Transcript Ortalamalar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri

İTİCÜ
Mühendislik ve Tasarım
Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Bölümü
İSTATİSTİK VE OLASILIK I
12. Hafta: HİPOTEZ TESTLERİ
Öğr. Gör. Berk Ayvaz
2013
HİPOTEZ TESTLERİ
Hipotez testi 5 aşamalıdır!
Hipotez testleri örnekten elde edilen istatistikler vasıtasıyla
anakütle parametreleri hakkında karar verilmesini sağlar.
1.
2.
3.
4.
5.
Sıfır Ve Alternatif Hipotezlerin Belirlenmesi
Önem Veya Risk Derecesinin Belirlenmesi
Hipotez Testinin Yönünü Belirlemek
Kritik Değeri Veya Değerleri Belirlemek
Test İstatistiğini Belirlemek Ve Kritik
Karşılaştırmak
Değer
İle
HİPOTEZ TESTLERİ
Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez






İstatistiksel hipotezlerin testinde, iki hipotez söz konusudur. Bunlar; “sıfır
hipotezi” ve “karşıt hipotez (alternatif hipotez)” olarak isimlendirilirler.
Anakütle parametreleri hakkında karar verirken doğru veya yanlış olması
muhtemel yargılardan hareket ederiz.
Daha önce doğru olduğu ispatlanan veya ortak kabul görmüş yargılara
sıfır hipotezi (H0) denir.
Sıfır hipotezi (H0), ilgili evren parametresinin bilinen değerinde, herhangi bir
farklılığın beklenmediğinin ifade edildiği hipotezdir.
H0 hipotezi test edilecek hipotez olduğu için test sonucunda verilecek karar da
bu hipoteze ilişkin karar olur.
H0 hipotezine ilişkin verilecek karar H0 kabul veya H0 red şeklinde olur.
Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez



Sıfır hipotezi tek başına bir mana ifade etmez.
Sıfır hipotezinde belirtilen yargının tersi bir yargıyı içinde
bulunduran bir hipotez daha gereklidir. Bu hipoteze alternatif
hipotez (𝐻1 ) denir.
Alternatif hipoteze araştırma hipotezi de denilmektedir.
Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez


1.

2.
3.


Örnekten elde edilen istatistikler sıfır hipotezinin yanlış olabileceği yönünde
şüpheler doğurabilir.
Bu durumda üç tip alternatif hipotez sözkonusu olur.
Örnek istatistiği, anakütle parametresinin iddia edilen değere eşit
olmadığı şüphesini doğurursa, yapılacak test çift kuyruk testidir.
Çünkü anakütle parametresi belirtilen değerden küçük veya büyük olabilir.
Örnek istatistiği, anakütle parametresinin iddia edilen değerden küçük
olabileceğini düşündürürse yapılacak test sol kuyruk testidir.
Örnek istatistiği, anakütle parametresinin iddia edilen değerden büyük
olduğu şüphesini doğurursa yapılacak test sağ kuyruk testidir.
Örnekten elde edilen istatistiğin kafamızda doğurduğu şüpheye göre alternatif
hipotezi ve alternatif hipoteze göre de sıfır hipotezini şekillendiririz.
Test prosedürü gereği sıfır hipotezini reddetmeye, dolayısıyla alternatif
hipotezi kabul etmeye çalışırız.
Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez





Sıfır hipotezi, “arada fark yoktur” şeklinde kurulur. Örn.
Toplumda kadınlarla erkeklerin sigara içme durumlarını karşılaştırmak
istersek kuracağımız H0 hipotezi şöyle olur:
“Toplumda kadınlarla erkeklerin sigara içme sıklıkları arasında fark
yoktur”
Alternatif hipotez ise H0’ın doğru olmadığını iddia eder. Yukarıdaki
örnekte H1 şöyle olur:
“Toplumda kadınlarla erkeklerin sigara içme sıklıkları farklıdır”
Birinci ve İkinci Tip Hata
Sıfır hipotezini reddederken belirli hata payını her zaman göze alırız.
Bu hataya, birinci tip hata veya 𝜶 hatası deriz.
Bununla birlikte yanlış olan bir sıfır hipotezinin kabul edilmesi riski de vardır.
Bu hataya, ikincil hata veya 𝜷 hatası denir.




