Transcript Chapter 2 TR - Kenan Burak Ceylan Kişisel Blog

OLASILIK (6BMHMAU102)
Bölüm 2
Olasılık
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-1
3.1




Önemli Terimler
Rassal Deney – belirsiz bir sonuca yol açan bir
süreç
Temel Sonuç –rassal deneyin muhtemel bir
sonucu
Örnek Uzayı –bir rassal deneyin muhtemel tüm
sonuçlarının toplanması
Olay –örnek uzayından olan temel sonuçların
her hangi bir alt kümesi
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-2
Önemli Terimler
(devam)

Olayların Arakesiti (Kesişimi) –Eğer A ve B bir
örnek uzayındaki iki olay ise o halde A ∩ B
kesişimi S’deki hem A ve hem de B’ye ait olan
tüm sonuçların kümesidir
S
A
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
AB
B
Bölüm 2-3
Önemli Terimler
(devam)

Eğer hiçbir ortak temel sonuca sahip değillerse
A ve B Bağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı) Olaylar
(Mutually Exclusive Events) dır.

Yani A ∩ B kümesi boş kümedir
S
A
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
B
Bölüm 2-4
Önemli Terimler
(devam)

Olayların Birleşimi –Eğer A ve B bir örnek
uzayındaki iki olay ise o halde A U B birleşimi
S’deki A veya B’ye ait olan tüm sonuçların
kümesidir
S
A
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
B
Pembe renkli
(taralı) alan tümüyle
A U B’i temsil
etmektedir
Bölüm 2-5
Önemli Terimler
(devam)

Eğer E1 U E2 U . . . U Ek = S ise E1, E2, … Ek
olayları Bütünü Kapsayan (Toplu Kapsamlı)
(Collectively Exhaustive) olaylardır


Yani olaylar tamamen örnek uzayını kaplamaktadır.
Bir A olayının tümleyeni örnek uzayı içerisindeki
A’ya ait olmayan tüm temel sonuçların kümesidir.
Tümleyen A ile gösterilmektedir.
S
A
A
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-6
Örnekler
Örnek Uzayı bir zarın atılması sonucu elde
edilen tüm muhtemel sonuçlar olsun:
S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
A “Atılan sayının çift olması” olayı olsun
B “Atılan sayının en az 4 gelmesi” olayı olsun
O halde
A = [2, 4, 6]
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
and
B = [4, 5, 6]
Bölüm 2-7
Örnekler
(devam)
S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
A = [2, 4, 6]
B = [4, 5, 6]
Tümleyenler:
A  [1, 3, 5]
B  [1, 2, 3]
Arakesitler (Kesişimler):
A  B  [4, 6]
A  B  [5]
Birleşimler:
A  B  [2, 4, 5, 6]
A  A  [1, 2, 3, 4, 5, 6]  S
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-8
Örnekler
(devam)
S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

B = [4, 5, 6]
Bağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı):

A ve B bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) değildir.


A = [2, 4, 6]
4 ve 6 sonuçları her ikisi için ortaktır
Bütünü Kapsayan (Toplu Kapsamlı):

A ve B bütünü kapsayan (toplu kapsamlı) değildir.

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
A U B 1 veya 3’ü içermemektedir
Bölüm 2-9
Olasılık
3.2

Olasılık –Belirsiz bir olayın
meydana gelme şansıdır
(daima 0 ile 1 arasındadır)
0 ≤ P(A) ≤ 1 Herhangi bir olay için
1
0,5
0
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Belirli
İmkansız
Bölüm 2-10
Olasılığın Değerlendirilmesi

Belirsiz bir olayın olasılığını değerlendirmede üç
yaklaşım mevcuttur:
1. klasik olasılık
A olayının olasılığı 
NA
N


olayı karşılayan sonuçların sayısı
örnek uzaydaki sonuçların toplam sayısı
Örnek uzayı içerisindeki tüm sonuçların eşit olasılıkta olduğu
varsayılmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-11
Muhtemel Sonuçların Sayılması

Bir anda k kez alınan n nesnenin kombinasyonu
sayısını belirlemek üzere Kombinasyon formülü
kullanılır
C 
n
k


n!
k! (n  k)!
n! = n(n-1)(n-2)…(1)
0! = 1 (tanım gereği)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-12
Olasılığın Değerlendirilmesi
Üç yaklaşım (devam)
2. nispi frekans olasılığı

Bir A olayının n adet büyük deneme sayısında meydana geldiği orantının
limiti
3. öznel olasılık
Meydana gelme olasılığı hakkındaki bir bireysel görüş veya inanç
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-13
Olasılık Önermeleri
1. Eğer A S örnek uzayında meydana gelen her hangi bir
olay ise, o halde:
0  P(A)  1
2.
A, S’deki bir olay ve Oi temel sonuçları gösteriyorsa, o
halde
P(A) 
 P(O
i
)
A
(notasyon A’daki tüm temel sonuçların toplamı olduğu anlamına gelmektedir)
3. P(S) = 1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-14
Olasılık Kuralları
3.3

