Transcript diferansiyel akış analizi

BÖLÜM 9
•Kontrol hacmi analizi
•Diferansiyel analiz
9.2. Kütlenin Korunumu-Süreklilik Denklemi
Reynolds transport teoreminin uygulanması ile
Bir Kontrol hacmi için kütlenin korunumu:
¶r
0= ò
dV + ò r V ×n dA
(9-1)
¶t
KH
KY
Bu denklem hız vektörü mutlak hız olmak koşuluyla
Hem sabit, hem de hareketli kontrol hacimler için
kullanılabilir.
dBsis
d
=
ò r b dV +
dt
dt KH
ò r b Vb ×n dA
KY
Vb = V - VKY
( KY hareketli)
Vb = V - VKH
( KH hareketli)
Denklem 9-1 tekrar düzenlenirse :
¶r
ò ¶ t dV =
KH
å
.
å
m-
giren
.
m
(9-2)
çıkan
Diverjans (Gauss) teoremini kullanarak kütlenin korunumu
Denklemini türetme:
Diverjans teoremi: herhangi bir
 

G
Vektörü için:
 
 .G dV   G. n dA
(9-3)
A
G  V
Alınabilir. Denklem 9-3, 9-1 de yerine yazılırsa alan integrali
Hacim integraline dönüşür:
ü
ïï
ò Ñ .(r V ).d nïïï
ïï ¶ r
KH
+ Ñ .(r V ) = 0
ý
ïï ¶ t
é¶ r
ù
ò êêë¶ t + Ñ .(r V ).úúûd n = 0 ïïïï
KH
ïþ
¶r
0= ò
dn +
¶t
KH
Genel süreklilik
denklemi
Sonsuz Küçük kontrol hacmi kullanarak kütlenin
korunumu Denklemini türetme:
Kutunun her bir yüzeyi için P noktası civarındaki
Taylor serisi açılımını yazalım:
Herbir yüzeyin merkezi ile kutu merkezi
(P) arasındaki mesafe dx/2, dy/2, dz/2 dir
merkezdeki yoğunluk ρ ve hız bileşenleri u, v, w
olsun. Herbir yüzey için yoğunluk ve hız değerlerini
yazarsak :
 (  u ) dx
(  u )sağ yüzün merkezi   u 
 .....
x 2
 (  u ) dx
(  u )sol yüzün merkezi   u 
 .....
x 2
 (  w) dz
(  w)ön yüzün merkezi   w 
 .....
x 2
............
Kontrol hacmi bir noktaya küçüldüğünde, denklem
9-2 nin sol yanındaki hacim integrali.
Denklem 9-2 nin sağ tarfına şekil 9-5 deki
Yaklaşımı uygulayarak tüm yüzeylerden
Giren ve çıkan kütlesel debileri toplayalım:
Giren net kütlesel debi:

( u) dx 
(  v) dy 
(  w) dz 


m   u 

 dxdz    w 
dydz    v 
 dxdy
x 2 
y 2 
z 2 


giren

Çıkan net kütlesel debi:

( u) dx 
(  v) dy 
(  w) dz 


m


u

dydz


v

dxdz


w







 dxdy
x 2 
y 2 
z 2 


çıkan

Giren ve çıkan debiler denklem 9-2 de yerine yazılırsa, kartezyen koordinatlarda
Süreklilik denklemi elde edilir:
 (  u ) (  v) (  w)



0
t
x
y
z
Bu denklem diverjans özdeşliği
Kullanılarakta şekildeki gibi elde edilebilir.
Süreklilik denkleminin alternatif formu
¶r
¶r
+ Ñ .(r V ) =
+ V .Ñr + r Ñ .V = 0
¶t
¶t
r ' nun maddesel
türevi
Eşitliği n her bir terimini ρ ile bölersek:
1 Dr
+ Ñ .V = 0
r Dt
alternatif formu elde ederiz.
MADDESEL TÜREV, D/Dt
D
¶
=
+ (V ×Ñ )
Dt ¶ t
olarak tanımlanır ve hem yerel hem
de advektif etkiyi dikkate alır.
Maddesel ivme ve bileşenleri:
DV
dV ¶ V
a (x , y , z , t ) =
=
=
+ (V ×Ñ )V
Dt
dt
¶t
¶u
ax =
+ (V ×Ñ )u
¶t
¶v
ay =
+ (V ×Ñ )v
¶t
Süreklilik denkleminin özel durumları
Özel durum 1: Daimi sıkıştırılabilir akış
¶r
+ Ñ .(r V ) = 0
¶t
=0
(  u ) (  v) (  w)


