Transcript 2.Hafta Ders Notu (Türkçe)

Prof. Dr. Asaf Varol
2012-2013 Bahar Dönemi
1


Verilen bir problem için diferansiyel ve integral denklemleri anlatan
belirli fiziksel parametreler vardır.
Cebirsel denklemler iki kategoriye ayrılırlar.
1) Doğrusal olan (linear)
2) Doğrusal olmayan (non-linear)

Doğrusal (linear): Bilinmeyen bir başlangıç değeri içerir, açık veya
gizli olabilir. Bilinmeyen parametrelerdeki doğrusal değişiklikler yine
bilinmeyen parametreli fonksiyona işaret eder.

Örnek: Uzaklığı s olan, bulunduğu konumdan hareket eden bir
nesnenin konumu t=0 anında s = s0 dır ve sabit hareket hızı v, ilgili
zamanda;
s= s0 +Vt olur.
s ve V arasındaki herhangi bir doğrusal bağlantı ve ayrıca V’nin
zamanla değişmediği varsayılırsa, V; s ve t arasındadır.

2

Doğrusal olmayan: Üssü birden farklı bir değere sahip olan ve/veya
doğrusal olmayan fonksiyonlar içeren denklemlerdir.

Örnek: dv/dt= sabit = a≠0 kabul edersek, nesnenin üstünde gitgide
hızlanan bir hareketi vardır (yerçekimi ivmesi benzeri),s ve t arasında
görecelidir.
s=so + Vot + (a/2)t2

Vo başlangıç hızıdır. Bu denklem, uzaklık (s) ve zaman (t) arasında
doğrusal olmayan bir ilişkiye sahiptir, çünkü t parametresinin karesi
gereklidir.

Örnek: Takip eden açının arasındaki ilişki θ açısı, zamanla t doğrusal
olmayan bağlantıdır.
θ=θocos ( *t)

Osilasyon  =√(g/L), θo başlangıç açısıdır, g yerçekimi ivmesi ve L
bağlantı çubuğunun uzunluğudur. Bu denklem doğrusal değildir.
Çünkü; trigonometrik fonksiyon olan Cos() fonksiyonu doğrusal
değildir.
3

Bir nesnenin sürüklenmesi sonucu değişen hızı;
bo yerçekimi ivmesidir. c sabit sürüklenme katsayısıdır. Denklem
(2.1.4a,b)’nin çözümü aşağıda verilmiştir.

Hızı bulalım ve zaman hangi s=0 aralığındadır; (Not; t=0 s=0 V=100
anlamsız bir çözüm yoludur)
4


Doğrusal olmayan denklemler f(x)=1980(1-e-0,1t)-98t iken f(x)=0
olabilir.
X bağımsız değişken ve f(x)’in bir fonksiyonudur.
for t=-10:30
ft=(1-exp(-0.1*t)-0.05*t)
plot(t,ft,'r*')
hold on
grid on
end
xlabel('t(sec)')
ylabel('F(t)')
5


Bu grafiğin yorumu kolayca yapılabilir ve denklem düzenlenebilir.
e-0.1t=1-0.05t
Burada, düz çizginin y=1-0.05t kesişme noktası aranılacaktır, bu üstel f(t)=e-0.1t
iken grafiği çizilmiştir.
for t=-10:30
ft1=exp(-0.1*t)
ft2=1-0.05*t
plot(t,ft1,'r*',t,ft2,'b+')
hold on
end
text(10,2.5,'* f(t)=exp(-0.1t)')
text(10.,2.2,'+ f(t)=1-0.05t')
xlabel('t(sec)')
ylabel('F(t)')
6

Problem: Fonksiyonu tarayarak yaklaşık bir kök bulalım.

Çözüm: ∆t=10 olarak alalım ve t=0 anından itibaren tarayalım. Tablo
2.1den yaklaşık kök değerinin t=40 civarında olduğunu görüyoruz.
Gerçek (kesin) kök (40,50) aralığındadır, çünkü fonksiyon bu aralıkta
işaret değiştirmektedir.

Tablo 2.1 fonksiyon değerleri
t
f(t)
0
0.0
10
-15.81
20
-15.31
30
-8.80
40
-0.085
50
9.44
7

Problem: Doğrusal olmayan aşağıdaki denklemin en küçük iki pozitif kökünü
bulalım.

Tablo E2.2 :Farklı artma değerleri kullanılarak Örnek E2.2’yi çözdüğümüzde,
köklerin değerlerinin yer değiştiğini görürüz.
8
Bisection, sürekli bir fonksiyonun bir sıfırının bulunması için kullanılan
sistematik bir tarama tekniğidir. Bu yöntem, içerisinde bir sıfır bulunan bir
aralığın öncelikle tespitine dayanır. Aralık sonunda fonksiyon zıt işarete
sahiptir. Sonra aralık iki eşit alt aralığa bölünür ve hangi aralığın bir sıfır
değeri içerdiğine bakılır. Sıfır içeren alt aralıklarda hesaplamalara devam
edilir.
Bir fonksiyon a ve b aralığında işaret değiştirsin ve bir [a, b] aralığında sıfır
değerinin olduğunu varsayalım. Aralığın orta noktası
m=(a+b)/2 dir.
ve bir sıfır [a, m] yada [m, b]
aralığında olmalıdır.
9

Uygun alt aralıklar, fonksiyonun
[a,m] değerleri arasında işaret
değiştirip değiştirmediği görülerek
test edilir.

