Transcript matematiksel problemlerin öğrenim ve öğretimi

Problem çözme konusunun matematik ders programları içerisinde
özel bir yeri vardır. Bir çok insan için ‘matematik’ ve ‘problem çözme’
kavramları aynı manayı ifade etmektedir. matematik eğitiminin en
genel amacı karşılaştıkları problematik durumları etraflıca anlayıp
çözüm için planlar geliştirebilen, geliştirdikleri planları uygulayarak
sonuca ulaşılabilen, eleştirel ve yaratıcı düşünebilme yeteneği
gelişmiş, araştırmacı bir ruha sahip özgür bireyler yetiştirmektir.bu
zihinsel yeteneklere sahip bireylerin yetiştirilmesi noktasında
problem çözme konusunun çok büyük işlevleri vardır.
Öğretmenlerimiz ve akademisyenlerle bilgi paylaşımını amaçlayan
bu kitap bölümünde ilköğretim matematik ders programlarının
içeriği esas alınarak problem çözme konusunun öğrenim ve öğretim
incelemektedir. Matematiksel problem türleri ve bunların temel
karakterleri, problem çözümlerinde takip edilen aşamalar, kullanılan
strateji ve modeller örnek sorular üzerinden açıklamaktadır. bunlara
ilave olarak problem çözme konusunun öğretiminde uygulana
bilecek yapılandırmacı öğretim yaklaşımlarının temel bileşenleri
hakkında bilgi sunulmakta ve bu bağlamda öğrencilerdeki üst
bilişsel düşüncenin gelişimine katkı amacıyla nelerin yapıla
bileceğine ilişkin öneriler getirilmektedir.
Problem ve problem çözme nedir?
Literatüre baktığımızda problemin farklı tanımlanmış olduğunu
görmekteyiz. Schoenfeld (1992)problem’i şaşırtıcı ,zor ve yaratıcı
düşünmeyi gerektiren sorular olarak tanımlamaktadır. O’Daffer’e (1988)
göre problem bireyin rutin işlemlerle çözemediği sorulardır.Krulil ve
Rudnick (1989)problemi görünürde bilinen bir çözüm yolu olmayan nicel
veya nitel yapıdaki sorunsallar olarak tanımlamaktadır. Orton ve Waine
(1994) göre problem öğrencinin ilgisini çeken ,zihinlerini zorlayan ve
çözümünü elde etmek için öğrencilerin araştırma yapma ihtiyacı
hissettikleri durumlardır. Genel olarak, problem matematiksel
düşüncelerin uygulamalarını içeren etkinlikler olarak tanımlanabilir.
(Baki,2006). Bu bağlamda, basit toplama ve çıkarma işleminin
kullanımını gerektiren sorular, kümeler konusunda yapılan kesişimbirleşim işlemleri ,ikinci dereceden denklem ve eşitsizlik soruları, düzlem
ve uzay geometri ile ilgili alıştırmalar gibi bir çok konu öğrencilerde
araştırma yapma ihtiyacı uyandırdığı ve onları bilişsel olarak zorladığı
sürece problem olarak kabul edilebilir. Karşılaşılan bir durumla bireyin
sahip olduğu bilgi ve düşünce sisteminin örtüşmemesi ve bireydeki
bilişsel dengenin bozulması halinde bir problemin varlığından söz
edilebilir.(Baki,2006).
kısacası bir problemin varlığından söz edebilmek için şu üç halin oluşmuş
olması gerekir:
 Sorunla karşılaşan bireyin çözüme ilişkin belli bir amacının olması gerekir,
 Sorunun çözümü için başlangıçta birey tarafından bilinen bir yolun
olmaması gerekir, ve
 Bireyin çözüme giden yoldaki engelleri kaldırmak ve çözüme ulaşmak için
düşünsel çaba ve gayret sarf etmesi gerekir.
problem statik bir durum iken problem çözme bir statiği ifade eder.
Bu sürecin başlangıç noktasında karşılaşılan problematik durum,bitiş
noktasında elde edilecek olan cevap vardır . Mayer ( 1985) problem çözmeyi
eldeki problemin çözümüne ulaşmak için yürütülen zihinsel aktiviteler
serisi olarak tanımlamaktadır. Problem çözme sürecinde, bireyler problemi
anlamdır ırlar metot ve stratejiler geliştirip uygularlar,farklı çözüm yollarını
denerler,aritmatiksel ve cebirsel işlemler yürütürler ve kısaca matematiksel
bilgilerini uygulamaya koyarlar. Problem çözerken öğrenciler problemi
formüller ve modeller yardımıyla matematiksel ifadeler şeklinde yeniden
yazarlar ,mevcut bilgileri arasında ilişkiler kurarlar,matematiksel
kavramları gerçek durumlarla ilişkilendirirler ve bunların neticesi olarakta
etkin bir matematikselleştirme süreci yaşarlar(polya,1973)
yukarda belirtildiği gibi matematiksel bilgilerin uygulamasını
gerektiren, karşılaştıklarında bireylerin bilişsel dengesini bozup çözüm
yolları aramaya sevk eden bütün matematiksel durumlar problem
