Transcript oran konusunun kavramsal ö*ren*m*nde kar*ıla*ılan zorluklar ve

ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL
ÖĞRENİMİNDE KARŞILAŞILAN
ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM
ÖNERİLERİ
KAZANIMLAR









ORANTISAL DÜŞÜNEBİLME YETENEĞİ
ORAN VE ORANTI
TOPLAMSAL VE ÇARPIMSAL İLİŞKİLENDİRME YAPABİLME
YETENEĞİ
NİTEL MUHAKEME VE NİCEL MUHAKEM
ORAN KAVRAMININ İÇERDİĞİ NİTEL VE NİCEL(KANTATİF)
MUHAKEME ÇEŞİTLERİ
ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASI SÜRECİNDE
KARŞILAŞILABİLECEK MUHTEMEL KAVRAM YANILGILARI
ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASINDA
KARŞILAŞILABİLECEK MUHTEMEL ÖĞRENME ZORLUKLARI
ORAN KONUSUMDA KAVRAM YANILGILARI VE Ö ĞRENME
ZORLUKLARI ÜZERİNE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ
SONUÇ VE DEĞERLENDİRME
Oran ve orantısal düşünebilme yeteneği fen ve matematik
bilimlerinin temel taşlarından biri olup birçok temel
matematiksel kavram ve konunun bel kemiğini oluşturur.
Bunlar arasında en önemlileri ölçme, cebir, olasılık,
trigonometri, istatistik ve geometridir. Ayrıca oran
kavramı birçok yüksek matematiksel kavram ve konulara
da taban teşkil etmektedir. Oran kavramı ve orantısal
düşünebilme yeteneğinin alt yapısında birçok nicel ve
nitel muhakeme çeşitleri yer almaktadır.
Öğrencilerin kavram yanılgıları ve öğrenme
zorlukları ile karşılaşmalarının en önemli sebebi
gerekli muhakeme çeşitlerinin yeterince
kavrayamamaları ve uygulayamamalarıdır. Bundan
dolayı bu bölümde oran kavramı ve orantısal
düşünebilme yeteneğinin anlamı ile alt yapısını
oluşturan muhakeme çeşitlerine de yer
verilecektir.
Matematik eğitimi alanında oran ve orantısal düşünebilme
yeteneği üzerine yapılan birçok çalışma vardır. Bu çalışmaların
çoğu farklı yaş gruplarının öğrencilerin orantısal düşünmeyi
gerektiren durumlarda hangi stratejilere başvurdukları üzerine
yapılmışken birkaçı da oran kavramı ve oran konusunun
kavramsal olarak öğrenilmesi üzerine odaklanmıştır. Bu
çalışmalar arasında oran konusundaki kavram yanılgıları üzerine
doğrudan odaklanan bir çalışma yoktur. Bu bağlamda, oran
konusunda kavram yanılgıları ve öğrenme zorlukları üzerine
konuşurken, şu ana kadar yapılmış çalışmaların bulgularından
faydalanılacak ve bu bulgular kavran yanılgısı perspektifinden
özel olarak ele alınıp yorumlanacaktır. Öncelikle orantısal
düşünebilme yeteneği ele alınacak ve bu yetenek ışığında, daha
sonra öğrencilerin oran kavramıyla ilgili kavram yanılgıları ve
zorlukları üzerinde durulacaktır.
ORANTISAL DÜŞÜNEBİLME YETENEĞİ
Genel bir ifade ile orantısal düşünebilme yeteneği, farklı
ya da aynı ölçme uzaylarına ait çoklukların(nesnelerin)
karşılaştırılabilmesi demektir. Çoklukların
karşılaştırılabilmesi nicel ve nitel muhakemelerle birlikte
çok yönlü düşünebilmeyi gerektirir. Ayrıca orantısal
düşünebilme yeteneği, karşılaştırılan çoklukların aynı
anda birbirlerine göre bağıl değişimlerini göz önünde
bulundurarak karşılaştırmanın doğası hakkında
yorumlama yapabilme ve karar verebilme yetisini de
içermektedir. Buradan hareketle orantısal düşünebilme
yeteneğinin, oran ve orantı kavramını da içeren kapsamlı
bir matematiksel düşünce sistemi olduğunu söyleyebiliriz.
Orantısal düşünebilme yeteneğinin merkezini teşkil
eden “karşılaştırma”da öne çıkan bazı özelliklerin ve
karşılaştırmanın yapısının(içeriğinin) bilinmesi,
orantısal düşünebilme yeteneğinin kazandırılmasında
ve kavram yanılgılarının önlenmesinde önemli yer
tutar. Dolayısıyla çoklukların karşılaştırılmasında öne
çıkan ve karşılaştırmanın yapısını belirleyen
özelliklerden ve oran kavramının içerdiği nicel ve
nitel muhakeme çeşitlerinden bahsetmekte fayda
görüyoruz.
ORAN VE ORANTI
Oran ve orantı kavramları birçok araştırmacı tarafından
tanımlanmıştır. Bunlar arasında Thompson (1914) oran
kavramına öğrenenler açısından yaklaşmış ve şu şekilde
tanımlama yapmıştır: “Oran, farklı ölçme uzaylarına ait iki
çokluğun çarpımsal olarak karşılaştırılması sonucu elde edilen
bir ölçümdür.” Bu ölçümün genelleştirilmiş halini ise lineer
fonksiyon olarak ifade etmiştir. Vergnaud ise oranı şu şekilde
tanımlamıştır:”Aynı ölçme uzayına ait çoklukların çarpımsal
olarak karşılaştırılması sonucu elde edilen ölçüme (birimsiz)
oran denir. Bu iki araştırmacının yaklaşımlarını incelerken göze
çarpan, oran kavramının birimli ve birimsiz oran olarak
değerlendirilmiş olmasıdır. Thompson’ın tanımında “birimli
oran”dan bahsedilirken, Vergnaud’un tanımında “birimsiz oran”
söz konusudur.
Bu iki yaklaşım oran kavramının öğrenilmesinde
önemlidir. Bu nedenle bu husus daha sonraki bölümlerde
ele alınacaktır. Orantı kavramını ise Lamon “aynı ilişkiyi
gösteren iki oranın eşitliği” olarak tanımlanmıştır.
Thompson’ın tanımından yola çıkarak “birimli oran”a
bir örnek vermek gerekirse; 3 ölçek şeker ile 2 ölçek saf
su karıştırıldığında, çözeltinin yoğunluğunu ya da ne
kadar tatlı olduğunu matematiksel olarak ifade eden
değer, 3/2=1,5 şeker/su şeklindedir. Bu değerin adı
orandır ve oran bu çözeltinin yoğunluğunun ölçümüdür.
Bu durumda oran birimlidir ve birimi şeker/su’dur.
Vergnaud’un tanımından yola çıkarak “birimsiz oran”
için bir örnek vermek gerekirse; 6 tane masa tenisi
topunun fiyatı 2,4 TL dir. 15 tane topun fiyatı nedir?
orantı sorusunu düşünelim. Bu soruda 6 tane masa tenisi
topu ile 15 tane masa tenisi topu ve 2,4 TL ile 6 TL nin
karşılaştırılması durumunda aynı ölçme uzayına ait
çokluklar karşılaştırılmıştır. Çünkü toplar kendi
aralarında ve bu topların fiyatları olarak verilen TL ler de
kendi aralarında karşılaştırılmıştır. Bu durumda orantı
6/15=2,4/6 olur ve oranlar ( 6/15 ile 2,4/6 ) birimsizdir.
