Transcript dosyayı indir

SİMPLEX YÖNTEMİ
DP ve Simlex Algoritması
1.
Simplex ilk kez 1947de G.B.Dantzip
tarafından geliştirilmiştir. Daha sonra
öğrenciler Charnes, Cooper ve
arkadaşları ekonomik ve endüstriyel
uygulamalar için bu algoritmayı
kullanmışlardır.
2
Simplex yöntem cebirsel tekrarlama
(iterasyon) işlemine dayanır.
 Önce başlangıç simplex tablosu
düzenlenir.
 Sonra tekrarlayıcı işlemler ile belli bir
hesap yöntemi içinde gelişen çözümlere
doğru ilerleyerek optimal çözüme
ulaşıncaya kadar işlemler sürdürülür.

3

Gelişen çözüm tablolarında amaç
fonksiyonunun ve karar değişkenlerinin
değişen değerleri gözlenebilir.
4
2. Standart ve Kanonik Şekiller




DP problemleri 2 şekilde gösterilebilir.
Bunlar standart ve kanonik formlardır.
Standart formlar Simplex Yöntemi için
daha elverişli iken
Kanonik form Dual Yapılarda daha
kullanışlıdır.
5
Standart Formun Yapısı
Tüm karar değişkenleri negatif değilse.
b) Amaç fonksiyonu Max. veya Min. tipte
ise.
c) Hiçbir kısıtlayıcının sağındaki
elemanlar negatif değilse.
d) Tüm kısıtlayıcılar bir denklem halinde
ise.
Standart formdan bahis edilebilir.
a)
6
Kanonik Form
Tüm karar değişkenleri negatif değilse
b) Amaç fonksiyonu Maximizasyon tipinde
ise
c) Tüm kısıtlayıcılar
tipte ise
Kanonik formdan bahis edilebilir.
a)
7
Herhangi bir doğrusal programlama
Problemi Kanonik veya Standart
şekilde ifade edilebilir.
Bu işlemler için şu dönüşümler kullanılabilir.
8
1) Optimizasyonun anlamını değiştirme
Bu işlem amaç fonksiyonunda yer alan her
katsayının işaretini değiştirmekle
sağlanabilir.
MaxZ  c1 x1  c2 x2    cn xn
MinY  c1 x1  c2 x2    cn xn
 Bu dönüşüm sonucu elde edilen yeni
modelin çözümünde karar değişkenlerinin
optimal değerleri yalnız işaretleri değişmek
üzere aynı kalır.

9
2) Eşitsizliğin Yönünü Değiştirme
Herhangi bir  şeklindeki eşitsizlik 
yönüne değiştirilebilir. Burada bu işlem
için gerekli şey, eşitsizliğin her iki tarafını
(-1) ile çarpıp, yönü değiştirmektir.
Örneğin,

n
a
j 1
j
xj  b
eşitsizliğ i
n
  a j x j  b
j 1
10
3)Eşitsizliği Eşitlik Haline Getirme
Herhangi bir ≤ şeklindeki eşitsizlik için negatif
olmayan (S) Aylak Değişken sağ ve sol taraftaki
farkı ifade eder.
n
 ajxj  b
j 1
n
 ajxj  s  b
j 1
Herhangi bir ≥ şeklindeki eşitsizlik için ise,
negatif olmayan Artık değişken(V) kullanılır ki
buda eşitsizliğin sağ ve sol tarafındaki farkı
gösterir.
11
n
 ajxj  b
j 1
n
 ajxj  v  b
j 1
Ayrıca ≥ yönündeki eşitsizliklere Yapay Değişken(Artificial)
eklenir.
AYLAK DEĞİŞKEN , modelde kullanılamayan ve boşa harcanan
yada kaybedilen kaynakları gösterir.
ARTIK DEĞİŞKEN ise genellikle fazla kaynak veya kapasiteyi
gösterir.
12
4) EŞİTLİĞİ EŞİTSİZLİĞE DÖNÜŞTÜRME
Herhangi bir eşitlik iki eşitsizlik şeklinde ifade
edilebilir.
n
 ajxj  b
j 1
n
 ajxj  b
j 1
n
  ajxj  b
j 1
13
SINIRLANDIRILAMAYAN DEĞİŞKENLER
İşaret olarak sınırlandırılamayan herhangi bir
değişken (değişkenin negatif,pozitif veya sıfır
değeri olabilir), negatif olmayan iki değişken
arasındaki fark olarak yazılabilir.
Örneğin, X değişkeni sınırlı değilse onun
yerine (x+ - x- ) konulabilir. Burada x+ ≥ 0 ve x≥0 dır. Optimal çözümlerde x+ ve x- nin en çok
biri
pozitif
olacaktır.
Sınırlandırılmayan
işaretteki değişken istediği değeri alabilir.
14
Örnek
Min Z = 2X1 + 4 X2 – X3
Kısıtlar

