Transcript dosyayı indir

ULAŞTIRMA MODELLERİ
Ulaştırma
Modelleri,
doğrusal
programlama
problemlerinin özel bir hali olup, belirli merkezlerde
üretilen
ürünlerin,belirli
hedeflere
minumum
maliyetlerle taşınması algoritmasıdır ve ilk defa 1947
yılında Hitchock Petrol Endüstrisinde uygulanmıştır.
Ulaştırma modellerinde kısıtlayıcılar, arz merkezlerinin
kapasitesi ve talep merkezlerinin isteklerine bağlı
olarak formüle edilmektedir. Ayrıca, taşıma maliyetinin,
taşınacak
ürünlerin
miktarına
göre
değiştiği
varsayılmaktadır.
1
MODELİN GELİŞTİRİLMESİ
• Ulaştırma modeli şeklinde formüle edilen bir
problem, simplex yöntemi ile çözülebildiği gibi
kendine has ulaştırma algoritması, atama ve
aktarma modelleri gibi tekniklerle, daha az
zamanda ve daha az hesaplamalarla çözme
alternatifleri vardır.
• Hitchock tan sonra, Koopmans, Dantzig,
Copper ve Charnes’in geliştirdikleri teknik
1960 yıllardan itibaren aşağıdaki alanlarda
yaygınca kullanılmıştır.
a)Üretim ve tüketim merkezleri arasında optimal
mal dağıtım programlarının belirlenmesi,
2
b)Yapılacak işlerin makinalara dağıtımı,
c)Üretim planlaması
d)Çeşitli şebeke ağ problemleri,
e)İşletmelerin kuruluş yeri seçimi problemleri..
3
ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI
• Bir ulaştırma modelinin şematik yapısı üretim
merkezleri ile tüketim merkezleri arasındaki
ilişkilere bağlıdır.
• (m) kadar üretim merkezi ve (n) kadar tüketim
merkezi olan bir ulaştırma modelinde;
(i) İnci üretim merkezi ancak (ai) miktarda mal arz
ederken,
(j) İnci tüketim merkezi de ancak (bj) miktarda mal
talep edebilmektedir.
Cij ise , 1 birim malın(kg, ton, vs) i. inci üretim
merkezinden j. inci tüketim merkezine taşıma
maliyetidir.
4
MODELİN ŞEMATİK YAPISI(4 üretim,5 tüketim merkezi)
Arz M.
---------
Üretim Merkezi
-----------------------
Tüketim Merkezi
------------------------
Talep
------------
a1
F1
D1
b1
a2
F2
D2
b2
a3
F3
D3
b3
a4
F4
D4
b4
olmalıdır
D5
b5
Σai = Σbi
5
VARSAYIMLAR
1) Modelde kullanılan tüm bilgiler ve probleme konu
olan mal ve hizmetler, bütün üretim ve tüketim
merkezleri için aynı birim ve türden olmalıdır.
2) Her bir üretim merkezi ile her bir tüketim merkezi
arasında bir birim malın taşınma ücreti belirli
olmalıdır.
3) Her bir arz ve tüketim merkezlerindeki toplam arz
ve toplam talep tam olarak bilinmelidir.
4) Üretim yada arz merkezlerinden dağıtılacak
toplam miktar, tüketim merkezlerinde oluşan
toplam talebe eşit olmalıdır.Bu eşitlik yok ise,
problem dengesiz olup, KUKLA ARZ yada KUKLA
TÜKETİM merkezleri eklenerek denge sağlanır.
6
ULAŞTIRMA PROBLEMİNİN STANDART
GÖSTERİMİ
Ulaştırma
problemlerinin
standart
gösterimleri ulaştırma tabloları ile
gösterilebilir. Yukarıda verilen 4 üretim
merkezli ve 5 tüketim merkezli problemin
tablo halinde gösterimi aşağıdaki gibidir.
7
• Bu grafik yazımın tablo halindeki ifadesi aşağıdaki
gibidir.