Öte yandan, 6 tane masa tenisi topu ile buna
karşılık gelen 2,4 TL karşılaştırılır ise oran 6/2,4
olur. 15 tane masa tenisi topu ile bu kadar masa
tenisi topuna karşılık gelen 6 TL karşılaştırılır ise
oran 15/6 olur. Bu şekilde farklı ölçme uzayına ait
çokluklar karşılaştırılmış olur. Bu durumda orantı
6/2,4=15/6 olur ve oranlar, 6/2,4 ile 15/6 , ve oran
birimi ise top sayısı/TL olur.
Bu örnekte dikkat çeken nokta, öğrenciye bu iki tanımın
farkındalığının kazandırılabilmesinin yanında bu iki
kazanımın desteklediği “bir orantıda içler/dışlar kendi
aralarında yer değiştirebilir” kuralının verilebilmesidir. Bu
örnekte verilen orantıda yer alan 15 sayısal değeri ile 2,4
sayısal değeri yer değiştirdiğinde orantı değişmemektedir.
Aynı şekilde, birimli oran ve birimsiz oran tanımlarının
farkındalığının önemli olduğu diğer bir husus bu iki oranın
hem kendi içlerinde farklı kavram anlamları içermeleri ve
hem de taban teşkil ettikleri fen ve matematik kavramlarının
anlaşılmasında önemli olmalarıdır.
Ayrıca, birimsiz oran mesela geometrik şekillerin
benzerliği veya ölçmede ön plana çıkarken, birimli
oran yoğunluk, sıcaklık(Kelvin), hız gibi temel fen
kavramlarında ön plana çıkmaktadır. Dolayısıyla,
bu iki oran tanımının farkındalığının
kazandırılması öğrencilerin oran ve orantı
kavramlarını içeren durumlara hakim olmalarını
sağlayacaktır.
TOPLAMSAL VE ÇARPIMSAL
İLİŞKİLENDİRME YAPABİLME YETENEĞİ
Bu alt bölümde, toplamsal ilişki ve çarpımsal ilişkiyi
düşünebilme becerisinin ne olduğu ifade edilecektir.
Toplamsal ve çarpımsal ilişkilendirme yapabilme
yeteneğine yer vermek istememizin birinci sebebi,
ilköğretim seviyesindeki okullarımızda öncelikle toplama
kavramının verilmesi ve daha sonra bu kavramı bir seviyeye
kadar esas alan çarpım kavramının öğretilmesidir. Bu
bağlamda, toplama kavramı, çarpımsal ilişkilendirme
gerektiren durumlar üzerinde düşünürken öğrencilerin
doğal olarak başvurdukları bir kavramdır. İkinci önemli
sebebi ise, oran kavramının çarpımsal ilişkilendirme
gerektiren bir kavram oluşudur.
İlköğretim döneminde öğrencilerin geçtiği ilk düşünce
sistemlerinden biri toplamsal ilişki kurabilme yeteneğidir.
Toplamsal ilişki kurabilme yeteneğinin iki boyutu vardır.
Bunlar kavramsal boyut ve sayısal işlem boyutudur. Aynı
ölçme uzayına ait çoklukların bir araya getirilmesi, elde
edilen miktarın toplam miktara eşit olması ve elde edilen
miktarın bileşenlerinin birbirlerine göre mutlak ilişki
içerisinde bulunduğunun bilinmesi kavramsal boyut ile
ilgilidir. Elde edilen miktarın bileşenler açısından sayısal
olarak ifade edilebilmesi ise işlemsel boyut ile ilgilidir. Bu
bağlamda, aynı ölçme uzayına ait çokluklar somut
çokluklardır ve bir araya getirilmeleri sonucunda elde edilen
miktar yine aynı ölçme uzayına aittir.
Çok basit bir örnek üzerinden açıklayacak olursak, 3
bilye ile 5 bilye gösterilebilen somut çokluklardır ve
bir araya getirilmeleri sonucunda oluşan miktar yine
aynı ölçme uzayına ait 8 bilyeye eşit gelir. Bu üç
çokluk arasındaki mutlak ilişkilendirebilme yeteneği
ise bu üç çokluğun birbirlerine göre(eklenen)
artan/azalan (çıkan) ilişkilerinin
değerlendirilebilmesidir. 5 bilyenin 3 bilyeden 2 fazla
olduğu, 8 bilyenin 5 bilyeden 3 fazla ve 3 bilyeden 5
fazla olması gibi.
Öğrencilerin ilköğretim döneminde geçtiği ikinci düşünce
sistemi ise, çarpımsal ilişkilendirme yapabilme yeteneğidir.
Çarpımsal ilişkiyi düşünebilme yetisi, çokluklar arsında
göreceli yani bağıl bir ilişki olduğunu kavramayı gerektirir.
Yine bilye örneğine dönecek olursak, çokluklar arasında
bağıl bir ilişki olduğunun kavranması 3 bilyenin 5 bilyenin
3/5 ini teşkil ettiğinin ve 5 bilyenin 3 bilyenin 5/3 katı
olduğunun düşünülebilmesi demektir. Diğer bir deyişle,
“5 bilye, 3 bilye cinsinden 1.666” veya “3 bilye 5 bilye
cinsinden 0.6 dır” türünden bir ilişki olduğunu kavramayı
gerektirir. Çarpımsal ilişkilendirme yeteneğinin
kazandırılması, bu düşünce sisteminin gerektiği yerlerde
kullanılabilmesi açısından öğrencilere gerekli donanımı
sağlamış olur. Bu bağlamda oran kavramının
oluşturulmasında da kolaylık sağlar.
Oran kavramı doğası gereği çarpımsal ilişkilendirme
kurulması gereken durumları içerir ve bu durumların
farkındalığının geliştirilmesini gerektirir. Aksi
takdirde kavram yanılgılarına zemin oluşturabilir.
Oran kavramının çarpımsal ilişkilendirme ile bağıntısı
daha sonraki alt başlıklarda ele alınacaktır. Ancak
burada bu örnekle toplamsal ilişki kurabilme yeteneği
ile oran kavramının ilişkisi üzerinde durmakta fayda
görüyoruz. Daha sonra, kavram yanılgıları alt
bölümünde yine toplamsal ilişki kurabilme ve oran
kavramı arasındaki ilişki farklı örnekler verilerek
incelenecektir.
Daha önce oran tanımları açısından incelediğimiz
“ 6 tane masa tenisi topunun fiyatı 2,4 TL dir. 15
tane topun fiyatı nedir?” sorusu üzerinden
düşünecek olursak, toplamsal ilişkilendirme bu
sorunun çözümü için şu şekilde kullanılabilir:
6 top  12 top  15 top
2,4 TL  4,8TL  6 TL
ve toplamsal ilişkilendirme ile açıklaması şu şekilde
gerçekleşebilir. 6 top 2,4 TL ise, 6 topa 6 top daha
eklendiğinde 12 top elde edildiği için, 2,4 TL ye 2,4 TL
daha eklenmelidir ki 12 topa verilen ücret bulunabilsin.
Daha sonra 12 topa eklenmesi gereken top sayısı 15 toptan
çıkarılarak bulunur ve 3 top olarak hesaplanır. Bu
başlangıçtaki 6 toptan 3 küçüktür (veya yarısı kadar
küçüktür) ve böylece 3 topa verilmesi gereken TL miktarı
da 2,4 TL den yarısı kadar eksik yani 1,2 olacaktır. 15 topa,
12+3 olarak erişildiğinde; 4,8 TL’ye de 1,2 ekleyerek 6 TL
ye ulaşılır. Görüldüğü üzere, toplamsal ilişkilendirme
kurarak dahi olsa, orantı sorusuna çözüm
getirilebilmektedir.