olarak kabul edilebilir, dolayısıyla problem çözme konusu ana okuldan
üniversiteye kadar matematik ders programlarını ayrılmaz bir
parçasıdır. Bu denli geniş bir konunun bir yazıda ele alınması mümkün
olmadığı için bu kitap bölümünde ilk öğretim matematik müfredatının
içeriği esas alınarak sözel problemler ve bunların çözümleri üzerinde
sürülecektir.
Problem türleri
Matematiksel problemleri rütin ve rütin olmayan problemler diye iki ana
kategoride değerlendirmek mümkündür.(mahlios,1988;arslan ve
alton,2007). Rutin problemler matematik ders kitaplarında çokça yer
almaktadır.
Bu
problemlerin
en
temel
özelliği
toplama
,çıkarma,çarpma,bölme gibi aritmetiksel işlemlerin uygulanmasıyla
çözüleb,lir olmasıdır. Dolayısıyla,rutin problemler genellikle aritmetik
işlemlerin öğretiminden sonra verilir.bununla öğrencilerin ,öğrendikleri
konuyu pekiştirmeleri, aritmetik işlemler arasında anlamsal ilişkiler
kurmaları (örneğin,çarpmanın aslında ardışık toplama olduğu
düşüncesi) ve kavramsal bilgi geliştirmeleri amaçlanmaktadır. Rutin
problemleri çözerken öğrenciler problem hikayesinde verilen bilgileri
anlama , analiz etme (verilen ve istenilenleri tespit etme,vb) , problemin
hikayesini matematiksel olarak yeniden yazabilme ,çözüm için basit
modeller geliştirip kullanabilme,hangi işlem veya işlemleri kullacağına
karar verme gibi problem çözmenin gerektirdiği temel becerileri
edinirler. Rutin problemler matematiğin güncel hayatta uygulamasının
en temel araçlarıdır, dolayısıyla öğrencilerin gerçek hayata ihtiyaç
duyacakları bilgi ve becerileri geliştirmeleri noktasında büyük işlemleri
vardır.
1.
Rutin problemleri zorluk derecesini belirleyen en temel faktör problemin
içerdiği işlemsel basamak sayısı ,çözüm için gerekli matematiksel
bilginin düzeyi ve kullanılması gereken nicel değerlerdir (ondalıklı
kesir,rasyonel kesir,doğal sayı , vb) ( mahlios,1988). Aşağıda iki tane rutin
problem gereği örneği verilmiştir
Tanesi beş liradan on tane kalem aldınız. Toplam kaç tane ödemeniz
gerekir?
Tek adımda sadece çarpma işlemi uygulanarak çözülebilir.
Rutin olmayan problemler aritmetiksel/cebirsel işlemlerin, kuralların ve
formüllerin direkt olarak uygulanmasıyla çözülemeyen sorulardır. Bu
problemlerin en temel özelliği çözüm için farklı yaklaşım ve metotların
uygulanmasını, birden farklı stratejinin kullanımını ve yaratıcı
düşüncenin işe koşulmasını gerektirmesidir.
 Bir diğer yol olarak da tahmin kontrol stratejisi de kullanılabilir. Bu
süreçte sistematik liste yapma tekniğinin kullanımı problem çözme
sürecinde sergilenen düşünceleri kontrollü bir şekilde uygulamaya
yardımcı olur.
 N kenarlı bir çokgenin n tane köşesi vardır. Bir köşeden, örneğin B
köşesinden, kendisine ve komşularına, C ve A köşelerine köşegen
çizilemez. Dolayısıyla her köşeden (n-3) tane köşegen çizilebilir; n tane
köşe olduğu için çizilebilecek toplam köşegen sayısı ise n(n-3)
tir.Ancak bu durumda komşu olmayan köşeler arasında karşılıklı olarak
ikişer tane köşegen çizilmiş olmaktadır.
 Yukarıdaki çözüm geometri bilgisi yeterli olmayan ve kombinasyon
düşüncesini bilmeyen öğrenciler için güzel bir yaklaşım olabilir.
Problem çözme sürecinde takip edilen aşamalar
 Hangi öğretim yaklaşımı kullanılırsa kullanılsın, rutin veya rutin
olmayan farklı tür ve zorluk derecesindeki problemlerin çözümünde
takip edilecek dört temel aşama vardır. Matematik eğitimcileri
tarafından genel kabul görmüş olan bu aşamalar ilk kez George Polya
tarafından 1945 yılında ortaya atılmıştır. Bu aşamalar sırası ile:
Problemin anlaşılması, çözüm için plan geliştirilmesi, geliştirilen
planın uygulanması ve son olarak da elde edilen yanıtın doğru olup
olmadığının kontrol edilmesini içerir.
 Problemin anlaşılması, problem çözme sürecinin ilk ve en önemli
aşamasıdır. Bu aşamada problem de verilenlerin, istenilenlerin ve
bunlar arasındaki ilişkilerin öğrenciler tarafından anlaşılması en
öncelikli iştir. Özellikle ilköğretim düzeyindeki öğrencilerin problem
çözme konusunda karşılaştıkları zorlukların temelinde problemin
sözel ifadesini anlayamamaları yatmaktadır.


