Diferansiyel Denklemler - Yaşar Üniversitesi | Fen Edebiyat
Download
Report
Transcript Diferansiyel Denklemler - Yaşar Üniversitesi | Fen Edebiyat
Diferansiyel
Denklemler
Prof.Dr.Şaban
EREN
Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi
Bölüm 1
1.1. Giriş
1.2. Diferansiyel denklem biçimleri
1.3.
tipi
KAYNAKLAR
2
Aydın, M., Gündüz, G., Kuryel, B. (1987). Diferansiyel
Denklemler ve Uygulamaları. Ege Üniversitesi Mühendislik
Fakültesi Ders Kitapları Yayınları No: 14.
Boyce, W.E., DiPrima, R.C. (1992). Elementary Differential
Equations and Boundary Value Problems. Fifth edition. John
Wiley & Sons, Inc.
Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics
for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 2.
Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics
for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 5.
KAYNAKLAR
3
Er, U. (1985). Uygulamalı Diferansiyel Denklemler. Anadolu
Üniversitesi.
Lambe, C.G., Tranter, C.J. (1964). Differential Equations for
Engineers and Scientists. The English Universities Press Ltd.
Rainville, E.D., Bedient, P.E. (1989). Elementary Differential
Equations. Seventh edition. Macmillan Publishing Company.
Spiegel, M.R. (1965). Theory and Problems of Laplace
Transforms. Schaum Publishing Company.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.1. Giriş
4
Bu
bölümde
diferansiyel
denklem
kavramı
açıklanacak ve konuya açıklık getirmek amacıyla
bilinen bir örnek ele alınacak ve bu örnek yardımıyla
diferansiyel denklem oluşturulması sağlanacaktır.
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.2. Diferansiyel Denklem Biçimleri
Bir x değişkeni ile onun fonksiyonu olan y ve bu
fonksiyonun türevleri arasında mevcut olan
F (x, y, y', ..., y(n)) = 0
(1.1)
denklemine diferansiyel denklem denir.
Konuya açıklık getirmek için aşağıda sunulan örneği
göz önüne alalım.
5
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek: 1.1.
Kütlesi m olan bir cisim yerçekimi etkisi altında
serbest düşme yapmaktadır. Serbest olarak düşen
bu kütlenin üzerine havanın direnci etki etmektedir.
Havanın direnci düşen cismin hızının karesiyle doğru
orantılıdır. Bir t zamanı düştüğünde cismin (v) hızını
ve düştüğü mesafeyi bulunuz.
6
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Şekil 1.1.’den de görüleceği gibi kütlenin üzerine iki
kuvvet etki etmektedir:
Yerçekimi kuvveti : mg
Havanın direnci
: kmv2
Burada k bir sabit ve g yerçekimi kuvvetidir.
7
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
8
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Cisim yere doğru düştüğünden mg > kmv2’dir.
Dolayısıyla cisme etki eden net kuvvet,
F = mg – kmv2
(1.2) dir.
F=ma
(1.3)
olduğundan (m, kütle ve a da ivmeyi belirtmektedir).
9
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.4)
10
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.4)
ve dolayısıyla
(1.5)
elde edilir.
11
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu denklemde (eşitlikte)
diferansiyel
katsayısı bulunduğundan denklem diferansiyel
denklem olarak bilinmektedir. Bu diferansiyel
denklemin çözümü sonucunda bir t anındaki v
hızını elde etmek mümkün olacaktır.
12
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
s’in cismin t zaman kadar düşmesi sonucu
alınan mesafeyi belirttiğini varsayalım. Bu
mesafeyi bulmak için
ifadesi (1.5) eşitliğinde
yerine konursa bu eşitlik,
(1.6) şekline dönüşür.
13
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bir diferansiyel denklemde en yüksek dereceden türev
y(n) ise denkleme n’inci dereceden diferansiyel denklem
denir. Örneğin, (1.5) eşitliğinde en yüksek türev
birinci dereceden olduğundan bu eşitliğe birinci
dereceden diferansiyel denklem ve (1.6) eşitliğinde en
yüksek dereceden türev
ikinci dereceden olduğundan bu
dereceden diferansiyel denklem denir.
