Transcript Student t Dağılımı OLASILIK ve İSTATİSTİK II

OLASILIK ve İSTATİSTİK II
DERS 1: Student t Dağılımı
Öğr. Gör. Dr. Berk AYVAZ
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Student t Dağılımı
• Normal eğri alanları tablosu (Z Cetveli) ancak büyük örnekler için (yani, n ≥
30 için) gerçekçi sonuçlar verebilir.
• Örnek büyüklüğü 30’dan daha küçük olan problemlerde, örnek değerleri
normal dağılımdan uzaklaşırlar.
• Küçük örneklerden elde edilen istatistiklerin dağılımı Student t dağılımına
uygundur.
• Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım normal eğri gibi simetrik bir
özellik arzeder.
• Bununla birlikte, normal eğriye göre daha basık ve yaygın bir şekil alır.
• Böylece eğrinin kuyruklarında daha büyük alan olur.
• Örnek hacmi küçüldükçe normalden uzaklaşma da o nisbette artar.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
•
Student t Dağılımı
Aşağıdaki grafik student t dağılımı ile normal dağılımı birlikte göstermektedir.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Student t Dağılımı
• Meselâ, n < 30 için X’in Xı ile X2 arasında bulunması ihtimali Student t
dağılımına göre daha büyük olarak bulunurken n ≥ 30 için X’in X2 ile X3
arasında bulunması ihtimali normal dağılımda daha büyük olacaktır.
• Küçük örnekler için Z cetveli yerine, çeşitli örnek büyüklükleri ve ihtimal
seviyeleri için ayrı ayrı hesaplanmış t cetvelleri kullanılır.
• Bu cetvellerde, Çeşitli önem seviyeleri ve serbestlik dereceleri için ayrı ayrı t
değerleri verilmiştir.
• 𝐧 ≥ 𝟑𝟎 için t değeri, Z değerine çok yaklaşır.
• Bu sebeple, n > 30 olan örneklerde, t cetveli yerine Z cetveli kullanılabilir.
Aksi halde t cetveli kullanılmalıdır.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Ortalamalar için Güven Aralığı
• Küçük bir örnekten elde edilen X istatistiği anakütle ortalaması 𝜇𝑥 ’in nokta
tahminidir.
• Aynen bunun gibi örnek standart sapması s’de anakütle standart sapmasının
nokta tahminidir.
• Örnek ortalaması ve n - 1 adet X değeri bilindiğinde geri kalan bir X değeri
bulunabilir.
• Söz konusu X değeri bağlı değer iken n -1 adet serbest değer vardır.
• Bu sebeple küçük örneklere ait ortalamaların standart hatası nispeten büyük
olur.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Ortalamalar için Güven Aralığı
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
• Bu yüzden tek anakütle ortalamasına ilişkin güven aralığı hesabında ve tek
anakütle ortalamasına ilişkin testlerde n - 1 serbestlik derecesi ve 𝛼 önem
seviyesine göre kritik t değerleri tespit edilir.
• Verilen 𝛼 önem seviyesine göre anakütle ortalamasına ilişkin güven aralığı 𝛼
oranı ikiye bölünerek t eğrisinin her iki ucuna eşit olarak yüklenir.
• Böylece, v = n - 1 serbestlik derecesi ve 𝛼 /2 hata oranı ile 1 - 𝛼 güven sınırları,
X − 𝒕𝒗;𝜶/𝟐
𝒔
𝐧−𝟏
≤ 𝝁𝒙 ≤ X + 𝒕𝒗;𝜶/𝟐
𝒔
𝐧−𝟏
formülü yardımıyla hesaplanır.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Ortalamalar için Güven Aralığı
• Aşağıdaki grafik güven aralığını göstermektedir.
• N=15 büyüklüğündeki bir örnek vasıtasıyla anakütle ortalamasına ilişkin %95
güven sınırları tespit edilirken 𝛼 hatası 1-0,95=0,05’tir.
• Bu hata t eğrisinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında 0,05/2=0,025 olur.
• Bu alanları belirleyen biri negatif ve diğeri pozitif iki t değeri vardır.