Plan yapma problemin anlaşılması ile yakından alakalıdır. Bu
aşamada problemin çözümü için strateji seçimleri yapılır ve ne tür
matematiksel modellerin kullanılabileceği kararlaştırılır.
 İzlenilecek işlem basamakları belirlenir ve gerekli hallerde şekil, şeme,
tablo gibi görsel yapılar oluşturulur.
 Üçüncü aşamada yapılan plan uygulamaya konulur. Seçilen stratejiler,
oluşturulan modeller, cebirsel veya aritmetiksel yapılar kullanılarak
işlemler yürütülür. Bu aşamada sadece plan çerçevesinde yürütülen
aritmetiksel işlemlere odaklanılmalıdır, bundan daha çok plana
manasını veren yaklaşım ve düşünceler dikkatli bir şekilde
yürütülmelidir. Eldeki plan bazen problemin çözümünde yetersiz
kalabilir veya çalışmayabilir. Bu tür durumlarda dolaylı sorular
yönelterek öğrencilerin doğru planı geliştirmelerine yardımcı olunmalı
ama kesinlikle öğrencilere hazır plan verilmemelidir.
Problem çözme stratejileri
 Problem çözme, karşılaşılan bir sorunsalın üstesinden gelmek için
geçmiş bilgi ve becerilerin koordine edilerek uygulamaya konulduğu
karmaşık bir süreçtir.
 Yerli ve yabancı kaynaklarda birçok problem çözme stratejisinde
bahsedilmektedir. Bu stratejiler genel stratejiler ve yardımcı stratejiler
olmak üzere iki ana grupta ele alınabilir. Genel stratejiler arasında
ilköğretim düzeyinde en sık kullanılanlara ‘tahmin-kontrol’, ‘geriye
doğru çalışma’, ve ‘tümevarımcı düşünme’ dir. Yardımcı stratejiler
arasında ise ‘matematiksel cümleler yazma’, sistematik liste oluşturma,
tablo yapma ve şekil, şema ve grafik çizme en sık kullanılanlardır.

