Transcript AKIŞKAN KİNEMATİĞİ Akışkan kinematiği, harekete neden olan kuvvet ve momentleri dikkate almaksızın akışkan hareketinin tanımlanmasını konu alır.

AKIŞKAN KİNEMATİĞİ
Akışkan kinematiği, harekete neden olan kuvvet ve momentleri dikkate
almaksızın akışkan hareketinin tanımlanmasını konu alır. Bu bölümde
aşağıdaki kavramlar üzerinde duracağız:
•
Lagrange akış tanımlaması
•
Euler akış tanımlaması
•
Akım çizgileri, çıkış çizgileri, yörünge çizgileri, zaman çizgileri
•
Maddesel türev
•
Akışkan elemanların şekil değiştirme biçimleri
•
Sistem ve kontrol hacmi
•
Reynolds Transport Teoremi
Lagrange ve Euler Tanımlamaları
Akışkan kinematiği,akışkanların nasıl aktığının ve akışkan hareketinin
nasıl tanımlanacağının incelenmesini konu alır.
•Parçacık dinamiğinin akışkan akışına uygulanmasında Lagrange
tanımlaması denir ve her bir parçacığın hızının ve konumunun izlenmesini
gerektirir. Bu yaklaşım Termodinamikten bilinen sistem yaklaşımına
benzerdir.
•Akışkan akımının EULER tanımlamasında, akışkanın
içerisinden girip çıktığı akış bölgesi veya kontrol hacmi
adı verilen sonlu bir hacim tanımlanır. Böylece, sabit kütleli
akışkan parçacıklarının konum ve hızlarının izlerinin
sürülmesine gerek kalmaz. Bunun yerine kontrol hacmi
içerisinde konumun ve zamanın fonksiyonu olan alan
değişkenleri tanımlanır.
P  P x, y, z, t 


a  a x, y, z, t 
Hız alanı:


V  V x, y, z, t 
EULER yönteminde her nokta konum
ve zamana bağlı olarak ifade edilir.




V  u , v , w   u  x , y , z , t i  v  x , y , z , t  j  w  x , y , z , t k
ÖRNEK 4-1: Durma Noktası
Daimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu bir hız alanı, V = ( u , v ) = (0.5 + 0.8 x ) i + (1.5 + 0.8 y ) j
olarak verilmektedir. Bu akış alanındaki durma noktasını tespit ederek (x, y) = (2, 3) noktasındaki hız
vektörünü çiziniz.
ÇÖZÜM:
Durma noktasında her iki hız bileşeni de (u ve v) sıfır olmalıdır.
u = 0.5 + 0.8 x = 0
®
x = - 0.625 m
v = 1.5 - 0.8 y = 0
®
y = - 1.875 m
Buna göre (x, y) = (-0.625, -1.875) noktası bir durma noktasıdır.
Verilen noktada hız bileşenleri hesaplanırsa, u = 2.10 m/s ve v = -0.900 m/s
elde edilir.
u = 2.10 m/s
u = -0.900 m/s
Bileşke hız vektörü
İVME ALANI
Newton’un hareket yasasını bir akışkan parçacığına uygulayabiliriz. Bu durumda parçacığın ivmesi,
dV parçacık
a parçacık =
dt
Öte yandan;
V parçacık ( t ) = V parçacık ( x parçacık ( t ), y parçacık ( t ), z parçacık ( t ), t )
Buradan,
a parçacık =
=
dV parçacık
dt
¶ V dt
¶ t dt
=
dV
=
dV ( x parçacık , y parçacık , z parçacık , t )
dt
+
dt
¶V
dx parçacık
¶ x parçacık
dt
+
¶V
dy parçacık
¶ y parçacık
dt
+
¶V
dz parçacık
¶ z parçacık
dt
Ancak,
dx parçacık dt = u
d z p arçacık d t = w
dy parçacık dt = v
ve Lagrange tanımlamasında parçacığın konum vektörü Euler tanımlamasında (x, y, z) konum
vektörüne eşit olacağından,
a parçacık ( x , y , z , t ) =
dV
=
dt
¶V
¶t
+ u
¶V
¶x
+ v
¶V
¶y
+ w
¶V
¶z
Akışkan parçacığı akış alanıyla hareket ettiğinden, parçacığın ivmesi, o konumdaki akış alanının
ivmesine eşit olmak durumundadır. Buna göre,
Yerel ivme
Advektif (taşımsal) ivme
İVME ALANI:
a (x, y, z, t ) =
GRADYEN Operatörü:
dV
dt
=
¶V
¶t
+ (V ×Ñ )V
 ( ) ( ) ( ) 
( )
( )
( )
( )  
,
,
 j
k
i
z 
x
y
z
 x y
İvme alanının bileşenleri (Kartezyen koordinatlar):
a = axi + a y j + azk
ax 
ay 
az 
u
t
v
t
w
t
u
u
u
u
x
v
x
w
x
u
v
v
w
y
v
y
v
w
w
y
u

