Transcript Geometrik Jeodezi 07.11.2015 Hatırlatma  Vektör gösterimi  Skaler çarpımı 07.11.2015 Hatırlatma 07.11.2015 Yüzeyler ve Eğriler – Yüzeylerin Gauss Parametreleri ile Gösterilmesi     r  xi  yj 

Geometrik Jeodezi
1
27.04.2020
Hatırlatma

Vektör gösterimi

Skaler çarpımı
2
27.04.2020
Hatırlatma
3
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Yüzeylerin Gauss
Parametreleri ile Gösterilmesi

 

r  xi  yj  zk yer vektörü

r  x2  y2  z 2
• Bir yüzeyin her hangi bir
noktasının koordinatları x, y, z ise
yüzey F(x,y,z)=0 veya z=f(x,y)
denklemi biçiminde yazılabilir.
•Matematik özellikleri bilinen bir
yüzey üzerinde bulunan noktaların
konumlarını belirlemek için iki bilgi,
yani iki adet parametrenin bilinmesi
yeterlidir. Örneğin, elipsoid
yüzeyinde noktaları enlem ve
boylamlarla belirtiriz.
•Genel olarak, bir yüzey üzerinde
bir noktayı belirleyen büyüklükleri
u, v harfleri ile gösteririz
4
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Yüzeylerin Gauss
Parametreleri ile Gösterilmesi
x  x(u, v), y  y (u, v), z  z (u, v)
 u, v Gauss Parametreleri



r  x(u, v)i  y (u, v) j  z (u, v)k 
• Bu denklemlerin bir yüzey belirtebilmesi için aşağıdaki matrisin rangının 2’ den
küçük olmaması gerekir. Bu koşul gerçekleşirse (u,v) çifti uzayda bir yüzey
noktasını belirler.
•Bu koşul sağlanmıyorsa, bu ilgili noktalara yüzeyin tekil noktaları denir. Tekil
noktalarda yüzeye teğet düzlem çizilemez (Koninin tepe noktası gibi)
x
u
x
v
5
y
u
y
v
z
u
z
v
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Yüzeylerin Gauss
Parametreleri ile Gösterilmesi
Parametrelerin birini sabit, diğerini değişken alırsak; u=sabit ve v=sabit
eğrileri meydana gelir ve bunlar yüzey üzerinde bir ağ meydana getirir.
Örneğin; u=ϕ ve v=λ alırsak, paralel daire ve meridyenlerin oluşturduğu ağ
elde edilir.
Yer vektörünün u ve v’ ye kısmi türevleri parametre eğrilerinin teğet
vektörlerini gösterir.
u=uo noktasındaki teğet









r
   x  y  z 
j  k  xu i  yu j  zu k
   ru  i 
u
u
u
 u o
v=vo noktasındaki teğet






r
   x  y  z 
j  k  xv i  yv j  zv k
   rv  i 

v

v

v
v
 o
6
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Yüzeylerin Gauss
Parametreleri ile Gösterilmesi
 
ru ve rv

teğet vektörleri bu yüzeye P
noktasında teğet olan bir düzlem
oluşturur. Bunun için bu iki vektörün
çakışmaması gerekir.
 
ru  rv  0

Ayrıca bu iki vektörün vektörel çarpımı,
yüzeyin P(uo, vo) noktasındaki normalini
verir.
  
n  ru  rv

Bu iki vektörün skaler çarpımından bu iki
eğri arasındaki açı bulunur:
   
ru .rv  ru rv cos 
 
ru .rv
cos    
ru rv
7
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Uzay Eğrileri, Frenet
Üçyüzlüsü, Eğrilik, Burulma
Genel olarak klasik jeodezi iki boyutludur (ϕ,λ), üçüncü boyut yatay
boyutlardan bağımsız ele alınır.
Klasik Jeodezi’ de yeryüzünde yapılan gözlemler bir referans yüzeyine
(dönel elipsoid) indirgendikten sonra tüm hesaplar bu yüzey üzerinde
yapılır. Yüzey üzerinde doğruların yerini jeodezik eğriler ve düzlemsel
eğriler alır. Jeodezik eğri genel olarak bir düzlemsel eğri değildir.
Bir yüzey üzerinde bulunan eğrileri iki ana grupta toplayabiliriz:





Düzlemsel eğriler
Düzlemsel olmayan eğriler
Düzlemsel eğrilerin tüm özelliklerini eğrilik (К) kavramıyla açıklayabiliriz.
Fakat düzlemsel olmayan eğrilerin özelliklerini yalnızca eğrilik özelliği ile
açıklayamayız. Ek olarak burulma (τ) kavramı da gerekir.
Düzlemsel eğrilerin burulması sıfırdır.