• V=n-1=15-1=14 serbestlik derecesine ve 𝛼 = 0,025 hata oranına göre t
cetvelinden bulunacak t= ±2.145 değerleri aradığımız kritik t değerleridir.
n - 20 büyüklüğündeki bir örnek vasıtasıyla anakütle ortalamasına ilişkin %99 güven
sınırları için t değeri ?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 1
Bir fabrikada üretilen 25 mamulün ortalama ağırlığı 1040 gr standart sapması 25
gr bulunmuştur. %95 güvenle, bu imalat prosesinde üretilen mamullerin
ortalama ağırlığı hangi aralıkta yer alır?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Çözüm 1
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
v = n- 1=25-1=24 serbestlik derecesi ve 0.05/2 hata seviyesi için kritik t
değerleri ±2.064’tür. Güven sınırlarını veren formülde diğer bilinenler
yerine yazıldığında,
X
𝒔
− 𝒕𝒗;𝜶/𝟐
𝐧−𝟏
1040 − 2.064
≤ 𝜇𝑥 ≤ X +
25
25−1
𝒔
𝒕𝒗;𝜶/𝟐
𝐧−𝟏
≤ 𝜇𝑥 ≤ 1040 +
25
2.064
25−1
Söz konusu
imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığının,
%95 güvenle, 1029,47 ile 1050,53 aralığında yer alacağını söyleyebiliriz.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 2
Bir anakütleden rastgele seçilen 17 birimin ortalama ağırlığı 4.98 kg ve
standart sapması 0.07 kg olarak bulunmuştur. Anakütle ortalamasının
%99 güven sınırlarını bulunuz.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Çözüm 2
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
v = n - 1 = 17 - 1 = 16 serbestlik derecesi ve 0.01/2 hata seviyesi için kritik
t değerleri ±2.921 ’dir. Güven sınırlarını veren formülde diğer bilinenler
yerine yazıldığında,
X
𝒔
− 𝒕𝒗;𝜶/𝟐
𝐧−𝟏
4.98 − 2.921
0.07
17−1
≤ 𝜇𝑥 ≤ X
𝒔
+ 𝒕𝒗;𝜶/𝟐
𝐧−𝟏
≤ 𝜇𝑥 ≤ 4.98 + 2.921
0.07
17−1
Sözkonusu anakütle ortalamasının, %99 güvenle, 4.93 kg ile 5.03 kg
arasında olmasını bekleriz.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 3
Bir cep telefonu üreticisi, üretilen cep telefonlarındaki bataryaların bir kez şarj
edildikten sonra ortalama ne kadar süre kullanıldığını tahmin etmek istemektedir. Bu
amaçla rassal olarak 17 telefon bataryası seçilmiş ve bunların ortalama 135 saat
kullanılabildiği ve standart sapmanın 28 saat olduğu belirlenmiştir. %99 güven düzeyi
için istenilen tahminlemeyi yapınız.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Çözüm 3
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
ÖDEV 1
Arthur D. Little, Inc., estimates that approximately 70% of mail received by a household is
advertisements (Time, July 14, 1997). A sample of 20 households shows the following data
for the number of advertisements received and the total number of pieces of mail
received during one week.
a.What is the point estimate of the mean number of advertisements received per week?
What is the 95% confidence interval for the population mean?
b. What is the point estimate of the mean number of pieces of mail received per week?
What is the 95% confidence interval for the population mean?
c. Use the point estimates in parts (a) and (b). Are these estimates in agreement with
the statement that approximately 70% of mailings are advertisements?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
VAKA ANALİZİ 1
METROPOLITAN RESEARCH, INC.
•
•
•
•
•
Metropolitan Research Şirketi bir firmanın hizmet seviyesi ölçümü için bir araştırma
yapmaktadır. Araştırmada
Detroit’te faaliyet gösteren bir firmanın ürettiği araçların
performansını müşteri memnuniyeti ile ilişkilendirmektedir.
Bunun için araçlarında vites problemi yaşayan müşterilere bir anket formu gönderilmiştir.