z
v
z
w

w
z
u
t
v
t

 V u
 V v
w
t
 V w
Advektif İvme = hızın konumsal değişiminden kaynaklanan ivmedir.
Akış daimi
olmasına
rağmen lüle
içerisindeki hız
akış yönünde
artar.
ÖRNEK 4-2:
Büşra Şekil 4-8’de gösterilene benzer bir fıskiye
kullanarak arabasını yıkamaktadır. Fıskiyenin
giriş çapı 10 mm, çıkış çapı 5 mm ve uzunluğu
100 mm’dir (Şekil 49’a bakınız). Bahçe
hortumu (ve fıskiye) içerisinden geçen suyun
hacimsel debisi 3.2 L/dakika olup akış daimidir.
Fıskiyenin eksen çizgisi boyunca hareket eden
akışkan parçacığının ivmesini hesaplayınız.
ÇÖZÜM 4-2:
Akış daimi olduğundan ivmenin sıfır olacağı düşünülebilir. Ancak, bu daimi akış alanı için yerel ivme
sıfır olmasına rağmen, advektif ivme, sıfır değildir.
u g iriş @
V
4V
=
Ag iriş
4 (3 .2 L /d ak ik a )(
p
2
D g iriş
1m
3
)(
1 d ak ik a
1000 L
=
p (1 0 ´ 1 0
- 3
m)
)
60 s
= 0 .6 8 m s
2
u çıkış = 2.72 m /s
Yöntem A
Yöntem B
ax @
ax =
Du
=
u çıkış - u giriş
Dt
D x u ort
¶u
¶u
¶t
+ u
¶x
D aim i
+
v
2
u çıkış - u giriş
=
=
2 D x ( u çıkış + u giriş )
¶u
¶y
+
v= 0
eksen çizgisi
boyunca
w
¶u
¶z
@ u or t
Du
2
u çıkış - u giriş
2D x
=
u çıkış + u giriş u çıkış - u giriş
Dx
2
Dx
w =0
eksen çizgisi
boyun c a
Buna göre her iki yöntem de aynı sonucu vermektedir. Değerler yerine yazılırsa,
2
ax @
2
u çıkış - u giriş
2D x
2
=
(2.72 m /s) - (0.68 m /s)
2(0.1)
2
= 34.7 m /s
2
MADDESEL TÜREV, D/Dt
D
Dt
=
¶
¶t
olarak tanımlanır ve hem yerel hem
de advektif etkiyi dikkate alır.
+ (V ×Ñ )
Maddesel ivme ve bileşenleri:
a (x, y, z, t ) =
ax =
ay =
az =
¶u
¶t
¶v
¶t
¶u
¶t
DV
=
Dt
+ (V ×Ñ ) u
+ (V ×Ñ ) v
+ (V ×Ñ ) w
dV
dt
=
¶V
¶t
+ (V ×Ñ )V
ÖRNEK 4-3
Örnek 4-1’deki daimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu hız alanını ele alınız. (a) (x = 2 m, y = 3 m) noktasındaki
maddesel ivmeyi hesaplayınız.
V = ( u , v ) = (0.5 + 0.8 x ) i + (1.5 + 0.8 y ) j
ÇÖZÜM:
ax =
¶u
¶t
+
u
¶u
+
¶x
= 0 + (0.5 + 0.8 x )(0.8)
ay =
¶v
¶t
+
u
¶v
¶x
+
v
¶u
¶y
+
w
¶u
¶z
+ (15 - 0.8 y )(0) + 0 = (0.4 + 0.64 x ) m s
v
¶v
¶y
+ w
¶v
¶z
= 0 + (0.5 + 0.8 x )(0) + (15 - 0.8 y )(0.8) + 0 = ( - 1.2 + 0.64 y ) m s
2
2
(x = 2 m, y = 3 m) noktasında ax = 1.68 m/s2 ve ay = 0.720 m/s2 olur.
Örnek 4-1 ve Örnek 4-3’teki hız alanına ait ivme vektörleri. Ölçek üstteki ok ile
gösterilmiştir . Siyah eğriler ise, hesaplanan hız vektörlerine göre çizilmiş bazı
akım çizgilerinin yaklaşık şekillerini temsil etmektedir (Şekil 4-4’e bakınız). Durma
noktası kırmızı daire ile gösterilmiştir.
AKIŞIN GÖRSELLEŞTİRİLMESİ
Dönen beysbol topu. F. N. M. Brown son yıllarının çoğunu Notre
Dame Üniversitesi’ndeki rüzgar tünellerinde duman görüntülemesi
oluşturmaya ve bunu kullanmaya adamış biridir. Burada akış hızı
23.47 m/s ve top 630 devir/dakika ile dönmektedir
Akım Çizgisi: her yerde anlık hız
vektörüne teğet olan eğridir.
dr
V

