Transcript 實驗目的

組員：49812006 徐鈺婷
49812008 翁章祐
49812050 林雅姿
+ 翁章祐─目的、原理、問題討論
+ 徐鈺婷─公式推導
+ 林雅姿─藥品與儀器裝置、數據處理
+ 用顯微鏡觀察溶液中懸浮粒子的布朗運動，
並求得亞佛加厥常數。
+ 學習隨機程序(Random Process)的性質和其
在統計上的特性。
+ 布朗運動意指懸浮在液體或氣體中的微粒
受到分子的不平均碰撞而進行的永不停息
的不規則運動。
+ 布朗運動是植物學家羅伯特‧布朗(Robert
Brown)在1827年藉由顯微鏡觀察懸浮在水
中的花粉迸裂出的微粒所發現的。
+ 須注意的是：花粉(直徑約30～50μm)大約
比水分子(直徑約0.3nm)大了一萬倍，幾乎
無法觀察其布朗運動。
+ 其中微粒的半徑越小、分子的大小越大，
微粒所進行的不規則運動越劇烈。
+ 因在本實驗中微粒受到水分子的不平均力
撞擊且每秒約被撞擊1018次，所以微粒的運
動軌跡呈不規則路徑。
+ 日常生活中的例子：當陽光經過窗戶照進
陰暗的房間。
由運動方程式開始：
d 2x
dx
m 2 f
 X ............(1)
dt
dt
同乘
x
d 2x
dx
m x 2   fx  Xx........(2)
dt
dt
m：質量
x：位置
f：常數 = 6r
t：時間
X：為亂力在x方向上的投影
to
d 2 x 1 d dx 2
dx
[
]  [ ]2
代入 x 2 
dt
2 dt dt
dt
m d dx2
dx 2
f dx2
[
]  m[ ]  
 Xx........(3)
2 dt dt
dt
2 dt
x 為許多粒子的平均
m d2 2
dx 2
f dx2
[ x ]  m[ ]  
 Xx.........(4)
2
2 dt
dt
2 dt
1.
d2 2
d2 2
[x ]  2 [x ]
2
dt
dt
2. 正負機率相等，Xx  0
2
2
md
dx 2
f dx
2
[ x ]  m[ ]  
2
2 dt
dt
2 dt
to
m d 2 2 f d x2
x 
 kT................(6)
2
2 dt
2 dt
2
dx
u
設
dt
m du fu

 kT
2 dt
2
du fu 2kT


dt m
m
f
p(t ) 
m
2kT
Q(t ) 
m
同乘
2
m
to
使用一階線性微分方程式通解
u' p(t )u  Q(t )
p ( t ) dt
p ( t ) dt


ue
  Q(t )e
dt  C
2kT
x 
t  C1e
f
2

ft
m
 C2 .....(7)
f  6r...........(8)
f 6r
9


 107
2
m
m
2r
2kT
X 
t
f
2
 2Dt.........(9)
  102 poise
  1g / cm3
r  1m
6
1. 則 t  10 s ，指數項可忽略不計
2. x 從原點算起
kT
kT
D

.............(10)
f
6r
D為擴散係數
對一群粒子取平均 = 對單一粒子取多次平均
秒測量粒子位移，共測量 n 次
t  n
因此，每隔
n 次的平均位移 = x，代入(9)式
t 
X  x
kT
x  2 D 
3r
2
R
k
N0
RT

..........(11)
3rN 0
1. 聚苯乙烯乳膠粒子懸浮液（粒徑=1.09μm）
2. 顯微鏡
3.
4.
5.
6.
7.
8.
40倍物鏡
10倍目鏡
有凹槽的載玻片
蓋玻片
水平儀
熱電偶溫度計
顯
水
平
儀
微
鏡
載
玻
片
顯微鏡物鏡
放大投射至螢幕
蓋玻片
貼方格紙的螢幕
載玻片
懸浮液
一格約1.5cm
未聚焦粒子
布朗粒子
載玻片上的灰粒
振動中的粒子
1. 將顯微鏡安裝完成並連接螢幕
2. 以水平儀確認載物台是否水平
3. 用拭鏡紙將載玻片拭淨，凹槽向上，並滴入1cc
懸浮液，蓋上蓋玻片，拭淨多於液體（不能有
氣泡）
4. 將試片放於slide holder上開電源、調整光線(避
免造成熱對流)
5. 以細調節輪調整焦距至發現做布朗運動之粒子
6. 選定一粒子，調整玻片位置，使粒子位於視野
中央
7. 每隔30秒觀察並記錄粒子（Xi，Yi）座標
8. 觀察25分鐘，得到51組數據
9. 若粒子逸出座標範圍，則調整玻片使粒子回到
中央，每調整一次需多觀察30秒
10. 紀錄方式：
a.粒子接觸方格線以整數表示
b.粒子未接觸方格線以0.5表示
7.0
2.0
以（2.5，7.0）表示
3.0
1. 將得到的51組（Xi，Yi），計算出50組（ΔXi，ΔYi）
ex. （ΔX1，ΔY1）= （X1，Y1）-（X0，Y0）
2. 設ΔX= ΔXi +ΔYi
3. 列表：
由小至大排列
ΔX 出現次數 出現機率(%) 累積機率(%)
找出與ΔX相同的ΔXi 、ΔYi所出現的次數，因此總次數為100
4. 作正規分佈圖：
-5 -4 -3 -2 -1 0
1 2 3
4
5
5.
作累積機率圖：
累
積
機
率
P(%)
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6. 利用式11算出亞佛加厥常數N0
式11：
RT
X 
3rN 0
2
利用以下資訊，算出真實ΔX
• 方格紙一格1.5cm
• 目鏡倍率10
• 物鏡倍率40
−2
1.5 × 10
∴ 真實ΔX= ΔX×
10 × 40
𝑅 = 8.3145𝑚3 ∙ 𝑃𝑎 ∙ 𝐾 −1 ∙ 𝑚𝑜𝑙−1
𝑇 = 298𝐾
𝜏 = 30𝑠
𝜂 = 8.9 × 10−4 𝑃𝑎 ∙ 𝑠
𝑟 = 1.09𝜇𝑚
1.為何愛因斯坦導式(11)與粒子質量無關？
f
+ Ans:在 D  m 式子中可將 m 代換成僅和密度
(  )、體積(假設粒子為球體且半徑為 r )有
6r
9