Burada üzerinde durulması gereken küçük ama
önemli bir nokta “yarısı” ifadesinin çarpımsal
ilişkilendirme gerektiren bir ifade oluşudur. Bazı
araştırmacılar “yarısı” ifadesinin ilköğretim
döneminin çok daha öncesinden itibaren
kullanılmasına ve öğrenciler için bu ifadenin
yerleşmiş bir anlam taşımasından dolayı
otomatikleşmiş olmasına dikkat çekmektedir. Ayrıca
önemli olan yarım ifadesinin kullanımından sonra
yine toplam olarak çözüme ulaşılması ve öğrencinin
sorunun çözümüne genel olarak toplamsal bir
ilişkilendirme kurarak gitmesidir.
NİTEL MUHAKEME VE NİCEL MUHAKEME
Bu alt bölümde nitel muhakeme ve nicel muhakeme
ifadelerinin hangi anlamlarda kullanıldığına açıklık
getirilmektedir.
Nitel muhakeme gücünden kasıt eldeki olayın incelenerek
çokluklar arasında birbirlerine göre nasıl bir ilişki
olduğunun farkına varılmasıdır. Örneğin, “Dikdörtgen
şeklindeki bir bahçenin uzun kenarı 125 metre ve kısa
kenarı 110 metredir. Bu bahçenin uzun kenarı ve kısa
kenarı 2’şer metre uzatılıyor. Buna göre,
a)Bahçenin çevresi kaç metre uzar?
b)Bahçe daha fazla mı yoksa daha az mı kareye benzer?
Öğrenci, “a” seçeneğinde uzunluk ile toplamda bir
değişimden bahsedildiği ve dolayısıyla çokluklar
arasında mutlak bir ilişkilendirme söz konusu olduğu
gözlemine dayanarak, toplamsal bir ilişkilendirme
kurmak durumundadır. Öte yandan “b” seçeneğinde,
“alan kavramı” ile ilgilenildiği için uzunlukların
birbirlerine göre bağıl durumlarının incelenmesi ve
dolayısıyla her iki uzunluğun da aynı anda ele
alınması gereği düşünülmelidir. Tüm bu gözlemler
“nitel muhakeme gücü”ne örnek olarak gösterilebilir.
Nicel muhakeme gücü ise, eldeki olayın (yani üzerine
düşülen durumun) hangi sayısal değerlendirme yapılarak
incelenmesi (ölçülmesi) gerektiğine karar verme yetisidir.
Bahçe örneği üzerinden düşünecek olursak, nicel
muhakeme yapabilmek iki şekilde gerçekleşir. Birincisi,
bahçenin çevresinin 8 metre uzadığını, uzunluklara 2’şer
metre ekleyerek ölçmektir. İkincisi ise, orijinal durumdaki
dikdörtgenin kenar uzunlukları arasında 110/125 bağıl
ilişkisinin olduğunu ve yeni durumdaki dikdörtgenin kenar
uzunlukları arasında ise 112/127 bağıl ilişkisinin olduğunu
belirleyerek, hangi oranın 1’e daha yakın olduğuna dair bir
karşılaştırma yapabilmektir. Ancak bu karşılaştırma
sonucunda yeni şeklin daha çok karesel ya da daha az
karesel bir bölge oluşturduğu bulunabilir.
ORAN KAVRAMININ İÇERDİĞİ NİTEL VE
NİCEL (KANTATİF) MUKAKEME ÇEŞİTLERİ
Bu alt bölümde orantısal düşünebilme yetisinin bel
kemiğini oluşturan “çoklukların karşılaştırılması” ve
“karşılaştırmanın doğası” üzerinde durulacaktır.
Çoklukların karşılaştırılması nitel ve nicel muhakeme
gücü ile yakından ilişkilidir. Oran kavramı ve orantısal
düşünebilme yeteneğinin alt yapısını oluşturan nitel
muhakeme, yapısal benzerlik farkındalığı ekseninde
ele alınacaktır. Nicel muhakeme ile çoklukların
karşılaştırılması konusu işlenirken, kovaryasyon,
invaryasyon(değişmezlik) ile transformasyon
kavramları üzerinde durulacaktır.
NİTEL MUHAKEME ÇEŞİTLERİ
Yapısal Benzerlik Farkındalığı
Çoklukların karşılaştırılmasında öne çıkan ve nitel
muhakeme gerektiren özellik, yapısal benzerliği fark
edebilmektir. Yapısal benzerliği fark edebilmek şu
şekilde açıklanabilir: Karşılaştırılan çokluklar bir
durumu (durumun bir özelliğini) ifade eder ve orijinal
durumu ifade eden bu özellik çoklukların sayısal
değerlerinden bağımsızdır. Bu bağlamda, durumun
özelliği homojen bir yapıya sahiptir ve karşılaştırılan
çokluklar ne olursa olsun değişmezlik gösterir.
Örneğin; bir otomobilin ortalama hızı 30 km/s olsun.
Buradaki ölçüm (30 km/s) otomobilin hareketini ifade eder.
Yolculuk süresi ve mesafesi ne olursa olsun, hareketin
doğası değişmez ve ortalama hareket ölçümü 30 km/s
olarak kalır. Başka bir örnek vermek gerekirse, bir
limonatanın ne kadar ekşi (limoni) olduğu bu limonatanın
farklı miktarlarına bağlı olarak değişim göstermez. Aynı
limonatadan alınan küçük bir miktarın veya büyük bir
miktarın tadı yine aynı ekşilikte olacaktır. Aynı şekilde bir
kekin ne kadar tatlı olacağı veya bir çözeltinin ne kadar
çözünür olacağı orijinal durumu oluşturan çoklukların
farklı değerleri karşısında değişmezlik göstermek
durumundadır. Yani kekten alınan farklı miktardaki
örneklerin tadı veya orijinal çözeltiden alınan farklı
örneklerin çözünürlüğü yine aynı olacaktır.
Yapısal benzerlik nitel anlamda olduğu gibi nicel
anlamda da fark edilebilir. Daha önce de
bahsedildiği üzere, orantısal düşüncenin hakim
olduğu durumlar toplamsal değil çarpımsal
ilişkilendirme gerektiren durumlarda ve üzerine
düşünülen durumun çarpımsal ilişkilendirme mi
yoksa toplamsal ilişkilendirme mi gerektirdiğini
kişinin fark edebilmesi şarttır. Ancak bu şekilde
kişi, durum (ele alınan ve incelenen olay)hakkında
doğru matematiksel muhakeme geliştirebilir.
Öğrenciler öncelikle, oranı ifade eden çoklukları
tekrarlı ekleme (tekrarlı toplama) yaparak, nitel
anlamda yapıyı bozmadan yeni durumlar
oluşturabileceklerini kavrarlar. Örneğin; “3 kalem 7
TL ederse, 9 kalem kaç TL eder?” sorusunun
çözümünü, yapısal benzerliği nicel olarak tekrarlı
ekleme yapacak şekilde fark eden öğrenciler,
3
6
9
7
14
21
şeklinde ifade ederler. Diğer bir deyişle, öğrenciler
“her 3 kalem 7 TL eder” ilişkisini ve bu ilişkinin
değişmezliğini (korunurluğunu) kullanarak çözüme
ulaşırlar.
NİCEL MUHAKEME ÇEŞİTLERİ
Kovaryasyon (Birlikte Değişim)
Çoklukların karşılaştırılabilmesinde öne çıkan nicel
özelliklerden biri, çoklukların (nesnelerin) birbirine bağıl
olarak (göreceli) değişiminin göz önünde
bulundurulabilmesidir. Bu durum literatürde kovaryasyon
olarak bilinir. Çoklukların birbirine göreceli olarak
değişimi, çarpımsal ilişkinin aynı anda değişim gösteren
çokluklara uygulanabilmesini içerir. Daha açık bir ifade ile,
kovaryasyon, oranı gösteren kesirsel ifadenin faklı değerler
alması durumunda, çoklukların aynı anda değişim
(varyasyon) gösterdiğinin ve farklı değerlerin çarpımsal bir
ilişki ile birbirlerine bağlı olduklarının kavranabilmesi
demektir.