Aşağıdaki veriler 18 aracın kaçıncı km’lik kullanımdan sonra vites arızası verdiğini
göstermektedir.
YÖNETİM RAPORU
%95 güven düzeyinde anakütle için vites hatası görülene kadar olabilecek araç kullanım
ortalamasını bulunuz.
Hata teriminin 5000 km olması için %95 güven düzeyinde popülasyon büyüklüğünün kaç
olması gerekmektedir.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Ortalamalar Arası Fark İçin Güven Aralığı
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
•
•
•
•
İki anakütleden tesadüfi olarak seçilen n1 ve n2 hacimlerinde iki küçük örnekten
hareketle anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırları belirlenebilir.
Birinci örneğin serbestlik derecesi n1 - 1 ve ikinci örneğin serbestlik derecesi n2 - 1
olduğu için, toplam serbestlik derecesi v =n1 + n2 - 2 olur.
Anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığı tespit edilirken v = n1 + n2 -2
serbestlik derecesine ve 𝛼 /2 hata payına göre t cetvelinden iki değer bulunur.
Örnek ortalamalarından büyük olanını X, ile gösterirsek örnek ortalamaları
arasındaki farktan hareketle anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven
sınırlarını,
• (𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 )±𝒕𝒗;𝜶/𝟐
Dr. Berk AYVAZ
𝒔𝟏 𝟐
𝒏𝟏 −𝟏
+
𝒔𝟐 𝟐
𝒏𝟐 −𝟏
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 4
İki ampul fabrikasının birincisinden tesadüfi olarak 15 ampül seçildiğinde
ortalama dayanma süresi 1315 saat ve standart sapma 43 saat bulunuyor.
Aynı yöntemle, diğer fabrikadan 17 ampül seçildiğinde, ortalama dayanma
süresi 1300 saat ve standart sapma 32 saat olarak hesaplanıyor. %95
güvenle, anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırlarını tespit
ediniz.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Çözüm 4
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
v = n1 + n2 - 2 =15+17-2 = 30 serbestlik derecesi ve 0.05/2 hata seviyesi için
kritik t değerleri ±2.042’dir.
Anakütle ortalamaları arasındaki farkın, %95 güvenle,
(𝑋1 − 𝑋2 )±𝒕𝒗;𝜶/𝟐
𝑠1 2
+
𝑛1 −1
(1315−1300)±2.042
432
𝑠2 2
𝑛2 −1
+
15−1
322
17−1
-13.59≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 𝟒𝟑. 𝟓𝟗
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 5
13 deneme sonrasında bir benzin pompası ortalama 125 ml fazla benzin
ölçümü yaparken standart sapma 17 ml olmuştur. Bir başka benzin pompası
ise 10 deneme sonrasında deneme başına ortalama 110 ml fazla benzin
ölçümü yapmış ve standart sapma 19 ml bulunmuştur. Anakütle ortalamaları
arasındaki farkın %99 güven sınırlarını bulunuz.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Çözüm 5
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
•
•
v = nı+n2-2 = 13 + 10-2 = 21 serbestlik derecesi ve 0.01/2 hata seviyesi için
kritik t değerleri ±2.831’dir.
Diğer bilinenler yerine yazıldığında, anakütle ortalamaları arasındaki farkın,
%99 güvenle,
(𝑋1 − 𝑋2 )±𝒕𝒗;𝜶/𝟐
𝑠1 2
+
𝑛1 −1
(125 − 110)±2.831
𝑠2 2
𝑛2 −1
172
+
13−1
192
10−1
-7. 𝟔𝟖 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 𝟑𝟕. 𝟔𝟖
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Örnek 6
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Çözüm 6
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
VAKA ANALİZİ 2
Bir şehir planlama grubu aynı muhitte ikamet eden iki farklı ev halkının gelirleri
arasındaki fark üzerine bir çalışma yürütmektedir. Bağımsız rassal örnekler için elde
edilen değerler aşağıdaki gibidir.
a) 95% güven düzeyi için iki grubun ortalamaları arasındaki farkın aralığını bulunuz.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
VAKA ANALİZİ ÇÖZÜM
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
•
Ortalamalarla İlgili Hipotez Testleri
Ortalamalarla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır hipotezi
ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir.