0
x
y
z
Özel durum 2: Daimi sıkıştırılamaz akış
Ñ .V = 0
u v w
 
0
x y z
AKIM FONKSİYONU
Kartezyen koordinatlarda Akım Fonksiyonu
2-B sıkıştırılamaz bir akış için:
u v

0
x y
İki bağımlı değişken(u,v) yerine tek bir bağımlı değişken (ψ) dönüşümü yapalım.
(ψ) akım fonksiyonunu:
U

y
ve

V 
x
olarak tanımlayalım.
Süreklilik denklemini tekrar düzenlersek:
  

x  y
   
 
 y  x
2
2
  

0

 xy yx
Akım Çizgisi: her yerde anlık hız vektörüne teğet olan eğridir.
Şekilde görüldüğü gibi sonsuz küçük uzunluktaki
dr  dxi  dyj  dzk yayını göz önüne alalım.
dr yayı, yerel hız vektörüne V  ui  vj  wk
paralel olmalıdır.
Benzer üçgen kuralına göre, akım çizgisi denklemi:
xy-düzlemindeki bir akış için denklemi integre edersek
dr dx dy dz



V
u
v
w
elde edilir.
ædy ö
v
çç ÷
=
÷
çè dx ÷
øbir akım çizgisi boyunca u
v dx  u dy  0
 x
 y


dx 
dy  0
x
y
Şekilde görüldüğü gibi, (x,y) noktasından (x+dx, y+dy) noktası na gidildiğinde ψ deki toplam değişim
d 


dx 
dy
x
y
d  0 Ψ’ nin akım boyunca sabit olduğu görülür.
Bir akım çizgisinden diğerine ψ değerleri arasındaki fark, birim genişlik
başına bu iki akım çizgisi arasından geçen hacimsel debiye eşittir.
(Hiçbir akış akım çizgisini geçemez)
Kesit değişse de debi değişmeyeceği için ortalama hız azalacaktır. Bu
durum için Şekil 9-19 a bakınız. Kesite bağlı olarak hız vektörlerinin
büyüklüklerinin değiştiği görülmektedir.
Matematiksel İspat
Şekil 9-22 de görüldüğü gibi sonsuz küçük bir ds uzunluğu ve buna
Ait birim normal vektör n alalım.
n
dy
dx
i
j
ds
ds
dA=ds.1 için
dx 
 dy
d  V .n dA  (ui  vj ).  i 
j  ds
ds 
 ds
ds
Yukarıdaki vektörlerin skaler çarpımı yapılır ve akım fonksiyonu
dönüşümü yapılırsa:


d  udy  vdx 
dy 
dx  d
y
x
SKALER
ÇARPIM
NEDİR???
Denklem 1 akım çizgisinden 2 akım çizgisine integre edilirse B
Kesitinden geçen hacimsel debi bulunur.
 B   V .ndA   d 
B
B
  2

 

1
d   2  1
Silindirik koordinatlarda akım fonksiyonu
İki boyutlu Düzlemsel akış
 (rur )  (u )

0
r

1 

u

ve
u


Düzlemsel akım fonksiyonu:
r

r 
r
Süreklilik denklemi:
Eksenel simetrik akış
Süreklilik denklemi:
 (rur )  (u z )

0
r
z
1 
Düzlemsel akım fonksiyonu: ur  
r z
ve u z 
1 
r r
DİKKAT!..
ÖRNEK 9-12 İNCELENECEK
DOĞRUSAL MOMENTUM KORUNUMU-CAUCHY DENKLEMİ
F 
  gd    ij .ndA 
KH
KY

KH t (V )d  KY (V )V .ndA
Gerilme
tensörü
 F   Fkütle   Fyüzey 
Birim zamandaki
Momentum değişimi

  mV  giren
  mV
KH t ( V )d çıkan
Çıkan Momentum
Akış hızı
Giren Momentum
Akış hızı
Doğrusal Momentum Denklemini Türetme
1. Diverjans Teoremi kullanarak

 ( V )V .ndA   ( VV )d
KY
( V )V
KH

 ij

ij
.ndA 
KY
 
ij
d
KH
En genel haldeki momentum denklemini bu dönüşümlerden sonra tekrar yazarsak, Cauchy
Denklemini elde ederiz:

( V )  .( VV )   g  . ij
t
2. Sonsuz Küçük Kontrol Hacmi kullanarak
Denklemleri basitleştirmek için x-bileşenin alalım:
 Fx   Fx,kütle   Fx, yüzey 

  mu  gire
n  mu
KH t (  u )d  çıkan


(  u ) dxdydz
t
Şekilde görülen kontrol hacminden tüm yöndeki giren ve çıkan momentum akılarını çıkarırsak
X-yönündeki net momentum akışını elde ederiz.
 