5X1 – X2 + 4 X3 ≤ 40….(1)
2X1 +2X2 +5X3 ≥ 25…(2)
X1
+2X3 = 30..(3)
------------------X1 sınırlı değil
X1, X3 ≥ 0
Problemi a) Standart ve
b) Kanonik şekilde ifade ediniz.
15
a) Standart form
Standart şekil için , amaç fonksiyonu min olduğu
için değişmez. Sadece
(1) Nolu kısıta (s) aylak değişkeni eklenir
(2) Nolu kısıta (v) artık değişken çıkarılır.

5X1 – X2 +4 X3 +S = 40..(1)
2X1 +2X2 +5X3 –V = 25…(2)
X1
+2X3 = 30…….(3)
X1 değişkeni sınırlandırılamadığından
X1 = x1+ - x1- , burada x1+ ≥ 0 ve x1- ≥0 dır.
Bu işlemin ardından modelin standart şeklini aşağıdaki gibi
yazabiliriz.
16
Standart form
Min Z = 2 (x1+ - x1-) + 4 X2 – X3
Kısıtlar
5 (x1+- x1-)– X2 +4X3+S = 40..(1)
2(x1+- x1-)+2X2 +5X3- V = 25…(2)
(x1+- x1-)
+2X3
= 30..(3)
x1+ , x1- ,X2, X3, S, V ≥ 0

17
Kanonik Form
Kanonik form için amaç fonksiyonu Max
haline getirilmelidir.
Max Y = -2X1 – 4 X2 + X3
Kısıtlar
1 nolu kısıt normal.
2 nolu kısıt için her iki taraf (-1) ile çarpılıp yön
değiştirilmelidir. Yani
-2X1 -2X2 -5X3 ≤ -25,
3 nolu kısıt iki eşitsizlik halinde yazılabilir…
X1+2X3 ≤ 30 veya
-X1-2X3 ≤ -30
18

X1 değişkeni sınırlandırılmadığından
X1=x1+- x1- yazılır . Buradan kanonik şekil,
Max Z = -2 (x1+ - x1-) - 4 X2 + X3
Kısıtlar
5 (x1+- x1-)– X2 +4X3 ≤ 40..(1)
-2(x1+- x1-)-2X2 -5X3 ≤ -25…(2)
(x1+- x1-)
+2X3 ≤ 30..(3)
x1+ , x1- ,X2, X3 ≥ 0
19
SİMPLEX ALGORİTMASI

Simplex Algoritması karar problemlerine ait
geliştirilen modelin standart formundan
hareketle, iterasyonlar yardımı ile uygun
çözümler arasından en uygun çözümün
bulunması üzerine yoğunlaşan bir tekniktir.

