Transcript Hipotez Testleri

Hipotez Testleri
Uygulamada çoğu zaman örneklem istatistikleri yardımıyla
ana kütle parametreleri hakkında bir karara varmaya da
çalışılmaktadır. Meselâ bir makine üzerinde yapılan bir
ayarlamanın kusurlu mamul oranını düşürüp düşürmediği,
yeni geliştirilen bir ilacın hastalığın tedavisinde etkin olup
olmadığı, Üretim prosesinde yapılan bir değişikliğin mamul
kalitesini yükseltip yükseltmediği, makine ayarında yapılan
bir değişikliğin varyansı değiştirip değiştirmediği veya
geliştirilen bir öğretim sisteminin eskisine göre bir farklılık
gösterip göstermediği gibi konularda karar verilmesi gibi.
İşletmelerde bu tür kararların verilebilmesi için istatistik
karar verme tekniği olarak hipotez testlerinden faydalanılır.
Hipotez Testleri
• Elbette ki üretim prosesinde yapılan bir değişiklikten
sonra elde edilen ölçüm sonuçları ile önceki ölçüm
sonuçları arasında farklılıklar çıkacaktır. Bu farklılık iki
sebepten kaynaklanmış olabilir. Birincisi rassal
sebeplerden kaynaklanan
farklılıklar, ikincisi ise
yapılan ayarlamadan kaynaklanan farklılıklardır. Üretim
prosesinde yapılan değişikliğin kaliteyi yükselttiğine
karar verebilmek için bu farkın rassal sebeplerden ileri
gelmeyecek kadar önemli bir fark olması gerekir. Bu
farkın belirlenebilmesi için bazı istatistik testlerden
faydalanılır. İşte bu testlere hipotez testleri adı verilir.
Hipotez Testleri
• Genel anlamda hipotez belli bir konu hakkında ileri
sürülen iddia dır. İstatistik hipotez testleri ise belli bir
kütle parametresinin (µ,  vs.) değeri hakkında ileri
sürülen ve geçerliliği istatistik testlerle ortaya konabilen
varsayımlardır.
• Mesela belli bir mamulün üretim süresinin ortalaması
için 15 dakika olduğu şeklindeki varsayım bir hipotezdir.
Bu hipotezin doğru ya da yanlış olması mümkündür.
Bunun doğruluğunu test etmek için kullanılabilecek en
basit yaklaşım ana kütle için tam sayım yapmaktır. Yani
üretilen bütün mamullerin gözlemlenmesidir.
Hipotez Testleri
• Üretilen bütün mamullerin gözlemlenmesi çoğu zaman
imkansızdır. Öte yandan böyle bir yöntem yüksek
maliyetli ve zaman alıcıdır. Bunun yerine bu mamulün
üretimi esnasında rastgele gözlemler yaparak yani
örnekleme yaparak mamulün ortalama üretim süresi
hakkında ileri sürülen iddia belli bir risk düzeyinde test
edilebilir. Bunun için söz konusu parametrenin (burada
ortalama) örnekleme dağılımının bilinmesi gerekir.
Önceki bölümde ortalamaların, oranların, farkların,
varyansların
ve
varyans
oranlarının
dağılımı
incelenmiştir. İşte bu dağılımlar dikkate alınarak
hipotezler test edilir.
Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez
• İstatistik hipotezlerin testinde bir hipotezle onun karşıtı
olan diğer bir hipotezden hangisinin örneklemden elde
edilen sonuçla daha iyi bağdaştığı araştırılmaktadır.
Karşılaştırılan iki hipotezden birine ‘‘Sıfır Hipotezi (H0)’’
diğerine ‘‘Alternatif Hipotez (H1 veya Ha)’’ adı verilir.
• Hipotezlerin daima örnekleme yapılmadan önce
oluşturulması gerekir. Çünkü örnekleme yapıldıktan
sonra bu sonuçlara göre mutlaka reddedilecek veya
kabul edilecek hipotezler oluşturulabilir. Bu durum
bilimsel araştırmadaki objektiflik kriterine aykırıdır.
Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez
• Bir problemin çözümüne başlamadan önce oluşturulan
hipoteze göre, ana kütlenin bilinen değeri ile örnekten
elde edilen değeri arasında “önemli bir fark olmadığı’’
kabul edilir, ki buna H0 hipotezi denir. Söz konusu iki
değer arasında ‘‘önemli bir farkın olduğunu” ileri
süren diğer hipotez ise H1 alternatif hipotez olur.
• H0 hipotezi daima bir kütlenin parametresinin belli bir
değere eşitliği şeklinde oluşturulurken, alternatif hipotez
parametrenin bu değerden büyük, bu değerden küçük
ya da bu değerden farklı olduğu şeklinde teşkil edilir.
Alternatif hipotezin yönüne göre hipotez testi tek taraflı
ya da çift taraflı olarak yapılır.
Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez
• Örnek: bir işletmede geçmiş kayıtlara göre belli bir
mamulün üretim süresinin 25 dk olduğu bildiriliyor.
Bu departmanda çalışan üretim sorumlusu mamulün
daha uzun sürede üretildiğini düşünmektedir. Bu
düşünceyi test etmek için hipotezler şöyle oluşturulur.
H0: µ = 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dakikadır.)
H1: µ > 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dk’dan
fazladır.)
Burada hipotez tek taraflıdır ( alternatif hipotez tek
yönlüdür.), Test işlemi dağılımın sağ tarafı dikkate
alınarak yapılmalıdır.
Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez
• Üretim mühendisi mamulün üretim süresinin 25 dakikadan
daha az sürede yapıldığını düşünüyorsa, bu durumda
hipotezler şöyle oluşturulur.
H0: µ = 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dakikadır.)
H1: µ < 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dk’dan azdır.)
Böyle bir durumda yine hipotez testi tek taraflı olarak
yapılacaktır. Test işlemi için dağılımın sol tarafı dikkate
alınacaktır. Çünkü alternatif hipotezin yönü küçüklük
şeklindedir.
Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez
• Mühendis üretim süresinin 25 dakika olmadığını
düşünüyorsa, yani 25 ten az ya da çok olabileceğini
düşünüyorsa, bu durumda hipotezler şöyle oluşturulur.
H0: µ = 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dakikadır.)
H1: µ ≠ 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dakika değildir.)
• Böyle bir durumda hipotez testi çift taraflı olacaktır.Test
işlemi için dağılımın hem sağ, hem de sol tarafı dikkate
alınacaktır. Çünkü alternatif hipotezde her iki taraftaki
farklılıklar dikkate alınmaktadır.
Hipotez testlerinde yapılan hatalar
• Belli bir ana kütle parametresini test etmek amacıyla
kurulan bir Ho hipotezi ya doğru olacak ya da yanlış
olacaktır.
• H0 hipotezi doğru da olsa yanlış ta olsa yapılan test
sonucunda ya kabul edilecek, ya da reddedilecektir. Bu
işlem sonucunda karar doğru olabileceği gibi yanlış ta
olabilir. Bu durum aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
Verilen Karar
H0 Kabul
H0 Red
Gerçek Durum
H0 Doğru
H0 Yanlış
Doğru Karar
I. Tip Hata()
II. Tip Hata()
Doğru Karar
Hipotez testlerinde yapılan hatalar
• Yukarıdaki tablo incelendiğinde hipotez testlerinde
yapılan iki hatanın neler olduğu anlaşılmaktadır.
• Ho Hipotezi doğru olduğu halde reddedilirse bir hata
işlenmiş olur ki buna 1. tip hata ya da () hatası adı
verilir. Bu hataya üretici riski de denmektedir.
•  = P(H0 red / H0 doğru)
• Diğer bir hata ise H0 yanlış olduğu halde kabul
edilmesidir. Buna da 2. tip hata ya da (β) hatası adı
verilir. Bu hataya tüketici riski de denmektedir.
