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實驗一 布朗運動實驗
49912011 劉永合
49912019 陳昱銓
分工

目的、原理及公式推導—劉永合

儀器、步驟、操作、作圖及數據處理
—陳昱銓
目的
以顯微鏡觀察水中粒子的布朗運動，求取
亞佛加厥常數
原理

何為布朗運動？
在顯微鏡下觀察懸浮在液體的微小顆粒，可看到顆粒不停地



進行著無規則運動，這是植物學家布朗在1827年首先發現的，
稱為布朗運動 。顆粒不斷受到液體介質分子的碰撞。在任一
瞬間，一個顆粒受到介質分子從各方向的碰撞作用力一般說
來是互不平衡的，顆粒就須著淨作用力的方向運動。由於分
子運動的無規性，施加在顆粒上的淨作用力漲落不定，力的
方向和大小都不斷發生變化，顆粒就不停地進行著無規則的
運動。
粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
粒子的運動永不停止
設粒子質量m密度ρ，作用於粒子的力為
向下的重力及周圍分子碰撞的作用力，而
周圍的碰撞力又分為三種︰
1. 浮力mg
2. 阻力-fv，與粒子運動速度成正比，但方向
相反
3. 引起不規則運動的亂力
這裡只考慮亂力在水平方向X的投影，則重力
與浮力都不出現，運動方程式可寫成：

f ：阻力之比例常數
X：亂力在x方向之投影

將上式同乘χ
2
mx
d x
  fx
2
d t
dx
 Xx
dt
(1)
又
x
dx
dt
2
x
d x
dt
2

1
2
2x
dx
dt
2

1 dx dx
2 dx dt

1 dx
2
2 dt
d 1 1 dx 2
dx d 1 1 dx 2
d 1 dx
 x
 x
x
x
x
dt dt
dt x dt
dt x 2 dt
dt dx x 2 dt
d dx
2
1 dx  d 1 dx 2  1 dx  1 dx 2 1 d 2 x 2  1 d  dx 2   dx 
 x

  2 x dt  x 2 dt  x dxdt   2 dt  dt    dt 
2 dt  dx x dt 



  
在代入(1)
2
 dx 
m d  dx 2 
 f dx 2
 xX
  m
 
2 
2 dt  dt 
2 dt
 dt 
上式為描述單一粒子的運動狀態，
m d  dx 2 
 f dx 2
 dx 
 xX

  m  
2 dt  dt 
2 dt
 dt 
=0 正、負機率相等
2
(2)
則是對大群粒子求平均。把做布朗運動的粒
子視為一大分子，再運用能量均分原理，粒
子平均動能就等於： m  dx  2 1
 kT


2  dt 
2
且
dx 2 d 2
 x
dt
dt

m d d x2
f d x2
(
)
 kT
2 dt dt
2 dt
令

，所以(2)可改寫成：
d
x u
dt
2
du f
2kT
 u
dt m
m
u ' p(t )u  Q(t )
P(t ) 
f
2kT
; Q(t ) 
m
m
一次微分方程式通解
ye 
 P ( x ) dx
t
f
dt
0m
 Q( x)e  P ( x ) dx dx  C   u  e 
 


 2kT 0 mf dt

e
dt  C 
 0
 m

t
t
e
f
 t
m
e
f
 t
m
f
f

 t  2kT m 
t
 t 2kT mf t


0
m
m
e  e   C
e dt  C   e 
 0


m
m
f







 2kT

 f
f
f
f
f
f

 t 2kT
t
 t 2kT
 t
 mf t 
m
m
m
 e  1  C   e m
e

e

Ce


f
f



f
2
 t 2kT
 t
2kT
d
x

e m
 Ce m 
f
f
dt
=u
f
f
 t 2kT
 t

2
kT
d x2  
e m
 Ce m  dt
f
 f


x2
0
f
f
 t
 t

2
kT
2
kT
d x2   

e m  Ce m dt
0
f
 f

t
2kT
2kT
2
x 
t
f
f
 m   mf t 
 m   mf t 
   e  1  C    e  1
 f 
 f 


f
 t  2kT m
2kT
Cm  2kT m Cm
m
 

t  e 


f
f 
f f
f
 f f
f
 t
2kT

t  C1e m  C 2
f
(3)
懸浮粒子受到流體的阻力以 –fv表示，而Stoke證明
當一半徑為r的球，在黏滯係數為η的流體中運
動所受阻力和球速成正比，其比例常數為：
f  6r
取   10
2
poise ,   1 g cm , r  1 m
3
則(3)中的指數項：
f 6r
9
7



