Transcript AKM Ders Notları 4

BÖLÜM 7
İDEAL AKIŞKANLARIN İKİ
BOYUTLU AKIMLARI
ercan kahya
7.2. TEMEL DENKLEMLER
7.2.1. Süreklilik Denklemi
■ 2-B olarak x-y düzleminde incelenen zamanla değişmeyen bir akımda:
■ Kütlenin korunumu kanunu:
kontrol hacmine giren ve çıkan
hacimlerin birbirine eşit olmalı:
Sıkıştırılabilen akışkanın zamanla-değişen akımında süreklilik denklemi
Üç boyutlu halde ise; sıkıştırılamayan akışkanlar için süreklilik denklemi:
Sıkıştırılabilen akışkanlar için süreklilik denklemi:
Vektörel formda:
Sıkıştırılamayan
Akışkanlar:
Sıkıştırılamayan
Akışkanlar:
7.2.2. Hareket Denklemi
Newton'un ikinci hareket denklemini
Birim kütleye etkiyen kütlesel kuvvetin x ve y-eksenlerine paralel
bileşenlerini X ve Y ile gösterelim.
■ Akışkan parçacığının ivmesi tanım
olarak bu akışkan parçacığının
hızının zamana göre türevidir.
(Lagrange bakış açısı)
kişisel (tam) türevler
■ Euler bakış açısına göre hız, zamana ve noktanın koordinatlarına bağlıdır.
→ türev almadaki zincir kuralı:
yerel ivme
konvektif ivme
Euler hareket denklemleri
► İdeal akışkanların iki boyutlu akımlarının hareket denklemleri:
X ve Y: Birim kütleye etkiyen kütlesel kuvvetin x ve y-eksenlerine
paralel bileşenleri.
Not:
y-ekseni yukarıya yönelmiş düşey doğrultuda düşey bir
düzlem ise X = 0, Y = -g
Üç boyutlu halde Euler hareket denklemleri:
Bu denklemler vektörel formda:
Kütlesel Kuvvetler
7.2.3. Enerji Denklemi
● Kütlesel kuvvetlerin sadece yerçekimi
● x-y düşey düzlemi
● zamanla değişmeyen
● ideal akışkan akımında
Euler hareket denklemleri (2-B):
Bu akımda akım çizgisi
denklemi:
Bu denklemlerinden birincisini dx, ikincisini
dy ile çarptıktan sonra 1den 2 ye kadar
akım çizgisi boyunca integre edilirse ve
akım çizgisi denklemi ile birlikte manupile
edilirse:
7.3. POTANSİYEL AKIMLAR
7.3.1. Çevrinti ve Sirkülasyon
Çevrinti: Bir akışkanın hareketi sırasında akışkan elemanlarının yaptığı
dönme hareketinin açısal hızı
► A noktasından geçmekte olan akışkan
parçasının yaptığı dönme hareketinin
açısal hızı, şu iki açısal hızın ortalamasına
eşit olmalıdır:
(a) AB doğrusunun A etrafında dönme
hareketinin ve (b) AD doğrusunun A
etrafında dönme hareketinin.
Bir kapalı eğri boyunca hesaplanan
integraline sirkülasyon denir:
7.3.2. Çevrintisiz Akım
Çevrintisiz (potansiyel) akım: Her noktasında çevrintinin sıfır olduğu akım
Çevrintisiz bir akımda her noktada:
Not: Bir akımda hız gradyanlarının küçük olduğu bölgelerde çevrinti pratik
bakımdan ihmal edilebilecek kadar küçük ise → potansiyel akım kabulü
7.3.3. Akım ve Potansiyel Fonksiyonları
Akım Fonksiyonu:
● Zamanla değişmeyen
● 2-B (düzlemsel akım)
● Süreklilik denklemini
NOT: fonksiyona bir sabitin eklenmesi
türev almayı etkilemeyeceğinden
daima bir sabit farkıyla tanımlanabilir.
Bu denklem her zaman sağlanır.
Akım Fonksiyonu:
fonksiyonun herhangi bir noktadaki değeri,
bu nokta ile O orijini arasındaki herhangi bir
çizgiden geçen (şekil düzlemine dik doğrultuda
birim uzunluk için) debiyi verir.
Potansiyel Fonksiyonu
fonksiyonunun tanımlanabilmesi için akımın çevrintisiz olması
gerekmez. Akım çevrintisiz ise ayrıca bir
potansiyel fonksiyonu
tanımlanabilir:
● Çevrintisiz akımlara potansiyel akım da denir.
● Potansiyel fonksiyonu bir sabit farkı ile tanımlanır.
● Bir akım alanında ɸ = sabit çizgilerine potansiyel çizgisi adı verilir.
7.3.4. Potansiyel Akımların Temel Denklemleri
Akım çevrintisiz ise, 1 ve 2 noktaları akım alanı içerisinde herhangi iki
nokta olabilir, bunların bir akım çizgisi üzerinde bulunması şartı yoktur.
Akım fonksiyonunu → çevrintisizlik şartı denklemine yerleştirirsek:
Potansiyel fonksiyonunu → süreklilik denklemine yerleştirilerek:
Laplace denklemi ve kısaca şu şekilde yazılır:
7.3.5. Akım Ağı
■ Bir akım alanında çizilen potansiyel
ve akım çizgilerinden oluşan çizgiler
topluluğuna akım ağı denir.