İşaret değişiyorsa tarama bu
aralıkta sürdürülür, değilse [m, b]
aralığında tarama devam eder.
Sağdaki şekil fonksiyonun sıfır
değeri için ilk yaklaşımı
göstermektedir.
Y=f(x)=x2-3
10

Bisection yöntemi kullanarak
fonksiyonunun köklerini bulunuz.
Başlangıç aralığı a=1 ve b=2 dir.
 Başlangıç;

İlk iterasyon;
bundan dolayı sıfır [1,3/2] aralığında değildir.
 Sıfır [1,3/2] aralığında olduğunda, a=3/2 ve ya=-3/4 olarak atanır, b ve
değişmeyen yb değerleri aynen kullanılır.
11

Sonuçlar tablo olarak yazılırsa, konuyu anlamak daha kolay
olacaktır.
12
13
14

Bisection yöntemi genellikle yavaşça yakınsar ve bazen tam
olarak çalışmayabilir.
Şekil 2.2.3 (x1, x2) aralığında f(x)<=0 için ve (x3, x4) aralığında f(x)>=0
için Bisection yöntemi çözüm üretmez. Her iki aralıkta sadece tek kök
vardır.
15

Problem : Bir top Vo=10m/s başlangıç hızı ile yerden yukarı doğru fırlatılmaktadır.
(hızlanma a= g= -9,8m/s2 dir). Topun yere dönmesi için gereken zamanı
hesaplayınız.Topun hareketi için aşağıda verilen denklem kullanılacaktır.
Tablo E2.2.1.: Bisection yöntemi ile F(t)=1+10t -4,9t2 fonksiyonunun sonuçları aşağıda
verilmiştir. Ea=yaklaşık hata ea=yaklaşık bağıl (göreceli) hata.
16


Problem: Hızı ile orantılı bir sürüklenme kuvvetine sahip bir cismin
hareketi problemini ele alalım. Cismin hareket denklemleri aşağıda
verilmiştir.
So=0, Vo=100 m/s ,bo = -g = -9,80 ve c=0,12 olarak alalım. Herhangi
s=0 zamanından sonra, cismin dikey yükseliş hareketini ve hızını
bulalım.

S=0 olarak ayarlayalım ve yeniden hesaplayalım.

Taramada yada çizimde 10<t<20 aralığında bir kök vardır. Bunun için
t1=10 ve t2=20 alırız.
17
18

Yanlış pozisyon (yada regula falsi ) metodu yakınsama güzergahında
küçük düzelme ile bisection metoda benzer.

Kökün en düşük ve en yüksek sınırı genellikle daha iyi bir tahmin için
kullanılır.

Doğrunun ve problemde verilen s rampasının yeri;
19
Şekil 2.2.4 Yanlış pozisyon metodunun gösterimi
20

Bununla birlikte; Yanlış pozisyon metodunda özel durumlar vardır,
Bisection Metot’undan daha iyi tahmin edilemez (sonuç vermez).
Şekil 2.2.5:Yanlış Pozisyon Metodu,özel durumlarda Bisection Metodundan daha iyi sonuç
vermez.
21
22
23

Doğrusal olmayan denklemlerin köklerinin bulunması için en kolay
yoldur.(Basit iterasyon yolu olarak da bilinir.)

Denklemlerin a=g(a) formuna ihtiyacı vardır.
Örneğin;
F(x) = x – ln (4 + x) = 0

Yeniden düzenlenebilir;
x = ln (4 + x) = f(x)

Genel iterasyon prosedürü :
xi+1 = f(xi)
24
25
26
27

Newton-Raphson metodu,Taylor serisinin x= xi noktasından
genişletilmesi ile sağlanabilir.
F(xi+1) = F(xi) + F(xi)h + F(xi)h2/2 + F(xi)h3/6 + …

xi+1 kök için yapılan sonraki tahmindir ve h = xi+1 - xi

Eğer gelecek xi+1 iterasyonu yaklaşık olarak kök ise o zaman
F(xi+1) 0)
olur.
Newton Raphson Metodu Taylor serisinin ikinci evrede
kesilmesinden elde edilir ve F xi+1 in çözümü;

28
29

Hata: Hata, Taylor serisinin önde gelen kırpma hatalarından tespit
edilir.

Gelecek iterasyondaki hata Ei = xr - xi ise,Ei+1 akım hatasıdır.

Yakınsama- ardışık hataları daha küçültme gibi, metodun
yakınsaması şu şekilde yeterli olur;

Sonraki iterasyon hatası önceki iterasyon hatasına oranlandıktan
sonra, Newton Raphson Metodu ikinci dereceden yakınsamaya sahip
olur ve böylece bu da ikinci sıra metodudur.
30
31
32
33
•
•
•
•
•
Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering
Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001
Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and
Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper
Saddle River, NJ 07458
Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and
Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458
Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using
MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ
07458
Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course
notes, Firat University, 2001
34