Tüketim merkezi
T1
Üretim merkezi
U1
T2
C11
X11
U2
X12
X21
U4
C13
C22
C31
X14
X23
X32
X15
X24
X33
C25 a2
X25
C34
X34
C43
Arz
C15 a1
C24
C33
C42
T5
C14
C23
C32
C41
T4
X13
X22
X31
Toplam
Talep
C12
C21
U3
T3
C35 a3
X35
C44
C45 a4
X41
X42
X43
X44
X45
b1
b2
b3
b4
b5
8
• Xij=i üretim merkezinden j tüketim merkezine
gönderilecek ürün miktarı
• Cij=i. merkezden j. merkeze taşıma maliyeti
• Bu tip problemleri Doğrusal Programlama olarak
organize edebiliriz, fakat Ulaştırma Problemlerine has
teknikler de geliştirilmiştir.
9
• Amaç maliyet minimizasyonu olduğuna göre
Min Z=c11x11+c12x12+...+c45x45
Kısıtlar
x11+x12+x13+x14+x15≤a1
x21+x22+x23+x24+x25≤a2 Arz kısıtları
x31+x32+x33+x34+x35≤a3
x41+x42+x43+x44+x45≤a4
x11+x21+x31+x41≥b1
x12+x22+x32+x42≥b2
x13+x23+x33+x43≥b3
x14+x24+x34+x44≥b4
x15+x25+x35+x45≥b5
xij≥0
Talep kısıtları
10
• Problemin uygun çözümü varsa Toplam Talep Toplam
Arzdan daha çok olamaz.
4
5
i 1
j 1
a

b
i  j
11
Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma
Problemleri
• Ulaştırma problemlerinde Denge Durumu aşağıdaki gibi
ifade edilir.
 4
 4
 4  5
b j     xij      xij    a1

j 1
j 1  i 
 i 1  j 1  i 1
5
5
• Gerçek uygulamalı problemlerde bu dengelenmiş durum
olmayabilir. Yani sağlanan arz talepten çok olabilir veya
talep arzdan fazla olabilir. Bu gibi durumlarda;
12
a)Arz Talepten Çok İse
• Problemi dengelemek için
4
5
 a  b
i 1
i
j 1
j
farkını tüketmek için modele KUKLA
(DUMMY) tüketim merkezi eklenir.
bu kukla merkeze taşıma maliyeti “0” olur.
13
b)Arz Talepten Az İse
4
5
b   a
j 1
j
i 1
i
farkını kapatmak için modele “Kukla Üretim
Merkezi” eklenir.
Ancak hiçbir Tüketim Merkezi kukla üretim
merkezinden mal almaz.
14
Ulaştırma Problemlerinin Çözüm
Algoritması
•
•
•
•
Kuzey-Batı Köşe Yöntemi
En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi
Sıra ve Sütun En Küçüğü Yöntemi
Vogel (VAM) Yaklaşımı
15
Çözüm Algoritmalarındaki adımlar aşağıdaki gibidir.
1. Başlangıç temel uygun çözümün bulunması
2. Bulunan çözümün optimal olup olmadığına bakılır.
Bu adım aynı zamanda temel olmayan değişkenler
arasında temel değişken olarak girecek değişkenler
belirler.
16
3. Çözüm optimal değilse geliştirilir, yani halihazır temel
değişkenler arasında çözümü bırakacak değişkenler
belirlenerek yeni temel çözüm bulunur.
4. 2. ve 3. adımlar optimal çözüm elde edilinceye kadar
tekrarlanır.
17
• Ulaştırma probleminde
m
n
 a  b
i 1
i
j 1
j
m…satır sayısında, n…sütun sayısını gösterir. (m+n)
sayıdaki kısıtlardan biri keyfidir.
Problem (m+n) sayıda değişkene sahip ve çözümdeki
dağıtım işlemi (m+n-1) sayıdaki hücreye yapıldı ise
çözüm TEMEL olduğu gibi (m+n-1) sayıda değişkeni de
vardır.