Algoritma temel uygun çözümle başlar ve amaç
fonksiyonunun değerini arttıran (ya da en
küçükleyen) adımlarla devam eder.
20
Adımlar aşağıdaki gibidir.
1. Adım; Modelde yer alan kısıtlar eşitlik haline
getirilir.
Kısıtlayıcı
ise
a x  a x  a x b
11 1
12
2
13
3
1
Aylak değişken ekleyerek
a11 x1  a12 x2  a13 x3  S1  b1
21
Eğer kısıtlayıcı
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1
ise
V1 artık değişkeni çıkarılır ve A1 yapay değişkeni
eklenir.
V1 Artık değişkeni fazla kapasiteyi ve fazla üretim faktörlerini, fazla üretim
arzını veya fazla üretim talebini ifade eder.
V1 Artık değişkenler Başlangıç Simplex tablosunun temel değişkenler
sütununda yer almaz. Bunun yerine ekonomik bir anlamı olmayan Yapay
Değişken yer alır.
a11 x1  a12 x2  a13 x3  V1  A1  b1
22
Eğer kısıtlayıcı denklem tam bir eşitlik halinde ise A1 eklenir. Yani
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ise
a11 x1  a12 x2  a13 x3  A1  b1

Aylak, Artık ve Yapay değişkenlere bir sabit katsayı değeri verilerek amaç
fonksiyonunda yer almaları sağlanır.

Aylak ve Artık değişkenlerin katsayıları “sıfır” değerli olup ,Yapay değişkenlerin
katsayı değeri Maliyet Minimizasyonu Probleminde (+M), Kazanç Maksimizasyonu
Probleminde ise (-M) olur.
23
M yüksek değerli sayıyı, yani keyfi büyük ceza
maliyetini ifade eder.
 Simplex Çözümünde M yerine bir sayı verilmek
istenirse bu sayı cj, aij ve bj değerlerinden büyük
olmalıdır.
 Bunun nedeni, hiçbir ekonomik anlamı olmayan
yapay değişkenin uygun optimal çözümde yer
almasını önlemektir.
 2.Adım; Başlangıç simplex tablosu düzenlenir

24

Bütün bunların tablo halindeki durumu aşağıdaki
gibidir.
Kısıt Tipi
Kısıt
Gerekli
İlişkisi Değişkenler
Değişken
Değerleri
Kâr Maliyet
Max. Min.
Max. İstek
veya
kaynak
Talep
veya Min.
İstekler
Karışım
Veya Tam
istekler
Başlangıç Değişkeni
olarak modelde yer
alıp almadığı

Aylak
değişken
eklenir.
0
0
Evet

Artık değişken
çıkarılır
0
0
Hayır
Yapay
Değişken
Eklenir
-M
+M
Evet
=
Yapay
Değişken
Eklenir
-M
+M
Evet
25
Örnek: ( Öztürk A, 57)
Bir marangoz işletmesinde masa ve sandalye
üretilmektedir. Bir masa yapımı için 30 metre
tahta ve 5 saat işgücüne gerek vardır. Bir
sandalye yapımı için 20 metre tahta ile 10 saat
işgücüne gerek vardır. İşletmenin elinde 300
metre tahta ve 110 saat işgücü vardır.
Bir masanın satışından 6 br.TL. ve bir sandalyenin
satışından da 8 br.TL. kâr elde edilmektedir.
Marangoz kazancını Max. Yapabilmesi için kaç
tane masa ve kaç tane sandalye üretmelidir.
26
Çözüm:
1.
Karar değişkenleri
X 1  Üretilecek masa miktarı
X 2  Üretilecek sandalye miktarı
MaxZ  6 X 1  8 X 2
30 X 1  20 X 2  300 metre tahta
5 X 1  10 X 2  110 saat (işgücü)
X1, X 2  0
27

