Transcript dosyayı indir

PARAMETRİK VE HEDEF
PROGRAMLAMA
Dual Simpleks yöntem ve parametrik doğrusal
programlama özellikle, optimallik sonrası karar vericilere
kararlarında yardımcı olabilmektedir. Parametrik
programlama, seçilen parametrelerdeki sürekli
değişimlerin, optimal doğrusal programlama çözümünü
nasıl etkilediğini inceler.
Önceki bölümlerde, doğrusal programlama
modeli ile sadece toplam karın ençoklanması veya toplam
maliyetin enküçüklenmesi gibi sadece tek bir amaca
yönelik problemlerin çözümü ile ilgilendik. İş hayatında
şirketler, bu amacın yanında; istikrarlı karın sağlanması,
Pazar payının artırılması, fiyat istikrarının sağlanması,
çalışanların moralinin yükseltilmesi, şirket prestijini
artırma, üstün müşteri memnuniyeti, ürün kalitesi ve
verimliliğinin artırılması ile maliyetlerin indirilmesi gibi diğer
farklı amaçlar üzerinde de odaklanırlar. İşte hedef
programlama böyle çok çeşitli amaçlara yönelik uğraşıların
sağlanmasında bir yöntem olmaktadır.
1
PARAMETRİK VE HEDEF
PROGRAMLAMA
Hedef programlamanın temel yaklaşımı, amaçların her
birisi için spesifik sayısal bir hedef belirlemek, her bir
amaç için amaç fonksiyonunu formüle etmek ve sonra
ilişkin oldukları hedeflerden bu amaç fonksiyonların
ağırlıklı toplam sapmalarını minimum kılan çözümü
araştırmaktır. Olanaklı üç tür hedef vardır. Bunlar;
1. Altına düşmek istenmeyen alt sınırı belirleyen tek
taraflı hedef (bu sınırı aşmak başarıdır)
2. Üstüne çıkmak istenmeyen üst sınırı belirleyen tek
taraflı hedef ( bu sınırın altına düşmek başarıdır)
3. Her iki tarafta kaçırmak istemediğimiz spesifik hedefi
koyan iki taraflı hedeftir.
2
PARAMETRİK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA
Parametrik programlama (Parametrik doğrusal programlama) istenen ekonomik olayın
oluşumunda etkili olan elemanların, belli kısıtlamalar altındaki değişiminin parametrik
değerler ile belirlenmesidir.
Bir bakıma, parametrik programlama seçilen parametrelerdeki sürekli değişimlerin,
optimal doğrusal programlama çözümünü nasıl etkilediğini inceler. Dolayısı ile parametrik
programlama için doğrusal programlamanın varsayımlarının yanında aşağıdaki
özelliklerin de gerektiğini görmekteyiz.
Bu özellikler;
•Doğrusal programlama problemi, parametrelerin sabit bir değeri için optimal çözümlü
olmalıdır.
•Optimal çözüme ulaşıldıktan sonra parametrenin değişimi belirlenmeye çalışılmalıdır.
•Ele alınan problemin optimal çözüme bakılarak bozulma durumunun olmadığı
gözlenmelidir.
Parametrik programlama, optimaliteye ulaşmak için birçok değişik parametreyi
deneyebilme olanağını sağladığı gibi, amaç fonksiyonu katsayılarının değerini parametre
teriminde ne kadar değiştirdiğini de belirlemektedir.
Bir bakıma duyarlılık analizi, ele aldığı modelin sadece bir parametresindeki değişmenin
optimal çözümdeki etkisini incelerken, parametrik programlama ise bazı aralıkta eşanlı
parametrelerin pek çoğu değişirken optimal çözümün nasıl sistematik şekilde değiştiğini
gösterir.
3
Amaç Fonksiyonu Parametrelerindeki Sistematik Değişmenin
Analizi
Amaç fonksiyonundaki cj parametreleri değiştiğinde, alışılmış
doğrusal programlama modelinin amaç fonksiyonu;
biçimine dönüşür.
Burada,
değişecek katsayılardaki göreli oranları gösteren
verilen girdi katsayılarıdır. Bu yüzden λ ‘nın sıfırdan giderek artışı,
katsayıları bu göreli oranlarda değiştirir.
4
katsayılarının (Örneğin, birim karlar) λ ile ölçülen bazı faktörlere
bağlı olarak birlikte nasıl değişeceğine dayanır Bu faktörlerden
bazıları karar vericinin kontrolü altında (Personel ve donanım gibi)
iken bazıları örneğin ekonominin durumu gibi kontrol altında
olmayabilir.
Simpleks yöntem ile λ ‘nın verilen değeri için doğrusal
programlama probleminin optimal çözümü elde edilebilir. Bu çözüm
λ = 0 olduğunda özgün problem için elde edilmiştir. Bununla birlikte,
amaç λ ‘nin bir fonksiyon olarak düzenlenen doğrusal programlama
probleminin maksimum X (λ ) optimal çözümü bulmaktır. Bu yüzden,
çözüm işleminde λ sıfırdan, belirtilen pozitif sayıya kadar artarken,
optimal çözümün ne zaman ve nasıl değiştiğinin belirlenmesi
gerekir.