18
Örnek:
Üetim merkezi
Üretim miktarı
Tüketim merkezi
Tüketim miktarı
F1
200 birim
D1
250 birim
F2
400 birim
D2
200 birim
F3
250 birim
D3
350 birim
850 birim
800 birim
19
• Taşıma maliyetleri
Talep
Üretim
D1
D2
D3
F1
F2
F3
10
7
6
6
8
9
5
8
12
20
Çözüm
• Kuzeybatı Köşe Yöntemi
D1
D2
F1
D3
10
X11
6
X12
F2
7
X21
8
6
X31
250
200
200
0
8
400
0
12
250
0
X23
9
X32
5
X13
X22
F3
D4
X33
350
50
21
D1
D2
F1
D3
D4
Arz
10
6
5
0
200
7
8
8
0
400
12
0
250
200
F2
50
200
F3
6
150
9
200
Talep
250
200
350
50
50
850
• Maliyet: 200(10)+50(7)+200(8)+150(8)+200(12)+50(0)
=7550 br.TL.
22
2.yol:
• En-az Maliyetli Gözeler Yöntemi
D1
D2
F1
D3
10
D4
6
Arz
5
0
200
8
0
400
12
0
250
200
F2
7
50
8
200
F3
6
150
9
200
Talep
250
50
200
350
50
850
TCmin=50(7)+200(6)+200(8)+200(5)+150(8)+50(0)
=5350 br.TL.
23
3.yol:
• Sıra ve Sütun En Küçüğü Yöntemi
• Bu metoda göre önce 1. sıradaki en küçük maliyetli
gözeye sıra ve sütun şartlarına bağlı kalarak “En
Büyük” ayırım yapılır.
• 1. sıra şartı doyurulmamış ise, sırada bir sonraki EN
KÜÇÜK MALİYETLİ gözeye kalan miktar dağıtılır.
• Böylece her defasında bir alt sıraya geçilerek aynı
işlem yapılır ve her sıra ve sütun miktarı doyurularak
tüm ayırımlar yapılır.
24
Önceki Örnek
D1
D2
F1
D3
10
D4
6
5
0
200
8
0
400
12
0
250
150
F2
7
150
F3
6
9
200
Talep
50
8
250
Arz
250
50
200
350
50
850
850
TCmin=5(150)+0(50)+7(250)+8(150)+9(200)+12(50)
=6100 TL.
25
4.yol:
• VOGEL Yaklaşımı
• VAM Yöntemi (NW) gibi çabuk başlangıç çözümü
vermez, fakat bu yaklaşımın başlangıç dağıtımları
optimal çözüme oldukça yakındır.
• Bu yaklaşımda EN KÜÇÜK MALİYETLİ GÖZELER
yöntemi gibi VAM ile başlangıç çözüm elde edilirken
herbir hücredeki maliyetler hesaba katılır ve EN AZ
DÜŞÜK maliyetli hedefleri seçmemekten doğan EK
GİDERLER hesaplanır.
26
•
Bu giderlere pişmanlık veya cezalar adı verilir. Söz
konusu yöntem için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Ulaştırma tablosundaki hücre maliyetlerinden her bir
satır ve sütun için cezalar belirlenir. Bu cezaların
belirlenmesinde her bir satır (sütun)da yer alan EN
KÜÇÜK maliyetli eleman aynı satırda (sütunda)ki en
küçük maliyete en yakın maliyetten çıkarılır.
27
2.
Belirlenen bu cezalar, satır ve sütun halinde
ulaştırma tablosunun altında ve yanında yer alır.
Sonra tüm satır ve sütun cezalar arasında en
büyüğü seçilir ve bu seçilen cezanın karşılığı satır
veya sütundaki EN KÜÇÜK MALİYETLİ hücreye
mümkün en fazla dağıtım yapılır. Talep ve Arz
uygunluğuna göre yapılan dağıtımdan sonra
doyurulan satır ve sütun bırakılarak 3. işleme geçilir.
3. Geriye kalan hücrelerdeki maliyetler için sütun ve
satır cezaları tekrar hesaplanır ve 2. adımdaki
hesaplamalar yapılır.
28
Örnek:
Bir şirket arabalarını 2 merkezden kiraya
vermektedir. Kiralama talebi gelen 4 merkezin
talep miktarları sırasıyla D1=9, D2=6, D3=7,
D4=9 arabadır.
Şirketin elinde fazladan
1. merkezde 15
2. merkezde 13 araba vardır.
