Transcript ders2
DERS 2 SAYI DÜZENLERİ
İÇERİK
Tarihçe Onluk sayı sistemi İkilik sayı sistemi Onluk/ikilik dönüşümleri İkilik sayı sisteminde toplama İkilik sayı sisteminde doğrudan çıkarma İkilik sayı sisteminde tümleyen aritmetiği ile çıkarma İkilik sayı sisteminde çarpma İkilik sayı sisteminde bölme Sekizli ve Onaltılı sayı sistemleri
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 2
TARİHÇE
Sayı ve sayma kavramının başlangıcı belirsiz Sümerler sayma işlemini kullanmışlar Günümüz rakam şekilleri MS 400 de Hindistan’da geliştirilmiş Bu rakamlar sonrasında müslümanlar tarafından da benimsenmiş Ebu Abdullah bin Musa El Harzemi (MS 780 850 ) ‘Cebir ve denklem hesabı hakkında özetlenmiş kitap’ adlı kitabıyla:
Sıfır sayısını Onluk sayı sistemini tanıttı
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 3
Ders 2, Slayt 4
Onluk Sayı Düzeni
Onluk sayı düzeninde on değişik sembol rakamsal büyüklükleri tanımlamak için kullanılır. Bunlar: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008
Onluk Sayı Düzeni
Onluk sayı düzeninde, sayının en sağdaki rakamı en düşük, en soldaki rakamı da en yüksek değeri ifade edecek şekilde düzenlenmiştir.
Burada sayının her bir basamağı ile ifade edilen büyüklük aşağıdaki yaklaşımdaki gibi 10 değerinin üstsel katları olarak belirlenir.
.
.
. 10^4 5.
10^3 4.
10^2 3.
10^1 2.
10^0 1.basamak
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 5
Onluk Sayı Düzeni
Buna göre her bir rakamın sayı içerisinde ifade ettiği değer : ilgili rakam ile o rakamın belirlediği basamak değerinin büyüklüğü nün çarpımı olarak belirlenir.
Buna göre bir sayı ile ifade edilen değer : ilgili sayı içerisindeki her bir rakamın ifade ettiği değerlerin toplamı olarak belirlenir.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 6
Onluk Sayı Düzeni
ÖRNEK: 3954 sayısı ile ifade edilen değer 3x1000 + 9x100 olarak hesaplanır.
+ 5x10 + 4x1 10 tabanında tanımlanmış sayısal değerler yaygın olarak kullanıldıkları için tabanın 10 olduğunu belirlemede özel bir notasyon kullanılmamaktadır.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 7
Diğer Sayı Düzenleri
Kullanılan başka sayı düzenleri de vardır.
Bunlarda da onluk sayı düzenindeki gibi basamak ağırlıklarının soldan sağa doğru azalması ve basamak değerlerinin ilgili tabanın basamak sırasının üstsel kuvveti olarak düzenlenmesi prensibi kullanılır.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 8
İkili Sayı Düzeni
İkili sayı düzeninde kullanılan rakamlar: 0 ve 1 olarak tanımlıdır.
İkili sayı sistemi bilgisayar uygulamalarında iki farklı lojik seviye kullanım ihtiyacını karşıladığı için yaygın olarak kullanılır.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 9
İkili Sayı Düzeni
İkili sayı düzeninde her bir basamağa BİT adı verilmektedir.
Dolayısıyla en sağdaki basamağa en düşük anlamlı bit (DAB-LSB) en soldaki basamağa en yüksek anlamlı bit (YAB-MSB) adı verilir.
İkilik (binary) sayılar:
0b 1111
b’1111’ ( PIC işlemci notasyonu )
% 1111
1111 2 farklı biçimlerinde gösterilirler
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 10
İkilik – Onluk Dönüşümü
Aynı onluk düzende olduğu gibi her bir basamağın ifade ettiği değer ile ilgili basamağın sayısal değerleri çarpılıp toplanarak elde edilirler.