8
Düzlemsel eğriler: Kürede büyük daire, paralel daireleri, Elipsoidde meridyenler,
ekvator ve paralel daireleri
Düzlemsel olmayan eğriler: Kürede loksodrom yolu, elipsoidde jeodezik eğri
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Uzay Eğrileri, Frenet
Üçyüzlüsü, Eğrilik, Burulma
Uzayda P noktasının x,y,z koordinatları t gibi bir değişkene (parametreye)
bağlı ise bir uzay eğrisi meydana gelir. Bu uzay eğrisi genel olarak;




r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k

şeklinde verilebilir. Bir eğrinin t parametresi yerine yay boyu (s) alınırsa;

yazılabilir. Burada s’ e doğal parametre denir.
Bir eğrinin P noktasındaki teğeti denince bu noktadan eğriye çizilen bir
doğru akla gelir. Bu doğru eğriyi kesmez, ancak bu P noktasında eğriye
değer.




r ( s )  x ( s )i  y ( s ) j  z ( s ) k


 r x  y  z 
t 
 i
j k
s s
s
s
9
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Uzay Eğrileri, Frenet
Üçyüzlüsü, Eğrilik, Burulma

Eğrinin Eğriliği: bir eğri kendi noktalarının birinin çevresinde doğrusal
gitmiyorsa, bu eğriye eğrilmiş eğri denir. Bir eğrinin eğriliğini ölçmek için
doğal parametre kullanılır ve aynı uzunluklu eğri parçalarına dayalı iki
teğet vektörü arasındaki açının değişimi alınır.

Doğrunun eğriliği sıfırdır, dairenin eğriliği sabit kalır. Bir eğrinin eğriliği ϰ
(veya К) ile gösterilir.

  r ( s )  x( s ) 2  y( s ) 2  z ( s ) 2

r ( s )  eğğrili vektörü


dt

 t
ds

Teğetin doğrultusundaki değişmenin, yay uzunluğu değişmesine oranıdır.



t ( s  s)  t ( s) dt
d 1
  lim



s 0
s
ds
ds R

Burada, R eğrilik yarıçapıdır. К genel olarak s’ ye bağlı bir fonksiyondur.

Her bir eğride, eğrinin bir noktasında alınan ds kadar bir parçasına ilişkin
eğriliğine bir daire yayı ile yaklaşılabilir. Eğrinin bu noktasındaki eğriliği
bu dairenin yarıçapının tersidir. Bu daireye eğrilik ya da oskülator dairesi
denir ve bu daire teğet ile asal normalin belirlediği ya da içinde
bulunduğu oskülator düzleminde bulunur.
10
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Uzay Eğrileri, Frenet
Üçyüzlüsü, Eğrilik, Burulma


Bir uzay eğrisi üzerinde bir P ve buna çok yakın P1 ve P2 noktaları alalım. P1
ve P2 noktaları P’ ye sonsuz yakın olduğu zaman bu üç noktadan geçen
düzleme, eğrinin P noktasındaki
 oskülator
 düzlemi denir.
Eğrinin P noktasındaki
teğeti t olsun. t oskülator düzlemi içindedir. P

noktasındaki t teğetinden geçen ve oskülator
 düzlemine dik olan düzleme
teğet düzlem veya rektifiyan düzlem denir. t teğeti teğet ve oskülator
düzlemlerinin arakesititir.
11
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Uzay Eğrileri, Frenet
Üçyüzlüsü, Eğrilik, Burulma

 P noktasında t dik olarak alınan düzleme normal düzlem denir.
Normal ve oskülator düzlemlerinin arakesitine h asal normal
ve teğet ile normal düzlemlerinin arakesitine b bi normal denir.
  
 t , h , b vektörleri
birer birim vektördür ve birbirlerine diktirler.
Bu üç vektör bir sağ sistem oluşturur. Bu üç birim vektörün
oluşturduğu üçyüzlüye FRENET üçyüzlüsü denir.
12
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Uzay Eğrileri, Frenet
Üçyüzlüsü, Eğrilik, Burulma