Çift kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0
Sol kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇 ≥ 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0
• Ortalamalarla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği,
𝑿−𝝁
𝒕𝒉 =
𝒔
𝒏−𝟏
eşitliğiyle bulunur.
• Anakütle standart sapması bilinmediğinde bunun yerine örnek standart sapması
kullanılabilir.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
•
•
•
•
Ortalamalarla İlgili Hipotez Testleri
Çift kuyruk testi yapıldığında v = n - 1 serbestlik derecesi ve 𝜶 /2 önem seviyesine göre
±t kritik değerleri hesaplanır.
Test istatistiği bu iki t değerinin arasına düştüğünde H0 hipotezi kabul, aksi halde
reddedilir.
Sol kuyruk testi yapıldığında v = n - 1 serbestlik derecesi ve 𝛼 önem seviyesine göre t
cetvelinden bulunacak kritik değere eksi işaret verilir.
Test istatistiği -t kritik değerinden daha küçük olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi
halde kabul edilir.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 7
Bir fakültede not ortalamasının 65 olduğu iddia edilmektedir. Tesadüfi olarak
seçilen 26 öğrencinin not ortalaması 60 ve standart sapması 3 bulunmuştur. %1
önem seviyesinde fakülte not ortalamasının 65'ten az olduğunu söyleyebilir
misiniz?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Çözüm 7
Problemin son kısmı test edilecek hipotez çiftinin,
H0 : μ ≥ 65
H1 : μ < 65
şeklinde olduğunu göstermektedir.
Sol kuyruk testi olduğu için v = n - 1 = 25 derecesi ve α = 0.01 ’e göre
kritik t değeri -2.485’tir.
Örnek hacmi 30’dan küçük olduğu için test istatistiği;
𝑋−𝜇
𝑡ℎ =
𝑠
𝑛−1
60 − 65
𝑡ℎ =
3
26 − 1
𝑡ℎ = -8,33
Buna göre %1 önem seviyesinde Ho hipotezi
reddedilerek, fakülte not ortalamasının 65’ten küçük
olduğuna karar verilir.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 8
Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde brüt 455 gr
yazmaktadır. Bu konservelerin brüt ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzere
rastgele seçilen 17 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr
bulunmuştur. Brüt ağırlığın 455 gr olmadığını 0.05 önem seviyesinde söyleyebilir
misiniz?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Çözüm 8
𝐻0 : 𝜇 = 455
𝐻1 : 𝜇 ≠ 455
•
•
Test çift kuyruk testi olduğu için v = n - 1 = 17 - 1 =16 serbestlik derecesi ve 𝛼 /2 = 0.05/2
= 0.025’e göre kritik t değeri ±2.12 değeridir.
Test istatistiği
𝑋−𝜇
𝑡ℎ =
𝑠
𝑛−1
450 − 455
𝑡ℎ =
13
17 − 1
𝑡ℎ = -1,54
Buna göre %5 önem
seviyesinde Ho hipotezi
kabul edilerek fabrikada
üretilen konservelerin brüt
455 gr’dan farklı olmadığına
karar verilir.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Örnek 9
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Çözüm 9
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
VAKA ANALİZİ 3
1 Karat H renkli elmasın USA ‘daki fiyatı $4000 ‘dır. Orta Amerika’dan bir mücevherat
firması New York aynı tip elmasın fiyatının $4000 ‘dan farklı olup olmadığı üzerine bir
araştırma yapmak istemektedir. Bunun için New York’ta bulunan 14 firmadan fiyatlar
alınmıştır.
a) Sıfır ve alternatif hipotezleri kurunuz.
b) α= 0 .05 için kritik t değerini bulunuz.
c) 14 firmanın ortalama fiyatı $4120 ve standart sapması $275 ise hipotezin doğruluğunu
test ediniz.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
İki Anakütle Ortalamasına İlişkin Hipotez
Testleri
ÖRNEKLERİN BAĞIMSIZ OLMASI HALİ
•
Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek Muhtemel sıfır hipotezi
ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir.