𝜷 hatası testin gücünü belirler.
Her iki hatayı birlikte küçültmenin en güvenilir yolu örnek hacmini arttırmaktır.
Birinci ve ikinci tip hata birbiriyle ters orantılı olarak değişir, 𝜶 hatası arttığında
𝜷 hatası azalır.
Bu durumda araştırmacı hangi hatanın daha önemli olduğuna karar vererek, önemli hatayı
en aza indirmeye çalışacaktır.
Sıfır Hipotezi ve Alternatif Hipotez Örneği
Ders geçmek için gerekli minimum notun ortalama 70 olduğu bir
sınıftan seçilen 30 öğrencinin aldığı notların ortalaması 68 olsun. Bu
durumda popülasyonun (sınıfın) gerçek ortalaması 70’ın üzerinde
midir?
𝐻0 : 𝜇 = 70
𝐻1 : 𝜇 > 70
Hipotez Testinin Yönünü Belirleme
𝐻0 : 𝜇 = 70
𝐻1 : 𝜇 > 70
𝐻0 : 𝜇 = 70
𝐻1 : 𝜇 < 70
𝐻0 : 𝜇 = 70
𝐻1 : 𝜇 ≠ 70
Alternatif hipotez için yazılan
duruma göre hipotez testi tek
yönlü ya da iki yönlü olabilir.
Kritik Değer
Kritik Değer
 Sıfır hipotezinin reddedileceği alanı
𝜶 hatası belirler.
 Çift kuyruk testi yapılırken 𝜶
hatası ikiye bölünerek normal
eğrinin sağ ve sol kuyruğuna eşit
olarak yüklenir.
 Normal eğrinin her iki ucundaki
𝛼 /2’lik alanların sınırını gösteren iki
adet kritik Z değeri vardır.
 Bu
değerler
normal
dağılım
tablosundaki 0.5 - 𝛼 /2’lik alana karşı
gelen ±Z değerleridir.
 Test istatistiği bu Z değerleri arasında
yer alırsa sıfır hipotezi kabul, aksi
halde reddedilir.
HİPOTEZ TESTLERİ




Bununla birlikte tek kuyruk testi yaparken testin yönüne göre 𝛼 hatasının tamamı
normal eğrinin sağ veya sol kuyruğuna yüklenir.
Normal dağılım tablosundaki 𝛼 değerine karşı gelen Z değeri kritik Z değeridir.
Testin yönüne göre kritik Z değeri işaret alır.
Aşağıdaki grafiklerden birincisi sol kuyruk testine, İkincisi sağ kuyruk testine
aittir.
Özet Tablo
Test İstatistiği



Test istatistiği, örnek istatistiği ile iddia edilen anakütle
parametresi arasındaki farkın anakütle standart hatasına
bölünmesiyle elde edilir.
Sıfır hipotezinin reddedilebilmesi için; test istatistiğinin, birinci tip
(𝜶) hatanın belirlediği Z değerinden mutlak değerce daha büyük
olması gereklidir.
Anakütle standart hatası bilinmediğinde, 30’dan büyük örnekler için
hesaplanan standart hata, anakütle standart hatasının yerine
kullanılabilir.
P Değeri





Tek kuyruk testindeki P değeri, test istatistiğinin ötesine düşen
alanı gösterir.
Diğer bir ifadeyle, H0 hipotezini reddedebilmek için katlanılması
gereken hata seviyesini ifade eder.
Çift kuyruk testinde bu hata ikiye katlanır.
P değeri, göze alınan 𝜶 hatasından küçük olursa Ho hipotezi
reddedilir.
Aksi durumda, Ho hipotezi kabul edilerek bulunan farkın tesadüfen
ortaya çıktığı varsayılır.
Hipotez Testi Adımları
Özet olarak:
H0 ve H1 hipotezleri belirlenir
2. 𝛼 düzeyi tespit edilir
3. Hipotez testinin yönü belirlenir
4. Kritik değer z* bulunur
5. Test istatistiği yapılarak z değeri bulunur ve
karşılaştırma ile karar verilir.
1.
Ortalamalarla İlgili Hipotez Testleri