Bu modeli Simplex Algoritması ile çözmek için
önce Standart hale getirmek lazımdır. Bunun
için de;
MaxZ  6 X 1  8 X 2  0S1  0S 2
30 X 1  20 X 2  S1  0S 2  300
5 X 1  10 X 2  0S1  S 2  110
28
Başlangıç Simplex Tablosu
Amaç
Temel
Katsayısı değişken
6
X1
8
X2
0
S1
0
S2
0
0
30
5
20
10
1
0
0
1
300
110
0
8
0
0
0
0
0
S1
S2
Zj 0
Cj-Zj 6
Çözüm
Giren
29
3.Adım;
İterasyona devam (Kârı En Çok Arttıracak ve Maliyeti En
Çok Azaltacak Değişkenin işleme girmesi).
Bunun için
Cj-Zj satırına bakılır. Amaç kârın maksimizasyonu olduğundan,
bu satırda yer alan en yüksek pozitif değerli eleman seçilir
ve bu elemanın bulunduğu kolon ANAHTAR KOLON
(SÜTUN) olur.
Maliyet minimizasyonlarında ise negatif değerler içinde mutlak
değerce en yüksek olan seçilir ve bunun bulunduğu sütun
ANAHTAR SÜTUN olur.
Problemimizde bu değer X2 değişkenini göstermektedir.
30
4.
Adım;
ANAHTAR SIRANIN (veya işlemden çıkacak) Değişkenin
Belirlenmesi
Çözüm Sütunundaki elemanlar anahtar sütununda yer alan
elemanlara bölünerek (bi/aij) bir orana ulaşılır. Paydasında “0”
veya “negatif” sayılar bulunan oranlar dikkate alınmaz.
Bu oranlar arasında EN DÜŞÜK olan seçilir ve bunun karşılığı
olan sıra ANAHTAR SIRA olur. Daha sonra temel değişken
sütunundaki değişken de işlemden çıkarılır.
Anahtar Sıra ile Anahtar Sütunun kesiştiği yerdeki eleman “
ANAHTAR SAYI” olur.
31

Örneğe dönersek;
0
0
Anahtar sayı
X1
X2
S1
S2
S1 30
S2 5
20
10
1
0
0
1
0
8
0
0
0
0
Zj 0
Cj-Zj 6
300/20=15
110/10=11
Anahtar
sıra
32

İşlemden çıkacak temel değişkenin bulunması
için önce “TEMEL SIRA”nın bulunması lazım.

Temel sırayı bulmak için yapılacak işlem
anahtar sıranın tüm elemanlarını anahtar
sayıya bölmektir.

Anahtar sıra değişkeni (S2) yerini anahtar
sayının bulunduğu sütun değişkenine (X2’ye)
bırakır ve temel sıranın değişkeni de (X2) olur.
33

Yeni tablo
Temel
değişken X1
0
S1
8
X2 ½
X2
S1
1
0
S2
1/10
11
34
Yeni Sırayı Bulmak İçin:
Yeni Sıra Elemanı=Eski Sıra Elemanı-(Temel sayı x Temel sıra
elemanı)
Temel sayı anahtar sayının bulunduğu sütunda Zj ve (Cj – Zj)
elemanları dışında yer alan elemanlardır. Örnekte TEMEL SAYI
(20) dir. Şimdi yeni sırayı belirleyelim;