Çift kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2
Sol kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 ≥ 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 < 𝜇2
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2
• Çift kuyruk testi yapıldığında v = n1 + n2 - 2 serbestlik derecesi ve α /2 önem seviyesine
göre ± t kritik değerleri hesaplanır.
• Sol kuyruk testi yapıldığında v = n1 + n2 - 2 serbestlik derecesi ve α önem seviyesine göre
t cetv elinden bulunacak kritik değere eksi işareti verilir.
• Sağ kuyruk testinde v = n1 + n2 - 2 serbestlik derecesi ve α önem seviyesine göre t
cetvelinden bulunacak değer kritik değerdir.
• Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği
𝒕𝒉 =
Dr. Berk AYVAZ
𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 − (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝟏
𝟏
𝒔𝟐 𝒏 + 𝒏
𝟏
𝟐
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örneklerin Bağımsız Olması Hali
• Anakütle varyanslan bilinmediğinde bunun yerine örnek varyanslan
kullanılabilir.
• Sıfır hipotezinin doğru olabileceği faraziyesiyle hareket edildiği için test istatistiği
formülündeki 𝜇1 − 𝜇2 farkı 0 kabul edilir ve tersi ispatlanmadığı sürece, 𝑠1 ve
𝑠2 değerlerinin birbiriyle homojen olduğu ve bu varyanslar üzerinden,
𝟐 + (𝒏 −𝟏)𝒔 𝟐
𝒏
−
𝟏
𝒔
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝒔𝟐 =
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐
• gibi ortak bir varyans hesaplanabileceğini söyleyebiliriz.
• Görüldüğü üzere bu ortak varyans iki örnek varyansının serbestlik derecelerine
göre tartılı aritmetik ortalaması alınarak bulunmuştur.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 10
İki ayrı sendikaya bağlı olarak çalışan sanayi işçilerinin aylık ortalama gelirlerini
mukayese etmek isteyen bir iş müfettişi, A sendikasından tesadüfi olarak seçtiği
22 işçinin aylık ortalama gelirini 35.5 milyon lira ve standart sapmayı 3.4 milyon
lira olarak bulurken. B sendikasından tesadüfi olarak seçtiği 20 işçinin aylık
ortalama gelirini 34 milyon lira ve standart sapmayı 3.7 milyon lira olarak
hesaplamıştır. İki sendikaya bağlı olarak çalışan işçilerin ortalama gelirleri
arasındaki farklılığın önemli olmadığını, %5 önem seviyesinde, söyleyebilir
misiniz?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Çözüm 10
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2
•
•
Çift kuyruk testine göre v = n1 + n2 - 2 = 22 + 20 - 2 = 40 serbestlik derecesi ve α /2 = 0.05/2
= 0.025 önem seviyesinde kritik t değeri ±2.021’dir.
Test istatistiğini hesaplamadan önce ortak varyansı,
2
2
𝑛
−
1
𝑠
+
(𝑛
−1)𝑠
1
1
2
2
𝑠2 =
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝒔𝟐
=
𝟐𝟐−𝟏 𝟑.𝟒𝟐 +(𝟐𝟎−𝟏)𝟑.𝟕𝟐
𝟐𝟐+𝟐𝟎−𝟐
=12.57
• Ortak varyans dikkate alındığında ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testine ait test
istatistiği
𝒕𝒉 =
𝑿𝟏 −𝑿𝟐 −(𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝒔𝟐
𝟏
𝟏
+
𝒏𝟏 𝒏𝟐
Dr. Berk AYVAZ
=
𝟑𝟓.𝟓−𝟑𝟒
𝟏𝟐.𝟓𝟕
𝟏 𝟏
+
𝟐𝟐 𝟐𝟎
= 𝟏. 𝟑𝟕
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 11
Aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikaların birincisinden tesadüfi
olarak seçilen 15 mamulün ortalama dayanma süresi 135 gün ve standart
sapması 15 gün; İkincisinden alınan 13 mamulün ortalama dayanma süresi
130 gün ve standart sapması 18 gündür. %1 önem seviyesinde, birinci
fabrikada üretilen mamullerin ortalama dayanma süresinin daha fazla
olduğunu söyleyebilir misiniz?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Çözüm 11
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Sağ kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0
•
•
Sağ kuyruk testine göre v = n1 + n2 - 2 = 15 + 13 - 2 = 26 derecesi ve 𝛂 = 0.01 önem
seviyesindeki kritik t değeri 2.479’dur.