■ Birbirleriyle kesişen bir akım çizgisiyle bir potansiyel çizgisinin daima
birbirlerini dik açı altında keser.
■ Problemin sınır koşullarına uyacak şekilde eğrisel karelerden oluşan
bir akım ağı deneme yoluyla çizilir.
■ Ağ çizildikten sonra bir noktadaki hızın değeri yaklaşık olarak:
7.4.2. Yeraltı Suyu Akımı
Yeraltında zeminin boşluklarının tamamen su ile dolmuş olduğu doymuş
bölgede yer alan yeraltı suyu akımı (Darcy Kanunu):
Bu akım için bir potansiyel
fonksiyonu tanımlanırsa:
olacağından yeraltı suyu akımının
potansiyel bir akım olduğu görülür.
Bir bağlamanın altındaki zeminde sızma olayı:
Sınır koşulları:
1°) Bağlamanın temeli, palplanşlar ve geçirimsiz zemin boyunca akımın hızı
bu sınırlara teğet olmak zorunda olduğundan bu sınırlar birer akım çizgisidir.
2°) Bağlamanın menba ve mansabında akarsu tabanında basınç hidrostatik
kabul edilebileceğine göre, akarsu tabanIarı bir potansiyel çizgisidir.
BÖLÜM 8
GERÇEK AKIŞKANLARIN
İKİ BOYUTLU AKIMLARI
ercan kahya
8.1. GİRİŞ
Bir gerçek akışkanın hareketinde ideal akışkan kabulünün yapılabilmesi
için şu iki koşulun birlikte sağlanması gerekir:
1°) Akışkanın viskozitesi küçük olmalıdır (su, hava).
2°) Hız gradyanı küçük olmalıdır.
GİRİŞ
Buna göre akım alanını iki bölgeye ayırarak incelemek gerekir:
a)Hareketsiz katı sınırların yakınındaki sınır tabakası:
Hız gradyanının ve sürtünmelerin büyük olduğu bu bölgede
→ akışkan gerçek
b) Katı sınırlardan yeter uzaklıktaki potansiyel akım bölgesi:
Bu bölgede akım → ideal bir akışkanın potansiyel akımı
■ Hız gradyanı büyük olduğu
başka bir örnek:
Hareketsiz bir cismin arkasında
görülen ayrılma bölgesidir.
8.2. TEMEL DENKLEMLER
● Gerçek akışkanların 2-B akımlarında süreklilik denklemi
→ ideal akışkanlar (7.1 denklemi)
● Enerji denkleminde (hk yük kayıbını ve aynı akım çizgisi üzerindeki iki
nokta) → (6.14.a) verilen enerji denklemi
● Hareket denklemlerinde → sürtünme gerilmelerinden doğan kuvvetler
Navier-Stokes denklemleri
3-B Navier-Stokes denklemleri:
Bu denklemler vektörel formda;
8.3.1. İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım
Süreklilik denklemi (Üniform akım):
x-yönünde Navier-Stokes denklemi:
İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım
► x-yönünde Navier-Stokes denklemi:
İntegre edilirse (
)
Cı ve C2 sabitleri sınır koşullarından:
O halde u:
İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım
y-yönündeki Navier-Stokes denklemi:
Özel hal olarak;
Couette Akımı
İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım
Özel hal olarak;
Poiseuille Akımı
U = 0 olması halinde
Maksimum hız:
8.4. SINIR TABAKASI
■ Boru boyunca ilerledikçe boru çeperindeki sürtünme
→ bir kısım akışkan yavaşlatılır → sınır tabakası
■ Sınır tabakasının kalınlığı akım doğrultusunca artar
■ Bir süre sonra sınır tabakası bütün boru kesitini kaplar
& hız dağılımı kesitten kesite değişmez.
SINIR TABAKASI
Üniform bir akım alanına hız doğrultusunda yerleştirilen düz bir plak:
■ Pratikte u =0,99 U noktasına kadar olan uzaklık sınır tabakası kalınlığı kabul edilir.
■ δ (sınır tabakası kalınlığı): Boyutsal ve deneysel düşüncelerden,
8.5. SINIR TABAKASININ AYRILMASI
Eğrisel bir katı sınır boyunca oluşan sınır tabakası:
C noktasından itibaren sınır tabakasındaki akışkanın bir kısmı esas
akım doğrultusunda ilerlemeyip geri dönecek ve bir ters akım
oluşacaktır. Bu olaya sınır tabakasının ayrılması (çözülme) denir.
SINIR TABAKASININ AYRILMASI
■ Akım alanını çevreleyen sınırların eğriliğinin büyük olması halinde
daima ayrılma görülür.
■ Ayrılma bölgesinde hız gradyanı ve türbülans çalkantıları büyük olduğu
için önemli yük kayıpları meydana gelir.
■ Bu bakımdan su yapılarında genellikle ayrılma olmaması istenir.
■ Sınırlara uygun bir şekil vermek, akımın yavaşladığı bölgelerde büyük
eğriliklerden ve özellikle keskin köşelerden kaçınmak gerekir.