Eski sıra(s1) 30
x1
20
x2
1
s1
0
S2
300
b2
Yeni sıra(s1) için ilk eleman x1 in katsayısının bulunması
aşağıdaki gibi olur;
30 – 20 (1/2) = 20
35
x2 nin katsayı değeri ?
20 – 20(1) = 0
S1 in katsayı değeri ?
1 – 20(0) = 1
s2 nin katsayı değeri ?
0 – 20(1/10) = -2
Çözüm değeri b2 ?
300 – 20(11) = 80 dır Buna göre yeni sıra s1 ?
Yeni sıra(s2); 20
0
1
-2
80 olur.
36
Zj satırının elemanları da daha önce ele aldığımız
yöntem ile aşağıdaki gibi belirlenir;
Z1 = 0*20 + 8 (1/2) =4
Z2 = 0*0 + 8(1) =8
Z3 = 0*1 + 8(0) =0
Z4 = 0*2 + 8(1/10)=8/10
Çözüm sutununda Zj ye karşılık gelen değer ise,
= 0*80 + 8*11 = 88
37
Bütün bu hesaplardan sonra, 1. iterasyon olarak aşağıdaki tablo
yazılabilir.
Amaç Temel
Kat. değişk
6
X1
8
X2
0
S1
0
8
S1
X2
20
½
0
1
1
0
Zj
Cj -Zj
4
2
8
0
0
0
0
S2
-2
1/10
8/10
-8/10
Çözüm
sütunu
80
11
88
İlk çözüm
38
Bütün bu hesaplardan sonra, 1. iterasyon olarak aşağıdaki tablo
yazılabilir.
Amaç Temel
Kat. değişk
6
X1
8
X2
0
S1
0
8
S1
X2
20
½
0
1
1
0
Zj
Cj -Zj
4
2
8
0
0
0
0
S2
-2
1/10
8/10
-8/10
Çözüm
sütunu
80
11
88
İlk çözüm
39
1. İterasyon sonuçlarının ekonomik yorumu
1)
S1 sırasında ve x1 in altındaki 20
rakamı bize 1 masa yapmak için
kullanılmayan tahtadan vazgeçmemizi,
Aynı sütundaki ½ rakamı da yine 1
masa yapımı için yarım sandalyeden
vazgeçmemizi söylemektedir.
40
S2 nin altındaki değişken katsayıları da benzer şeyi ifade eder.
Yani,
a) 1 birim daha fazla işgücü kullanmak için (-2) metrelik kullanılmayan
tahtadan vazgeçmeliyiz. Yani 2 metre kullanılmayan tahtayı geri
almalıyız. Böylece öncekine göre 2 metre daha az tahta kullanırız.
b) 1/10 rakamı da kullanılmayan işgücünü 1 saat arttırmak için 1/10
sandalyeden vazgeçilmesini ifade eder
Zj satırındaki 4 rakamı , 1 masayı üretmek için ½ sandalyeden
vazgeçilmesi ile kaybedilen karı ifade eder.
Ayrıca; (8/10) rakamı da ,kullanılmayan işgücünü 1 saat
arttırdığımızda yapılmayan 1/10 sandalyeden vazgeçilmesi ile
kaybedilen karı ifade eder.
Çözüm sütünunun altındaki 88 değeri de 11 sandalye üretilmesi
durumunda elde edilecek karı göstermektedir.
41

İngiltere’ nin II.Dünya Savaşında
kazandığı tecrübe ve birikimlerini
kullanan
ABD,
bütün
askeri
birimlerinde YA birimlerini oluşturmuş
ve bir çok karmaşık karar problemleri
için optimal çözümler üretmiştir.