dx
u

dy
v
xy-düzlemindeki bir akış için:

dz
w
ædy ö
v
çç ÷
=
÷
çè dx ÷
øbir ak ım çizgisi boyunca u
ÖRNEK 4-3 xy-düzleminde Akım Çizgileri—Analitik Çözüm
Denklem 4-1’deki daimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu hız alanı için, akışın üst yarısının sağ tarafında
(x > 0) birkaç akım çizgisi çiziniz ve Şekil 4-4’te çizilen hız vektörleri ile karşılaştırınız.
V = ( u , v ) = (0.5 + 0.8 x ) i + (1.5 + 0.8 y ) j
dy
=
dx
v
=
u
1.5 - 0.8 y
0.5 + 0.8 x
dy
ò 1.5 -
y=
=
0.8 y
ò
dx
0.5 + 0.8 x
C
+ 1.875
0.8(0.5 + 0.8 x )
Örnek 4-4’teki hız alanına ait akım çizgileri (siyah eğriler);
karşılaştırma için Şekil 4-4’teki hız vektörleri de (kırmızı oklar)
akım çizgilerinin üzerine eklenmiştir.
Yörünge Çizgisi (Pathlines)
•
Yörünge çizgisi tek bir akışkan
parçacığının belirli bir süre boyunca kat
ettiği gerçek yoldur.
•
Yörünge çizgisi bir akışkan parçacığının
izlediği gerçek yörünge izlenerek
oluşturulur.
t
ò
x = x başlangıç +
V dt
t başlang ıç
t
x = x0 +
t
ò udt ,
y = y0 +
0
t
ò vdt ,
z = z0 +
ò w dt
0
0
ÖRNEK:
Aşağıdaki hız alanına ait yörünge çizgilerini ve t = 6 s’de parçacığın konumunu belirleyiniz.
Parçacık başlangıçta (2, 8) noktasında bulunmaktadır.
V = 0.3 x i - 0.3 y j
u
u=
dx
v
x (t )
= 0.3 x ®
dt
v=
dy
dt
ò
dx
=
x
x0
y (t )
= - 0.3 y ®
t
ò
y0
ò
0.3 dt ® x ( t ) = x 0 e
0.3 t
0
dy
y
t
= -
ò
0
0.3 dt ® y ( t ) = y 0 e
- 0.3 t
t = 6 s’de parçacığın konumu:
x ( t = 6) = 2 e
y ( t = 6) = 8 e
0.3´ 6
= 12.1 m
- 0.3´ 6
= 1.32 m
t = 6 s’de parçacığın hız vektörü:
V = 0.3( xi - yj ) = 0.3(12.1i - 1.32 j ) = 3.63 i - 0.396 j
Parçacığın yörünge çizgisinin denklemi:
x (t ) = x0 e
0.3 t
y (t ) = y 0 e
- 0.3 t
xy = x 0 y 0 e
Denklemlerinden t’yi yok etmek
üzere bunları birbirleriyle çarparsak,
0 .3 t - 0 .3 t
Þ xy = x 0 y 0 = 2 ´ 8 = 1 6 m
2
AKIŞKAN ELEMANLARININ ŞEKİL DEĞİŞTİRME BİÇİMLERİ
a – Ötelenme
b – Dönme
c – Doğrusal şekil değiştirme
d – Kayma şekil değiştirmesi
Akışkan elemanları sürekli hareket
halinde olduklarından, akışkanlar
dinamiğinde akışkan elemanlarının
hareketlerinin veya şekil
değiştirmelerinin birim zamana göre tarif
edilmesi daha uygundur.
• Birim zamandaki ötelenme: HIZ V = u i + vj + w k
• Birim zamandaki dönme: AÇISAL HIZ
1æ
¶ w ¶ vö
1 æ¶ u
¶ wö
1æ
¶v ¶uö
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
÷
i + ç