Ortalamalarla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır
ve alternatif hipotezler aşağıda gösterilmiştir.
Çift kuyruk testi
𝑯𝟎 : 𝝁 = 𝝁𝟎
𝑯𝟏 : 𝝁 ≠ 𝝁𝟎
Sol kuyruk testi
𝑯𝟎 : 𝝁 ≥ 𝝁𝟎
𝑯𝟏 : 𝝁 < 𝝁𝟎
Sağ kuyruk testi
𝑯𝟎 : 𝝁 ≤ 𝝁𝟎
𝑯𝟏 : 𝝁 > 𝝁𝟎
• Ortalamalarla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği,
𝑿−𝝁
𝒁𝒊 = 𝝈
𝒏
eşitliğiyle bulunur.
• Anakütle standart sapması bilinmediğinde bunun yerine örnek standart
sapması kullanılabilir.
Örnek 1
Bir fakültede not ortalamasının 65 olduğu iddia edilmektedir. Tesadüfi olarak
seçilen 49 öğrencinin not ortalaması 60 ve standart sapma 3 bulunmuştur.
%1 önem seviyesinde fakülte not ortalamasının 65’ten az olduğunu
söyleyebilir misiniz?
Sol kuyruk testi
𝑯𝟎 : 𝝁 ≥ 𝝁𝟎
𝑯𝟏 : 𝝁 < 𝝁𝟎
Çözüm 1
Problemin son kısmı test edilecek hipotez çiftinin;
𝐻0 : 𝜇 ≥ 65
𝐻1 : 𝜇 < 65
şeklinde olduğuna işaret etmektedir.
Test, sol kuyruk testi olduğu için 𝛼 = 0.0l’e göre kritik Z değeri normal eğri alanları
tablosunda -2.33 değeridir.
Örnek hacmi 30’dan büyük olduğu için örnek standart sapmasını anakütle standart
sapmasının yerine kullanabiliriz.
Test istatistiği,
𝑍𝑖 =
𝑋−𝜇
𝑠
𝑛
= 60−65
= −11,67
3
49
Buna göre %1 önem seviyesinde
Ho hipotezi reddedilerek fakülte
not ortalamasının 65’ten küçük
olduğuna karar verilir.
P(Z < -Zh) = 0.5 - 0.5 = 0
Örnek 2
Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde brüt 455 gr
yazmaktadır. Bu konservelerin brüt ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek
üzere rastgele seçilen 78 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart
sapması 13 gr bulunmuştur. Brüt ağırlığın 455 gr olup olmadığını 0.05
önem seviyesinde test ediniz?
Çözüm 2

Problemin son kısmı test edilecek hipotez çiftinin şeklinde olduğuna işaret
etmektedir.
Çift kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇 = 455 gr
𝐻1 : 𝜇 ≠ 455 𝑔𝑟

Test çift kuyruk testi olduğu için 𝛼 = 0.05’e göre kritik Z değeri normal eğri alanları
tablosunda 0.5 - 0.05/2 = 0.4750’ye karşı gelen ±1.96 değeridir.
Örnek hacmi 30’dan büyük olduğu için örnek standart sapmasını anakütle standart
sapmasının yerine kullanabiliriz.
Test istatistiği,

𝑍𝑖 =

Kritik Z değeri ve test istatistiğine göre karar modeli aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.


𝑋−𝜇
𝑠
𝑛
=
450−455
13
78
= −3,40 olarak hesaplanır.
Buna göre, %5 önem seviyesinde Ho
hipotezi reddedilerek fabrikada üretilen
konservelerin brüt ağırlığının 455 gr’a eşit
olmadığına karar verilir. Bu testin P değeri,
P = 2[P(Z < -Zh)] = 2(0.5 - 0.5) = 0 olarak
elde edilir.
Örnek 3
Çözüm 3
Örnek 4
Çözüm 4
Çözüm 4
Oranlarla ilgili hipotez testleri

Oranlarla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır
hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir.
Çift kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃 = 𝑃0
𝐻1 : 𝑃 ≠ 𝑃0
Sol kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃 ≥ 𝑃0
𝐻1 : 𝑃 < 𝑃0
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃 ≤ 𝑃0
𝐻1 : 𝑃 > 𝑃0
• Örnekten hesaplanan oranı p ile gösterirsek ortalamalarla ilgili hipotez
testlerine ait test istatistiği,
𝒑−𝑷
𝒛=
𝑷(𝟏−𝑷)
𝒏
• eşitliğiyle bulunur.
• Standart hatanın hesabında anakütle oranı kullanılmadır.
Örnek 5
Yatak çarşafları üreten bir firma, üretimdeki kusur oranının %6 olduğunu
bildirmektedir. Bu fabrikadan alışveriş yapmak isteyen bir otel yöneticisi,
üretici firmanın imalatından tesadüfi gün ve saatlerde 100 örnek almış ve
bunların %10’unun kusurlu olduğunu görmüştür. Sözkonusu yönetici
yatak çarşafı imalatının kusur oranının %6’dan fazla olduğunu, %5 önem
seviyesinde, söyleyebilir mi?
Çözüm 5
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃 ≤ 0,06
𝐻1 : 𝑃 > 0,06