II. Dünya Savaşı’ndan sonra,
Yöneylem Gruplarında çalışan
uzmanlar,aynı algoritmaların işletme
problemlerine uygulanabilecek
tekniklerini geliştirdiler.
42
S2 nin altındaki değişken katsayıları da benzer şeyi ifade eder.
Yani,
a) 1 birim daha fazla işgücü kullanmak için
(-2) metrelik
kullanılmayan tahtadan vazgeçmeliyiz. Yani 2 metre kullanılmayan
tahtayı geri almalıyız. Böylece öncekine göre 2 metre daha az
tahta kullanırız.
b) 1/10 rakamı da kullanılmayan işgücünü 1 saat arttırmak için 1/10
sandalyeden vazgeçilmesini ifade eder
Zj satırındaki 4 rakamı , 1 masayı üretmek için ½ sandalyeden
vazgeçilmesi ile kaybedilen karı ifade eder.
Ayrıca; (8/10) rakamı da ,kullanılmayan işgücünü 1 saat
arttırdığımızda yapılmayan 1/10 sandalyeden vazgeçilmesi ile
kaybedilen karı ifade eder.
Çözüm sütünunun altındaki 88 değeri de 11 sandalye üretilmesi
durumunda elde edilecek karı göstermektedir.
43
(Cj–Zj) satırındaki C1-Z1=2 ,masa üretiminin 1 birim arttırılması ile
kar da 2 birim artış olacağını gösterir.
Benzer şekilde,
C2-Z2=0 ın anlamı ,x2 den yani sandalyeden 1 birim daha fazla
üretilmesinin karı arttırmayacaktır.
C3-Z3=0 ın anlamı da kullanılmayan tahta var şeklindedir ve 1 metre
daha kullanılmasının kara katkısı olmadığını söyler.
C4-Z4=-8/10 anlamı, 1 saat işgücünün kullanılmaması yani aylak
bırakılması 8/10 TL zarara neden olur. Çünkü 1/10 birimlik eksik
sandalye(x2) üretilebilir ki böylece
1/10*(8) = 8/10 TL daha az kar elde edilmiş olur
44
Optimal çözüme ulaşma şartı ?
Optimal çözüme ulaşılıp ulaşılmadığını anlamak için Cj
– Zj satırındaki değerlere bakılır.
Max.Problemlerinde (Cj–Zj) satırındaki tüm değerler sıfır
yada sıfırdan küçük ise, optimal çözüme ulaşıldığı
anlaşılır, yani (Cj–Zj) ≤ 0 olmalıdır.
Min.Problemlerinde ise (Cj–Zj) ≥ 0 olmalıdır. Bu kontrol
mekanizması bütün iterasyonlarda kullanılmaktadır.
45
İkinci iterasyon
Birinci iterasyon sonucunda elde edilen tabloya
baktığımızda (Cj–Zj) satırında pozitif değerli bir
eleman vardır ve bu sayı da 2 dir. Bu sonuç optmal
çözüme henüz ulaşılmadığını gösterir. Optimal
çözüme ulaşmak için 1. iterasyonda izlenen adımlar
tekrarlanır.
46
Amaç
Temel
Cj
katsayısı değişken
6
X1
8
X2
0
S1
0
S2
Çözüm Oran
0
8
20
½
0
1
1
0
-2
1/10
80 80/20=4
11 11/0,5=22
Zj 4
Cj-Zj 2
8
0
0
0
8/10
-8/10
88
S1
X2
47
Amaç
Temel
Cj
katsayısı değişken
6
X1
8
X2
6
8
1
0
0
1
1/20 –1/10
-1/40 3/20
4
9
6
0
8
0
1/10
-1/10
96
X1
X2
Zj
Cj-Zj
0
S1
0
S2
3/5
-3/5
Çözüm
48
Ayrıca kullanılmayan kaynakların (tahta ve
işgücü) neden olacağı zarar şöyle de
açıklanabilir.
 Tahtanın 1m’sinin üretime geçişi ile ilgili;
30X1+20X2=1.
Kullanılmayan işgücü saati olmadığında
5X1+10X2=0 yazılabilir.

49

Bu iki denklemin çözümünden
30X1+20X2=1
2/5X1+10X2=0
30X1+20X2=1
10X1  20X2=0
20X1 =1
X1 =1/20 X2=-1/40 bulunur.
50

Bu sonuçlara göre;1 metre tahtanın
kullanılmaması halinde masada;1/10 birimlik
kayıba, sandalyeden de (-1/40) birimlik
kayıba yani (1/40) birimlik kazanca neden
olacaktır.

Böylece zarar;
C3-Z3=(1/40)(8)-(1/20)(6)=-1/10 br.TL.
51
İşgücü 1 saat kullanılmadığında ve tahtanın hepsi
kullanıldığında; yani kullanılmayan 1 metre tahta
olmadığında.
5X1+10X2=1
30X1+20X2=0
X2=3/20 , X1=-1/10

Aynı şekilde 1 saat işgücünün kullanılmaması X2 de
yani sandalyede 3/20 birimlik kayba, masada ise 1/10
birimlik kazanca neden olacaktır.

Böylece zarar;
C4-Z4=(1/10)(6)-(3/20)(8)=-3/5 br.TL.