• β= P(H0 kabul/ H0 yanlış)
Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar
• Test istatistiği: Kütle parametresini testi için elde edilen
örnek istatistiğine denir. Örnekten elde edilen ortalama
oran ve varyans gibi değerler test istatistiği olarak
adlandırılır.
• Kritik değer: H0 hipotezinin kabul ve red bölgelerini
ayıran ilgili dağılıma ait sınır değere denir. Bu değerler
normal, t,ki-kare ve F dağılımından elde edilir.
• Kabul bölgesi: H0 hipotezinin kabul edildiği sonuçlar
kümesi.
• Red bölgesi: H0 hipotezinin reddedildiği sonuçlar
kümesi.
Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar
• Anlam düzeyi: Doğru hipotezin reddi (I. Tip hata) riski
olup, test işlemlerine geçmeden önce belirlenen bir
olasılık düzeyidir.  için genellikle 0,01, 0,05 gibi
olasılıklar seçilir. Birinci tip hata yapma riskini azaltmak
için ’ nın küçük seçilmesi gerekir. Ancak ’nın küçük
seçilmesi II. Tip hata (yanlış hipotezin kabulü) (β) riskini
artırır.
Yani
’yı
küçük
tutmak
ana
kütle
parametresinden daha uzak olan örnek istatistiklerini de
kabul bölgesi içine dahil etmek demektir.
• Testin Gücü: H0 hipotezi yanlış olduğunda H0 hipotezini
reddetme olasılığına testin gücü denir. Testin gücü
1-’ya eşittir.
Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar
: anlam düzeyi (I. Tip hata riski)
1- : Güven düzeyi (Doğru hipotezin kabul olasılığı)
β: II. Tip hata riski ( yanlış hipotezin kabul olasılığı)
1- β: Testin gücü ( Yanlış hipotezin reddi olasılığı)
Aşağıdaki şekilde yukarıdaki ifadelerin dağılım üzerindeki
yerleri gösterilmiştir. Şekil hipotezlerin aşağıdaki gibi olması
durumuna göre dizayn edilmiştir.
• H0: µ = µa
• H1: µ = µb
•
•
•
•
•
Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar
• Örnek hacmi sabit kalırken, olasılığının azalması 
olasılığının artmasına sebep olurken, aksine 
olasılığının artması  olasılığının azalmasına sebep
olmaktadır. Hem I. tip hatanın hem de II. tip hatanın
birlikte
azaltılması
isteniyorsa,örnek
hacminin
arttırılması yoluna gidilir. Ancak bu çoğu zaman pahalı,
bazen de imkansızdır. Dolayısıyla böyle durumlarda
I. tip ve II. tip hatalardan hangisinin daha önemli
olduğuna karar vermek suretiyle  ve  değerleri uygun
şekilde belirlenmelidir.
Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar
• Tek yönlü hipotez testi: Hipotezin red bölgesinin
dağılımın sadece bir bölgesi olması durumudur.
Yani alternatif hipotezin büyüklük ya da küçüklük
şeklinde oluşturulmasıdır.
• Çift yönlü hipotez testi: Hipotezin red bölgesinin
dağılımın her iki bölgesinde de bulunması
durumudur. Yani alternatif hipotezin farklılık
şeklinde oluşturulması durumudur.
Hipotez testlerinin aşamaları
• 1. Aşama Hipotezlerin teşkil edilmesi: Bilindiği gibi
araştırmanın başlangıcında H0 ve H1 hipotezlerinin
belirlenmesi gerekir. H0 hipotezi ana kütle parametresinin
belli bir değere eşitliği şeklinde oluşturulurken alternatifi
kütle parametresinin bu değerden büyük, küçük ya da farklı
olduğu şeklinde oluşturulur.
Alternatif hipotezin tek taraflı, ya da çift taraflı olması
araştırma sonucunda nasıl bir karara ulaşmak istediğimize
bağlıdır. Mesela: Bir makinenin kusurlu oranının belli bir
değerden büyük olup olmadığı büyüklük hipotezi ile test
edilirken, Üretilen bir parçanın mukavemetinin belli bir
değerden küçük olup olmadığı küçüklük hipotezi ile test
edilir. Eğer araştırılan şey bir tartım makinesinin doğru
çalışıp çalışmaması ile ilgili ise hipotez çift taraflı test
edilmelidir. Burada makinenin yüksek ya da düşük tartma
eğiliminde olup olmadığı araştırılacak, dolayısıyla hipotez
testi her iki yöndeki farklılıkları da göz önüne almalıdır.
