Transcript indir
10. BÖLÜM NAVIER-STOKES DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ İÇİNDEKİLER • 10.1. GİRİŞ • 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM • 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI • 10.6. SINIR TABAKA YAKLAŞTIRIMI 10.1. GİRİŞ • Navier-Stokes denklemlerinin literatürde mevcut bulunan analitik çözümlerinin sayısı fazla değildir. – Bu çözümlerin sayısı birkaç öğrencinin parmaklarının sayısını geçmez. • Uygulamadaki akışkanlar mekaniği problemlerinin büyük bir bölümü analitik olarak çözülemez ve (1) daha fazla sayıda yaklaştırım (2) bilgisayar yardımı gerektirir. 10.1. GİRİŞ • Navier-Stokes denkleminin kendisi tam değildir, tersine kendine özel bir takım yaklaştırımları – Newton tipi akışkan, – Sabit termodinamik özellikler vb. içeren bir akış modelidir. ve transport • Mükemmel bir modeldir ve modern akışkanlar oluşturur. mekaniğinin temelini 10.1. GİRİŞ • Tam çözüm: Çözüme NS denkleminin başlanılır. bütününden • Yaklaşık 10.1. GİRİŞ çözüm: Çözüme başlamadan önce bile NS denklemi akışın bir bölgesinde basitleştirilir: – Akışın bir bölgesinden diğerine farklılık gösterebilen terim(ler) problemin türüne bağlı olarak önceden yok edilir. – Örnek: statik akışkan yaklaştırımında atalet ve viskoz terimleri basınç ve yerçekimi terimlerine kıyasla ihmal edilebilir derecede küçük olduğundan NS denklemi sadece iki terime (basınç ve yer çekimi) indirgenir: 10.1. GİRİŞ • Yaklaştırım çözüme başlangıç için uygun değilse çözüm yanlış olur: – Örneğin bir problemi sürünme akışı yaklaştırımı kullanarak çözdüğümüzde akışın Reynolds sayısı çok büyükse sürünme akışı yaklaştırımı uygun olmaz ve çözüm fiziksel olarak doğru olmaz. 10.1. GİRİŞ • Uygulamadaki çoğu akış probleminde belirli bir yaklaştırım, akış alanının bir bölgesinde uygun iken, ancak belki başka bir yaklaştırımın uygun olduğu bir diğer bölgede uygun olmayabilir. • Bir yaklaştırımın uygun olup olmadığı hareket denklemindeki çeşitli terimlerin büyüklük mertebeleri karşılaştırılarak belirlenir. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Süreklilik denklemi • Navier-Stokes denklemi 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Boyutsuz değişkenler 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Boyutsuz süreklilik denklemi • Boyutsuz NS denklemi 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Strouhal sayısı: St=fL/V • Euler sayısı: Eu=(po-p)/V2 • Froude sayısı: Fr=V/(gL)1/2 • Reynolds sayısı: Re=VL/ 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Boyutsuzlaştırılmış süreklilik denklemi hiçbir ilave boyutsuz parametre içermemektedir. • Boyutsuz değişkenler eğer bir uzunluk, hız, frekans vb. akış alanının boyutsuzlaştırılmış mertebeleri 1’dir: karakteristikleri iseler bunların kullanılarak büyüklük • Bu nedenle boyutsuz NS denklemindeki terimlerin göreceli önemi, sadece boyutsuz parametreler St, Eu, Fr ve Re’nin göreceli büyüklüklerine bağlıdır. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Bir model ile bir prototip arasındaki dinamik benzerlik bu 4 sayının da eşit olmasını gerektirir: Stmodel=Stprototip Eumodel=Euprototip Frmodel=Frprototip Remodel=Reprototip 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Eğer akış daimi ise f=0 olur ve Strouhal sayısı boyutsuz (St=0). parametreler listesinden çıkarılır Strouhal sayısı: St=fL/V • Eğer karakteristik frekans f çok küçükse, St<<1, bu durumdaki akış sanki-daimi olarak adlandırılır ve akış daimi kabul edilerek NS denklemindeki bu terim silinir. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Yerçekiminin etkisi yalnızca serbest yüzey etkili akışlarda önemlidir: – Dalgalar, gemi hareketi, hidroelektrik barajların taşma savakları, ırmak akışları vb. • Serbest yüzey etkili olmayan akışlarda yerçekimi, akış dinamiğini etkilemez. – tek etkisi, dinamik basınç alanı üzerine bir hidrostatik basınç eklemekten ibarettir. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Hidrostatik basıncı içerisine alan bir değiştirilmiş basınç tanımlaması P’ yapılır: • Bu denklemin avantajı herhangi bir yerçekimi terimi bulundurmayan bir NS olmasıdır. • Değiştirilmiş basınç, kullanılmamalıdır. serbest yüzeyli akışlarda 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Sürünme akışı olarak adlandırılan akışlar için Stokes akışı ve düşük Reynolds sayılı akış deyimleri kullanılmaktadır. • Bu akışta Reynolds sayısı çok küçüktür (Re « 1). – Reynolds sayısının tanımından Re = VL/ • Sürünme akışı ya çok küçük , V, L değerlerinde ya da çok büyük değerinde (veya bunların bir kombinasyonu halinde) ortaya çıkar. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Sürünme akışına ait örnekler: – Kremayı (çok viskoz bir sıvı) kekin üzerine dökerken – Süte eklemek için bir kaşığı bal (yine viskoz bir sıvı) kavanozuna daldırırken – Tüm çevremizde ve içimizde mikroskobik organizmaların hareketleri – Hidrodinamik bir yatağın çok dar kanallarındaki yağlayıcı yağın akışı • Hızlar küçük olmayabilir, ancak aralıklar çok küçüktür (mikronun on katı mertebesinde) ve viskozite göreceli olarak yüksektir (oda sıcaklığında ~1 N.s/m2). 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI – Mikroorganizmalar tüm yaşamlarını sürünme akışı rejiminde geçirirler. – Boyutları bir mikron mertebesindedir (1 m = l0-6 m), “yüksek” viskoziteli akışkan sınıfına zor girebilecek havada hareket edebilirler ve suda yüzebilmelerine rağmen çok yavaş hareket ederler. – Suda yüzen salmonella (zehirlenmeye yol açan bir bakteri türü) bakterisinin hareketiyle ilgili Reynolds sayısı 1’den çok küçüktür. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Sürünme akışında – Yerçekimi etkileri ihmal edilebilir veya sadece düşey bir hidrostatik basınç bileşeni eklenir. – Akış daimidir veya Strouhal sayısı 1 mertebesinde veya daha küçük olan salınımlı bir akıştır (NS denkleminde daimi olmayan ivmelenme terimi viskoz teriminden daha küçük bir mertebededir). – Advektif terim 1 mertebesindedir . – Sonuç olarak 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Denklemdeki boyutsuz değişkenler 1 mertebesinde olduğundan iki tarafın birbirini dengelemesinin tek yolu Eu sayısının 1/Re ile aynı büyüklük mertebesinde olmasıdır. • Bu ikisi eşitlenirse • Sürünme akışı için basınç ölçeği • 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Sürünme akışının iki ilginç yönü vardır: – Birincisi, atalet bakımından baskın akışlarda V2 gibi basınç farkları ölçeği bulunurken, sürünme akışında viskozluğun daha baskın olmasından dolayı V/L gibi bir basınç farkları ölçeği bulunmaktadır. – İkincisi ise yoğunluğun bir değişken olarak NavierStokes denkleminde yer almamasıdır: 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Yüzerken atalate güvenirsiniz. • Bir kulaç atarsınız ve bir diğer kulacı atmadan önce sudaki belirli bir mesafeyi süzülerek ilerleyebilirsiniz. • Yüzerken NS denklemindeki atalet terimleri viskoz terimlerden çok büyüktür, çünkü Reynolds sayısı çok yüksektir. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Sürünme akış rejiminde yüzen mikroorganizmalarda atalet önemsizdir ve bu yüzden hiçbir şekilde süzülme olmaz. • Yunuslarınkine benzer şekilde çırpılan bir kuyruk mikroorganizmaları hiçbir yere götürmez. • Sperm örneğinde olduğu gibi, uzun ve dar kuyrukları (kamçıları) sinüs eğrisi şeklinde hareket ederek mikroorganizmaların ilerlemelerini sağlar. Sperm, hiçbir atalet olmadan kuyruğu hareket etmedikçe ilerleyemez. Kuyruğunun hareketi durduğunda sperm de durur. • Sperm veya mikroorganizmalar kısacık bir mesafeyi kat etmek için çok zorlanırlar. Spermin kuyruğu hemen hemen iki tam dalga çevrimi tamamlarken, sperm başı yalnızca iki baş uzunluğu civarında sola hareket edebilir. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Çocuk, küreler arasında yüzmeye çalıştığında, ileriye doğru yalnızca yılanımsı şekilde bir kıvrılma hareketi ile hareket edebilir. • Çocuk kıvrılma hareketini durdurduğu anda, ihmal edilebilir düzeyde atalet olduğundan tüm hareket sona erer. • Yüzen çocuk ile sürünme akışı şartlarında yüzen bir mikroorganizma arasında zayıf bir analoji vardır. Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç • Viskozitesi olan bir akışkan içerisinde V hızındaki sürünme akışı şartlarında, üç-boyutlu, L karakteristik uzunluğuna sahip bir cisme etki eden FD direnç kuvveti: FD=sabit.VL • Boyut analizi; cismin şekline, akışkan içerisindeki yerleştirme biçimine bağlı olduğundan, ifadedeki sabitin değeri hakkında fikir vermez. Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç • Sürünme akışında bir küre üzerindeki direnç kuvveti: FD= 3.VD Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç • Yoğun ve küçük bir parçacığın sürünme akışı şartlarındaki limit hızı, akışkanın yoğunluğundan bağımsız olmasına karşın viskozitesine oldukça bağlıdır. • Havanın viskozitesi yükseklikle sadece % 25 civarında değiştiğinden, küçük bir parçacık yükseklikten bağımsız olarak yaklaşık sabit bir hızla yeryüzüne iner. • Parçacığın 15000’den deniz seviyesine kadar düşmesi esnasında hava yoğunluğu 10 kattan fazla artış gösterdiği halde bu durum değişmez. Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç • Küresel olmayan üç-boyutlu cisimler için sürünme akışındaki aerodinamik direnç yine FD=sabit.VL şeklindedir, ancak bu halde denklemdeki sabit 3 olmayıp, - hem cismin şekline - hem de akış alanındaki yerleştirilme biçimine bağlıdır. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM • Eğer net viskoz kuvvetler, atalet ve/veya basınç kuvvetlerine durumda oranla çok küçük kalıyorsa, bu denkleminin sağ tarafındaki son terim ihmal edilebilir. • Bu yalnızca 1/Re’nin küçük olması durumunda doğrudur. olmayan akış bölgeleri yüksek Reynolds sayısına sahip bölgelerdir — sürünme akışı bölgelerinin tersi. Dolayısıyla viskoz 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM • Bu tür böIgelerde Navier-Stokes denklemi viskoz terimini kaybeder indirgenir: ve Euler denklemi’ne • Euler denklemi basit olarak viskoz terimi bulunmayan Navier-Stokes denklemidir ve Navier-Stokes denkleminin bir yaklaştırımıdır. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM Euler denklemi, çeperlerden ve art izlerinden uzakta net viskoz kuvvetlerin ihmal edilebilir olduğu yüksek Reynolds sayılı akış bölgeleri için uygun bir yaklaştırımdır. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM • NS denkleminin Euler yaklaştırımında ihmal edilen terimi hızın en yüksek mertebeden türevlerini içeren bir terimdir. • Bu terimin ortadan kalkması sınır şartlarının sayısını düşürür. • Akışkanın çeper içerisinden akamayacağını (çeper geçirgen değildir) hala belirtebilmemize rağmen katı çeperlerde kaymama şartını belirtemeyiz. • Bu nedenlerle Euler denkleminin çözümleri katı çeperler yakınında fiziksel olarak anlamsızdır, zira akışın burada kaymasına izin verilmiştir. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM • Euler yaklaştırımı bir sınır tabaka yaklaştırımında ilk adım olarak sıklıkla kullanılır. • İnce bir sınır tabaka, viskoz etkileri hesaba katmak için çeper ve art izleri bölgesine bir düzeltme olarak yerleştirilir. 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI • Akışkan parçacıklarının hiçbir net dönmeye sahip olmadığı akış bölgeleri vardır ve bu bölgelere dönümsüz akış bölgeleri denir. • Dönümsüzlük bir yaklaştırımdır ve akış alanının bazı bölgelerinde uygun olabilir, bazı bölgelerinde de uygun olmayabilir. 