52
Örnek-1

Bir işletme X,Y,Z gibi ürünlerini üretirken EMEK ve
HAMMADDE gibi iki üretim faktörü kullanılmaktadır.
İşletmenin elinde 40 kg. hammadde ile 20 saat emek
işgücü vardır. Üretilen ürünlerin kâra katkıları birim
başına x için 2 br.TL. ve y için 6 br.TL. ve z için 5
br.TL.dir. İşletmenin üretim teknoloji katsayısı matrisi
X
Y
Z
1 1 1 
A

1 2 0
hammadde
emek
53
A’nın anlamı şudur; 1 birim x üretilirken 1 kg
hammadde ile 1 saat işgücü,
1 birim y üretilirken; 1 kg hammadde ile 2 saat iş
gücü
1 birim z üretilirken; 1 kg hammadde ile 0 saat iş
gücü kullanılmaktadır.
 İşletmenin kazancını maximum etmek için en
uygun üretim bileşimi nedir?

54
Çözüm

Problemin Doğrusal Programlama modeli
aşağıdaki gibidir;
Max Z=2x+6y+5z
Kısıtlar
x+y+z40
x+2y20
x,y,z0
55
Simplex çözümü için model

Max Z=2x+6y+5z+0S1+0S2
x+y+z+S1=40
x+2y+0+S2=20
x,y,z,S1,S2 0
Amaç
Katsayısı
0
S2
Cj 2
X
6
Y
5
Z
0 0
S1 S2
Çözüm
0 1
1
1
2
1
0
1
0
0
1
40
20
Zj 0
Cj-Zj 2
0
6
0
5
0
0
0
0
Temel
Değişken
S1
Temel sayı
40/1=40
20/2=10
Temel
sıra
Temel sayı
56
Amaç
Katsayısı
0
y
Cj 2
X
Temel
Değişken
S1
Zj
6
6
Y
5
Z
0 0
S1 S2
Çözüm
1/2 0
1/2 1
1
0
1
0
-1/2
1/2
30
10
0
5
0
0
3
-3
60
Cj- 3
Zj -1
6
0
30:1=30
10:0=
Yeni sıra elemanı:Eski sıra elemanı-(Temel sayı X Temel sıra elemanı)
Eski sıra (S1)
1
Temel sayı X Temel sıra(y)
½
Yeni sıra (S1)
½
1
1
0
1
0
1
1
0
40
0
½
10
1
-1/2
30
57
Amaç
Katsayısı
0
y
Cj 2
X
Temel
Değişken
S1
6
Zj
6
Y
5
Z
0 0
S1 S2
Çözüm
1/2 0
1/2 1
1
0
1
0
-1/2
1/2
30
10
5 5
0 -5
0,5
-0,5
210
Cj- 5,5 6
Zj -3,5 0
Eski sıra:
½
1
0
0
½
Temel sayı X Temel sra :0.(1/2
0
1
1
-1/2
30)
Yeni sıra:
1
0
0
½
10
½
10
Optimal Çözüm:

x=0, y=10, z=5 birim olmak üzere

Max Z=210 br.TL.
58
Örnek-2
Aşağıda verilen Doğrusal Programlama
Problemini çözünüz.
 Min; Z=10y1 +6y2 +8y3
 Kısıtlar:
y1+y2+2y32
5y1+3y2+2y31
y1,y2,y30

59

Minimizasyon problemlerinde eşitsizliklerin sol
tarafından Artık değişken çıkarılır (V1 ) ve Yapay
değişken eklenir (A1)

Artık değişken fazla kapasiteyi ve fazla üretim
faktörlerini, fazla üretim arzını veya fazla üretim
talebini ifade eder.

Artık Değişkenler Başlangıç Simplex tablosunun
temel değişkenler sütununda yer almaz, onun
yerine ekonomik anlamı olmayan Yapay
değişkenler yer elır.
60

Yapay değişkenlerin katsayı değeri;
Maliyet Minimizasyonu probleminde =+M
Kâr Maksimizasyonu probleminde =-M dir.

M değeri; yüksek değerli bir sayıyı, yani keyfi
büyük ceza maliyetini ifade eder.
61

Eğer Simplex çözümünde M yerine bir sayı
verilmek istenirse bu sayının değeri; hem
sabit (miktar) sütununun (bi) daki
elemanlardan hem de aij ve amaç
fonksiyonundaki (cj) değerlerinden büyük
olmalıdır.

