Transcript y 1

3.3. FUNKCIJŲ
INTERPOLIAVIMAS
Lagranžo interpoliacinis daugianaris
 Duota duomenų lentelė, kurioje yra n+1 mazgas:
xi
yi
x00
y00
x11
y11
…
…
xnn
ynn
 Lagranžo daugianaris bus n-ojo ar mažesnio laipsnio
( x  x1 )(x  x2 )  ( x  xn )
Ln ( x) 
y0 
( x0  x1 )(x0  x2 )  ( x0  xn )

( x  x0 )(x  x2 )  ( x  xn )
y1  
( x1  x0 )(x1  x2 )  ( x1  xn )
( x  x0 )(x  x1 )  ( x  xn 1 )

yn
( xn  x0 )(xn  x1 )  ( xn  xn 1 )
Pavyzdys
 Duota duomenų lentelė, kurioje yra 3 mazgai:
x
2
3
5
y
3
10
36
 Lagranžo daugianaris bus 2-ojo ar mažesnio laipsnio
( x  x0 )(x  x2 )
( x  x1 )(x  x2 )
L2 ( x) 
y0 
y1 
( x0  x1 )(x0  x2 )
( x1  x0 )(x1  x2 )
( x  x0 )(x  x1 )

y2  2 x 2  3 x  1
( x2  x0 )(x2  x1 )
Niutono interpoliaciniai daugianariai
Duotai duomenų lentelei, reikia sudaryti baigtinių skirtumų lentelę:

i
xi
yi
∆yi
∆2yi
0
x0
y0
y1-y0
∆y1- ∆ y0
1
x1
y1
y2-y1
∆y2- ∆ y1
2
x2
y2
y3-y2
∆y3- ∆ y2
…
…
…
∆yn-1- ∆ yn-2
n-2 xn-2
yn-2
yn-1-yn-2
n-1 xn-1
yn-1
yn-yn-1
n
yn
xn
…
∆nyi
∆n-1y2- ∆n-1 y1
Atmetame tuos ∆ky stulpelius, kurių ∆∙2k>|∆ky|
Pirmasis Niutono interpoliacinis daugianaris
i
xi
yi
∆yi
∆2yi
0
x0
y0
y1-y0
∆y1- ∆ y0
1
x1
y1
yy2-y1
0
∆y2- ∆ y12 y
…
…
…
1!h
2!h
N1 (2x) x2 y0y2
x03-)∆y2
y3-y2( x  ∆y
n-2 xn-2 ynn-2y yn-1-yn-2
 yn-1
n-1xn-1
n
xn
ny!h
…
∆nyi
∆n-1y2- ∆n-1 y1
∆yn-1- ∆ yn-2
0
2
( x  x0 )(x  x1 )  
( x  x0 )(x  x1 )  ( x  xn 1 )
0
n yn-yn-1
n
h  xi 1  xi
Antrasis Niutono interpoliacinis daugianaris
i
xi
yi
∆yi
∆2yi
0
x0
y0
y1-y0
∆y1- ∆ y0
∆y2- ∆ y1 2
…
∆nyi
∆n-1y2- ∆n-1 y1
yn 1
 yn  2
N 2 (2x) x2yn y2 y3-y2( x  x∆yn 3)- ∆ y2 2 ( x  xn )(x  xn 1 )  
2!h
… … … 1! h
n
n-2 xn-2 yyn-20 yn-1-yn-2 ∆yn-1- ∆ yn-2

( x  x )(x  xn 1 )  ( x  x1 )
n-1 xn-1 yn-1n yn-yn-1n
n!h
1
x1
y1
n
xn
yn
y2-y1
h  xi 1  xi
4 uždavinys 82 psl. (1)
Baigtinių skirtumų lentelė:
i
xi
yi
Δyi
Δ2yi
Δ3yi
Δ4yi
Δ5yi
0
1,8
1,958
0,149
0,012
0,002
-0,002
0,008
1
1,9
2,107
0,161
0,014
0,000
0,006
-0,011
2
2,0
2,268
0,175
0,014
0,006
-0,005
0,006
3
2,1
2,443
0,001
0,001
-0,008
4
2,2
2,632
0,189
0,020
∆=0.001
0,209
0,021
0,002
-0,007
0,014
5
2,3
2,841
0,230
0,023
-0,005
0,007
-0,008
6
2,4
3,071
0,253
0,018
0,002
-0,001
7
2,5
3,324
0,271
0,020
0,001
8
2,6
3,595
0,291
0,021
9
2,7
3,886
0,312
10
2,8
4,198
Atmetame jau Δ3yi
stulpelį