Eğer r(s) eğrisi bir düzlem eğri ise bütün noktalarındaki
oskülatör düzlemi aynı bir düzlem olur.
Frenet üçyüzlüsü eğrinin her noktasında eğri ile birlikte
  
düşünülebileceğinden t , h , b üçlüsüne izleyen üçlü denir.
Eğrinin uzaydaki akışı içerisinde bu üçlüdeki değişiklikler
karakteristiktir.
13
27.04.2020
Yüzeyler ve Eğriler – Uzay Eğrileri, Frenet
Üçyüzlüsü, Eğrilik, Burulma

Burulma (Torsion): Sonsuz yakın iki oskülatör düzlem arasındaki açının, yay uzunluğu
değişmesine oranına burulma denir. İki düzlem arasındaki açı normalleri arasındaki
açı ile ölçülür. Binormal oskülatör düzlemine dik olduğu için, bu düzlemin normalidir.
Oskülatör düzlemleri arasındaki açı Δϕ ise


b
db 
lim
 lim

 b ( s )   ( s )
s 0

yazılabilir. Burada
14

b  
s
s 0
s
ds
alınabilir.
27.04.2020
Yüzey Üzerindeki Eğrinin Uzunluğu ve 1.
Dereceden Temel Büyüklükler (E, F, G)




r  x(u , v)i  y (u , v) j  z (u , v)k
u  u (t ) veya u ( s )
v  v(t ) veya v( s )

Yukarıdaki denklemler bir yüzeyi ve yüzey üzerindeki eğriyi
göstermektedir.

Bu yüzey üzerinde alınan bir eğri üzerinde sonsuz yakın iki nokta
arasındaki ds (diferansiyel uzunluğu) yay uzunluğu için
dl 2  ds 2  dx 2  dy 2  dz 2
x
x
du  dv
u
v
y
y
dy 
du  dv
u
v
z
z
dz 
du  dv
u
v
dx 
2
2
2
 2
 x   y   z 
E           ru
 u   u   u 
x x y y z z  
F


 ru .rv
u v u v u v
2

Birinci Temel Form herhangi bir yüzey eğrisinin diferansiyel yay
uzunluğunu veren formüldür.

E, F, G büyüklüklerine 1. mertebeden asal büyüklükler denir.
2
 x   y   z   2
G           rv
 v   v   v 
2
dl  ds 2  Edu 2  2 Fdudv  Gdv 2  I .Temel Form
15
27.04.2020
Yüzey Eğrileri Arasındaki Açı

u ve v parametreleri arasındaki açı, bu eğrilerin P kesim
noktasında her birine çizilen ve aynı zamanda yüzeye teğet
olan teğetler arasındaki
açı θ ise

rr
F
cos   u v 
ru rv
EG

  r  x  y  z 
ru    
i
j
k
u
u
 u  u

  r  x  y  z 
rv     i 
j k
v
v
 v  v

Formüllerden F=0 ise θ=90o olur. Bu durumda parametre
eğrileri birbirine dik (ortogonal) olur. Bunun tersi u ve v
Gauss parametreleri, F=0 olacak şekilde verilmişse
parametre eğrileri diktir.

Bir parametre eğrisi (örneğin u eğrisi, v=sabit) ile herhangi
bir yüzey eğrisi arasındaki açı T olsun. Bu açı, sözü edilen
eğrilerin kesişme noktasındaki teğetleri arasındaki açıdır. P
noktasında u parametre eğrisinin teğet vektörü ve s
parametreli yüzey eğrisinin teğet vektörü arasındaki T açısı

ru rs
cos T   
ru rs
16
27.04.2020
Yüzey Alan Elemanı

Diferansiyel anlamda alan, parametre
eğrilerinin ds(u) ve ds(v) diferansiyel yay
elemanlarının oluşturduğu paralel
kenar alınır. Şekilde PP1P’P2 paralel
kenarın alanı df yeterli yaklaşıklıkla;
df  ds(u ) ds( v ) sin 
sin   1  cos  
2
EG  F 2
W

EG
EG
ds(u )  E du
ds( v )  G dv
df  Wdu dv
 
df  ru  rv dudv
17
27.04.2020
Yüzey Normali



Yüzeyin bir noktasındaki
normal vektörü, bu
noktadaki yüzey teğet
düzlemine diktir.
Öte yandan, bir yüzey
noktasında teğet düzlem
içindeki iki vektöre dik
olan vektör teğet
düzlemine de diktir ve
böyle bir vektör o
noktada yüzey normalidir.
Bir yüzey noktasındaki
parametre eğrilerinin
teğet vektörleri yüzeye
de o noktada teğettir,
yani o noktadaki teğet
düzlem içindedir.
18
27.04.2020
Yüzey Normali

P noktasında S yüzeyine teğet
olan iki vektör Q düzlemi
oluştururlar.