Yapay değişkene bu kadar büyük değer
verilmesinin amacı; hiçbir ekonomik anlamı
olmayan yapay değişkenin uygun optimal
çözümde yer almasını önlemek içindir.
62

Min Z=10y1+6y2+8y3+0V1+0V2+MA1+MA2
Kısıtlar:
y1+y2+2y3+A1-V1=2
5y1+3y2+2y3+A2-V2=1
y1,y2,y3,V1,V2,A1,A2 0
63
Temel sayı
Cj 10
6
8
M
0
M
0
V1
A2
V2
Amaç
Temel
Katsayısı
değişken
y1
y2
y3
A1
M
M
1
5
1
3
2
2
1
0
A1
A2
Zj 6M 4M 4M M
Cj-Zj (10-6M) (6-4M) (8-4M) 0
Anahtar sayı
Minimum
-1
0
-M
M
0
1
0
-1
M
0
Çözüm
Oran
2
1
-M
2
0,20
3M
M
Temel Sıra
64
Yeni sıra elemanı=Eski Sıra elemanı-(Temel sayı) x (Temel Sıra
Elemanı)
1
1
2
1 -1
0
0
2
(1) X Temel sıra elemanı
1 0,6 0,4 0
0 0,2 -0,2 0,2
Yeni Sıra A2
= 0 0,4 1,6 1 -1 -0,2 0,2 1,8
Cj 10
Amaç
Temel
Katsayısı değişken
y1
M
10
0
1
A1
Y2
Zj
Cj-Zj
6
8
M
0
M
0
y2
y3
A1
V1
A2
V2
0,4
0,6
1,6
0,4
1
0
-1
0
-0,2 0,2
0,2 -0,2
1,8 1,8/1,6=1,1
0,2 0,2/0,4=0,5
1,8M+2
10M 0,4M+6 1,6M+4
M
-M
2-0,2M
0,2M-2
0
0
M
1,2M-2
2-0,2M
-0,4M
4-1,6M
Çözüm Oran
65

Yeni sıra elemanı=Eski Sıra elemanı-(Temel sayı) x (Temel Sıra Elemanı)
0 0,4 1,6 1 -1 -0,2 0,2 1,8
(1,6) X Temel sıra elemanı: (1,6)[2,5 1,5
1 0 0 0,5 -0,5 0,5]
Yeni sıra
=
-4 -2 0 1 -1 -1
1
1
Cj 10
6
8
M
0
M
0
y2
y3
A1
V1
A2
V2
-4 -2
2,5 1,5
0
1
1
0
-1
0
-4M+20 -2M+12 8
M
-M
4-M
M-4
4M-10
0
M
2M-4
-M+4
Amaç
Temel
Katsayısı değişken y1
M
8
A1
Y3
Zj
Cj-Zj
2M-6
0
-1 1
0,5 -0,5
Çözüm Oran
1
1/1=1
0,5 0,5/(-0,5)=-1
M+4
66
Yeni sıra elemanı=Eski Sıra elemanı-(Temel sayı) x (Temel Sıra Elemanı)
Yeni sıra
2,5 1,5 1 0 0 0,5 -0,5 0,5
(-0,5).[-4 -2 0 1 -1 -1
1
1 ]
= 0,5 0,5 1 0,5 -0,5 0
0
1
Cj 10
6
8
M
0
M
0
A1
V1
A2
V2
Amaç
Temel
Katsayısı değişken
y1
y2
y3
M
8
-4 -2
0,5 0,5
0
1
V2
y3
Zj 4
Cj-Zj 6
4
2
8
0
1 -1
-1
0,5 -0,5 0
4 -4
M-4 4
0
M
1
0
0
0
Çözüm
1
1
8
Cj-Zj≥0 olduğundan nihai tablo olur.
Ve y3=1, V2=1, y1=0, y2=0, V1=0 ve
Min Z=8 br.TL.
67