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI • Viskoz olmayan bir akış bölgesinin dönümsüz olmayabileceği (örneğin katı cisim gibi dönme hareketi) durumlar mümkünse de, – genel olarak katı çeperlerden ve cisimlerin art izlerinden uzak viskoz olmayan akış bölgeleri dönümsüzdür. • Buna göre, dönümsüzlük ile tanımlanan akış tipleri için elde edilen çözümler, tam Navier-Stokes çözümlerinin yaklaştırımlarıdır. – Matematiksel olarak bu yaklaştırım çevrintinin ihmal edilebilecek kadar küçük olması demektir: Süreklilik Denklemi • Eğer bir vektörün curl’ü sıfırsa, bu vektör, potansiyel fonksiyon adı verilen bir skaler fonksiyonunun gradyeni olarak ifade edilebilir. • Akışkanlar mekaniğindeki V vektörü, curl’ü çevri vektörü olan hız vektörüdür ve bu yüzden ‘ye hız potansiyeli fonksiyonu adı verilir. Süreklilik Denklemi • Dönümsüz bir akış bölgesinde hız vektörü, hız potansiyeli fonksiyonu adı verilen bir skaler fonksiyonun gradyeni olarak ifade edilebilir: • Kartezyen koordinatlarda: • Silindirik koordinatlarda: Süreklilik Denklemi • Dönümsüz akış bölgelerine potansiyel akış bölgeleri adı da verilir. • Dönümsüzlük yaklaştırımı akışlar için de geçerlidir. üç-boyutlu Süreklilik Denklemi Dönümsüz akış bölgelerinde Laplace denklemi geçerlidir: Süreklilik Denklemi • Bu çekiciliği yaklaştırımın – bilinmeyen üç hız bileşeninin (koordinat sistemi seçimine bağlı olarak u, v ve w veya ur,,u, ve uz), bir tane bilinmeyen skaler fonksiyonunda toplanması ve – böylece çözüm için iki denklemin ortadan kalkmasıdır. Momentum Denklemi • Dönümsüz bir akış bölgesinde hız alanı, Navier-Stokes denklemini kullanmadan elde edilebilir. • Ancak, hız potansiyeli fonksiyonunu kullanarak hız alanını belirledikten sonra basınç alanını çözmek için Navier-Stokes denklemini kullanırız. • Navier-Stokes denklemi, dönümsüz bir akış bölgesindeki iki bilinmeyen, ve P’nin çözümü için gerekli ikinci denklemdir. Momentum Denklemi Navier-Stokes denklemi dönümsüz akış bölgelerinde Euler denklemine indirgenir: Momentum Denklemi Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Laplace denklemi, potansiyel fonksiyonu için değil aynı zamanda daimi, sıkıştırılamaz, dönümsüz, düzlemsel akış bölgelerinde, akım fonksiyonu için de geçerlidir: Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri • Sabit değerlerine ait eğriler akışın akım çizgilerini, sabit değerlerine ait eğriler ise eşpotansiyel çizgilerini tanımlar. • Düzlemsel dönümsüz akış bölgelerinde akım çizgileri eşpotansiyel çizgilerini dik açıyla keser ve bu durum karşılıklı diklik olarak bilinir. Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri • Ayrıca ve potansiyel fonksiyonları dolaylı olarak birbirleriyle ilgilidir; her ikisi de Laplace denklemini sağlar ve herhangi birinden ( veya ) hız alanını belirleyebiliriz. • ve ’nin çözümlerine matematikçiler harmonik fonksiyonlar adını verirler ve ve ’ye birbirlerinin harmonik eşleniği denir. Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri • Her ne kadar ve birbirleriyle ilişkili olsa da kökenleri biraz farklıdır. • Belki de en iyisi, ve ’nin birbirlerinin tamamlavıcısı söylemektir: (tümleri) olduğunu – Akım fonksiyonu süreklilik ile tanımlanır; için Laplace denklemi dönümsüzlükten elde edilir. – Hız potansiyeli dönümsüzlük ile tanımlanır; için Laplace denklemi süreklilikten elde edilir. Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Bölgeleri • ur ve uz sıfırdan farklı hız bileşenleridir. • açısına bağımlılık yoktur. Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Bölgeleri • Laplace denklemi: • Süreklilik denklemi: • Akım fonksiyonu: Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Bölgeleri • Düzlemsel dönümsüz akış bölgeleri için Laplace denklemi hem hem de için geçerlidir. • Ancak eksenel simetrik dönümsüz akış bölgeleri için Laplace denklemi için geçerliyken, için geçersizdir. – Bu nedenle sabit ve eğrileri, eksenel simetrik dönümsüz akış bölgelerinde karşılıklı olarak dik değildir. Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Bölgeleri Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu • Laplace denklemi doğrusal bir homojen diferansiyel denklem olduğundan, bu denklemin iki ya da daha fazla çözümünün doğrusal kombinasyonu da bir çözüm olmalıdır. • Laplace denkleminin iki çözümü 1 ve 2 ise, bu durumda – – – – A1 (A+ 1) (1+ 2) (A1+B2) ifadeleri de bir çözümdür (A ve B keyfi sabittir). • Laplace denkleminin birkaç çözümü toplanabilir ve bu kombinasyon da bir çözümdür. Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu • Bilinen iki veya daha fazla çözümün birbirlerine eklenerek daha karmaşık bir üçüncünün elde edilmesi işlemine süperpozisyon denir. Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu • Süperpozisyon kavramı faydalı, ancak yalnızca ve ’ye ait denklemlerin doğrusal olduğu dönümsüz akış bölgeleri için geçerlidir. – Örneğin bir jetin (hüzmenin) akış alanı, asla bir giriş veya çıkış serbest-akım akışına eklenmemelidir, çünkü jetin akış alanı viskozitenin şiddetli etkisi altındadır ve dönümsüz değildir. Bu nedenle potansiyel fonksiyonlarla tarif edilemez. Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu • Birleşik akış alanının potansiyel fonksiyonu, her bir akış alanının potansiyel fonksiyonlarının toplamı olduğundan, birleşik akış alanında her bir noktadaki hız, her bir akış alanının hızlarının vektörel toplamıdır: Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu Yapıtaşı 1 – Üniform Akım Yapıtaşı 1 – Üniform Akım • Üniform akım için • Kartezyen dönüşümü koordinat - silindirik koordinat Yapıtaşı 1 – Üniform Akım • u=Vcos ve v=Vsin Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu • Çizgisel kaynakta akım çizgi parçasına dik tüm yönlerde dışarı doğru yayılır. • Çizgisel kuyuda ise akışkan çizgisel kuyu eksenine dik olan tüm düzlemlerden çizgi içerisine doğru akar. Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu • Çizgisel kaynak şiddeti, birim derinlik başına hacimsel debiye eşittir: • r arttıkça ur azalmaktadır. • Orijinde ur sonsuzdur ve bu noktaya tekil nokta veya tekillik adı verilir. Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu • Çizgisel kaynak için Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu • Akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgileri, tekil bir nokta olan merkez dışındaki her yerde karşılıklı olarak diktir. Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu • Merkez dışında bir yere çizgisel kaynak yerleştirildiğinde dikkatli bir dönüşüm yapılmalıdır. Yapıtaşı 3 – Çizgisel Çevri (Vorteks) • z-eksenine çevri paralel çizgisel • Hız bileşenleri: : sirkülasyon veya çevri şiddeti Yapıtaşı 3 – Çizgisel Çevri (Vorteks) • Merkezdeki çizgisel çevri Yapıtaşı 3 – Çizgisel Çevri (Vorteks) • (a, b) noktasındaki çizgisel çevri: Yapıtaşı 4 - İkili • İkili eşit şiddette bir çizgisel kaynak ile bir çizgisel kuyunun süperpozisyonundan meydana gelir. • Birleşik akım fonksiyonu Yapıtaşı 4 - İkili • Merkezden kaynağa ve merkezden kuyuya olan a mesafesinin düşünelim. sıfıra yaklaştığını • Arctan, çok küçük değerleri için ’ya yaklaşır: Yapıtaşı 4 - İkili • Eğer kaynak ve kuyu şiddetlerini koruyarak, a’yı kısaltırsak, a=0 olduğunda kaynak ve kuyu birbirlerini sönümler ve hiçbir akış kalmaz. • Kaynak ve kuyu birbirlerine yaklaştıkça, V/L olan şiddetleri, a mesafesi ile ters orantılı ve a(V/L) çarpımı sabit kalacak şekilde artar. Yapıtaşı 4 - İkili • Bu durumda merkeze çok yakın olmayan herhangi bir P noktasında r>>a olur: • İkili şiddeti: K=a(V/L)/ • Hız potansiyeli fonksiyonu: Yapıtaşı 4 - İkili Süperpozisyon İle Oluşturulmuş Dönümsüz Akışlar • Dönümsüz akışlar için olan bir dizi yapıtaşı kullanılarak süperpozisyon tekniği ile daha ilginç dönümsüz akış alanları oluşturulabilir. • Burada sadece xydüzlemsel akışlara verilecektir. düzlemindeki ait örnekler Bir Çizgisel Kuyu İle Bir Çizgisel Çevrinin Süperpozisyonu • Her ikisi de merkeze yerleştirilmiş V/L şiddetinde bir çizgisel kuyu ile şiddetinde bir çizgisel çevrinin süperpozisyonu – Akışkanın çıkışa doğru dönerek ilerlediği bir kuyu veya küvetteki üst akış bölgesini temsil eder. Bir Çizgisel Kuyu İle Bir Çizgisel Çevrinin Süperpozisyonu • Süperpozisyon: • Akım çizgileri: • Hız bileşenleri: Bir Çizgisel Kuyu İle Bir Çizgisel Çevrinin Süperpozisyonu • Çevrinin radyal hıza hiçbir katkısının olmaması nedeniyle radyal hız bileşeni tümüyle kuyudan kaynaklanmakta, – benzer şekilde teğetsel hız bileşeni de tamamen çevriden kaynaklanmaktadır. Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış • V hızındaki bir serbest akım ile merkeze yerleştirilen K şiddetinde bir ikilinin süperpozisyonu • r=a için =0 alınırsa yukarıdaki denklemden ikili şiddeti K= V a2 olur. • Böylece akım fonksiyonunun alternatif formu elde edilir. Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış • Üç boyutsuz parametre tanımlanırsa elde edilir. • Boyutsuz akım çizgileri: Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış • r=a dairesi sıfır akım çizgisidir ve bu akım çizgisi sanki katı bir çepermiş gibi düşünülebilir ve bu akış bir silindir üzerinden olan potansiyel akışı temsil eder. – Daire içerisindeki akım çizgileri çizilmemiştir - gerçekte bu çizgiler vardır ancak bizi ilgilendirmemektedir. – Birisi silindirin burnunda (önünde) diğeri de arkasında olmak üzere iki adet durma noktası vardır. – Durma noktaları civarında akış çok yavaş olduğundan akım çizgileri seyrektir. – Silindir üstü ve altında ise akım çizgileri sıklaşır ve bu durum hızlı akış bölgelerini gösterir. Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış • Bir silindir üzerinden gerçek akış, silindir arkasında art izi bölgesi oluşturur ve akım çizgileri simetrik değildir. • Hız bileşenleri • Silindir yüzeyi üzerinde Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış • Dönümsüz akış yaklaştırımı yapılırken katı çeperlerdeki kaymama koşulu sağlanamadığından silindir çeperinde kayma vardır. • Gerçekten de silindir üstünde (=90o) çeperdeki akışkan hızı, serbest akım hızının iki katıdır: D’Alembert Paradoksu Jean-le-Rond d’Alembert - 1752 • D’Alembert paradoksu: Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında, üniform bir akım içerisine bırakılan ve kaldırılmayan gelişigüzel şekilli bir cisim üzerindeki aerodinamik direnç kuvveti sıfırdır. • Bu durum yandaki simetrik basınç görülmektedir. dağılımından – Bu silindirde net basınç direnci sıfırdır yani cismin ön yarısındaki basınç kuvvetleri arka yarısındakiler tarafından tam olarak dengelenmektedir. D’Alembert Paradoksu Jean-le-Rond d’Alembert - 1752 • Gerçek bir akışta bir cismin arka yüzündeki basınç, ön yüzündekinden önemli ölçüde daha düşüktür ve bu da cisim üzerinde sıfır olmayan bir direnç oluşturur. • Bu basınç farkı cisim küt ise ve akış ayrılması var ise şiddetlenir. • Hatta akım çizgili cisimler için bile cismin basıncın toparlanması değildir. arkasında tamamen mümkün D’Alembert Paradoksu Jean-le-Rond d’Alembert - 1752 • Ayrıca cisim yüzeyindeki kaymama koşulu da sıfırdan farklı bir viskoz dirence neden olur. • Kısaca dönümsüz akış yaklaştırımı – Sıfır basınç direnci ve – Sıfır viskoz direnç gibi iki nedenden dolayı aerodinamik direnci hesaplamada başarısız olmaktadır. Sıfır Basınç Noktası • Cisim yüzeyinin hemen üzerinde hızın en yüksek, basıncın en düşük olduğu nokta cismin aerodinamik omuzu olarak adlandırılır. • Ön durma noktası ile aerodinamik omuz arasında basınç katsayısı sıfır olan bir nokta bulunur (cp=0). Bu noktaya “sıfır basınç noktası” denilir. • Bu noktada cismin yüzeyine dik yönde etkiyen basınç, cismin akışkan içerisinde ne kadar hızlı hareket ettiğine bağlı olmaksızın aynıdır (P=P). Sıfır Basınç Noktası • Balıkların gözü de sıfır basınç noktasına yerleştirilmiştir. çok yakın – Balığın gözü burnuna yakın olsaydı balık ne kadar hızlı yüzerse gözü üzerinde o denli yüksek basınç meydana gelirdi. – Göz daha geriye yani aerodinamik omuz civarına yerleştirilmiş olsaydı balık yüzdüğünde göz göreceli olarak emme basıncına maruz kalırdı. – Ayrıca balıkların solungaçlarının arkası aerodinamik omuza yakın yerleştirilerek buradaki emme basıncının balığın nefes vermesine yardımcı olması, hızlı yüzme esnasında kalbin strok hacmini artırmak için kalpleri de en düşük basınç bölgesine yerleştirilmiştir. Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu • Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında herhangi bir akım çizgisi katı bir çeper olarak dönüştürülebilir. • Dönümsüz akış yaklaştırımı matematiksel olarak basittir ve bu yolla hız ve basınç alanları kolayca elde edilebilir, ancak uygularken dikkatli olunmalıdır. • Dönümsüz akış yaklaştırımı özellikle katı çeper yakınları gibi çevrintinin ihmal edilemez olduğu bölgelerde geçersizdir. – Bunun nedeni, çeperdeki kaymama koşulunun yol açtığı viskoz gerilmelerin akışkan parçacıklarını döndürmesidir. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Navier-Stokes denklemlerindeki viskoz terimlerin ihmal edilebilir olduğu en az iki akış durumu vardır: – Viskoz olmayan akış bölgeleri: Net viskoz kuvvetlerin atalet ve/veya basınç kuvvetlerine göre ihmal edilebilir olduğu bilinen yüksek Reynolds sayılı bölgeler – Dönümsüz veya potansiyel akış bölgeleri: Çevrintinin ihmal edilebilir derecede küçük olduğu bölgeler. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Her iki durumda da NS denkleminden viskoz terimlerin kalkmasıyla Euler denklemi elde edilir. • Viskoz terimlerin yok olmasıyla matematiksel işlemler büyük ölçüde basitleşmiş olsa da Euler denkleminin pratik mühendislik akışı problemlerine uygulanması ile ilgili ciddi eksiklikler vardır: – Katı çeperlerde kaymama koşulunu tanımlayamama – Katı çeperler üzerinde sıfır viskoz kayma kuvvetleri ve serbest bir akıntıya daldırılmış cisimler üzerinde sıfır aerodinamik direnç 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır yaklaştırımı, tabaka – Euler denklemiyle NS denklemi arasındaki ve – katı çeperlerdeki kayma koşulu ile kaymama koşulu arasındaki boşluğa köprü olur. • Sınır tabaka yaklaştırımı 1904 yılında Ludwig Prandtl tarafından ortaya atılmıştır. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır tabaka yaklaştırımına göre bir cisim etrafındaki akış iki bölgeye ayrılır: – Viskoz olmayan ve/veya dönümsüz olan Dış Akış Bölgesi. – Bir katı çeper civarında viskoz kuvvetlerin ve dönümlülüğün göz ardı edilemeyeceği çok ince bir akış bölgesi olan Sınır Tabaka Bölgesi olarak adlandırılan iç akış bölgesi 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Dış Akış Bölgesinde hız alanını elde etmek için süreklilik ve Euler denklemleri, basınç alanını elde etmek için Bernoulli denklemi kullanılır. • Eğer dış akış bölgesi dönümsüz ise hız alanını elde etmek için potansiyel akış teknikleri kullanılabilir. • Sınır tabaka bölgesinde Sınır Tabaka Denklemleri kullanılır. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır tabaka çözümleri, bütün çözümlerinin yaklaştırımlarıdır ve uygularken dikkatli olunmalıdır. NS bunu • Sınır tabaka yaklaştırımı, Euler denkleminin bazı önemli eksikliklerini giderir: – Çeperler boyunca viskoz kayma kuvvetleri mevcut hale gelebilir. – Serbest bir akıma daldırılan cisimler aerodinamik dirence maruz kalabilir. – Ters basınç gradyenlerinin olduğu bölgelerdeki akış ayrılmaları daha doğru bir biçimde belirlenebilir. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır tabaka kavramı 1900’lü yılların büyük kısmında akışkanlar mekaniğinin lokomotifi olmuştur. • 20. yüzyılın ikinci yarısında, hızlı, pahalı olmayan bilgisayarların ve hesaplamalı akışkan dinamiği yazılımlarının ortaya çıkışı, karmaşık geometrili akışlar için NS denkleminin sayısal çözümünü mümkün kılmıştır. • Artık günümüzde akışı, dış akış bölgeleri ve sınır tabaka bölgeleri olarak ayırmaya gereksinim yoktur. – Bunun yerine tüm hareket denklem takımını (süreklilik ve NS) tüm akış alanı boyunca çözmek için HAD’ı (Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği) kullanabiliriz. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Çözüme ulaşmak için çok daha az zaman alması nedeniyle, yine de sınır tabaka teorisi bazı mühendislik uygulamalarında faydalıdır. • Ayrıca sınır tabakaları incelemek yoluyla akışkanların davranışı öğrenecek çok şey vardır. hakkında 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır tabaka kalınlığı, : Çepere paralel hız bileşeninin sınır tabaka dışında akan akışkan hızının %99’una eşit olduğu noktanın çepere olan mesafesidir. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Verilen bir x konumunda, Reynolds sayısı ne kadar yüksekse sınır tabaka o oranda incedir ve sınır tabaka yaklaştırımı daha güvenilir hale gelir. • <<x ise (veya boyutsuz olarak /x<<1) sınır tabaka ince olarak kabul edilir. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır tabaka profilinin şekli, akışı görselleştirme yoluyla deneysel olarak elde edilebilir. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır tabaka yaklaştırımı sadece çeperlerle çevrilmiş akış bölgeleriyle sınırlı değildir. • Jetler, art izleri ve karışım tabakaları gibi serbest kayma tabakalarına da sınır tabaka yaklaştırımı uygulanabilir. – Bu tabakalar ihmal edilemez viskoz kuvvetlerin bulunduğu sonlu çevrintili akış alanlarıdır. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır tabaka kalınlığı sabit olmayıp aşağı akım mesafesi x ile değişir. – Düz plaka, jetler, art izleri ve karışım tabakalarında (x) kalınlığı x ile artmaktadır. – (x)’in x ile azaldığı, bir çeper boyunca çabuk ivmelenen dış akışlar da bulunmaktadır. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • (x) eğrisi bir akım çizgisi değildir. – Sınır tabaka aşağı akım yönünde kalınlaştıkça, sınır tabakadan geçen akım çizgileri kütle korunumunu sağlamak için hafifçe yukarı doğru sapar. – Yukarı yöndeki bu yer değiştirme (x)’deki büyümeden daha küçüktür. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Düz plaka üzerindeki laminer akışta sınır tabaka kalınlığı – V, – x, – ve – ’nün fonksiyonudur. • (x), Rex’in karekökü ile orantılıdır. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Serbest akımlı pürüzsüz bir düz plakada türbülansa geçiş süreci, kritik Reynolds sayısında başlar ve geçiş Reynolds sayısında tamamen türbülanslı hale geçinceye kadar devam eder. – Kritik Reynolds sayısı Rex,kritik1*105 – Geçiş Reynolds sayısı Rex,geçiş3*106 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Sınır tabaka çok incedir, geçiş bölgesi uzun bir bölgedir: – Rex,geçiş 30 Rex,kritik • Gerçek mühendislik akışlarında türbülansa geçiş genellikle daha ani ve sakin serbest akımlı pürüzsüz düz plaka için verilen değerlerden çok daha önce meydana gelir (daha düşük Rex değerinde). 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Geçişi şu parametreler etkiler: – – – – – – yüzey boyunca pürüzlülük, serbest akım bozuklukları, akustik gürültü, akış kararsızlıkları, titreşimler, çeper eğriliği, • Bir sınır tabakanın büyük olasılıkla laminer (Rex<Rex,kritik) ya da türbülanslı (Rex>Rex,kritik) olduğunu belirlemede çoğunlukla Rex,kr=5*105 olan mühendislik kritik Reynolds sayısı kullanılır. – Bu yaklaşımda geçiş bölgesinin ilk kısmı laminer, kalan kısmı da türbülanslı kabul edilir. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı • Geçiş süreci çoğunlukla daimi değildir ve modern HAD yazılımlarıyla bile kestirimi zordur. • Bazı durumlarda istenen bir konumda akışı geçiş sürecine zorlamak için yüzey boyunca kalın zımpara kağıdı veya engel teli yerleştirilir. • Engel telinden yayılan girdaplar, daha iyi yerel karışmaya neden olur ve çok hızlı şekilde türbülanslı sınır tabakaya geçişi sağlayan akış bozuklukları meydana getirir. 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır Tabaka Denklemleri • Yerçekimi ihmal ediliyor. etkileri • Laminer sınır tabaka, • Sınır koordinat kullanılıyor. tabaka sistemi Sınır Tabaka Denklemleri Daimi olmayan terim ve yerçekimi etkileri ihmal edildiğinde Sınır Tabaka Denklemleri • x için uzunluk ölçeği olarak L • y için uzunluk ölçeği olarak • Tüm akış alanı için karakteristik hız V • Sınır tabakalar için karakteristik hız U (U, sınır tabakanın tam üstündeki bir konumda, çepere paralel hız bileşeninin büyüklüğüdür) • Büyüklük mertebeleri Sınır Tabaka Denklemleri • Süreklilik denkleminden v hız bileşeninin büyüklük mertebesi • Bir sınır tabaka içerisinde /L<<1 olduğundan (sınır tabaka çok ince) v<<u elde edilir. Sınır Tabaka Denklemleri • Boyutsuz değişkenler kullanıldığında: • Tüm boyutsuz mertebesindedir ve değişkenlerdir. değişkenler 1 normalleştirilmiş Sınır Tabaka Denklemleri y yönündeki momentum denklemi: Sınır Tabaka Denklemleri • ReL>>1 olduğundan sağ tarafta bulunan ortadaki terimin büyüklük mertebesi diğerlerinden daha küçüktür. • Aynı nedenle sağdaki son terim sağdaki ilk terimden çok küçüktür. • Bu iki terim ihmal edilirse geriye soldaki iki terim ile sağdaki ilk terim kalır: Sınır Tabaka Denklemleri L>> olmasından dolayı basınç gradyeni teriminin büyüklük mertebesi, denklemin solundaki advektif terimlerden daha büyüktür. Bunun sonucunda kalan tek terim basınç terimi olur: Sınır Tabaka Denklemleri • Bir sınır tabaka içerisinde sınır tabakaya dik yönde (y-yönü) basınç hemen hemen sabittir. Sınır Tabaka Denklemleri Bu nedenle bir sınır tabakanın dış kenarındaki basınç, çeperin doğrudan altına açılan bir statik basınç deliği ile deneysel olarak ölçülebilir. Sınır Tabaka Denklemleri x- yönündeki NS denklemi Sınır Tabaka Denklemleri • ReL>>1 olduğundan – sağ tarafta bulunan ortadaki terimin büyüklük mertebesi • sol tarafta yer alan terimlerinkinden daha küçüktür. • Sağ taraftaki son terim ihmal edilemez, çünkü ihmal edilirse tüm viskoz terimler atılmış olur ve Euler denklemine geri dönülmüş olur. • Diğer tüm terimler 1 mertebesinde olduğundan: Sınır Tabaka Denklemleri • Çeper boyunca verilen bir akımyönü konumunda Reynolds sayısı ne kadar yüksekse, sınır tabaka da o denli ince olur. • Düz bir plaka üzerindeki laminer sınır tabakada , x’in kareköküyle orantılı olarak büyür. Sınır Tabaka Denklemleri • x-momentum sınır tabaka denklemi: • y-hız gradyeni genellikle küçük olan kinematik viskozite değerini dengelemek için yeterince büyük olduğundan, yukarıdaki denklemdeki son terim ihmal edilemez. Sınır Tabaka Denklemleri Bernoulli denklemi dış akış bölgesine uygulanabilir: Sınır Tabaka Denklemleri Önemli yerçekimi etkilerinin olmadığı, daimi, sıkıştırılamaz, laminer sınır tabaka için hareket denklemleri (sınır tabaka denklemleri): Sınır Tabaka Denklemleri • Matematiksel olarak N-S denklemi uzayda eliptiktir. – Bu, sınır şartlarının akış bölgesinin tüm sınırı boyunca gerekli olduğu anlamına gelir. – Fiziksel olarak akış bilgisi tüm yönlere, hem yukarıakıma hem de aşağıakıma iletilir. Sınır Tabaka Denklemleri x- momentum sınır tabaka denklemi, paraboliktir. – Bu, sınır şartlarının akış bölgesinin yalnızca üç tarafında belirtilmesi gerektiği anlamına gelir. – Fiziksel olarak akış bilgisi akışa zıt yönde (aşağı akımdan) etkilenmez. – Aşağıakımda sınır şartı belirtilmesi gerekmez. – Sınır şartlarının yalnızca yukarıakımda, akış bölgesinin üstünde ve altında belirtilmesi yeterli olur. Sınır Tabaka Denklemleri • Bir çeper üzerindeki tipik bir sınır tabaka problemi için – Çeperde kaymama koşulu (y=0’da u=v=0) – Sınır tabaka kenarındaki ve uzağındaki dış akış şartı (y için u=U(x)) – Belirli bir yukarıakım konumunda bir başlangıç profili x=xbaşlangıç için u=ubaşlangıç(y)’dir. xbaşlangıç sıfır olabilir ve olmayabilir. Sınır Tabaka Denklemleri Sınır Tabaka Denklemleri • Reynolds sayısı yeterince yüksek değilse sınır tabaka yaklaştırımı işe yaramaz. ReL=1000 için /L~%3 ReL=10000 için /L~%1 • Çeper eğriliği, ile yakın büyüklükteyse, y-yönünde sıfır basınç gradyeni kabulü yapılamaz. – Bu tür durumlarda akım çizgisi eğriliğinden kaynaklanan merkezcil ivme etkileri göz ardı edilemez. Sınır Tabaka Denklemleri • Reynolds sayısı çok yüksekse, sınır tabaka laminer olarak kalmaz. • Akış ayrılması meydana geliyorsa, ayrılan akış bölgesinde sınır tabaka yaklaştırımı uygun olmaz. • Ayrılan akış bölgesinde ters akış bulunur ve sınır tabaka kaybolur. denklemlerinin parabolik yapısı Sınır Tabaka Denklemleri Sınır Tabaka Denklemleri Sınır Tabaka Denklemleri Yerdeğiştirme Kalınlığı • Yerdeğiştirme kalınlığı, sınır tabakanın tam dışındaki bir akım çizgisinin sınır tabaka etkisiyle çeperden uzaklaşma mesafesidir. • Yerdeğiştirme kalınlığı Yerdeğiştirme Kalınlığı • Sınır tabaka büyüdükçe, yer değiştirme kalınlığı x ile artar. • Laminer düz plaka için yer değiştirme kalınlığı (sayısal Blasius çözümü) Yerdeğiştirme Kalınlığı • Yer değiştirme kalınlığı için olan denklem ile sınır tabaka kalınlığı için olan denklem aynıdır: – Sadece bu denklemdeki sabit farklıdır. – Düz bir plaka üzerindeki laminer akış için herhangi bir x konumunda, yer değiştirme kalınlığı aynı konumdaki sınır tabaka kalınlığının üçte biridir. Yerdeğiştirme Kalınlığı • Viskoz olmayan ve/veya dönümsüz akış için yer değiştirme kalınlığı, çeper kalınlığındaki hayali veya görünür bir artış olarak düşünülebilir. – Düz plaka örneğinde dış akış, artık sonsuz ince bir düz plaka görmeyecektir. – Tersine sonlu kalınlıkta bir plaka şekli görecektir. • Yer değiştirme kalınlığı, büyüyen sınır tabaka etkisiyle, dış akışın çeper kalınlığında gördüğü hayali artıştır. Yerdeğiştirme Kalınlığı • Üst ve alt çeperde sınır tabakalar büyüdükçe, dönümsüz çekirdek akışı