Tümleyen Kuralı:
P( A )  1  P(A)

yani,
P(A)  P( A )  1
Toplam kuralı:

İki olayın birleşiminin olasılığı
P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-15
Bir Olasılık Tablosu
İki A ve B olayı için olasılıklar ve bileşik
olasılıklar bu tabloda özetlenmiştir:
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
B
B
A
P(A  B)
P(A  B )
P(A)
A
P( A  B)
P( A  B )
P( A )
P(B)
P( B )
P(S)  1.0
Bölüm 2-16
Toplam Kuralı (Örnek)
52 kartlık standart bir iskambil destesini dört
takım ile ele alınız:
♥♣♦♠
A olayı =“kartın As olması” olayı
olsun
B olayı = kartın kırmız takımdan olma
olayı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-17
Toplam Kuralı (Örnek)
(devam)
P(Kırmız U As) = P(Kırmızı) + P(As) - P(Kırmızı ∩ As)
= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52
Tip
Kırmızı Siyah
Toplam
2
2
4
As olmayanlar
24
24
48
Toplam
26
26
52
As
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Renk
İki kırmızı
ası iki kez
saymayınız!
Bölüm 2-18
Koşullu Olasılık

Bir koşullu olasılık is başka bir olayın meydana
geldiğinin varsayıldığı bir olayın olasılığıdır:
P(A | B) 
P(A  B)
P(B)
P(B | A) 
P(A  B)
P(A)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
B olayının
meydana gelmesi
halinde A’ nın
olasılığı
A olayının
meydana gelmesi
halinde B’ nin
olasılığı
Bölüm 2-19
Koşullu Olasılık (Örnek)


Kullanılmış araba galerisinde %70’i
klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve
%20’sinde her ikisi de mevcuttur.
Bir arabanın K’sı olması halinde bir CD olması
olasılığı nedir?
yani, P(CD | K)’yi bulmak istiyoruz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-20
Koşullu Olasılık (Örnek)
(devam)

Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve
%40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de
mevcuttur.
CD
K
0,2
0,5
0,7
K yok
0,2
0,1
0,3
Toplam
0,4
0,6
1,0
P(CD | K) 
P(CD  K)
P(K)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
CD yok Toplam

0,2
 0,2857
0,7
Bölüm 2-21
Koşullu Olasılık (Örnek)
(devam)

Bahsi geçen K için, sadece en üst satırı ele alıyoruz (arabaların
%70’i). Bunların %20’si CD okuyucuya sahiptir. %70’in %20’si %
28,57’dir.
CD
CD yok Toplam
K
0,2
0,5
0,7
K yok
0,2
0,1
0,3
Toplam
0,4
0,6
1,0
P(C D |K ) 
P(C D  K )
P(K )
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

0,2
 0,2857
0,7
Bölüm 2-22
Çarpma Kuralı

İki A ve B olayının çarpımı:
P(A  B)  P(A | B) P(B)

ayrıca
P(A  B)  P(B | A) P(A)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-23
Çarpma Kuralı (Örnek)
P(Kırmızı ∩ As) = P(Kırmızı| As)P(As)
2
 2  4 
  

 4   52  52
Tip
Kırmızı Siyah
Toplam
2
2
4
As olmayan
24
24
48
Toplam
26
26
52
As
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Renk
Bölüm 2-24
İstatistiksel Bağımsızlık

İki olay istatistiksel olarak bağımsız eğer
ve sadece ,:
P(A  B)  P(A) P(B)


Bir olay başka bir olay tarafından etkilenmediğinde A ve B
olayları bağımsızdır
Eğer A ve B olayları bağımsızdır, o halde
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
P(A | B)  P(A)
eğer P(B)>0 ise
P(B | A)  P(B)
eğer P(A)>0 ise
Bölüm 2-25
İstatistiksel Bağımsızlık (Örnek)


Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve
%40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de
mevcuttur.
CD
CD yok
Toplam
K
0,2
0,5
0,7
K yok
0,2
0,1
0,3
Toplam 0,4
0,6
1,0
K ve CD olayları istatistiksel olarak bağımsız mıdır?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-26
İstatistiksel Bağımsızlık (Örnek)
(devam)
CD
CD yok
Toplam
K
0,2
0,5
0,7
K yok
0,2
0,1
0,3
Toplam
0,4
0,6
1,0
P(K ∩ CD) = 0,2
P(K) = 0,7
P(K)P(CD) = (0,7)(0,4) = 0,28
P(CD) = 0,4
P(K ∩ CD) = 0,2 ≠ P(K)P(CD) = 0,28
O halde bu iki olay istatistiksel olarak bağımsız değildirler
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-27
İki Değişkenli Olasılıklar
3.4
İki değişkenli olaylar için sonuçlar:
B1
B2
...
Bk
A1
P(A1B1)
P(A1B2)
...
P(A1Bk)
A2
P(A2B1)
P(A2B2)
...
P(A2Bk)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ah
P(AhB1)
P(AhB2)
...
P(AhBk)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-28
Ortak (Bileşik) ve
Tekil (Marjinal) Olasılıklar