14
eşitliğe
ikinci
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Verilen örnekte bağımlı değişkenler yol s,
s = f (t)
ve hız v,
v = g (t)
sadece tek bir t bağımsız değişkeninin fonksiyonları
olduğundan
ordinary diferansiyel katsayılarından dolayı (1.5) ve
(1.6) diferansiyel denklemleri adi (ordinary) diferansiyel
denklemler olarak bilinmektedir.
15
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Eğer z bağımlı değişkeni x ve y gibi iki bağımsız
değişkenin fonksiyonu ise örneğin,
z = f (x, y)
ise, z’nin x ve y değişkenlerine göre türevleri alınırsa,
ve benzer şekilde,
kısmi diferansiyel katsayıları elde edilir. Dolayısıyla bu
tür katsayıları içeren diferansiyel denklemlere de kısmi
diferansiyel denklemler denir.
16
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örneğin,
(1.7)
ve
(1.8)
denklemleri kısmi diferansiyel
olarak bilinmektedir.
17
denklemler
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Diferansiyel
denklemlerin
çözümünde
tümünün
çözümünü elde edebilecek standart bir yöntem mevcut
değildir. Fakat belirli tipler için özel yöntemler vardır.
Ele
alınacak
yöntemler
sonucunda
y
bağımlı
değişkeninin x bağımsız değişkeni cinsinden analitik
çözümü elde edilecektir.
18
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Ancak bazı durumlarda analitik çözümün elde edilmesi
mümkün
olmamaktadır.
yöntemler
uygulanarak
Bu
durumlarda
bağımlı
Nümerik
değişkene
ilişkin
yaklaşık bir sonuç elde edilmektedir.
İzleyen kısımlarda değişik tip diferansiyel denklemler
için çözüm yöntemleri örneklerle açıklanmıştır.
19
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.3.
Bu tür diferansiyel denklemlerde ardarda
integral işlemi bizi sonuca götürür.
20
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.2.
(1.9)
diferansiyel denkleminin çözümünü elde
ediniz. a bir sabit değeri ifade etmektedir.
21
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
ifadesinin x’e göre integrali alınırsa,
22
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
ifadesinin x’e göre integrali alınırsa,
(1.10)
(A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre
integrali alınırsa,
23
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
ifadesinin x’e göre integrali alınırsa,
(1.10)
(A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre
integrali alınırsa,
(1.11)
(B bir sabit) bulunur.
24
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Elde edilen bu ifadenin x’e göre bir kez daha
integrali alınırsa,
(1.12)
elde edilir. Bu ifade verilen (1.9) diferansiyel
denkleminin çözümüdür ve bu çözüm A, B, C
gibi sabitleri içerdiğinden genel çözüm olarak
bilinir.
25
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken
şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10),
(1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa,
(1.13)
26
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken
şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10),
(1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa,
(1.13)
(1.14)
27
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken
şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10),
(1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa,
(1.13)
(1.14)
28
(1.15)
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden
bulunur.
29
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden
bulunur.
Elde edilen bu değerler (1.12) nolu eşitlikte yerine
konursa,
elde edilir. Bu (1.9) nolu
diferansiyel denklemin özel
çözümüdür. Özel çözüm olarak
belirtilmesinin nedeni, başlangıç
koşulları değiştirildiğinde A, B, C değerlerinin de bu
koşullara göre değişmekte olmasından dolayıdır.
30
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.5.
Kısmi integral yöntemi uygulanırsa
31
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.5.
Kısmi integral yöntemi uygulanırsa
32
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.5.
Kısmi integral yöntemi uygulanırsa
33
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
34
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
35
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
36
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
37
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
38
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
39
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
40
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
41
Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
dy
x
x
e ( x 1) e Ax B
dx
e x ( x 2) Ax B
x
dy
e
( x 2) Ax B dx
42
2
x
y ( x 2)( e x ) e x A Bx C
2
2
x
y ( x 3)( e x ) A Bx C
2