Örnek: İkilik düzende 10111 sayısının onluk düzende karşılığını hesaplayalım.
1x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 1x2 0 = 23 olur
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 11
Onluk-İkilik Dönüşümü
ARAMA YÖNTEMİ Sayı içerisinde ikinin kuvvetini armaya dayanır. 23 sayısı için; 23 23 7 7 3 1 – – – – – – 32 16 8 4 2 1 = = = = = = -11 7 -1 3 1 0 YOK VAR YOK VAR VAR VAR => 0 => 1 => 0 => 1 => 1 => 1 010111 veya 10111 ikilik düzendeki karşılığı elde edilir.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 12
Onluk-İkilik Dönüşümü
BÖLME YÖNTEMİ Sayı Sürekli 2’ye bölünür ve kalanın 1 yada 0 oluşuna bakılarak basamaklar belirlenir 23/2 = 11 11/2 = 5 KALAN 1 VAR 1 VAR => 1 => 1 5/2 = 2 2/2 = 1 1 VAR 0 VAR => 1 => 0 1/2 = 0 1 VAR => 1 10111 ikilik düzendeki karşılığı
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 13
İkilik Tabanda İşlemler: TOPLAMA
Aynı onluk tabanda uygulanan kurallar uygulanır.
Tek fark sayısına ulaşmasıdır.
her basamaktaki toplama sırasında elde değerinin 10 yerine 2 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 0 ve de elde 1
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 14
Ders 2, Slayt 15
İkilik Tabanda İşlemler: TOPLAMA
Örnek: + 11001 10101 101110
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008
İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA
Aynı onluk tabanda uygulanan kurallar uygulanır.
tanımlıdır.
Farklı olarak tümleyen aritmetiğine göre yapılan çıkarma işlemi de
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 16
Ders 2, Slayt 17
İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA
DOĞRUDAN ÇIKARMA: 0-0 = 0 1-0 = 1 1-1 = 0 0-1 = 1 ve de borç 1
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008
Ders 2, Slayt 18
İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA
Örnek: % 11001 % 10101 % 00100
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008
İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA: Çıkarma işleminde kalanın sıfır veya sıfırdan büyük olması durumunda doğrudan çıkarma basamakları uygulanırken aksi durumda problem çıkmaktadır.
Bu problemi daha pratik olarak çözmek için toplama işlemi şeklinde tanımlı çıkarma işlemi yaklaşımı mevcuttur.
Buradaki yaklaşım kullanmaktır.
Ders 2, Slayt 19
belli sayıda basamak ile ifade edilen bir sayının alabileceği en büyük değere 1 sayısının ilave edilmesi durumunda sayının 0 değerini (ama elde 1 ile) alması özelliğini
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ
Yani, bir a sayısına 1 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -1 miş veya bir a sayısına 2 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -2 miş veya bir a sayısına 3 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -3 müş gibi bir yaklaşım kullanılır.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 20
O zaman:
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ
0 sayısından sonra + sayılar sıralanır
0 sayısından önce – sayılar sıralanır
Tüm sayılar bir silindir üzerinde sıralı olarak düşünülürse (otomobil km sayacı gibi) en büyük sayıdan sonra tekrar en küçük sayıya dönülür
Maksimum sayıda + ve – sayıyı ifade etmek için silindiri ortadan ikiye bölelim Sonuç:
(1 ) - (2 N-1 –1) arası sayılar pozitif (2 N-1 –1 adet)
(2 N-1 ) - (2 N ) arası sayılar negatif (2 N-1 adet)
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 21
Ders 2, Slayt 22 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ
Sonuç DEVAM:
Tüm pozitif sayılar işaretsiz gösterimleri ile aynıdır
Tüm pozitif sayılar için MSB 0 olur
0 hariç iken en büyük pozitif sayı 2 N-1 -1 olur (2 N /2-1)
Tüm negatif sayılar için MSB 1 olur
En küçük negatif sayı -2 N-1 (2 N /2-1+1)
Dolayısıyla MSB işaret biti olarak anılır
Küçük + sayılarda MSB sağında 0 çoktur
Küçük – sayılarda MSB sağında 1 azdır
Büyük + sayılarda MSB sağında 0 azdır
Büyük – sayılarda MSB sağında 1 çoktur
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 23
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ
Sayının işaretini değiştirmek için
Sayının tümleyeni hesaplanır (1’e tümleme)
Sayının tümleyenine 1 sayısı eklenir (2’ye tüm)
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 24
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
Örnek: % + % 11111 00001 % 1 00000 00001 ve 11111 sayılarına birbirlerinin 2’ye (tabana) göre tümleyeni adı verilmektedir.
