx + n olsun. m = tan  = tan 135º = – 1
dir. y2 = 2px parabolüne teğet olma koşulu ise p – 2mn = 0 idi.
2p = 8  p = 4 dür. 4– 2. (– 1).n = 0 dan n = – 2 elde edilir.
Öyleyse teğet denklemi y = – x– 2 dir.
YANIT : A
8. 2x2 + 3y2 =6 elipsinin dışındaki P(3, 4) noktasından çizilen
teğetlerinin değme noktalarını birleştiren kirişin denklemi nedir?
A) x + y =2
B) 2x + y =1 C) x – 2y =1 D) x + 2y =1
E) 2x + 3y =1
ÇÖZÜM
:
x2
y2
=1 elipsinin dışındaki P( x0 , y0 ) noktasından çizilen
2 +
2
a
b
teğetlerin değme noktalarından geçen kiriş denklemi
yy 0
xx 0
+ b2
2
a
=1
P(3, 4) noktası için kiriş
olur.
dir. Buna göre:
x. 3
y.4
+
3
2
x2
3
y2
+
=1 elipsinde
2
=1 ya da x+ 2y =1 denklemi
YANIT : D
y2 =
13
5x parabolünün hangi kirişinin orta noktası M( , –2)
5
9.
dir?
A) x + y = – 3 = 0
D) 4x + 5y – 13 = 0
B) 5x + 4y – 5 = 0
E) x + 2y – 5 = 0
C) 5x + 4y + 13 = 0
ÇÖZÜM :
Eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarının kümesi, y =
çapıdır.
–2=
5
2
m
den
m=
5
4
p
m
bulunur. Öyleyse kiriş denklemi
5
13
y – y0 = m(x – x0) dan y – ( – 2) = –
(x –
) ya da
4
5
5x + 4y – 5 = 0 elde edilir.
YANIT : B
10. x2 + 8y = 0 parabolünün dik kesişen teğetlerinin kesim nokta-larının
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2
B) x – 2 = 0
C) y + 2 = 0
D) x =1 E) y = 4
ÇÖZÜM :
Bir parabolde birbirine dik olan teğetlerin geometrik yeri doğrultmandır.
x2 = – 8y ve 2p = – 8 dir. Öyleyse geometrik yerin denklemi
p
y=–
2
den y = + 2 olur.
YANIT : A
11. 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 elipsinin merkezi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, 6)
B) (6, 4)
C) (3, 4)
D) (5, 3)
E) (2, 6)
ÇÖZÜM :
Merkezli koniklerin (elips, hiperbol ) merkezi fx = 0 ve fy = 0
denklemlerinin ortak çözümünden elde edilir.
fx = 8x – 48 = 0
fy = 18y – 72 = 0

sisteminin çözümünden x = 6, y = 4
elde edilir.
UYARI
:
( x  h) 2
2
a
( y  k )2
+
b2
= 1 durumuna dönüştürerek de
(h,k) merkezini bulabilirsiniz.
YANIT : B
TAMAMLAMALI TEST SORULARI
1. Merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı yedek eksen uzunluğu olan çembere ..........
,merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı büyük eksen olan çembere .......... denir.(elipsin
yedek çemberi,elipsin asal çemberi)
2. Elipsin bir odağı merkez ve yarıçapı büyük eksen uzunluğu olan çembere ..........
denir.(doğrultma çemberi)
3. Bir elipsin odağından geçen en kısa kiriş .......... kiriştir.
çizilen)
(odağa dik olarak
4. Bir hiperbolün birbirine dik teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri (monj
çemberinin denklemi) .......... ve odaklarından biri merkez,asal eksen uzunluğu da
yarıçap olan çembere .......... denir.
(x2 + y2 = a2 - b2 ,
doğrultman çemberi )
5. Bir elipsin yarıçap vektörlerinin uzunluğu .......... ile .......... ve
hiperbolün yarıçap vektörlerinin uzunlukları .......... dır.
cx cx
cx
( a  ,  a;  a İle
a a
a
cx
a
a
)
6. Bir ikizkenar hiperbolün odaklar uzunluğu türünden denklemi .......... ya da x.y=
.......... dür.
c2 c2
2
2
( x y  2 , 4 )
7. Bir hiperbolde değişken bir teğetle,asimptotların teşkil ettiği
üçgenin alanı sabit ve .......... dır. (a .b )
8. Bir hiperbolde her teğetin asimptotlar üzerinde ayırdığı parçaların
çarpımı sabit ve .......... dır. ( c2 )
9. Bir parabolde odaktan geçen kirişlerin uçlarındaki teğetlerin kesim
noktalarının geometrik yeri .......... dır.
( doğrultman )
10. Elipsin(ya da hiperbolün) odaklarının herhangi bir teğetine olan
uzaklıkları çarpımı sabit ve ........... dır. ( b2 )