j+ ç
k
Dönme vektörü w = çç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
è
ø
2è¶y
¶zø
2 ¶z
¶x
2 è¶ x
¶yø
• Doğrusal şekil değiştirme hızı: UZAMA HIZI
e xx =
¶u
¶x
e yy =
¶v
¶y
e zz =
¶w
¶z
• Kayma şekil değiştirmesi hızı:
e xy
ö
1æ
¶u
¶vö
1 æ¶ w
¶v÷
1æ
¶v
¶wö
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
= ç
+
e
=
+
e
=
+
÷
ç
ç
zx
yz
÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
2 è¶ y
¶xø
2è¶x
¶zø
2 è¶ z
¶yø
Kartezyen koordinatlarda ŞEKİL DEĞİŞTİRME HIZI tensörü
æe
çç xx e xy
ç
e ij = çç e xy e yy
çç
çç e
è zx e zy
æ¶ u
çç
çç ¶ x
ö
e xz ÷ çç
çç æ
÷
÷
1 ¶v
÷
e yz ÷
= çç çç
+
÷
çç 2 çè ¶ x
÷
÷
÷
e zz ø
÷ ççç
çç 1 æ¶ w
+
çç ççç
çè 2 è ¶ x
ö
1æ
çç ¶ u + ¶ v ÷
÷
÷
÷
2 çè ¶ y
¶xø
ö
1 æ¶ u
¶w÷
çç
+
÷
ø
2 çè ¶ z
¶x÷
¶uö
÷
÷
÷
÷
¶yø
¶y
1 çæ¶ v
¶ w ö÷
÷
+
ç
÷
2 çè ¶ z
¶ y ø÷
¶uö
÷
÷
ø
¶z÷
1æ
çç ¶ w + ¶ v
2 çè ¶ y
¶z
¶v
ö
÷
÷
÷
÷
ø
¶w
¶z
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
Eğer akışkan sıkıştırılabilir ise, aynı zamanda hacimsel şekil değiştirme hızı da tanımlanabilir. HACİMSEL
ŞEKİL DEĞİŞTİRME HIZI, doğrusal şekil değiştirme hızlarının toplamından oluşur:
Hacimsel şekil
değiştirme hızı
1 DV
V
Dt
=
1 dV
V
dt
= e xx + e yy + e zz =
¶u
¶x
+
¶v
¶y
+
¶w
¶z
Ötelenme, dönme, doğrusal şekil değiştirme, kayma şekil
değiştirmesi ve hacimsel şekil değiştirmeyi gösteren bir akışkan
elemanı.
ÖĞRENCİLER DİKKAT!..
ÖRNEK 4-6 İNCELENECEK
ÇEVRİNTİ VE DÖNÜMLÜLÜK
Çevrinti vektörü
z = Ñ ´ V = curl (V )
Kartezyen koordinatlar
Dönme vektörü
w=
1
2
=
i
j
k
¶
¶
¶
¶x
¶y
¶z
u
v
w
æ¶ w ¶ v ö
æ¶ v ¶ u ö
æ¶ u
¶ wö
÷
÷
ç
çç
÷
ç
÷
÷
z = ç
i
+
j
+
k
÷
ç
÷
÷
÷
çè ¶ y
ç
ç
÷
÷
è
ø
¶zø
¶z
¶x
¶yø
è¶ x
Ñ´ V =
1
2
curl (V ) =
z
2
Akış alanındaki bir noktada çevrinti sıfır değilse, uzayda o noktayı işgal eden
akışkan parçacığı dönmektedir ve bu bölgedeki akış dönümlü olarak
adlandırılır. Aynı şekilde, akış alanının bir bölgesinde çevrinti sıfır ise (veya
yok denecek kadar küçük ise), bu bölgedeki akışkan parçacıkları dönmez ve
akış dönümsüz olarak adlandırılır.
Dönümsüz
Dönümlü
ÖRNEK 4-8 İki-boyutlu Akışta Dönümlülüğün Belirlenmesi
2
V = ( u , v ) = x i + (- 2 xy - 1) j
hız alanının dönümlü olup olmadığını belirleyiniz.
æ¶ v ¶ u ö
÷
÷
z = çç
k = (- 2 y - 0) k = - 2 yk ¹ 0 olduğundan bu akış alanı dönümlüdür.
÷
çè ¶ x
÷
¶yø