Test sağ kuyruk testi olduğu için 𝛼 = 0.05’e göre kritik Z değeri normal eğri
alanları tablosunda 0.5 - 0,05 = 0,45’e karşı gelen 1.645 değeridir.
Test istatistiği,

𝑧=

Otel yöneticisi, %5 önem seviyesinde, H0 hipotezini reddederek fabrika- daki
kusurlu çarşaf oranının %6’dan fazla olduğunu söyleyebilir. P oranı,
P(Z > Zh)] = 0.5 - 0.4535 = 0.0465 olarak hesaplanır.


𝑝−𝑃
𝑃(1−𝑃)
𝑛
=
0,01−0,06
0,06.0,04
100
= 1,68
Örnek 6
Bir süpermarketler zinciri sahibi müşterilerinin %95’ten fazlsının
süpermarketlerindeki fiyatlardan memnun olduğunu söylemektedir. Rassal olarak
seçilen 200 müşteriden 184’ü fiyatlardan memnun olduğunu bildirmektedir. %1
önem seviyesinde, süpermarketlerdeki fiyatlardan memnun olanların %95’e eşit
olmadığını söyleyebilir misiniz?
Çözüm 6

Test hipotezleri,
Çift kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃 = 0,95
𝐻1 : 𝑃 ≠ 0,95
Test, çift kuyruk testi olduğu için 𝛼 = 0.0l’e göre kritik Z değeri normal eğri
alanları tablosunda 0.5 - 0.01/2 = 0.4950’e karşı gelen ±2.58 değeridir.
Test istatistiği;
𝑝−𝑃
0,92−0,95
𝑧=
=
= -1,95
𝑃(1−𝑃)
𝑛
0,95.0,05
200
%1 önem seviyesinde Ho hipotezi kabul edilir.
Süpermarketlerin sahibinin söylediği gibi, süpermarketlere gelen müşterilerin
%95’inin fiyatlardan memnun olduğu söylenebilir. P oranı,
2[P(Zh < Z)] = 2(0.5 - 0.4744) = 0.0512 olarak hesaplanır.
Örnek 7
Çözüm 7
Ortalamalar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri

Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek
muhtemel sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda
gösterilmiştir.
Çift kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2
Sol kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 ≥ 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 < 𝜇2
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2
Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği;
𝒁=
𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 − (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝝈𝟏 𝟐
𝝈𝟐 𝟐
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐
Ortalamalar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri



Anakütle varyansları bilinmediğinde bunların yerine örnek varyansları
kullanılabilir.
Sıfır hipotezinin doğru olabileceği faraziyesiyle hareket edildiği
için
formüldeki 𝜇1 − 𝜇2 farkı sıfır kabul edilir.
Böylece test istatistiği,
𝒁=
𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 − (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝒔𝟏 𝟐
𝒔𝟐 𝟐
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐
• Sıfır hipotezi örneklerin aynı anakütleden alındığını belirttiği için, tersi
ispatlanmadığı sürece, Sı ve S2 değerlerinin birbiriyle homojen olduğunu ve
bu varyanslar yardımıyla
𝟐 +𝒏 𝒔 𝟐
𝒏
𝒔
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐
𝒔𝟐 =
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐
gibi ortak bir varyans hesaplanabileceğini
söyleyebiliriz.
Ortalamalar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri


Görüldüğü gibi, bu ortak varyans, iki örnek varyansınm tartılı
aritmetik ortalaması alınarak bulunmuştur.
Buna göre, ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği,
𝒁𝒉 =
𝑿𝟏 − 𝑿𝟐
𝟏 𝟏
𝒔𝟐 ( + )
𝒏𝟏 𝒏𝟐
Örnek 8
İki ayrı sendikaya bağlı olarak çalışan sanayi işçilerinin aylık ortalama
gelirlerini mukayese etmek isteyen bir iş müfettişi A sendikasından
tesadüfi olarak seçtiği 150 işçinin aylık ortalama gelirini 35.5 bin lira ve
standart sapmayı 3.4 bin lira, B sendikasından tesadüfi olarak seçtiği
200 işçinin aylık ortalama gelirini 34 bin lira ve standart sapmayı 3.7 bin
lira olarak hesaplamıştır. Bu iki sendikaya bağlı olan işçilerin ortalama
gelirleri arasındaki farklılığın önemli olmadığını, %5 önem seviyesinde,
söyleyebilir misiniz?
Çözüm 8