Bu düzlem de P noktasında S
yüzeyine teğettir.

Bu durumda P noktasındaki
parametre eğrilerinin teğet
vektörlerine dik olan vektör, P
noktasındaki yüzey normalidir.

İki vektörün vektörel çarpımı
bu vektörlere dik bir vektör
oluşturur.

O halde bir yüzey noktasındaki
yüzey normali, bu noktada
parametre eğrilerinin teğet
vektörlerinin vektörel çarpımı
ile oluşan bir vektördür.
19



  ru  rv
  
  r r
n    u v
 ru  rv
27.04.2020
İkinci Dereceden Temel Büyüklükler ve
Normal Kesit
II  L du 2  2Mdudv  N dv 2
 
L  nu ru
1   
M   (nu rv  nv ru )
2

N  nv rv
büyüklüklerine 2. dereceden büyüklükler denir. Bir yüzey noktasındaki eğrilik 2.
temel biçim ile ifade edilir.
 L, M , N
  L du 2  2Mdudv  N dv 2 II
 (n.h ) 

ds 2
I
  L du 2  2Mdudv  N dv 2
 (n.h ) 
Edu 2  2 Fdudv  Gdv2
20
27.04.2020
İkinci Dereceden Temel Büyüklükler ve
Normal Kesit


Eğrinin bir noktasındaki teğetine dik olan vektöre asal
normal veya eğrilik vektörü denir.
Yüzeyin bir noktasından sonsuz sayıda eğri geçer.
Bunlardan bir tanesinin asal normali, yüzeyin o
noktasındaki normali ile çakışır. Bu eğrinin o noktadaki
eğriliğine “normal eğrilik” ve eğrilik yarıçapına “normal


eğrilik yarıçapı (Rnor)” denir. Bu durumda n  h ve n.h  1
 nor 

II
1

I Rnor
Yüzeyin normalinden geçen düzlemlerin yüzey ile arakesitine
“normal kesit” denir.
21
27.04.2020
İkinci Dereceden Temel Büyüklükler ve
Normal Kesit

Yüzeyin bir noktasından geçen eğrinin asal
normali, yüzeyin bu noktasındaki normali
ile çakışmayıp bir δ açısı yapar. Bu
durumda Meusnier formülü elde edilir.
r  Rnor cos 


22
Bir yüzey noktasındaki yüzey normalinden
geçen sonsuz sayıda düzlemin yüzeyle
arakesiti olan eğrilerin o noktadaki
eğrilikleri (normal eğrilik), düzlemlerin
parametre eğrisi ile yaptıkları açıya bağlı
olarak değişir.
Bir yüzey noktasındaki normal
eğriliklerden minimum ve maksimum
değerde olanlar vardır. Bu değerlere asal
eğrilikler denir.
27.04.2020
Elipsoid Yüzünde Uygulama-Elipsoid Yüzeyi için
Gauss Parametreleri ve 1. Dereceden Temel
Büyüklükler

Buraya kadar genel bir yüzey ve üzerindeki eğriler için elde ettiğimiz formülleri özel
bir yüzey olan dönel elipsoide uygulayalım.

Elipsoid yüzünde Gauss parametreleri olarak elipsoidal enlem ϕ ve elipsoidal
boylam λ alınabilir. Bu durumda yer vektörü;
 



r  x( ,  )i  y ( ,  ) j  z ( ,  )k  r ( ,  )
c
c
c
x  cos  cos  , y  cos  sin  , z  (1  e 2 ) sin 
v
v
v

 c
 c
 c
2
r  cos  cos  i  cos  sin  j  (1  e ) sin  k
v
v
v
2
2
2

 x   y   z   x   y   z 
  
  
  (r ) 2
E           
 u   u   u          
x x y y z z x x y y z z  
F





 r r
u v u v u v      
2
2
2

 x   y   z   x   y   z 
G                    (r ) 2
 v   v   v          
2
23
2
2
2
2
2
27.04.2020
Elipsoid Yüzünde Uygulama-Elipsoid Yüzeyi için
Gauss Parametreleri ve 1. Dereceden Temel
Büyüklükler