(  uu )  (  vu )  (  wu )  dxdydz
y
z
 x

  mu    mu  
çıkan
giren
Kontrol hacmimize x-yönünde etkiyen kuvvetler
Şekilde görüldüğü gibi tek etki eden kütle kuvveti yerçekimi kuvvetidir.
g  g xi  g y j  g z k
X- bileşeni için kütle kuvveti:
F
x ,kütle
 Fx , yerçekimi   g x dxdydz
Şekildeki tüm kuvvetleri toplayarak
kontrol elemanına X- yönünde etki
eden yüzey kuvveti:
F
x , yüzey

 


 x xx y  yx


  zx
 z


 dxdydz



NAVIER-STOKES DENKLEMİ
Cauchy denklemi ve süreklilik denklemlerini kullanarak herhangi bir akışkanlar mekaniği problemlerini çözemeyiz.
Çünkü gerilme tensörü σij dokuz ve yoğunlukla beraber on bileşen barındırmaktadır (ρ,u ,v, w, σxx , σxy , σxz ,
σyy, σyz ve σzz). On bilinmeyen ve dört denklem(süreklilik ve 3 yönde cauchy denklemi) var. Bilimeyen sayısı
kadar denkleme ihtiyacımız var. Bünye Denklemleri yardımıyla gerilme tensörü bileşenlerini hız alanı ve basınç
alanı cinsinden ifade edeceğiz.
  xx  xy  xz    P 0
0 


Durgun akışkan için:  ij    yx  yy  yz    0  P 0 

 
0  P 
 zx  zy  zz   0
Hareketli akışkan için:
  xx  xy  xz    P 0
0    xx  xy  xz 




 ij    yx  yy  yz    0  P 0    yx  yy  yz 

 
0  P    zx  zy  zz 
 zx  zy  zz   0
Basınç
kuvveti
P  Pm  
1
 xx   yy   zz 
3
Viskoz
kuvveti
 ij  2 ij
εij Şekil değiştirme hız tensörü
æexx exy exz ÷
ö
çç
÷
÷
ç
÷
eij = ççexy e yy e yz ÷
=
÷
çç
÷
÷
ççèe e e ÷
ø
zx
zy
zz ÷
æt xx t xy t xz ÷
ö
çç
÷
÷
ç
÷
t ij = ççt xy t yy t yz ÷
=
÷
çç
÷
÷
÷
ççèt
t
t
ø
zx
zy
zz ÷
æ¶ u
1æ
çç
çç¶ u +
çç ¶ x
çè ¶ y
2
çç
çç1 æ¶ v ¶ u ö
÷
çç çç +
÷
çç 2 çè¶ x ¶ y ÷
÷
ø
çç
çç1 æ¶ w ¶ u ö
÷
çç çç +
÷
çè 2 çè ¶ x ¶ z ÷
ø
ö
ö ÷
1æ
çç¶ u + ¶ w ÷
÷
÷
÷
÷
ç
2 è¶ z ¶ x ø ÷
÷
÷
÷
÷
ö
÷
¶v
1æ
¶
v
¶
w
÷
÷
çç +
÷
÷
÷
÷
ç
÷
¶y
2 è¶ z ¶ y ø ÷
÷
÷
÷
÷
ö
÷
1æ
¶
w
¶
v
¶
w
÷
÷
çç +
÷
÷
÷
÷
÷
2 çè ¶ y ¶ z ÷
¶
z
ø
ø
ö
¶ v÷
÷
÷
¶ x÷
ø
æ ¶u
æ¶ u ¶ v ÷
ö
çç2m
ç
÷
mç +
çç ¶ x
÷
çè ¶ y ¶ x ÷
ø
çç
çç æ¶ v ¶ u ö
¶v
÷
ççmçç +
÷
2
m
÷
çç çè¶ x ¶ y ø
÷
¶y
çç
çç æ¶ w ¶ u ö
æ¶ w
çç +
÷
ççmçç +
m
÷
÷
çè ¶ y
çè çè ¶ x ¶ z ø
æ¶ u ¶ w ÷
ö ö
÷
ç
÷
mç +
÷
çè ¶ z ¶ x ÷
÷
ø ÷
÷
÷
÷
÷
æ¶ v ¶ w ö
÷
÷
÷
÷
÷
m çç +
÷
÷ ÷
çè¶ z ¶ y ø
÷
÷
÷
÷
ö
÷
¶v ÷
¶w ÷
÷
÷
÷
2
m
÷
÷
÷
÷
¶z ø
¶z ø
  xx  xy