Örneğin; saatte 30 km hızla giden bir aracın, tüm
yolculuk boyunca ortalama hızının 30 km/s
olduğunun kavranabilmesi, yolculuğun süresi ile
alınan yol arasında birbirine bağlı ve eş zamanlı bir
ilişkilendirme olduğunun anlaşılmasını gerektirir.
Diğer bir deyişle, her 100 metrenin 0.2 dakikada veya
500 metrenin 1 dakikada alındığının bilinmesini
gerektirir. Daha net bir ifade ile, yolculuğun süresi
kendi içinde ve alınan yol kendi içinde miktar olarak
çarpımsal bir ilişki içindedir ve bu ilişki eş zamanlı bir
şekilde yolculuğun süresi ile alınan yol arasında da
kaydedilir.
Aracın saatte ortalama 30 km hızla gittiğinin kavranması,
dolayısıyla, yolculuk süresinin ve alınan yolun sonsuz
küçük parçalarına da aynı ilişkinin (çarpımsal)
yayıldığının (difüzyon) anlaşılmasını gerektirir.
100 metre 500 metre
0.2 dakika 1 dakika
5,000 metre
10 dakika
15 km
30 km
30 dakika 60 dakika
Değişmezlik
Oran kavramının kavramsal olarak anlaşılması
noktasında önemli olan diğer bir nicel düşünce
çeşidi değişmezliktir. Orantısal düşünce gerektiren
durumlarda iki çeşit değişmezlik söz konusudur.
Birincisi, daha önce yapısal benzerlik bölümünde
de bahsedildiği üzere, oranın ifade ettiği durumun
özelliğinin değişmezliğidir ve bu özelliği ölçen
matematiksel ifadenin (değerin) oran olduğudur.
Örneğin; duvara dayanan bir merdivenin eğiminin
(rampasının) ölçümü, merdivenin farklı noktalarında
değişim göstermez. Aynı şekilde, bir çözeltideki tuz
yoğunluğu çözeltinin miktarı ile değişim göstermez,
aynı kalır. Yani, aynı çözeltiden alınan farklı
örneklemelerde miktar değişmesine rağmen, tuz
yoğunluğu aynı olacaktır ve bu yoğunluğu ölçen
matematiksel ifade orandır. Başka bir örnek verecek
olursak, bir miktar işi belirli bir sürede bitiren bir işçi,
aynı işin daha az bir miktarını daha az bir sürede
tamamlayacaktır ama çalışma hareketinin doğası (yani
hızı) değişmeyecektir.
İkinci değişmezlik ise, oranı ifade eden
değerlerin birbirlerine göre bağıl durumlarıdır.
Yani, oranı gösterirken kullanılan kesirsel ifadenin
pay ve paydasının birbirine bölümünün sonucunda
oluşan bölüm (yani oran), pay ve paydada
gösterilen iki çokluk arasındaki değişmez ilişkiyi
gösterir. Örneğin; “6 tane masa tenisi topunun
fiyatı 2,4 TL dir. 15 tane topun fiyatı nedir?”
orantı sorusunu düşünelim.
Bu soruyu çözerken öğrenci eğer 6 tane masa tenisi topu ile
2,4 TL arsında 6/2,4 yani 2,5/1 oranı olduğunu, 2,5 sayısal
değerinin iki çokluk arasındaki çarpımsal ilişkiyi
gösterdiğini ve bu ilişkinin değişmezliğini bilirse, bu bilgiyi
sorunun çözümünde şu şekilde kullanabilir: 15 tane masa
tenisi topu ve bu sayıdaki masa tenisi topunun TL ederi
arasında bu ilişkinin olması gerekir. Dolayısıyla, 15 sayısal
değerini 2,5 değerine bölerek 15 tane masa tenisi topu için
kaç TL ödenmesi gerektiği bulunabilir. Yani 15/2,5=6 TL
eder. Bu şekilde çözüme ulaşılması, aslında öğrencinin
oran kavramını iki değişken arasındaki lineer bir bağıntı
(yani y=mx lineer fonksiyonu) olarak algıladığının
göstergelerinden biridir.
Dönüşüm (Transformasyon)
Orantısal düşünebilme yeteneği aynı zamanda
dönüşüm (transformasyon) kavramını da
beraberinde getirmektedir. Dönüşüm aynı zamanda
eşitlik kavramını da içerir. Diğer bir deyişle, oranı
gösteren kesirsel ifadenin pay ve paydası aynı sayı ile
çarpılıp (veya bölünerek) genişletilebilir ya da
sadeleştirilebilir. Bu bağlamda, eşit oranların
işlemsel olarak elde edilişi ile eşit kesirlerin
işlemsel olarak elde edilişi aynıdır.
Basit bir örnek vermek gerekirse 3/4=6/8, orantısında
6/8 oranı, 3/4 oranının hem payının hem de
paydasının 2 ile çarpılarak genişletilmesi sonucu elde
edilmiştir. Yani 3/4 oranı 6/8 oranına dönüşmüştür.
Bu oranlar gösterimsel olarak farklı olmasına rağmen
aynı değişmez ilişkiyi ifade etmektedir. Başka bir
örnek vermek istersek, 3/4=6/8 orantısında birinci
oran, 3/4 ifadesinde, 3 sayısal değerinden 1
çıkardığımızı düşünelim. Bu durumda oran 2/4 halini
alır. Bu durumda, ikinci oran olan 6/8 ifadesindeki 6
sayısından çıkarılması gereken sayısal değer 2 olmak
zorundadır.
İkinci oran ifadesindeki 6 sayısal değeri, birinci
oran ifadesindeki 3 sayısal değerinin 2 katı
alınarak dönüşüme uğradığı için, 6 sayısal
değerinden çıkarılması gereken sayısal değer aynı
şekilde 3 sayısal değerinden çıkarılan 1 sayısal
değerinin 2 katı alınarak dönüşüme uğramak
durumundadır. Yani çıkarılması gereken sayısal
değer 2’dir. Dönüşüm kavramının anlaşılmaması
durumunda ciddi öğrenme yanılgıları ortaya
çıkmaktadır.
Yukarıda açıklanmaya çalışılan tüm öğeleri (nicel
ve nitel muhakeme çeşitleri) ele alarak orantısal
düşünebilme yeteneğini tekrar ve geniş bir şekilde
tanımlamak istersek: “Orantısal düşünebilme
yeteneği, yapısal benzerlik, kovaryasyon,
değişmezlik ve dönüşüm kavramlarının tek tek
farkındalığının kazandırılması ve ilişkilendirilmesi
ile aynı veya farklı ölçme uzaylarına ait çoklukların
(nesnelerin) karşılaştırılabilmesidir.
ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASI
SÜRECİNDE KARŞILAŞILABİLECEK
MUHTEMEL KAVRAM YANILGILARI
Oran kavramıyla ilgili kavram yanılgıları, daha önce
açıklanan nicel ve nitel muhakeme çeşitleri göz
önünde bulundurularak incelenecektir:
Toplamsal ve çarpımsal ilişkilendirmeyle
ilgili öğrenci yanılgıları
Kovaryasyon ve dönüşüm ile ilgili öğrenci
yanılgıları
Değişmezlik konusundaki yanılgılar
Toplamsal ilişki kurabilme yeteneğinin,oran kavramının
başlangıç evresinin oluşturmasından ziyade kavram
yanılgılarından biri olduğu görüşündedir(Lesh ve ark.,1988)
Heinz (2000) sınıf öğretmeni adaylarıyla yaptığı
çalışmasında öğrencilere şu soruyu sormuştur:’
3 sarı limon ve 2 yeşil limondan oluşan karışımın limon
yoğunluğu ile 4 sarı limon ve 3 yeşil limondan oluşan
karışımın limon yoğunluğunu (ne kadar ekşi olduğunu)
karşılaştırınız.’
Heinz bu soruyu sorarken birinci karışımı göstermek üzere 3
tane sarı renkli lego ve 2 yeşil renkli lego;ikinci karışımı
göstermek üzere 4 sarı renkli lego ve 3 yeşil renkli lego
kullanmış ve öğrencilerden sadece verilen legolar üzerinden
düşünmelerini ve hiçbir işlmsel çözüme gitmemelerini
İşlemsel çözüme gidemeyen bazı sınıf öğretmeni
adaylarının verdikleri cevaplarda açığa çıkan kavram
yanılgıları düşündürücüdür:
Bu öğrenciler iki karışımın da aynı derecede
yoğunluğa sahip olduğunu çünkü her iki karışımda da
sarı limon sayısının yeşil limon sayısından “bir” fazla
olduğunu ifade etmişlerdir.
Bu öğrenciler çarpımsal ilişkinin kullanılmasını gerektiren
bi durum da (limonata nın tadını ne kadar ekşi olduğunun
belirlenmesi ) toplumsal ilişki kurarak değerlendirmeye
gitmişlerdir.
Aslında 3 sarı limon ve 2 yeşil limondan oluşan karışımın
limon yoğunluğu 1,5
sarı limon/yeşil limon dur.bu
her yeşil limon için 1,5 sarı limon olması gerektiğini ve sarı
limon sayısının yeşil limon sayısı üzerinden,(yeşil limon sayısına
bağıl değerinin) 1,5 olduğunu gösterir(Heinz,2000). Aynı
şekilde 4 sarı limon ve 3 yeşil limondan oluşan karışımın
limon yoğunlusğu 1.33… sarı limon sarı limon/yeşil limon
dur.bu her yeşil limon için 1.33… sarı limon olması gerektiği ve
sarı limon sayısının yeşil limon sayısına bağıl değerinin 1.33…
olduğunu gösterir.bu durumda birinci karışım yani 3 sarı
limon ve 2 yeşil limondan oluşan karışım daha limonidir
(sarı limonun yeşil limona göre yoğunluğu daha fazladır ve
Aynı türden yanılgı yine sınıf öğretmeni adayları ile yapılan
bir başka çalışmada da rapor edilmiştir (Simon & Blume,
1994). Simon &Blume çalışmalarında öğrencilerden,farklı
kenar ölçüleri verilen dikdörtgenlerden hangisinin kareye daha
yakın olduğunu belirtmelerini istemiş ve “hangisi daha
kare’”şelinde bir soru sormuşlardır:
Öğrencilerin hemen hepsi verilen dikdörtgenlerin
uzunlukları arasındaki farkı bulup,hangisi daha kare sorusunu
toplamsal ilişkilendirme (artan/azalan ilişki ) ile
değerlendirmişlerdir.göze çarpan kavram yanılgısı yine
çarpımsal ilişki kullanılarak (uzun kenar ile kısa kenarın
göreceli durumu) değerlendirilmesi gereken durumda
kareselliğin ölçümünü ifade eden oran yerine toplamsal ilişki
kullanımının ön plana çıkmasıdır.
**Kovaryasyon Ve Dönüşümle İlgili
Öğrenci Yanılgıları
Kavram yanılgıları sadece çarpımsal ilişki
gerektiren durumlara toplamsal ilişkinin uygulanması
durumunda ortaya çıkmaz!
Karplus ve arkadaşları (1983) bir 7.sınıf öğrencisi ile
yaptıkları çalışmada öğrenciden
boyutları 2 cm ve 3 cm
olarak verilen bir dikdörtgeni şekli koruyarak genişletilmesini
istemişlerdir.
3 cm
2 cm
6 cm
4 cm
Öğrenci başlangıçta verilen dikdörtgenin boyutlarını iki
katına çıkarmış ve 4 cm ve 6 cm ölçülerinde bir dikdörtgen
elde ederek soruyu doğru yanıtlamışlardır.
Bu öğrenciden dikdörtgeni şekli koruyarak yeniden
genişletmesini ve bu sefer uzun kenarın ölçüsünü 9 cm olarak bulmasını
istemişlerdir.öğrencinin verdiği cevapta uzun kenarın ölçüsü 9 cm iken
kısa kenarın ölçüsü 7 cm olmuştur:
6 cm
4 cm
9 cm
7 cm
Öğrencinin açıklaması “eğer 6 cm yi iki katına çıkarsa idim 12
cm olcaktı,o yüzden 3 ü ekledim böylece 9 a ulaştım”
olmuştur.Burada öğrencinin 6 cm’ye 3 cm ekleyip 9 cm’yi
bulması düşündürücü olan kısım değildir.Düşündürücü olan
kısım 4 cm’ye de 3 cm ekleyerek 7 cm’yi bulmuş olmasıdır.
Eğer öğrenci orantısal düşünebilme yeteneğine sahip
(yani oran kavramını öğrenmiş ) olsa idi,4 cm ye eklemesi
gereken ölçümün 2 cm olması gerektiğini bilecektir.Ama
öğrenci tamamen toplamsal muhakeme ile her iki boyutun
uzunluğunu 3’er cm genişleterek cevabına ulaşmıştır.Yani
öğrenci dikdörtgenin iki boyutunda aynı anda bir değişimin söz
konusu olduğunu kavramış,ama bu değişimin çarpımsal bir
ilişkilendirme (kovaryasyon ) gerektirdiği noktasında eksik
kalmıştır.
Daha önce bahsettiğimiz üzere bir araştırmada, 3/4=6/8 oran
eşitliğinde (orantı), 3-1/4=6-?/8 durumunda “?”yerine gelecek sayı
sorulduğunda öğrenciler yine “1”
yazmışlardır(Behr,Wachsmuth,Post,&Lesh,1984) .Verilen bu cevabı
kovaryasyon ve dönüşüm kavramlarının kullanılamamış olmasına ve
kavram yanılgısının varlığına bağlayabiliriz.Çünkü oran kavramı gelişmiş
öğrencinin vermesi gereken cevap “?” yerine 2 gelmesi gerektiğidir.Sebebi
ise 3 ve 6 sayısı ile gösterilen çoklukların arasındaki ilişkinin yapısı gereği
(6,3’ün 2 katı olup orantıda bu ilişkinin bozulmaması gerekliliği) 3’te
meydana gelen değişikliğin aynı anda 6’da da meydana gelmesi
gerektiğinin düşünülmesidir.
Aynı şekilde kovaryasyon kavramı da bu değişikliğin yapısının
aynı türden(çarpımsal) bir değişiklik olması gerektiğinin
kavramlaştırılması olarak karşımıza çıkmaktadır.Bu durumda 3’ten
çıkarılan 1 sayısının 3’ün üçte biri(1/3) olduğunun ve 6 sayısından
çıkarılması gereken mikterın da 6’nın üçte biri (1/3) olması gerektiğinin
muhakeme edilebilmesidir.
İşte ancak bu durumda eşitlik hem nicel anlamda
hem de nitel anlamda değişmeyecektir;çünkü oranın
ifade ettiği durumun özelliği (bu özellik yoğunluk,hız
vs. olabilir) bir durumdan (birinci oranın ifade ettiği
orijinal durum ) başka bir duruma geçerken (ikinci
oranın ifade ettiği durum) korunmuş olacaktır.