Bu denklemlerde r ve r yerlerine yazılırsa;


 c
 c
 r
c
r 
  3 sin  cos i  3 sin  sin j  3 cos k

v
v
v


 c

 r
c
r 
  cos  sin i  cos  cos j  0k

v
v
c 2
c2
2
2
2
2
2
E  ( 3 ) (cos  sin   sin  sin   cos  )  6
v
v
c2
F  4 (cos  sin  cos  sin   sin  cos  sin  cos  )  0
v
c2
c2
2
2
2
2
G  2 (cos  sin   cos  cos  )  2 cos 2 
v
v

I. Dereceden temel büyüklükler elde edilir. Burada F=0 olması, parametre eğrilerinin
dik olduğunu gösterir. Ayrıca, 1. dereceden temel büyüklüklerle elipsoid için diğer
büyüklüklere gelince;
ds 2  Ed 2  2 Fdd  Gd2
c2
c2
2
ds  6 d  0dd  2 cos 2 d2
v
v
2
24
27.04.2020
Elipsoid Yüzünde Uygulama-Elipsoid Yüzeyi için
Gauss Parametreleri ve 1. Dereceden Temel
Büyüklükler

Ayrıca λ=sabit eğrisi (ϕ parametre eğrisi=meridyen) ile bir eğri elemanının yaptığı
açı α ile gösterilirse
c d
cos  
v 3 ds
c
d
sin   cos(90   )  cos 
v
ds
d
tan   v 2 cos 
d
c
c
ds 2  ( 3 d ) 2  ( cos d ) 2
v
v
25
27.04.2020
Elipsoid Yüzünde Uygulama-2. Dereceden
Temel Büyüklükler

Bir yüzey vektörünün birim vektörü;

n

 
ru  rv
EG  F 2



 (cos  cos i  cos  sin j  sin k )
bulunur. 2. derece büyüklükler
 
L  n r
1    
M   (n r  n r )
2
 
N  n r





n
n 
 sin  cos i  sin  sin j  cos k





n
n 
 cos  sin i  cos  cos j

 
c
c
c
c
L  n r  3 sin 2  cos 2   3 sin 2  sin 2   3 cos 2   3
v
v
v
v
1    
c
c
c
c
M   (n r  n r )  [( sin  cos  sin  cos   sin  cos  sin  cos  )  ( 3 sin  cos  sin  cos   3 sin  cos  sin  cos  )]  0
2
v
v
v
v
  c
c
c
N  n r  cos 2  sin 2   cos 2  cos 2   cos 2 
v
v
v
26
27.04.2020
Elipsoid Yüzünde Uygulama


Dönel Elipsoid yüzünde ϕ, λ Gauss parametreleri ile 1. ve
2. temel büyüklükler bulunmuştur.
1. Temel Büyüklükler
2. Temel Büyüklükler
c
v3
M 0
L
c2
v6
F 0
E

c
N  cos 
v
c2
cos 2 
2
v
G
Böylece;
c2
c2
2
ds  I  Ed  2 Fdd  Gd  6 d  2 cos 2 d2
v
v
c
c
II  L d 2  2Mdd  N d2  3 d 2  cos 2 d2
v
v
2
27
2
2
27.04.2020
Normal Eğrilik Yarıçapı ve Ekstrem
Değerleri

Normal Eğrilik;
c
c
d 2  cos 2 d2
3
1
II
v 3 d 2  v 2 cos 2 d
v
v
  2

c
c2
Rnor I
c d 2  v 4 cos 2 d2
2
2
2
d


cos

d

v6
v2

şeklinde yazılabilir. Pay ve payda dϕ2 parantezine alınırsa,
2
2
2
d
1
v 3 1  v cos  ( d )

Rnor c 1  v 4 cos 2  (d ) 2
d
d
d tan 
tan   v 2 cos 
 cos 
 2
d
d
v
1
v 1  tan 2 

Rnor c 1  tan 2 
Rnor
28
1
c 1  tan 2 
c cos 2 
c
1
R


2
2
2
2
2
2
v v  tan  v v  tan  v v cos   sin 2 
27.04.2020
Normal Eğrilik Yarıçapı ve Ekstrem
Değerleri

Normal Eğrilik yarıçapının en büyük ve en küçük
değerleri, Rnor=f(α) fonksiyonunun türevini sıfır yapan α
azimutlu normal eğrilerin eğrilik yarıçaplarıdır. Son
eşitliğin α’ ya göre türevi alınırsa;
r c 2v 2 cos  sin   2 sin  cos  c
sin 2 (v 2  1)


 v
(v 2 cos 2   sin 2  ) 2
v (v 2 cos 2   sin 2  ) 2



elde edilir. c, v birer sabit olduğu için r  0 için sin2α=0
olmalıdır.
Dolayısıyla α1=0o, α2=90o olur.
α1=0o, α2=90o denklemde yerine konursa aşağıdaki
denklemler elde edilir.
c
v3
c
 2  0 için R2 
v
1  0 için R1 
29
27.04.2020
Normal Eğrilik Yarıçapı ve Ekstrem
Değerleri

v>1 olduğu için R2>R1 olduğu ortaya çıkar. Elipsoid yüzünde bir P noktasında sonsuz sayıda normal eğrilik
yarıçaplarından en büyüğü α=90o, en küçüğü de α=0o’ dir.