Ortak varyans;
2 + (𝑛 −1)𝑠 2
𝑛
−
1
𝑠
1
1
2
2
𝑠2 =
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝒔𝟐
=
𝟏𝟓−𝟏 𝟏𝟓𝟐 +(𝟏𝟑−𝟏)𝟏𝟖𝟐
𝟏𝟓+𝟏𝟑−𝟐
=270.69
• Ortak varyans dikkate alındığında ortalamalar arası farkla ilgili hipotez
testine ait test istatistiği
𝒕𝒉 =
𝑿𝟏 −𝑿𝟐 −(𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝟏
𝟏
𝒔𝟐 𝒏 +𝒏
𝟏
𝟐
Dr. Berk AYVAZ
=
𝟏𝟑𝟓−𝟏𝟑𝟎
𝟏
𝟏
𝟐𝟕𝟎.𝟔𝟗 𝟏𝟓+𝟏𝟑
= 𝟎. 𝟖
% 1 önem seviyesinde Ho hipotezi
kabul edilerek aynı faaliyet
kolunda üretim yapan fabrikalarda
üretilen
mamullerin ortalama
dayanma süreleri arasındaki farkın
önemli olmadığına karar verilir.
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Örnek 11
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Çözüm 11
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Çözüm 11
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
VAKA ANALİZİ 4
Gasoline prices increased substantially from 1999 to 2000. The American
Automobile Association provided information on the mean cost per gallon for
self-serve regular unleaded gasoline over the 2 years (AAA Going Places,
May/June, 2000). Assume the following results were obtained from
independent samples of locations throughout the country.
a) What is the point estimate of the increase in the mean cost per gallon
from 1999 to 2000?
b) What is the 95% confidence interval estimate of the increase in the mean
cost per gallon from 1999 to 2000?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 12
Bir işletme iş süreçlerinde verimliliği artırmak için yeni enformasyon sistemi kullanmaya
karar vermiştir. Bunun için yeni sistemin faydalarını test edebilmek için işletmedeki 24
bilgisayar kullanılmıştır. 12 analist yeni sistemi 12 analist ise eski sistemi kullanmaktadır.
Sistemler arasında fark olup olmadığı test edilmek isteniyor. Her iki örnekleme ait veriler
aşağıdaki gibidir:
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Çözüm 12
• V=n1 + n2 - 2 =12+12-2=22
• α= 0.05,
• t= 1.717
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Eşlenik Çift Örnekler Hali
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
• Aynı veya benzer örnekler üzerinde birbirinden farklı iki muamelenin
uygulanması sonucu elde edilen verilere eşlenik çiftler denir.
• Bağımsız örneklerde, serideki herbir rakam diğerinden bağımsızdır.
• Bununla birlikte, eşlenik örneklerde herhangi bir rakam ancak karşısındaki
rakamla birlikte başka bir yere taşınabilir.
• eşlenik çiftlere uygulanan muamelenin birbirinden farklı olup olmadığını
eşlenik çift örnek testi ile test edebiliriz.
• eşlenik çift örneklerde ikinci rakamlar birincilerinden çıkarılarak bir fark serisi
oluşturulur.
• Fark serisini D ile gösterirsek, bu serinin oluşturduğu anakütle ortalaması 𝜇𝐷 ve
standart sapması 𝜎 𝐷 olur.