TAHMİN KONTROL STRATEJİSİ
 Tahmin kontrol stratejisi bazı problem türlerinin
çözümünde sıkça kullanılan ve direkt olarak
uygulanabilen bir yöntemdir. Problemin cevabına
ilişkin bir tahmin yürütülür ve yapılan tahmin cevap
olup olmadığına bakılır. Tahmin – kontrol stratejisi
öğrencilerin mantıklı öngörülerde bulunabilme ve bir
grup veri arasındaki ilişkileri ve gelişimi tümevarımcı
bir yaklaşımla anlayabilme zihinsel beceriler
geliştirmelerine yardımcı olur.


GERİYE DOĞRU ÇALIŞMA STRATEJİSİ
Geriye doğru çalışma stratejisi ilköğretim ve daha
ileri düzey matematik programları kapsamında
problem çözme ve matematiksel ispat konularının
öğrenim ve öğretiminde sıkça kullanılmaktadır. Bu
strateji başlangıç bilgileri bilinmeyen ama sonuç
bilgileri bilinen problemlerin çözümünde kullanılır.
Problemde verilen işlemsel zincir sondan başa doğru
çözümlenerek cevap bulunmaya çalışılır.

TÜMEVARIMCI DÜŞÜNME STRATEJİSİ
 Matematiksel problemlerin çözümünde kullanılan bir
diğer strateji ise tümevarımcı düşünme stratejisidir. Bu
stratejinin en temel özelliği problemde verilen nicel
veya nitel çokluklardan oluşan dizinin terimleri
arasındaki ilişkinin fark edilmesini ve buradan
hareketle yapılacak genellemelerle daha evrensel
sonuçlara ulaşılmasını içerir.
 PROBLEM ÇÖZME KONUSUNUNÖĞRETİMİ NASIL
YAPILMALIDIR?
 Problem çözme konusunun öğrenimine ilişkin yerli
ve yabancı araştırmacılar tarafından birçok çalışma
yapılmış bulunulmaktadır. Bu çalışmalar öğrencilerin
problem çözme sürecinin oluşturan üç temel alanda
ciddi sorunlar yaşadıklarını göstermektedir. Bunlar :
 Problemin anlaşılması
 Plan ve stratejinin seçilmesi, çözüm için uygun
maddelerin oluşturulması
 Problemin cevabının ve problem çözme sürecinde
uygulanan düşünceleri mantık kontrolüne tabi
tutulması
 Öğretmenden öğrenciye tek yönlü bilgi akışının ön
gören davranışçı öğretim metotlarının öğrencilerdeki
problem çözme yeteneğinin gelişimine yapacak katkı
oldukça azdır.Dolayısıyla problem çözme konusu
öğretilirken öğrencilerdeki düşünce gelişimini
hedefleyen bir öğretim yaklaşımı kullanılması gerekir.
 ÜST BİLİŞSEL YETENEK VE PROBLEM ÇÖZÜMÜ

 Üst biliş en genel manası ile bireyin herhangi bir
konuda sahip olduğu bilgi ve düşüncelerin farkında
olması demektir. Üst bilişsel yeteneği gelişmiş olan
öğrenciler problem çözme sürecinde sergiledikleri
düşüncelerin aktif olarak takip ve kontrol edebilir ve
gerekli hallerde düzenlemeler yapabilirler.


SONUÇ VE ÖNERİLER
Problem çözmede doğru yanıtı elde etmiş olmak bir
başarı göstergesi olarak algılanmamalıdır. Problem
çözme, problemin anlaşılmasında elde edilen sonucun
doğrulunun kontrol edilmesine kadar bütün bir süreci
kapsar.
 Öğretmenlerimiz bir problemi farklı yollardan
çözmeleri için öğrencilerini cesaretlendirmelidir.
Neden, niçin ve nasıl sorularını sorarak öğrencilerin
çözüm sürecinde sergilemiş oldukları kendi
düşüncelerini
 takip ve revize etmelerine olanak vermelidirler. Görsel
öğeler ve matematiksel modeller kullanarak
öğrencilerin problemde verilen bilgiler arasında
ilişkiler kurmalarını ve düşüncelerini sistemli bir
şekilde uygulamalarını yardımcı olmalıdırlar.

 BİZİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN
TEŞEKKÜR EDERİZ