kütlenin korunumunu sağlamak üzere ivmelenmelidir. • Çekirdek akışı açısından sınır tabakalar kanal çeperlerinin yakınsamasına, yani x arttıkça çeperler arasındaki görünür mesafenin azalmasına neden olur. • Çeperlerden birinin kalınlığındaki hayali artış, yerdeğiştirme kalınlığına eşittir ve çekirdeğin görünür U(x) hızı kütlenin korunumunu sağlamak için artmalıdır. Momentum Kalınlığı • Plaka üzerinde sürtünmeden kaynaklanan direnç kuvveti: • Momentum kalınlığı , birim plaka genişliği için plaka üzerindeki viskoz direnç kuvveti ile U2 çarpımı birbirine eşit olacak şekilde tanımlanırsa: Momentum Kalınlığı Momentum Kalınlığı • Momentum kalınlığı, büyüyen sınır tabakanın varlığından ötürü birim genişlik başına oluşan momentum kaybının U2’ye oranı olarak tanımlanır: Momentum Kalınlığı • Laminer düz plaka (Blasius çözümü): için • Bu denklem sabiti farklı olmak üzere sınır tabaka kalınlığı ve yer değiştirme kalınlığı denklemleri ile aynıdır. • Düz bir plaka üzerindeki laminer akış için herhangi bir x konumundaki , ’nın yaklaşık %13.5’udur. Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası • Türbülanslı akışlar kendine özgü biçimde daimi değildir ve anlık hız profilleri zamanla değişir. – Bu nedenle buradaki tüm türbülans ifadeleri zaman ortalamalı değerlerdir. Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Türbülanslı düz plaka sınır tabakasının zamanortalamalı hız profili için yaygın olan bir ampirik yaklaştırım 1/7’nci kuvvet yasasıdır: , laminer akıştaki tanımından farklı olarak sınır tabaka kalınlığının %99’u değildir ve sınır tabakanın gerçek kenarıdır. Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası • Eğer laminer ve türbülanslı sınır tabakalar aynı kalınlıkta olsaydı, türbülanslı olanın laminer olandan daha dolu olduğu görülür. Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası – Türbülanslı sınır tabaka çepere daha yakın şekilde tutunur ve böylece çepere yakın sınır tabaka daha yüksek hızlı akışla dolar. – Bunun nedeni, sınır tabakanın dış kısmındaki yüksek hızlı akışkanı sınır tabakanın aşağı kısmına (veya bunun tersi) doğru taşıyan büyük türbülans girdaplarıdır. Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası • Başka bir deyişle, bir türbülanslı sınır tabaka laminer sınır tabakaya göre çok daha büyük karışma derecesine sahiptir. – Laminer durumda akışkan viskoz difüzyon nedeniyle yavaşça karışır. – Türbülanslı akışta büyük girdaplar çok daha hızlı yayılır ve mükemmel karışma meydana gelir. Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası • Türbülanslı sınır tabakanın yukarıdaki yaklaşık hız profili, çepere çok yakın kısımlarda (y0) fiziksel olarak bir anlam taşımaz. – çünkü y=0 için (∂u/∂y) eğimini sonsuz vermektedir. • Türbülanslı bir sınır tabaka için çeperdeki eğim çok büyük olsa da sonsuz değildir. – Çeperdeki bu yüksek eğim, çok yüksek bir çeper kayma gerilmesine ve dolayısıyla plaka yüzeyi boyunca yüksek yüzey sürtünmesine yol açar (aynı kalınlıktaki laminer sınır tabakaya oranla). Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası • Yaygın olan diğer bir yaklaştırım logaritma yasasıdır: • Sürtünme hızı: • =0.40-0.41 ve B=5.0-5.5 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası • Logaritma yasası – Yarı-ampirik bir ifadedir. – Yalnızca düz plaka sınır tabakaları için değil aynı zamanda tam gelişmiş boru akışı hız profilleri için de geçerlidir. – Çeperle çevrili hemen hemen tüm türbülanslı sınır tabakalar için uygulanabilir. – Çepere çok yakın yerlerde işe yaramaz (ln0) tanımsızdır. – Sınır tabaka kenarında deneysel değerlerden sapma gösterir. – Hız profilini çeper kayma gerilmesinin yerel değeriyle ilişkilendirdiği için faydalıdır. Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası • Tüm çeper için geçerli ifade Spalding çeper yasasıdır: Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Mühendisler için gelişigüzel şekilli çeperler üzerindeki sınır tabakalar daha fazla pratik öneme sahiptir: dış akışlar ve iç akışlar Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Basınç gradyeninin sıfır olmadığı sınır tabakalar da laminer veya türbülanslı olabilir. • Düz plaka sınır tabaka sonuçları, türbülansa geçiş yeri, sınır tabaka kalınlığı, yüzey sürtünmesi vb. şeyler için yaklaşık tahmin olarak kullanılabilir. – Ancak daha fazla doğruluk gerektiğinde, sınır tabaka denklemleri çözülmelidir. – Bu durumda x yönündeki basınç gradyeni terimi (UdU/dx) sıfır olmadığından, yapılacak analiz düz plaka için olandan çok daha zordur. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Eğer akış, viskoz olmayan ve/veya dönümsüz bir dış akış bölgesinde (sınır tabakanın dışı) ivmeleniyorsa U(x) artar, P(x) azalır. Buna elverişli basınç gradyeni denir. – Bu tür ivmelenen bir akışta sınır tabaka genellikle incedir ve çepere sıkıca tutunmuştur. – Çeperden ayrılmayacak bir yapıda olduğundan elverişlidir veya istenir. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Dış akış yavaşlıyorsa (negatif ivmeleniyorsa) U(x) azalır, P(x) ise artar. Buna elverişsiz veya ters basınç gradyeni denir. – Bu istenilmeyen bir durumdur. – Sınır tabaka genellikle daha kalındır ve çepere sıkıca tutunmamıştır. • Dolayısıyla çeperden ayrılması çok daha muhtemeldir. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Tipik bir dış akışta cismin ön kısmındaki sınır tabaka elverişli basınç gradyenine maruz kalırken, arka kısmı ters basınç gradyeninin etkisindedir. • Eğer ters basınç gradyeni (dP/dx=-UdU/dx) yeterince büyükse sınır tabakanın çeperden ayrılması olasıdır. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • (a) şeklinde sınır tabaka, kanadın tüm alt yüzeyi boyunca kanada yapışık kalmakta, ancak üst yüzeyin arkasında bir yerde kanattan ayrılmaktadır. – Ayrılma kabarcıkları denilen sürekli dolanımlı bir akış bölgesi oluşmaktadır. • (b) şeklinde ayrılma noktası kanadın ön kısmına doğru hareket etmekte ve ayrılma kabarcığı neredeyse kanadın tüm üst yüzeyini kaplamaktadır (stol durumu) – Stol, beraberinde bir kaldırma kaybı ve aerodinamik dirençte belirgin bir artış meydana getirir. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Ayrılma kabarcığındaki ters akıştan ötürü bir ayrılma noktasının aşağı akımında sınır tabaka denklemleri geçersizdir: – Bu tür durumlarda sınır tabaka yaklaştırımı yerine bütün Navier-Stokes denklemleri kullanılmalıdır. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Çeper üzerinde sınır tabaka momentum denklemini incelemek suretiyle çeşitli basınç gradyeni şartlarında hız profilinin şekli konusunda çok şey öğrenilebilir. • Sınır tabaka denkleminden çeperde hız sıfır olduğundan: Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Elverişli basınç gradyeni şartlarında (ivmelenen dış akış) – dU/dx pozitiftir ve (2u/2y)y=0<0 olur. – Sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e yaklaştıkça 2u/2y negatif kalmalıdır. – Buna göre herhangi bir büküm noktası olmaksızın hız profili yuvarlak bir hal alır. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Sıfır basınç şartlarında gradyeni – dU/dx sıfırdır (2u/2y)y=0=0 olur. – u, y ile doğrusal büyür. ve Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Ters basınç şartlarında gradyeni – dU/dx negatiftir ve (2u/2y)y=0>0 olur. – Ancak sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e yaklaştıkça 2u/2y’nin negatif olması gerektiğinden, sınır tabaka içerisinde bir yerde bir büküm noktası (2u/2y=0) olmalıdır. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Çeperde u hızının y’ye göre birinci türevi doğrudan çeper kayma gerilmesi w ile orantılıdır [(w=u/y)y=0] • w elverişli basınç gradyenleri için en yüksek, ters düşüktür. basınç gradyenleri için en • Sınır tabaka kalınlığı basınç gradyeni işaret değiştirdiğinde artmaktadır. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Ters basınç gradyeni yeterince yüksekse (u/y)y=0 sıfır olabilir. • Çeper boyunca bunun gerçekleştiği konum ayrılma noktasıdır. – Bu noktanın ötesinde ters akış ve ayrılma kabarcığı vardır. – Ayrılma noktasının ötesinde w negatiftir. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Sınır tabaka yaklaştırımı sadece dış akış çözümünün başarısı kadar iyi sonuç verir. – Eğer ayrılma noktası dış akışı önemli ölçüde değiştiriyorsa, bu durumda sınır tabaka yaklaştırımı hatalı olacaktır. • Türbülanslı sınır tabakalar, aynı ters basınç gradyenine maruz laminer sınır tabakalara kıyasla akış ayrılmasına karşı daha dirençlidir. Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar • Pürüzsüz bir golf topu, yüzeyindeki laminer sınır tabakayı korur ve sınır tabaka bu şekilde rahatça yüzeyden ayrılarak yüksek aerodinamik dirence neden olur. • Türbülansa erken geçiş sağlamak için golf toplarının üzerinde çukurcuklar (bir tür yüzey pürüzlülüğü) vardır. • Golf topu yüzeyinden akış yine ayrılır ancak bu defa ayrılma, sınır tabakadaki aşağı akımın çok daha uzağında gerçekleşir ve aerodinamik direncin önemli ölçüde düşmesine neden olur. Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği • Momentum integral tekniği, yüzeyler boyunca sıfır veya sıfır olmayan basınç gradyeni altındaki sınır tabakalara ait sınır tabaka kalınlığı, yüzey sürtünme katsayısı gibi özelliklerin niceliksel yaklaştırımlarını elde etmede bir kontrol hacmi yaklaştırımı kullanır. • Momentum integral tekniği hem laminer hem de türbülanslı kullanılabilir. sınır tabakalar için Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği • Karman integral denklemi (KİD): • Karman integral denklemi, alternatif form: • Şekil faktörü: • Yerel yüzey sürtünme katsayısı: Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği • Bir yüzey boyunca gelişen, sıfır olmayan basınç gradyenli bir sınır tabakanın söz konusu olduğu genel bir durum için H ve Cf,x, x’in bir fonksiyonudur. • KİD, laminer, türbülanslı veya geçiş bölgesindeki bir çeper boyunca daimi sıkıştırılamaz bir sınır tabaka için geçerlidir. • Düz plaka sınır tabakası için KİD: Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği • KİD’in önemli bir eksiği vardır: KİD’i uygulayabilmek için sınır tabaka profilinin şeklinin bilinmesi (veya tahmin edilmesi) gereklidir. • Basınç gradyenli sınır tabakalarda sınır tabaka şekli x ile değişir ve bu da analizi daha karmaşık hale getirir. Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği • ReL=0.1 yaklaştırımı ve sürünme akışı • Akış alanı önden arkaya hemen hemen simetriktir. • Plaka sanki sonlu bir kalınlığa sahipmiş gibi akış etrafında ıraksamaktadır plaka – Bunun nedeni viskozite ve kaymama koşulundan kaynaklanan büyük yer değiştirme etkisidir. • Plakanın etkisi, akışın geri kalan kısmı içerisine doğru tüm yönlerde plaka boyunun on katına kadar yayılır. Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği • ReL=10 – Bu Reynolds sayısı sürünme akışı oluşturmayacak kadar yüksek, buna karşın sınır tabaka yaklaştırımı uygun olmayacak kadar da çok düşüktür. • Akım çizgileri büyük miktarda yer değiştirir. • Plaka önünde ve arkasında önemli y-hız bileşeni bulunur. • Yerdeğiştirme etkisi şiddetli değildir ve akış önden arkaya simetrik olmaktan çıkmıştır. • Akışkan plakayı terk ederken ataletin etkisi akışkanın düz plaka arkasında büyüyen art izi içerisine doğru süpürülmektedir. Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği • ReL=1000 • Atalet etkileri akış alanının çoğu boyunca viskoz etkilere baskın olmaya başlamaktadır ve buna (oldukça kalın olsa da) sınır tabaka denilebilir. • Sınır tabaka kalınlığı plaka boyunun yaklaşık %15’idir. • Yerdeğiştirme etkileri büyük ölçüde azalmış ve herhangi bir izin önden arkaya simetrisi kalmamıştır. Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği • ReL=100000 • Bu yüksek Reynolds sayısında sınır tabaka yaklaştırımı uygundur. • Dış akış üzerinde kayda değer bir etkiye sahip olmayan son derece ince bir sınır tabakadır. • Akım çizgileri hemen hemen her yerde paraleldir ve plaka arkasındaki art izi bölgesini görmek için yakından bakmak gerekir. • Art izi içerisindeki akım çizgileri, akışın öteki kısımlarına kıyasla birbirlerinden hafifçe daha uzaktır. Bunun nedeni art izi bölgesinde hızın serbest akım hızından oldukça düşük olmasıdır. • Çok ince bir sınır tabaka içerisinde, yerdeğiştirme kalınlığı çok olduğundan y-hız bileşeni edilebilir. küçük ihmal