**Değişmezlik Konusundaki Yanılgılar
Değişmezlik ile ilgili kavram yanılgıları üzerinde yapılan
araştırmalardan elde dilen şu örnekler yardımcı olacaktır.Simon ve
Blume (1994) sınıf öğretmeni adayları ile yaptılkları çalışmada bir tepenin
rampasının (eğiminin) gösterimi üzerine öğrenciler ile tartışmalar
yapmışlardır.Bu çalışma sırasında öğrenciler arasında geçen
konuşmalarda öne çıkan düşünce tarzları dikkat çekicidir.Öğrencilerin
bir kısmı rampanın eğiminin yüksekliğin (düşey eksenin) sayısal değeri
ile ifade edilmesi gerektiğini, diğer bir kısmı rampanın tabanının (yatay
eksenin) sayısal değeri ile ifade edilmesi gerektiğini
savunmuşlardır.Burada göze çarpan yanılgı,düşey eksenin yatay eksene
bağıl değerinin(oran) göz önünde bulundurulamaması ve oranın tepenin
eğiminin ölçümü olduğunu düşünülememesidir.Bu anlamda değişmezlik
kavramının nicel olarak değerlendirilmesinde eksiklikler göze
çarpmaktadır.
ORAN KAVRAMININ OLUŞTURULMASINDA
KARŞILAŞILABİLECEK MUHTEMEL ÖĞRENME ZORLUKLARI
Oran kavramın oluşturulmasında ortaya çıkan zorluklar
sadece kavram yanılgıları ile sınırlı değildir.Farklı öğrenci
gruplarından elde edilen örnekleri değerlendirdiğimizde oran
kavramının içerdiği kovaryasyon,değişmezlik ve dönüşüm
kavramlarının kullanılmasını öngören ve orantısal düşünceyi
gerektiren durumlarda öğrencilerin bir takım sorunlarla
karşılaştıkları görülmektedir.
Lamon (1995) çalışmasında ,oran kavramının
oluşturulması sürecinde öğrencilere nitel gözlem
yapabilecekleri değişik durumları inceleme fırsatı
verilmesinden bahsetmiştir.Bunun için öğrencilere hem mutlak
anlamda hem de relatif (göreceli) anlamda muhakeme
yapabilecekleri örneklerin verilmesini önermiştir.
Örnek vermek gerekirse “ ‘ A ‘ ve ‘B’ ağaçlarının şu andaki boyları 1.5 metre ve 2
metre olsun.Bir yıl sonra ,yeniden boyları ölçüldüğünde ‘A’ ağacının boyu 2 metre ve ‘B’
ağacının boyu 2.5 metre olarak ölçülüyor.’A’ ve ‘B’ ağaçlarının şu andaki boyları ile bir
yıl sonraki boylarını karşılaştırarak büyümeleri hakkında ki düşüncelerinizi ifade
ediniz?’’(LAMON 1995)
Bu ve benzeri örnekler de göze çarpan büyüme ‘’oranları’’ diye bir ibarenin
kullanılmamış olmasıdır.Öğrencilerden sadece ağaçların boylarının karşılaştırılması ve
büyümeleri hakkındaki düşüncelerini ifade etmeleri istenmiştir.Bu durumda öğrencilere
iki çeşit değerlendirme yapabilme olanağı verilmektedir.Birincisi ,mutlak anlamda
büyümeye bakma, ikincisi ise göreceli anlam da büyümeye bakma.Birinci durumda her
iki ağaç ta 0.5 metre büyüdüğünden ,büyümeleri aynıdır denilebilir.Bu düşünce
toplamsal düşünebilme yeteneği bir örnektir.Durum göreceli olarak
değerlendirildiğinde ise birinci ağacın büyüme oranının 2/1,5 ve ikinci ağacın büyüme
oranının ise 2,5/2 olduğu görülür (Lamon 1995). Bu durumda ,birinci ağaç daha hızlı
büyümüştür .İşte Lamon ‘ın da bahsettiği gibi bu ve benzeri örneklemeler verilerek
öğrencilerin farklı nicel ve nitel muhakeme çeşitlerini kullanabilme yetileri
geliştirilebilir.Böylece öğrenciler oran kavramını içeren durumlarla karşılaştıklarında ne
gibi bir muhakeme yapmaları gerektiği konusunda fikir sahibi olabilecekler ve zorluk
yaşamayacaklardır.
Öğrencilerin karşılaşabilecekleri diğer bir zorluk ise Heinz ‘in (2000) çalışmasında
karşımıza çıkmaktadır.Heinz (2000)sınıf öğretmeni adayları ile yaptığı çalışmasında
,oranı çarpımsal ilişkilendirme içerisinde düşünemeyen ve tekrarlı –toplamsal
ilişkilendirme düzeyinde kalan adayların verilen soruyu değerlendirirken belli bir
noktadan öteye gidemediklerini gözlemiştir.Örneğin ,sınıf öğretmeni adaylarından ‘’iki
arkadaşın üzerinde tek başlarına çalıştıklarında 6 saat ve 4 saatte bitirdikleri bir işi ,ikisi
beraber çalıştığında ne kadar sürede bitirecekleri ‘’konusunda yargıda bulunmaları
istenmiştir.Bu soru üzerine düşünmeleri istenirken öğretmen adaylarına bilinen veya
tanıdık işlemsel çözümlere başvurmamaları kısıtlaması getirilmiştir.Sınıf öğretmeni
adayları bildikleri işlemsel çözüm yöntemlerine başvurmadan şu şekilde bir açıklama
yapmışlardır:iki arkadaşın beraber çalışması durumunda 1 saat içerisinde işin 5/12 si
biter.Diğer 1 saat içerisinde ise işin 5/12 si daha biter ,böylece 2 saat içerisinde ise işin
10/12 sini bitirirler.Burada öğrenciler yapılan iş miktarı ile geçen süre (1 saat ) arasında
bir ilişkilendirme kurabilmişlerdir.Bu ilişkilendirmenin doğası toplamsaldır(tekrarlı
toplama); çünkü her geçen sürede (her saatte) işin 5/12 sinin bitirileceği
düşünülmektedir ve ekleme yapılarak çözüme gidilmektedir.(Heinz,2000).Fakat ilginç
olanı ,sınıf öğretmeni adaylarının işin geriye kalan 2/12 lik kısmının ne kadar sürede
bitirileceğine dair yorumda bulunmamış olmalarıdır.Öğretmen adayları bu iki arkadaşın
işi 12 saatten daha fazla bir sürede bitirebilecekleri kanaatine varmış ve daha ötesine
gidememişlerdir (Heinz ,2000).
Burada dikkatimizi çeken nokta bu çalışmada sınıf
öğretmeni adaylarından hiç bir işlem yapmadan , tamamen
yapılan iş miktarı ile geçen süre arasında bir ilişkilendirme
kurarak problem hakkında düşünmelerinin istenmiş
olmasıdır.Bu durumda açığa çıkan sonuç ise ; oran kavramı
tam olarak oluşturulmaması durumunda öğrenciler oran
kavramı gerektiren durumlarda en azından belirli bir noktadan
öteye gidemeyecekler.Karşılaşan zorluk ,kovarvasyon
kavramının henüz tam olarak oluşturulmamış olmasıdır.En
azından kısmen dahi olsa işin geriye kalan kısmı ile biten
kısımları arasındaki bağlantı kurulamamıştır.Eğer öğrenciler 2
saat içinde işin biten 10/12 lik kısmının ,işin geriye kalan 2/12
lik kısmının 5 katı olduğunun farkına varmış olsa idiler ,saat 2
saatlik süresinin de ‘geriye kalan sürenin 5 katı ‘ olması
gerektiğini düşünebileceklerdi.