• Fark serisinin ortalaması ve standart sapması;
𝐷
𝐷=
𝑛
Dr. Berk AYVAZ
𝑠𝐷 =
𝐷
𝑛
𝑛−1
2
𝐷2 −
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
•
•
•
•
•
•
Eşlenik Çift Örnekler Hali
Test, sıfır hipotezinin doğruluğu faraziyesine göre yapıldığı için 𝛍𝐃 sıfır kabul edilir.
Ancak, örnek istatistiği D, μD ’nin sıfırdan farklı olabileceğini de ortaya koyabilir.
Çift kuyruk testi yapıldığında, v = n - 1 serbestlik derecesi ve α /2 önem seviyesine göre
±t kritik değerleri hesaplanır.
Sol kuyruk testi yapıldığında, v = n - 1 serbestlik derecesi ve α önem seviyesine göre t
cetvelinden bulunacak değere eksi işaret verilir.
Test istatistiği -t kritik değerinden daha küçük olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi
halde kabul edilir.
Sağ kuyruk testinde, v = n - 1 serbestlik derecesi ve α önem seviyesine göre t
cetvelinden bulunacak değer kritik değerdir. Test istatistiği kritik değerinden daha büyük
olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir.
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 13
İki ambalaj makinası farklı mamulleri ambalajlarken belirli miktarlarda üretim
kaybına sebep olmaktadır. Sebep oldukları üretim kayıpları yönünden bu iki
makinayı mukayese etmek isteyen üretim mühendisi, iki makinanın üretim
kayıplarını gr cinsinden aşağıdaki gibi bulmuştur. Buna göre A makinasının B
makinasına göre daha az üretim kaybına sebep olduğunu %1 önem seviyesinde
söyleyebilir misiniz?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Çözüm 13
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Çözüm 13
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
•
Negatif farkların anlamlılığı test edileceğine göre kurulacak hipotezler
Sol kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 ≥ 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 < 𝜇2
• Test, sol kuyruk testi olduğu için, v = n- 1 = 10-1=9 serbestlik derecesi ve α = 0.01 ’e göre
kritik t değeri -2.821’dir.
• Farkların ortalaması ve standart sapması;
𝐷=
𝑠𝐷 =
𝐷
𝑛
𝐷=
𝐷
𝐷2 −
𝑛
𝑛−1
Dr. Berk AYVAZ
−15.6
= -1.56
10
2
𝑠𝐷 =
38.1676−
−15.6 2
10
10−1
=1.24
Buna göre % 1 önem seviyesinde
Ho hipotezini reddederek, A
makinasının B makinasından
daha az üretim kaybına sebep
olduğunu söyleyebiliriz.
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Örnek 14
İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. İddiayı test için 12
ev seçiliyor ve komisyonculardan bu evlere 1000 $ bazında fiyat vermeleri isteniyor. Elde
edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir. Bu verilere göre, iki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyat
uyguladıklarını %5 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz?
Dr. Berk AYVAZ
İstanbul Ticaret Üniversitesi
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Dr. Berk AYVAZ
Çözüm 14
İstanbul Ticaret Üniversitesi
Çözüm 14
OLASILIK ve İSTATİSTİK II
Çift kuyruk testi
𝐻0 : 𝜇1 = 0
𝐻1 : 𝜇1 ≠ 0
•
Test, çift kuyruk testi olduğu için v = n— 1 = 12-1 = 11 serbestlik derecesi ve a = 0.05/2
= 0.025’e göre kritik t değeri ±2.201 ’dir.
Farkların ortalaması ve standart sapması;
•
𝐷=
𝑠𝐷 =
𝐷
𝑛
𝐷=
𝐷
𝐷2 −
𝑛
𝑛−1
𝐷
𝑡ℎ = 𝑠
𝐷
𝑛
−2
= -0.167
12
2
𝑡ℎ =
−2 2
𝑠𝐷 =
−0.167
1.904
12
Dr. Berk AYVAZ
=-0.30
40.22− 12
12−1
=1.904
Buna göre %5 önem seviyesinde H0 hipotezini
kabul
ederek,
fiyatlandırma
yönünden
komisyoncuların birbirinden farklı olmadığına
karar veririz.
İstanbul Ticaret Üniversitesi