Her bir ayrı akışkan parçacığı çevrinti vektörünün yarısına eşit olan bir açısal
hızda dönmektedirler. Dönme vektörü sabit olmadığından bu bir rijit-cisim
dönmesi akışı değildir. Daha doğrusu, dönme vektörü y ile doğrusal olarak
değişmektedir. Daha detaylı bir analiz ile bu akış alanının sıkıştırılamaz
olduğu gösterilebilir. Şekil 4-47’de akışkan parçasını gösteren gölgelendirilmiş
alanlar her üç durumda da sabittir.
REYNOLDS TRANSPORT TEOREMİ, RTT
Akışkanlar mekaniğinde, kontrol hacimlerle çalışmak daha
uygundur ve bu yüzden kontrol hacmindeki değişimler ile
sistemdeki değişimler arasında bir bağlantı kurmak gerekir.
Bir sistem için ve bir kontrol hacmi için, bir yaygın özelliğin
birim zamandaki değişimleri arasındaki ilişki Reynolds
Transport Teoremi (RTT) ile ifade edilir.
t anında KH ve SİSTEM üst üste çakışmaktadır. Zaman
ilerledikçe KH yerinde sabit kalırken SİSTEM hareket
etmektedir. t + t anında SİSTEM = KH – I + II olarak
ifade edilebilir. B herhangi bir özellik, b ise bunun birim
kütle başına düşen değeri olsun.
B sis, t = B K H , t
B sis, t + D t = B K H , t + D t - B I, t + D t + B II, t + D t
B sis, t + D t - B sis, t
=
BKH, t+ D t - BKH, t
Dt
Dt ® 0
-
B I, t + D t
Dt
+
B II, t + D t
Dt
elde ederiz.
Dt
için limit alınırsa,
dB sis
dt
=
dB K H
dt
- B giren + B çıkan
Öte yandan,
B I, t + D t = b1 m I, t + D t = b1 r 1V I, t + D t = b1 r 1V1 D t A1
B giren = B I = lim
D t® 0
B I, t + D t
Dt
= lim
D t® 0
b1 r 1V1 D t A1
Dt
= b1 r 1V1 A1
B II, t + D t = b 2 m II, t + D t = b 2 r 2V II, t + D t = b 2 r 2V 2 D t A 2
B çıkan = B II = lim
D t® 0
B II, t + D t
Dt
= lim
D t® 0
b 2 r 2 V 2 D t A2
Dt
olarak ifade edilebilir.
= b 2 r 2V 2 A2
DENKLEMİN GENELLEŞTİRİLMESİ:
B net = B çıkan - B giren =
ò
V ×n = V n cos q
r bV ×n dA
KY
dBKH
dt
=
d
dt
ò
yazılabileceğinden,
r b dV
KH
Sabit KH için RTT:
dB sis
=
dt
d
dt
ò
ò
r b dV +
KH
r b V ×n dA
KY
VEYA:
Sabit KH için RTT:
d B sis
dt
=
ò
KH
¶
¶t
(r b ) dV +
ò
KY
r b V ×n dA
Hareketli KH için RTT
dB sis
dt
=
d
dt
ò
KH
r b dV +
ò
r b V b ×n dA
KY
Vb = V - V K Y
Vb = V - V K H
( K Y hareketli )
( K H hareketli )
İyi tanımlı giriş/çıkışlar söz konusuysa, ortalama
değerler cinsinden RTT ifade edilebilir.
dB sis
dt
=
d
dt
ò
KH
r b dV +
å
çıkan
r ort bort V b , ort A her bir çıkış için
å
giren
r ort bort V b , ort A
her bir giriş için