 ij    yx  yy

 zx  zy
σij gerilme
 u
 u v 
 u w 
2





 




x

y

x

z

x




 xz    P 0
0  
 v u 
 v w 
v

 yz    0  P 0       
2
  
y
 x y 
 z y 
 zz   0
0  P   
 w v 
w
   w  u 


2



  x z 

y

z
z



tensörünü cauchy denkleminde X-yönü için yerine yazarsak

( V )  .( VV )   g  . ij
t
Du
P
 2u
  v u 
  w u 


  g x  2 2        
 
Dt
x
x
y  x y 
z  x z 










  2u  u  v  2u  w  2u 
Du
P


  gx    2 

 2
 2
Dt
x
x x x y y
x z z 
 x


2
2
2
   u v w   u  u  u 
Du
P


  g x      
 2  2  2 
Dt
x
y
z 
 x  x y z  x


süreklilikten 0
Du
P


  g x   2u
Dt
x
Dv
P

  g y  2v
Dt
y
Dw
P


  g z   2 w
Dt
z

X-yönü için
Y-yönü için
Z-yönü için
En genel halde sıkıştırılamaz akışkanlar için Navier-Stokes Denklemi

DV
  P   g   2V
Dt
Kartezyen Koordinatlarda sıkıştırılamaz akışkanlar için
Süreklilik ve Navier-Stokes Denklemleri
u v w
 
0
x y z
  2u  2u  2u 
 u
u u
u 
P
   u v  w      gx    2  2  2 
x y
z 
x
y
z 
 t
 x
  2v  2v  2 w 
 v
v v
v 
P
   u v  w     gy    2  2  2 
x y
z 
y
y
z 
 t
 x
 2w 2w 2w 
 w
w w
w 
P

u
v
w 
  gz    2  2  2 
x y
z 
z
y
z 
 t
 x
Süreklilik ve Navier-Stokes Denklemlerinin Tam Çözümleri
Sınır Şartları
1. Kaymama sınır Şartı: katı çeper ile temas halinde olan akışkanın hızı çeperin hızına eşittir.
Vakışkan  Vçeper
Kaymama Koşulu referans koordinat sistemine bağlıdır. Örnek olarak
piston silindir sistemi verilebilir. Sabit bir referans sistemine göre, silindire
bitişik akışkan durgun, pistona göre :Vakışkan
 Vçeper  Vp j hızındadır.
Eğer piston üzerinde bir referans seçersek, piston yüzeyinde hız sıfır,
silindir yüzeyinde ise
Vakışkan  Vçeper  Vp j
olurdu.
2. Ara yüz Sınır Şartı: Şekilde görüldüğü gibi, iki akışkan arasındaki
Hızlar eşit olduğu gibi kayma gerilmeleri de eşit olmalıdır.
VA  VB ve  s , A   s ,B
Şekilde görüldüğü gibi, sıvı –gaz akışkan arasında ise, hava – su
çifti için
usu  uhava ve  s ,su
u 
u 
  su
   s ,hava  hava

y  su
y hava
Suyun vizkositesi, havını viskozitesinden 50 kat büyüktür. Kayma gerilmelerinin eşit olabilmesi için
u 
 nın
y hava
u 
 dan 50 kat büyük olması gerekir. Buna göre suyun yüzeyin etki eden yüzey gerilmesi suyun içindeki
y  su
herhangi bir yerdeki gerilmeye göre ihmal edilebilir. Bu durumun söz konusu olduğu sıvı-gaz arayüzü nde
serbest yüzey sınır şartı söz konusudur.
3. Serbest Yüzey Sınır Şartı
Psıvı  Pgaz ve  s ,sıvı  0
4. Giriş Sınır Şartı: Tüm zamanlar için hız ve basınç
5. Çıkış Sınır Şartı : Tüm zamanlar için hız ve basınç
6. Simetri Sınır Şartı: Bir eksen veya simetri düzlemi boyunca geçerlidir