Dolayısıyla ,geriye kalan sürenin 2/5 saat olduğu
kanaatinde varabileceklerdi.Aynı şekilde eğer
öğrenciler kovarvasyon kavramını tam olarak
oluşturmuş ve zorluk yaşamıyor olsa idiler , şu şekilde
düşünmeleri beklenecekti.Bir saatlik süre ile işin bitimi
için gereken toplam süre arasındaki ilişki ,bir saat
içerisinde yapılan iş miktarı ve toplam iş miktarı
arasındaki ilişki ile aynıdır.Bu sebeple ,tüm iş miktarı
yani 12/12 , bir saat içinde yapılan iş miktarı 5/12 nin
12/5 katıdır.İşin bitmesi için gerekli olan toplam süre
de aynı şekilde 1 saatlik sürenin 12/5 katı olmak
zorundadır.Dolayısıyla ,işi bitirmek için gereken toplam
süre 12/5 saat olacaktır.
Son olarak öğrencilerin karşılaşabileceği zorluklar arasında dönüşüm ve oran
kavramı arasındaki ilişkinin yeterince anlaşılamaması verilebilir.Daha önce de
bahsedildiği üzere ,dönüşüm eşitlik kavramını içerir.Oranı gösteren kesirsel ifadenin pay
ve paydası aynı sayı ile çarpılıp (veya bölünerek) geni şletilebilir veya küçültülebilir.Bu
bağlamda oranın eşitliği kesirlerin eşitliği ile işlemsel ve gösterim açısından
benzerdir(Kaput&West ,1994 ).
Örneğin ,12/15 matematiksel ifadesini ister kesir
olarak düşünelim isterse oran olarak düşünelim ,aynı sayılara bölerek veya aynı sayılara
çarparak genişletebilir ve sadeleştirebiliriz.
Bu gösterimlerin farkı ise neyi ifade ettiklerinde gizlidir (Kaput %West
,1994).Örneğin ,12/15=4/5 eşitliğinin denk kesirler olarak ifadesindeki anlam,aynı
miktarın farklı gösterimleri olduğudur. Burada kesir ifadesinden kasıt parça-bütün
ilişkisinin gösterimidir.Yani paydanın bütünün kaç parçaya ayrıldığını ve bu payın bu
parçalardan kaçımın değerlendirmeyle alındığını gösteren ilişkidir.12/15 kesirsel ifadesi
bütünün 15 eşit parçaya ayrıldığını ve bu parçalardan 12 tanesinin değerlendirildiğini
ifade eder.
Aynı şekilde ,4/5 kesirsel ifadesi (aynı) bütünün 5 eşit parçaya
ayrıldığını ve bu parçalardan 4 tanesini değerlendirilmeye alındığını gösterir.Bu
durumda hem 12/15 hem de 4/5 kesirsel ifadeleri ile gösterilen aynı bütünün eşit
miktarlarına tekabül eder.
Çünkü 12/15 kesri ,4/5 kesrinin her çeşit parçasının (5eşit parça)tekrar 3’eşit
parçaya bölünmesi sonucu oluşmuştur.Dolayısıyla 4 parçası alınmış bir miktara denk
gelen kısım artık 4*(3eşit parça) dan 12 eşit parçaya denk gelir.Diğer bir deyişle ,12/15
kesri ve 4/5 kesri aynı miktarı ifade eder.Halbuki, bu iki ifade eşit oranları gösterdiğinde
,farklı miktarlardan bahsetmektedir.12/15 oranı ile 4/5 oranı sayısal anlamda farklı iki
miktarın öne çıktığı ama aynı özelliğe sahip olan bir durumu ifade eder.
Örnek vermek istersek ,4 bardak saf limon suyu ve 1 bardak saf su karışımı ,yine
ilk karışımdaki bardaklar kullanıldığında 12 bardak saf limon suyu ve 3 bardak saf su
karışımından miktar olarak farklılık göstermesine rağmen tad olarak aynıdır.Bu anlamda
oran kavramı ile kesir kavramının (parça-bütün ilişkisi ) ortak ve farklı yönlerin farkında
olunmasına yarar vardır.Öğrencilerin farkındalığını farklı aktiviteler kullanarak
artırılabilinir (Aktiviteler için bakınız Van De Walle ,2000).Örnek vermek gerekirse
‘’Alan modelini kullanarak öğrencilerimizin aşina olduğu birkaç tane farklı kesri çiziniz
.Mesela ,daire modelini kullanarak 2/3, 1 /2 ve 3/4 kesirlerini çiziniz .Aynı şekilde bu
kesirlere denk olan başka birkaç tane kesrin çizimini de daha önceden hazırlayıp keserek
öğrencilerinize veriniz.
Mesela 2/3 kesri için 4/6 ve 8/12 kesirleri çizilip kesilir.
Öğrencilerinizden kesilmiş şekilde verilen kesirleri kullanarak ,çizimleri verilen
ifade ettiği miktarlara denk gelenleri bulmalarını isteyiniz.Gözlemlerini ve fark ettikleri
görüntüleri yazmalarını isteyiniz.(italik olarak yazılmış kısımlar uyarlanmıştır,Van De
Walle ,2008 ,p.309)Bu aktivite parça -bütün ilişkisini ifade eden kesirlerin denklik
anlamının farkındalığının geliştirebilmesi için kullanılabilir.Öte yandan denk oranları
gösteren kesirler ifadelerin farkındalığın geliştirmesine katkıda bulunabilecek şu aktivite
kullanılabilir.’’Üzerinde farklı şekiller bulunan kartlar hazırlayınız.Mesela üzerinde 4
bardak saf limon suyu ve 1 bardak saf su bulunan veya 3 bardak saf limon suyu ve 1
bardak saf su bulunan kartlar hazırlayınız.
Ayrıca bu kartlar ifade ettiği oranlara denk gelecek oranları gösteren başka kartlarda
hazırlayınız.Öğrencilerinizden hangi kartlardaki saf limon suyunun saf suya oranının ve
saf limon suyunun tüm karışımına oranın diğer kartlarla aynı olduğunu bulmalarını
isteyiniz.’’(uyarlanmıştır, Van De Walle ,2008,p.359) Bu farkındalık rasyonel sayı
kavramı içerisinde ,rasyonel sayıların farklı anlamları konuşulurken ‘’ parça –bütün
ilişkisi anlamı ‘’ ve ‘’oran anlamı ‘nın anlaşılmasını sağlayacaktır.Oran kavramının taban
teşkil ettiği olasılık ,cebir,ölçme gibi kavramlarının da oran kavramı ile ilişkilerinin
belirlenmesi ve bu farkındalığın öğrencilere kazandırılması gerekmektedir.
Oran Konusunda Kavram Yanılgıları
Ve Öğrenme Zorlukları Üzerine
Çözüm Önerileri
Bu alt bölümde, daha önce bahsi geçen bazı çalışmaları tekrar
gözden geçirerek yeni bir bakış açısı ile çözüm önerileri üretmeye
çalışacağız.Bu amaçla , kavram yanılgıları ve öğrenme zorlukları alt
bölümlerinde bahsi geçen bazı çalışmaları ele alacağız.