Hipotez testlerinin aşamaları
• 2. Aşama anlam düzeyinin seçilmesi: Bilindiği gibi anlam
düzeyi  ile gösterilmekte ve doğru hipotezin reddi (I. Tip
hata) riskini ifade etmektedir.  ve β hatalarının önemine
göre bir anlam düzeyi seçilir. Genel olarak anlam düzeyi
olarak 0,01 ve 0,05 olasılıkları seçilmektedir.
• 3. Aşama olasılık dağılımının belirlenmesi: Hipotezin testi
için kullanılan örnek istatistiğinin hangi olasılık dağılımına
sahip olduğunun belirlenmesi gerekir. Zira test işlemi bu
dağılım kullanılarak yapılır. Ortalamaların, oranların,ve
farkların dağılımı büyük örnek hacimlerinde normale
yaklaşırken, küçük örneklerde t dağılımına yaklaşmaktadır.
Varyansların
dağılımı Ki-kare
dağılımına
uyarken,
varyansların karşılaştırılması için kullanılan varyans
oranlarının dağılımı F dağılımına uymaktadır.
Hipotez testlerinin aşamaları
• 4. Aşama hipotezin kabul red sınırı için kritik değerin
bulunması
• 2. aşamada belirlenmiş olan anlam düzeyine ve 3. aşamada
belirlenmiş olan olasılık dağılımına bağlı olarak alternatif
hipotezin yönü de dikkate alınarak örnek istatistiğinin uygun
olduğu dağılımdan kritik dağılım değeri belirlenir. Belirlenmiş
olan bu kritik değerin ötesi hipotezin red bölgesi olurken,
diğer tarafı kabul bölgesi olarak kabul edilir.
• 5. Aşama test istatistiğinin hesaplanması: Örnek istatistiği ile
sıfır hipotezinde belirlenmiş olan ana kütle parametresi
arasındaki farkı standart hata birimleriyle ifade eden ölçüye
test istatistiği ya da deneysel dağılım değeri denir. Bu
istatistik ile kritik dağılım değeri karşılaştırılarak hipotezler
hakkında karar verilir. Test istatistiği kritik değerin ötesinde
olursa H0 hipotezi reddedilirken, gerisinde kalıyorsa hipotez
kabul edilmektedir.
• 6. Aşama istatistik karar: Kritik dağılım değeri ve test
istatistiğinin karşılaştırılması ile H0 hipotezi konusunda karar
verilmesi aşamasıdır.
Örnekler
• Bir işletmenin günlük elektrik enerjisi talebinin
ortalamasının 5000 Kwh olduğu bildirilmiştir. İşletme
teknik müdürü talebin 5000 Kwh’dan daha fazla
olduğunu düşünmektedir. Bu durumu araştırmak
amacıyla bir örnekleme yapılıyor. Araştırmada sıfır ve
alternatif hipotezler ne olur? Yazınız.
• Çözüm:
• H0 : =5000Kwh ( Ortalama günlük talep 5000 Kwh dır.
• H1 : >5000Kwh (Ortalama günlük talep 5000 Kwh’dan
büyüktür.)
Örnekler
• Bir mamulün ortalama ömrünün 100 saat olduğu iddia
edilmektedir. Bu mamulün tedarikçisi bir firma mamulün
ömrünün 100 saatten az olduğu konusunda şüphe
duymaktadır. Bu amaçla yapılacak bir araştırmada sıfır
ve alternatif hipotezler ne olur?
• Çözüm:
• H0 :  = 100 (Mamulün ortalama ömrü 100 saattir.)
• H1 :  < 100 (Mamulün ortalama ömrü 100 saaten az dır.)