Problemin son kısmı test hipotezlerinin,
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2
• Çift kuyruk testine göre 𝛼 = 0.05 önem seviyesindeki kritik Z değeri normal eğri
alanları tablosunda 0.5 - 0.05/2 = 0.4750'e karşı gelen ±1.96’dır.
• Test istatistiğini hesaplamadan önce ortak varyansı;
𝑠2
𝑛1 𝑠1 2 +𝑛2 𝑠2 2 150. 3,42 +200. 3,72
=
=
=12,78
𝑛1 +𝑛2
150+200
• olarak hesaplarız. Ortak varyans dikkate alındığında ortalamalar arası farkla
ilgili hipotez testine ait test istatistiği,
•
𝑍ℎ =
𝑋1 −𝑋2
1
1
𝑠2(
)
𝑛1 𝑛2
+
=
35,5−34
1
1
12,78(150 200)
+
=3,88
Çözüm 8 (devamı)

Test istatistiği ve kritik Z değeri dikkate alındığında karar modeli aşağıdaki gibi
olur.
• %5 önem seviyesinde Ho hipotezi reddedilerek sözkonusu sendikalara bağlı
olarak çalışan işçilerin aylık ortalama gelirleri arasındaki farkın önemli
olduğuna karar verilir.
• P değeri, 2[P(Z > 3.88)] = 2(0.5 - 0.49995) = 0.0001 ’dir.
Örnek 9
Aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikaların birincisinden tesadüfi olarak
seçilen 80 mamulün ortalama dayanma süresi 135 gün ve standart sapması 15
gün; İkincisinden alman 95 mamulün ise ortalama dayanma süresi 130 gün ve
standart sapması 18 gündür.
%1 önem seviyesinde, birinci fabrikada üretilen mamullerin ortalama dayanma
süresinin daha fazla olduğunu söyleyebilir misiniz?
Çözüm 9
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2


Tek kuyruk testine göre 𝛼 = 0.01 önem seviyesindeki kritik Z değeri normal
eğri alanları tablosunda 0.5 - 0.01 = 0.4900’a karşı gelen 2.33 değeridir.
Ortak varyans,
𝑠2 =
𝑍ℎ =
𝑛1 𝑠1 2 +𝑛2 𝑠2 2
𝑛1 +𝑛2
𝑋1 −𝑋2
1
1
𝑠 2 (𝑛 𝑛 )
1
2
+
=
80. 152 +95. 182
=
80+95
=278,74
135−130
278,74
1
1
(80 95)
+
=1,97
%1 önem seviyesinde, H0 hipotezi
kabul edilerek, birinci fabrikada
üretilen
mamullerin
ortalama
dayanma süresinin diğerinden daha
fazla olmadığına tarar verilir. P
değeri, P(Z > 1.97) = 0.5 - 0.4756
= 0.0244’tür.
Örnek 10
Çözüm 10
Çözüm 10
Oranlar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri

Oranlar arası farkla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel
sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir.
Çift kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃1 = 𝑃2
𝐻1 : 𝑃1 ≠ 𝑃2
𝒁𝒉 =
Sol kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃1 ≥ 𝑃2
𝐻1 : 𝑃1 < 𝑃2
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 − (𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 )
𝑷𝟏 (𝟏 − 𝑷𝟏 )
𝑷𝟐 (𝟏 − 𝑷𝟐 )
+
𝒏𝟏
𝒏𝟐
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃1 ≤ 𝑃2
𝐻1 : 𝑃1 > 𝑃2
eşitliğiyle bulunur.
Oranlar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri



Anakütle oranları bilinmediğinde bunun yerine örnek oranlan kullanılabilir.
Sıfır hipotezinin doğru olabileceği faraziyesiyle hareket edildiği için test
istatistiği formülündeki Pı - P2 farkı sıfır kabul edilir.
Böylece test istatistiği
𝒁𝒉 =
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐
𝑷𝟏 (𝟏 − 𝑷𝟏 )
𝑷𝟐 (𝟏 − 𝑷𝟐 )
+
𝒏𝟏
𝒏𝟐
• gibi daha basit bir hale dönüşür.
• Sıfır hipotezi örneklerin aynı anakütleden alındığım belirttiği için, tersi
ispatlanmadığı sürece, p1 ve p2 değerlerinin birbiriyle homojen olduğunu ve
bu oranlar üzerinden,
𝒏𝟏 . 𝒑𝟏 + 𝒏𝟐 . 𝒑𝟐
𝒑=
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐
• gibi ortak bir oran hesaplanabileceğini söyleyebiliriz. Görüldüğü üzere bu ortak
oran iki örnek oranının tartılı aritmetik ortalaması alınarak bulunmuştur.
Oranlar Arası Farkla İlgili Hipotez Testleri

Nihayet ortak oran dikkate alındığında oranlar arası farkla ilgili hipotez
testlerine ait test istatistiği,
𝒁𝒉 =
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐
𝒑(𝟏 − 𝒑)(
𝟏
𝟏
+ )
𝒏𝟏 𝒏𝟐
Örnek 11
Bir firma yöneticisi firmasına ait iki mağazadan müşterilerinin
memnuniyet derecelerini mukayese etmek istemektedir. Yaptığı
araştırmaya göre, 300 kişiden 249’u A mağazasından, 400 kişiden 348’i B
mağazasından memnundur.
%1 önem seviyesinde, müşterilerin memnuniyet dereceleri arasında
Önemli bir farklılığın olduğunu söyleyebilir misiniz?
Çözüm 11
𝐻0 : 𝑃1 = 𝑃2
𝐻1 : 𝑃1 ≠ 𝑃2

Çift kuyruk testine göre 𝛼 = 0.01 önem seviyesindeki kritik Z değeri
normal eğri alanları tablosunda 0.5 - 0.01/2 = 0.4950’e karşı gelen ±2.58
değeridir.
Ortak oran;

𝑝=

Ve test istatistiği;

𝑍ℎ =

𝑛1 .𝑝1 +𝑛2 . 𝑝2
𝑛1 +𝑛2
𝑝1 −𝑝2
300.0,83+400.0,87
300+400
==
=
1
1
𝑝(1−𝑝)(n +n )
1
2
0,83−0,87
=0,85
= -1,47
1
1
0,85(1−0,85)(300+400)
%1 önem seviyesinde Ho hipotezi
kabul edilerek iki mağazadaki
Müşterilerin memnuniyet
dereceleri arasındaki farkın anlamlı
olmadığına karar irilir. P değeri,
2[P(Z < -1.47)] = 2(0.5 - 0.4292) =
0.1416’dır.
Örnek 12
Bir video kaset kiralayıcısı macera filmi kiralamanın yöredeki
erkek ve kadınlar itibariyle farklılık gösterip göstermediğini merak
etmektedir. Sözkonusu şahıs belli bir zaman periyodu içerisinde
dükkanına gelen 60 erkekten 51’inin ve 40 kadından 20’sinin
macera filmi kiraladığını müşahede etmiştir. Bu verilere göre
yöredeki erkeklerin kadınlardan daha fazla macera filmi
kiraladığını %5 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz?
Çözüm 12

Problemin son kısmı kurulacak hipotez çiftinin,
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝑃1 ≤ 𝑃2
𝐻1 : 𝑃1 > 𝑃2
Sağ kuyruk testine göre 𝛼 =0.05 önem seviyesindeki kritik Z değeri normal eğri
alanları tablosunda 0.5 - 0.05 = 0.4500’e karşı gelen 1.645 değeridir.
Ortak oran:
𝑛 .𝑝 +𝑛 . 𝑝
60.0,85+40.0,50
𝑝 = 1 𝑛1 +𝑛2 2 = =
=0,71
60+40
1
2
Ve test istatistiği;
𝑍ℎ =
𝑝1 −𝑝2
=
1
1
𝑝(1−𝑝)(n +n )
1
2
0,85−0,5
= 3,78
1 1
0,71(1−0,71)(60+40)
%5 önem seviyesinde Ho hipotezi reddedilerek
yöredeki erkeklerin kadınlardan daha fazla macera
filmi kiraladığına karar verilir. P(Z > 3.78) = 0
Örnek 13
Çözüm 13