D
關的代號，即為
4 3 簡化 
2
2

r
  r
3
2.為何觀察布朗運動時，顯微鏡須垂直，試片
需水平；若試片為垂直，顯微鏡為水平試推
論觀測結果？
+ Ans:若試片不為水平時會受到重力的影響，
使實驗的觀察結果偏向負值而非對稱於零
的波茲曼分佈。故試片需為水平才能將誤
差減至最小。
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
http://jw1.nwnu.edu.cn/jpkc/wdxy/rexue/ziliao/blyd.swf
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%81%9A%E8%8B%AF%E4%B9%99%E7%83%AF
http://big5.made-in-china.com/showroom/polish1816/productdetailTbnEdsFlXthD/%E6%98%BE%E5%BE%AE%E9%95%9C%EF%BC%88XSZN207%EF%BC%89.html
http://blog.yam.com/flash1108/article/12683857
http://www.zak.com.tw/products.php?pid=0&c_id=88
http://www.nanowerk.com/news/newsid=14470.php
http://yester-place.blogspot.com/2008/06/opencv_27.html
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B8%83%E6%9C%97%E8%BF%90%E5%8A%A8
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http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d164/16408.pdf
http://mallocfeng.diandian.com/post/2011-12-20/10544161
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%83%BD%E9%87%8F%E5%9D%87%E5%88%86%E5%AE%9A%
E7%90%86
Essential Calculus: Early Transcendental Functions
dx 1
dx 1 dx2 dx
x
  2x

dt 2
dt 2 dx dt
2
1 dx

2 dt
利用chain
y y x
rule： t  x t
2
dx 1 d x
x

dt 2 dt 2
同時微分：(AB)’=A’B+AB’
dx 2
d 2 x 1 d dx 2
[ ] x 2 
[
]
dt
dt
2 dt dt
d 2 x 1 d dx 2
dx 2
x 2 
[
] [ ]
dt
2 dt dt
dt
同減
[
dx 2
]
dt
back
m dx 2 m 2
[ ]  Vx  E x
2 dt
2
利用能量均分原理：在平衡的情況下，每個自由度會分到
一樣的能量，而理想狀態時，粒子的平移能量=動能
1
x

T
q 
  h(
)2

2m
  x

1
T
2
Ex   (
)  
( 1/ 2 )
x  
 
1
1
2
1 1

2  3/ 2
1
1

 kT
2 2
m dx 2 1
[ ]  kT ...........(5)
2 dt
2
q ：partition function
k ：Boltzmann constant
1

kT
h：plank constant
dx 2
m[ ]  kT
dt
back
t

ue
f
dt
om
t
2kT 

e
m
ft
m
f
dt
om
dt  C
ft
m
2kT
ue 
e dt  C

m o
f
2kT m t

(e  1)  C
f
2kT
u
e
f
t

ft
m
(e
f
t
m
2kT 2kT


e
f
f
 1)  Ce

ft
m
 Ce


ft
m
ft
m
2
dx
2kT 2kT
u 

e
dt
f
f

ft
m
 Ce
ft
m


ft
m
2kT
2kT
m
x 
t  (C 
)( )(e
f
f
f
ft

2kT

t  C1e m  C2 .....(7)
f


x2
0
2kT
2kT
dx   [
 (C 
)e
o
f
f
2
t
2
back
]dt
ft
m
 1)
2kTm
m
C1 
C
2
f
f
m 2kTm
C2  C 
f
f2