Jeodezide genellikle R1=M (1. eğrilik yarıçapı), R2=N (2. eğrilik yarıçapı veya çapraz eğrilik yarıçapı) ile
gösterilir.

M meridyen elipsinin bir P noktasındaki eğrilik yarıçapıdır, N ise normal kesit eğrisinin eğrilik yarıçapıdır.

Herhangi bir α azimutunda normal eğrilik EULER eşitliği yardımıyla hesaplanabilir.
c a(1  e 2 )
M 3
v
w3
c a
N 
v w
1
1
1

cos 2   sin 2 
R M
N

Ayrıca;
Ortalama Eğğriliğ H 
Gauss Eğğriliğ K 
30
1 1 1
(  )
2 M N
1
MN
27.04.2020
M ve N’ nin Geometrik Açıklaması




31
Bir dönel elipsoid yüzünde meridyen ve paralel daireleri karakteristik eğrilerdir.
Dönel elipsoidde φ=sabit (λ parametre) eğrisi paralel daire, λ=sabit (φ parametre)
eğrisi meridyen elipsidir.
Bir meridyen elipsinin herhangi bir noktasındaki normali aynı zamanda elipsoid
normalidir. Bu nedenle φ parametre eğrisi ile α=0o azimutundaki normal eğrilik
yarıçapı M, meridyen elipsinin eğrilik yarıçapıdır.
Buna karşılık paralel dairenin azimutu α=90o olmakla beraber,asal normali elipsoid
normali ile çakışmaz ve bu iki normal arasındaki açı φ elipsoidal enleme eşittir.
α=90o azimutundaki normal eğrilik yarıçapı ise N’ dir.
27.04.2020
M ve N’ nin Geometrik Açıklaması
32
27.04.2020
Gauss Eğrilik Yarıçapı

Gauss eğrilik ölçüsü;
K

1
R1 R2
olarak verilmişti. Tanım olarak Gauss eğrilik yarıçapı;
RG 

1
 R1R2
K
eşitliği verilmişti. RG yarıçaplı küreye “GAUSS KÜRESİ” denir. Bir
dönel elipsoid yüzeyindeki bir nokta için R1=M ve R2=N ile
gösterildiği için bir dönel elipsoid noktası için Gauss eğrilik
yarıçapı
c c c
RG  MN 

v3 v

v2
olur. Formülde c sabit değer, v ‘de φ bir fonksiyonudur. (M<RG<N)
33
27.04.2020
Gauss Eğrilik Yarıçapı



Gauss küresi, elipsoid enlemi φ
olan bir elipsoid noktasında
elipsoide yüzeysel teğettir.
Buna karşılık M yarıçaplı küre
elipsoide meridyen yayı
boyunca, N yarıçaplı küre ise
elipsoide φ enlemli paralel
daire boyunca çizgisel teğettir.
Gauss eğrilik yarıçapı, bir
dönel elipsoid noktasında tüm
normal eğrilik yarıçaplarının
ortalamasıdır.
34
27.04.2020
Gauss Eğrilik Yarıçapı




RG Gauss eğrilik yarıçapının jeodezideki önemi büyüktür.
Yeryüzünün küçük bir bölgesindeki jeodezik hesaplamalar
elipsoid yüzü yerine RG yarıçaplı Gauss Küresi üstünde
yapılır.
Böylece uygulamada, önem taşımayan farklı sonuçlar elde
edilmesine karşılık, hesaplamalarda büyük kolaylık
sağlanmış olur.
Jeodezik çalışmaların yapılacağı bir bölgenin alanı, 150 km
yarıçaplı bir daire alanından büyük değilse, bu bölge için
referans elipsoidi yerine, bu bölgenin ortasındaki bir
noktanın coğrafi enlemiyle hesaplanacak bir Gauss Küresi
kullanılabilir.
35
27.04.2020