Benzer şekilde 00010 ve 11110 sayıları da aynı özelliği gösterirler.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 25
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
Bu yaklaşım göz önünde bulundurularak tümleyen aritmetiği ile çıkarma işleminde, çıkarılacak sayının çıkarılması yerine bu sayının 2’ye (yani taban değerine) tümleyeni kendisinden çıkarılacak sayıya eklenir.
Dolayısıyla çıkarma işlemi toplama işlemi şeklinde tanımlanmış olur.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 26
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
Örnek: Onluk tabanda 0008 sayısından 0003 sayısını çıkaralım.
0003 => 9997 sayının tabana (10) göre tümleyeni Tabana göre tümleyen ile sayının toplamı aynı sayıda basamak üzerinden 0 sonucunu verir.
0003 + 9997 = 1 0000 olur (4 basamak için doğru) O zaman -0003-9997 = 0 => -0003 = 9997 olur.
0008 – 0003 = 0008 + 9997 = 1 0005 Bu ne demek?
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 27
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
Yani sonuç 0005 olarak bulunur. Ancak bu değerin düzenlenmesi gerekebilir. Bu işlem sonucundaki elde bitine İŞARET BİTİ adı verilir ve sonuç bu bite göre düzenlenir.
Eğer işaret biti 1 ise sonuç + dır ve aynı bırakılır Eğer işaret biti 0 ise sonuç – dir ve düzenlenir.
NEDEN?
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 28
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
4 bit ile 0-15 arası tamsayıları ifade etmek mümkün olabilir: 0 1 2 3 4 5 0000 0001 0010 0011 0100 0101 1111 1110 1101 1100 1011 15 14 13 12 11 6 7 0110 0111 1010 1001 1000 10 9 8
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 29
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
Yada alternatif olarak –8 ile 7 arası tamsayılar da ifade edilebilirler: + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 0 000 0 001 0 010 0 011 0 100 0 101 1 111 1 110 1 101 1 100 1 011 1 2 3 4 5 + 6 + 7 0 110 0 111 1 010 1 001 1 000 6 7 8
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 30
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
Burada 10 tabanında gösterildiği gibi 2 tabanına göre tümleme kabulü yapılmaktadır.
+0 +1 +2 +3 +4 +5 0000 0001 0010 0011 0100 0101 + + + + + 1111 1110 1101 1100 1011 -1 -2 -3 -4 -5 = = = = = 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 +6 +7 0110 0111 + + 1010 1001 1000 -6 -7 = = 1 0000 1 0000 -8
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 31
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
İkilik düzende bir sayının tabana tümleyeni için 1) Sayının 1’e tümleyeni hesaplanır 2) Elde edilen sayıya 1 değeri eklenir ÖRNEK: verilen sayı 1’e tümleyeni % 10111 % 01000 2’ye tümleyeni % 01001
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 32
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
ÖRNEK: % - % % % Yani % + % 11001 10101 01010 01011 11001 01011 % 1 0 0100 elde işaret sonuç 25 21 21’in 1’e tümleyeni 21’in 2’ye tüm.
25 21’in 2’ye tüm.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 33
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
ÖRNEK: % - % % % Yani % + % 10101 11001 00110 00111 10101 00111 % 0 1 1100 elde işaret sonuç 21 25 25’in 1’e tümleyeni 25’in 2’ye tüm.