Daha önce de üzerinde durulduğu üzere ,Heinz’in (2000)
çalışmasında ele alınan ‘’iki arkadaş üzerinde tek başlarına çalıştıklarında
6 saat ve 4 saatte bitirdikleri bir işi ,ikisi beraber çalıştığında ne kadar
sürede bitireceklerdir?’’ sorusu ,müfredatımızda da yer alan klasik bir işçi
problemidir.Aslında bu çalışmamızda mevcut ilköğretim matematik
öğretim programı hakkında geniş çaplı bir değerlendirmeye gitmeyeceğiz
, fakat konuya açıklık getirmesi açısından mevcut ilköğretim matematik
programında yer alan ve 6. sınıftan itibaren öğretilmeye başlanan oranorantı konusuna kısaca değinmek gerekmektedir.
Matematik öğretim programında (Demir ,2007)ne yazık ki ,oranorantı konusu iş-havuz problemleri, yüzde –faiz problemleri ve karışım
problemleri olarak adlandırılan konular ile ilişkilendirilmeden ele
alınmaktadır.Halbuki ,işçi-havuz, yüzde –faiz ve karışım problemleri
olarak adlandırılan konular oran kavramının örneklemeleridir.Aynı
şekilde ,ortalama değer bulma (aritmetik ortalama )kavramı da –birden
fazla anlam içerdiğinden farklılıklar göstermesine rağmen –yine oran
kavramına dayanmaktadır.Bu kavramla ilgili bazı örneklerinde oran
kavramı çerçevesinde verilmesi öğrencilerin tüm bu konuları birbirleri ve
oran kavramı ile ilişkilendirerek öğrenmelerine ve kalıcı ve anlamlı bilgiye
sahip olmalarına yardımcı olacaktır.
Bu konuların oran kavramı ile ilişkilendirilmeden,birbirinden ayrık
konular olarak veriliyor olması (ve hatta yüzde ve oran kavramlarının
sadece bir veya ile ilişkilendiriliyor olması;bakınız,Demir,2007),oran
kavramının eksik olarak (sadece işlemsel olarak) öğrenilmesine ve
öğrencilerin daha sonraki dönemlerde kavramsal anlama gerektiren
durumlarda zorluklar yaşamasına sebebiyet teşkil etmektedir.
Akar(2007) çalışmasında,klasik oran-orantı sorularının öğrencilerin hangi
kavram düzeyinde olduğunu ve ne anladıklarını açıklamada yetersiz kaldığını
göstermiştir. Araştırmacı,oran kavramının farklı düzeylerine ait sorular üzerine
düşünürken kavram yanılgısı olduğu anlaşılan aday öğretmenlerin, klasik oran-orantı
sorularının tümünü doğru olarak yanıtlayabildiklerini ortaya koymuştur.Ayrıca,farklı
kavram düzeylerine sahip öğrencilerin de klasik oran-orantı sorularına aynı şekilde cevap
verdiklerini,içler dışlar çarpımı yaparak çözdüklerini göstermiştir. Klasik oran-orantı
problemlerinden kasıt iki oran eşitliği kurularak ve içler-dışlar çarpımı yapılarak
çözülebilen ve bir bilinmeyeni bulunan problemlerdir.Bu anlamda,Akar(2007)
matematik eğitimi alanındaki öğretimde kullanılan oran-orantı ile ilgili klasik soruların
yeniden gözden geçirilmesi gerektiğini ifade etmiş ve aksi takdirde ileriki safhalarda oran
kavramını baz alan matematik ve fen bilimleri alanlarında öğrencilerin ciddi sıkıntılar
yaşayabileceğine dikkat çekmiştir.Türkiye’deki mevcut ilköğretim matematik
programındaki oran-orantı konusu ve verilen örnekler değerlendirildiğinde ,Akar’ın
(2007) bulgularına dayanarak,bu örneklerin sadece işlemsel matematik bilgisi (yani içlerdışlar çarpımı yapılarak çözülebilecek derecede matematik bilgisi) gerektiren düzeyde
kalmaması için özen gösterilmelidir.Daha önce Lamon’un (1995) çalışmasında da
bahsedildiği üzerinde,oran kavramının gerek nitel gerek nicel muhakeme çeşitlerine
örnek olabilecek ve öğrencilerin düşünmelerine fırsat oluşturacak sorular etrafında
şekillendirilmesi bu amaca hizmet edecektir.Bu anlamda,hem öğretmenlerimize hem de
program geliştirme komitelerine büyük sorumluluk düşmektedir.
Akar (2007) çalışmasında oran-orantı
öğretimindeki mevcut klasik problemlerin öğrencilerin
oran kavramı hakkında ölçme ve değerlendirmesi
yapıldığında da yetersiz olacağı bulgusuna
ulaşmıştır.Orantıyı oluşturan iki oranın anlamlarının –
neyi ifade ettiklerinin- sorgulandığı ve gerek
diyagramlar yoluyla gerekse grafikler yoluyla birimli ve
birimsiz oranların açıklamalarının ön plana çıkarıldığı
soruların öğrenciye yöneltilmesi ve öğrencinin
düşünmeye teşvik edilmesi verebileceğimiz çözüm
önerileri arasında yer almaktadır.
Sonuç Ve Değerlendirme
Kısaca özetlemek gerekirse,bu bölümde amacımız oran
kavramına ait kavram yanılgılarının ve öğrenme zorlukları üzerinde
durmaktı.Bunun için öncelikle orantısal düşünebilme yeteneğinin
anlamına ve oran kavramına ait olan bazı alt kavramların (nicel ve nitel
mahkeme çeşitlerinin ) açıklamalarına yer verdik ve oran kavramı ile
ilişkilerinden bahsettik.
Maalesef ,literatürde oran kavramının alt yapısını oluşturan ,
kovaryasyon, değişmezlik,dönüşüm ve toplamsal –çarpımsal
ilişkilendirme yapabilme yeteneklerinin hangisinin daha ön planda
öğretilmesi gerektiğini öngören bir çalışma bulunmamaktadır.Toplamsal
ve çarpımsal ilişkilendirme yapabilme yeteneğinin ilköğretim yıllarının
başlangıcında itibaren verilmeye çalışıldığı ve söz ü edilen diğer
kavramların bu iki ilişkilendirmeyi içerdiği göz önünde bulundurularak ,
elbette ki bir çıkarım yapmak mümkün olabilmektedir yine de araştırma
yapmadan hangi kavramın önce verilmesi gerektiği noktasında kesin bir
kanıya varmak mümkün değildir.
Varabileceğimiz olası sonuçlardan biri oran kavramının kavram
yanılgılarının ve öğrenme zorluklarının engellenebilmesi için hem
öğrencilerin hem de hizmet vermekte olan ve aday öğretmenlerinin bu
kavramlarının anlamına dair farkındalığının geliştirilmesinin gerektiğidir.
Oran kavramının kavramsal olarak öğretilmesinde katkıda
bulunabileceğini düşündüğümüz ana noktalar ise şöyle özetlenebilir: oran
kavramının farklı kavram düzeylerinin bilinmesi , belirli nicel muhakeme
güçleri ile ilişkisinin kavranması,nitel gözlem gerektiren ve hem mutlak ve
hem de göreceli örneklemelerin öğrencilere sunulması , klasik oran-orantı
problemlerinin avantajlı ve dezavantajlı noktalarının farkındalığının
geliştirilmesi ,oran ı ifade eden gösterimin hem işlemsel anlamının hem de
kavramsal anlamının bilinmesi.
Tekrar ifade etmek gerekirse özellikle öğretmen adayları ve
hizmet veren öğretmenlerimizin bu farkındalığa sahip olmaları daha etkili
bir matematik öğretimi için büyük önem taşımaktadır.
HAZIRLAYANLAR
BUKET SERT/100304008
ELİF MAAŞOĞLU/100304010
ZEYNEP BASTAN/120304016
NİHAL BÖRTA/100304038