Kira sözleşmesine göre arabalar kiralandıktan
Sonra tekrar aynı merkeze iade edilirler.
29
Arabaların kiracılara ulaştırılma maliyetleri aşağıdaki
gibidir:
D1
D2
D3
D4
Arz
M1
45
17
21
30
15
M2
14
18
19
31
13
Talep
9
6
7
9
28
31
Bu bilgiler ışığı altında optimal taşıma şartlarını VOGEL’e
göre belirleyiniz.
30
Çözüm:
• Önce Arz ve Talep Dengesini değerlendirmek gerekir.
4
b
j 1
j
 31
2
a
i 1
i
 28 fark var.
O halde modele sanal bir arz (sunum) merkezi
eklemek gerekir. Bu sanal merkezin arzı 3 birim
olmalıdır. Buna göre
31
D1
D2
D3
D4
Satır
ceza
Arz
M1
45
17
21
30
15
4
M2
14
18
19
31
13
4
M3
0
0
0
0
3
0
31
3
Talep
9
6
7
9
Sütun
ceza
14
17
19
30
32
• Ceza maliyetlerinin hesabı: en küçük iki maliyet
arasındaki fark.
• Burada sütun 4’ün cezası en yüksek olduğundan ilk
dağıtım, sütun 4’ün en küçük maliyetli hücresine
olabildiği kadar yapılır.
• Burada EN KÜÇÜK MALİYET “0”dır.
• Bu hücreye M3’ün toplam arzı olan 3 birim taksi verilir.
Burada 3. kukla ARZ merkezi devreden çıkar.
33
Yeni tablo:
D1
D2
D3
D4
Satır ceza
Arz
M1
45
17
21
30
15
4
M2
14
18
19
31
13
4
Talep
9
6
7
6
28
Sütun
ceza
31
1
2
1
9
34
• Bu adımda D1’in ihtiyacı karşılandı ve tablodan
çıkarıyoruz.
D2
M1
D3
D4
Satır ceza
Arz
17
21
30
15
4
18
19
31
4
1
Talep
6
7
6
Sütun
ceza
1
2
1
6
M2
35
D3
M1
D4
21
Satır ceza
Arz
30
9
9
19
31
4
12
Talep
7
6
Sütun
ceza
2
1
3
M2
6
4
36
• Bütün bu dağıtımlar bir tabloda toplanırsa aşağıdaki
başlangıç çözümü bulunur.
D1
S1
D2
45
D3
17
6
S2
14
21
18
15
19
31
13
0
0
3
9
31
6
4
0
0
(kukla)
Talep
Arz
30
3
9
S3
D4
3
9
6
7
TCmin=6(17)+3(21)+6(30)+9(14)+4(19)+3(0)
=547 br. TL.
37
Çok Fabrikalı Sisteme Yeni Bir Fabrika Katılması
(Atlama Taşı Yöntemi)
M
Q
A
B
C
N
A Mevcut fabrikalar
P
D
C
Fabrika kurulması planlanan yerler
M
Tüketim merkezleri
E
R
A
B
C
D
E
Talep
M
0,42
0,32
0,46
0,44
0,48
10.000
N
0,36
0,44
0,37
0,30
0,45
15.000
P
0,41
0,42
0,30
0,37
0,43
16.000
Q
0,38
0,48
0,42
0,38
0,46
19.000
R
0,50
0,49
0,43
0,45
0,27
12.000
Üretim
Maliyeti
2,70
2,68
2,64
2,69
2,62
Kapasite
27.000
20.000
25.000
25.000
25.000
72.000
38
Çok Fabrikalı Sisteme Yeni Bir Fabrika Katılması
(Atlama Taşı Yöntemi)
A
B
M
C
3,12
Talep
3,1010
3,00
10
N
3,06
3,0115
3,12
8
P
7
3,11
2,9416
3,10
16
Q
19
R
3,08
3,20
10
Kapasite
27
3,0619
3,16
20
3,0712
3,17
2
25
72
Toplam Maliyet = (10*3,00) + (8*3,06) + (7*3,01) +
(16*2,94) + (19*3,08) + 10*3,17) +
(2*3,07) = 218,950 TL
39