10
m
m
2r 2
4 3
(m   r )
3
6
10
所以當t>
秒，指數項可忽略不計，(3)可改
寫成
x 
2
2kT
t
f
=2Dt
(4)
kT
kT
其中擴散係數 D =
=
f
6 πηr
間隔 τ 秒量測一次粒子的位移，在t = τ n秒
n
n次位移分別 Δ x1 、Δ x2 ….. ，總位移 x  Δ xi
i
代回(4)
kT
RT
x  2 D 

3r 3rN 0
2
單一粒子取平均

R 
 k 

N0 

→求出亞佛加厥數
藥品與實驗裝置
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
聚苯乙烯乳膠粒子懸浮液（粒徑
=1.09μm）
顯微鏡
40倍物鏡
10倍目鏡
有凹槽的載玻片
蓋玻片
水平儀
有凹槽的載玻片1
水平儀2
實驗步驟
1.
樣品製備：
將1 cc 的乳膠粒子懸浮滴於載玻片凹槽上。
輕壓蓋玻片邊緣，用拭鏡紙吸去多餘的懸
浮液。
2.
調整顯微鏡至水平。
3.
放上試片，打開電源調整光線。
4.
以調節輪調整焦距至發現做布朗運動之粒子
5.
每 30 秒記錄一次粒子的坐標，觀察 25 分鐘
6.
若粒子逸出座標範圍，則調整玻片使粒子回到中央，每
調整一次需多觀察30秒
7.
粒子未接觸方格以 0.5 表示，接觸方格則以整數表示
未聚焦
震動中
布朗粒子
2.
調整顯微鏡至水平。
3.
放上試片，打開電源調整光線。
4.
以調節輪調整焦距至發現做布朗運動之粒子
5.
每 30 秒記錄一次粒子的坐標，觀察 25 分鐘
6.
若粒子逸出座標範圍，則調整玻片使粒子回到中央，每
調整一次需多觀察30秒
7.
粒子未接觸方格以 0.5 表示，接觸方格則以整數表示
2.
調整顯微鏡至水平。
3.
放上試片，打開電源調整光線。
4.
以調節輪調整焦距至發現做布朗運動之粒子
5.
每 30 秒記錄一次粒子的坐標，觀察 25 分鐘
6.
若粒子逸出座標範圍，則調整玻片使粒子回到中央，每
調整一次需多觀察30秒
7.
粒子未接觸方格以 0.5 表示，接觸方格則以整數表示
數據處理
1.
2.
3.
4.
5.
由紀錄的（Xi ,Yi）坐標，計算（ΔXi , ΔYi）
將ΔXi , ΔYi 合併，得 100 個ΔX 值
ΔX 按大小由負到正排列
算出ΔX的累進機率
列表
ΔX
出現次數
出現機率%
累積機率%
-5
0
0
0
-4.5
2
2
2
-4
9
9
11
作常態分佈圖3
出
現
機
率
ΔX
作累積機率圖4
累
積
機
率
ΔX
6. 帶入式11 :
X
2
方格線的距離為8μm

RT 
3 rN
0
資料來源
1.
2.
3.
4.
5.
http://www.zak.com.tw/products_detail.php?l=2&pro_id
=181
http://blog.yam.com/flash1108/article/12683857
http://www.linsgroup.com/Statistics/statistics.html
http://content.onlinejacc.org/mobile/article.aspx?articlei
d=1127956
http://zh.wikipedia.org/zhtw/%E5%B8%83%E6%9C%97%E8%BF%90%E5%8A
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