5
ÖRNEK;
Bir işletmenin doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir.
Max z = 10x1 + 9x2 + 65x3 + 27x4
Kısıtlayıcılar;
3x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 ≤ 18.000
2x3 + 1/2x4 ≤ 3.000
ve
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
Ürünlerin birim işçilik maliyetleri x1 için1 TL, x2 için 1 TL, x3 için 15 TL ve x4 için
ise 8 TL’dir. Bu işletme piyasa koşullarından etkilenerek genel ücret düzeyini
artırmak zorundadır. İstenen, genel ücret düzeyi artışının amaç fonksiyonunu
nasıl değiştirdiğini parametrik programlama ile analiz etmektir.
6
ÇÖZÜM
Bu işletmenin modelindeki parametrelerden, sadece işgücü maliyeti ile ilgili parametre
değişeceğinden, işletmenin sade amaç fonksiyonu değişir. İşgücü maliyetini λ parametresi ile ifade
edersek α1 = 1, α2 = 1, α3 = 15 ve α4 = 8’ dir. İşgücü maliyetlerindeki değişme x1 ve x2 ürünü için λ,
x3 ürünü için 15 λ ve x4 ürünü için 8 λ ‘dir. İşgücü maliyetlerindeki artış işletmenin karını dolayısı ile
amaç fonksiyonunun değerini azaltacaktır. Buna göre, işletmenin amaç fonksiyonu;
Max z = (10 - λ )x1 + (9 - λ )x2 + (65 - 15 λ)x3 + (27 - 8 λ)x4 olur.
Parametrik programlama modeli:
Max z (λ)= (10 - λ)x1 + (9 - λ)x2 + (65 - 15 λ)x3 + (27 - 8 λ)x4 olur.
Kısıtlayıcılar;
ve
3x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 ≤ 18.000
2x3 + 1/2x4 ≤ 3.000
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
7
Başlangıç Simpleks Tablosu
Önce üstteki tabloda λ = 0 kabul edilerek yani işletmenin doğrusal
programlama modeli simpleks yöntemi ile çözülerek optimal çözüme ulaşılır.
Problemin optimal çözüm tablosu aşağıda verilmiştir. Optimal çözüm
tablosunda karar değişkenlerinin parametrik katsayıları verilerek
düzenlenmiştir.
8
Parametrik Programlama için Başlangıç Simpleks Tablosu
9
10
PARAMETRİK VE HEDEF
PROGRAMLAMA
Buna göre 0≤λ≥1/2 aralığında cari çözüm
optimaldir, λ değeri en küçük olan x3 ü λ=1/2 den daha
fazla artırdığımızda onun zj-cj katsayısı negatif
olacağından temel değişken olarak çözüme girer. Bu
yüzden cari çözüm için λ’nın üst sınırı λ ≤ ½ dir. Alt sınır
ise sıfırdır.
Simpleks yöntemine devam ettiğimizde x3 temel
değişken olarak çözüme girerken, s2 değişkeni de çözümü
terk eder. I. İterasyon sonunda elde edilen parametrik
simpleks çözüm tablosu aşağıda hesaplanmış olarak
verilmiştir.
11
Birinci İterasyon Sonucundaki Parametrik Simpleks Tablosu
12
Burada dikkat edilirse, bir önceki çözümdeki λ‘nın üst sınır
değeri bir sonraki çözümde alt sınır değeri olmaktadır.
Şimdi bulduğumuz parametrelendirilmiş optimal çözümde,
yine temel olmayan değişkenlerin zj-cj satırındaki
katsayılarından birisi negatif oluncaya kadar λ artırılır ve
böylece isteninceye kadar λ artırılarak simpleks yöntemi ile yeni
optimal çözümler bulunur.
Önceki sayfadaki tabloda λ≥8/7 olduğunda x2 temel
değişken olarak çözüme girer ve x4 çözümü terk eder.
Simpleks yöntemini uyguladığımızda 2. iterasyon
sonucunda aşağıdaki tabloda verilen yeni optimal çözüm
değerlerini elde ederiz.
13
İkinci İterasyondaki Parametrik Simpleks Tablosu
İkinci iterasyonda ulaşılan çözümün ‘nın hangi aralıklarında optimal olduğunu belirlemek için yine temel olmayan
değişkenlerin
katsayılarının ≥ 0 eşitsizliğinden yararlanılır
14
15
Üçüncü İterasyondaki Parametrik Simpleks Tablosu
16
17
Dördüncü İterasyondaki Parametrik Simpleks Tablosu
18
Beşinci İterasyondaki Parametrik Simpleks Tablosu
19
20
21
SAĞ TARAF PARAMETRELERİNDEKİ SİSTEMATİK
DEĞİŞMENİN ANALİZİ
22
23
24
25
Başlangıç Simpleks Tablosu
26
Birinci Simpleks Çözüm Tablosu
27
İkinci Simpleks Çözüm Tablosu
28
29
30
Birinci Parametrik Programlama Çözüm Tablosu
31
32