A ∩ B, birleşik bir olayın olasılığı olmak üzere:

Bir tekil (marjinal) olasılığının hesaplanması:
P(A)  P(A  B 1 )  P(A  B 2 )    P(A  B k )

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Burada B1, B2, …, Bk k adet bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı)
ve bütünü kapsayan (toplu kapsamlı) olaylardır.
Bölüm 2-29
Tekil (Marginal) Olasılık (Örnek)
Tip
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Renk
Kırmızı Siyah
Toplam
As
2
2
4
As değil
24
24
48
Toplam
26
26
52
Bölüm 2-30
Ağaç Diyagramının
Kullanılması
K olması
veya K
olmaması
halinde:
0,2
0 ,7
P(K ∩ CD) = 0,2
P(K ∩ CD) = 0,5
0 ,5
0 ,7
Tüm
arabalar
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
0,2
0 ,3
P(K ∩ CD) = 0,2
0 ,1
P(K ∩ CD) = 0,1
0 ,3
Bölüm 2-31
Bahisler


Özel bir olayın lehine bahisler olayın
olasılığının onun tümleyenine bölünmesi ile
elde edilen oran ile verilmektedir
A’ nın lehine bahisler;
bahisler

P(A)
1 - P(A)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

P(A)
P( A )
Bölüm 2-32
Bahisler (Örnek):

Kazananlarının bahsinin 3’e 1 olduğu halde
kazanma olasılığını hesaplayınız:
bahisler

3
1


P(A)
1 - P(A)
Pay ve paydayı 1 – P(A) ile çarpıp, P(A) için eşitliği çözünüz:
3 x (1- P(A)) = P(A)
3 – 3P(A) = P(A)
3 = 4P(A)
P(A) = 0,75
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-33
Aşırı Karışma Oranı (Overinvolvement Ratio)

B1 olayına koşullu A1 olayının olasılığının A1 olayına
koşullu B1 olayının olasılığına bölünmesi aşırı karışma
oranı olarak tanımlanmaktadır:
P(A 1 | B 1 )
P(A 1 | B 2 )

1’den büyük bir aşırı karışma oranı A1 olayının koşullu
bahisler oranını B1 lehine artırdığı anlamına gelmektedir:
P(B 1 | A 1 )
P(B
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
| A 1)

P(B 1 )
P(B 2 )
Bölüm 2-34
3.5
Bayes Teoremi
P(E i | A) 


P(A | E i )P(E i )
P(A)
P(A | E i )P(E i )
P(A | E 1 )P(E 1 )  P(A | E 2 )P(E
2
)    P(A | E k )P(E k )
burada:
Ei = k bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) ve bütünü kapsayıcı
(toplu kapsamlı) olayların i’incisidir
A = P(Ei)’yi etkileyebilecek olan yeni olaydır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-35
Bayes Teoremi (Örnek)



Bir sondaj şirketinin yeni bir kuyuda petrol
bulma şansı %40’tır.
Daha fazla bilgi elde etmek üzere detaylı bir
test planlanmıştır. Geriye dönük olarak başarılı
kuyuların %60’ı, başarısız kuyuların %20’ı
detaylı teste sahiptiler.
Bu yeni kuyuda detaylı test planlandığında, bu
kuyunun başarılı olma olasılığı nedir?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-36
Bayes Teoremi (Örnek)
(devam)

S = başarılı kuyu
U = başarısız kuyu olmak üzere
(ön olasılıklar)

P(S) = 0,4 , P(U) = 0,6

Ayrıntılı testleri D olarak tanımlayınız

Koşullu olasılıklar:
P(D|S) = 0,6

P(D|U) = 0,2
Amaç P(S|D)’yi bulmaktır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-37
Bayes Teoremi (Örnek)
(devam)
Bayes Teoremini uygulayınız:
P(S | D) 


P(D | S)P(S)
P(D | S)P(S)  P(D | U)P(U)
( 0 , 6 )( 0 , 4 )
( 0 , 6 )( 0 , 4 )  ( 0 , 2 )( 0 , 6 )
0 , 24
0 , 24  0 ,12
 0 , 667
O halde daha önce değerlendirilmiş olan başarı olasılığı (orijinal
tahminlerde 0,4 olan) bir detaylı test için 0,667 olarak planlanmıştır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 2-38