21 25’in 2’ye tüm.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 34
TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
ÖRNEK devam: İşaret biti 1 yani negatif olduğu için sonucun düzenlenmesi gerekir. Bunun için de sonucun 2’ye tümleyeninin hesaplanması gerekir.
% 11100 % 00011 % 00100 => 4 yani -4 sayısı elde edilir.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 35
İkilik Tabanda İşlemler: ÇARPMA
Onluk tabanda tanımlanmış benzerleri geçerlidir. Bunlar: yöntemlerin 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Taban ile çarpma (2 ile) bir bit sola kayma olarak tanımlanır
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 36
İkilik Tabanda İşlemler: ÇARPMA
ÖRNEK: %101 ve %10 sayılarının çarpımını hesaplayalım.
101 x 10 000 + 101 1010
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 37
İkilik Tabanda İşlemler: BÖLME
Onluk tabanda tanımlanmış bit sağa kayma olarak tanımlanır.
yöntemlerin benzerleri geçerlidir. Taban ile bölme (2 ile) bir ÖRNEK: 1010 - 0000 1010 - 110 : 11 veya 10 tabanında 10 : 3 011 9 3 1 100 11 1
Ders 2, Slayt 38 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008
Sekizli Sayı Düzeni
Sekizli sayı düzeninde kullanılan rakamlar: 0 1 2 3 4 5 6 7 olarak tanımlıdır.
Sekizli düzende verilen sayılar:
0o 7777
& 7777
7777 8 biçimlerinde gösterilirler
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 39
Sekizli Sayı Düzeni
İkili sayı sisteminde ifade edilen sayıların büyük olması durumunda gösterimleri çok uzun olabilmektedir.
Bu problemi gidermek üzere kullanılan yaklaşımlardan biri sekizli sayı sistemini kullanmaktır.
Bunun avantajı ikili sistemle dönüşümlerin pratik oluşudur.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 40
İkili/Sekizli Taban Dönüşümleri
İkili sayı düzeninde verilen bir sayının bitleri 3lü gruplar halinde düzenlenir.
Bu 3lü grupların her birinin ifade ettiği sayılar sağdan sola doğru yazıldıklarında ikili sayı düzeninden sekizli sayı düzenine dönüşüm gerçeklenir.
Sekizliden ikili sayı düzenine dönüşüm de benzer adımlar ters sırada yapılarak elde edilir.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 41
İkili/Sekizli Taban Dönüşümleri
ÖRNEK: % 01011100101000 sayısını sekizli sayı düzeninde gösterelim.
0 1 0 1 1 1 00 1 0 1 000 => 4096 + 1024 + 512 + 256 + 32 + 8 = 5928 0 01 011 100 101 000 1 3 4 5 0 => 1x4096+3x512+4x64+5x8=5928
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 42
Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Düzeni
Onaltılı sayı düzeninde kullanılan rakamlar: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F olarak tanımlıdır. Burada: A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15 değerlerini ifade ederler.
Onaltılı düzende verilen sayılar:
0x FFFF ( PIC işlemci notasyonu )
Ders 2, Slayt 43
h’FFFF’ ( PIC işlemci notasyonu )
$ FFFF FFFF 16 veya FFFF h biçimlerinde gösterilirler
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008
İkili/Onaltılı Taban Dönüşümleri
İkili sayı düzeninde verilen bir sayının bitleri 4lü gruplar halinde düzenlenir.
Bu 4lü grupların her birinin ifade ettiği sayılar sağdan sola doğru yazıldıklarında ikili sayı düzeninden onaltılı sayı düzenine dönüşüm gerçeklenir.
Onaltılıdan ikili sayı düzenine dönüşüm de benzer adımlar ters sırada yapılarak elde edilir.
Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 44
DERS 2 SAYI DÜZENLERİ
-
SON –
-
Kaynaklar:
-
1) An Introduction to Digital Signal Processors, Bruno Paillard
-
2) Mikroişlemciler Mikrobilgisayarlar, Eşref Adalı, ISBN 975-511-175-1