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實驗一 布朗運動實驗
49912008 郭明哲 目的 原理 公式推導
49912010 王維得 公式推導 PPT整理
49912006 蕭孟元 儀器 實驗步驟 數據處理
目的
1. 以顯微鏡觀察水中粒子的布朗運動，求得亞弗
加厥常數。
2. 瞭解隨機程序(Random Process)的性質及統計特
質。
原理
1827年，植物學家布朗以顯微鏡觀察水中花粉，發
現花粉做一不規則運動。
布朗運動：液體分子不斷從各個方向碰撞懸浮粒
子，導致粒子出現不規則運動狀態。
懸浮粒子
液體分子
液體分子移動路徑
懸浮粒子移動路徑
長時間觀察懸浮粒子的路徑圖
懸浮粒子受力情形：
重力： mg向下
周圍分子碰撞的作用力 : (1) 浮力mg
(2) 阻力-fv

(3) 亂力即隨機作用的力 F
只考慮粒子在水平面 X方向的投影，方程式可寫成
2
d x
dx
m 2 f
X
dt
dt
(1)
公式推導
2
d x
dx
m 2 f
X
dt
dt
(1)
m : 質量
x : 位置
t : 時間
f : 6r = 阻力常數
X : 亂力在x方向上的投影
2
d
x
dx
將 (1) 兩邊同乘 x
   
 m x 2   fx  xX
dt
dt
(2)
2
dx 1 dx
x 
dt 2 dt
2
(a)
2
dx
dx dx
dx
(

 2x )
dt
dx dt
dt
d x 1 d  dx2   dx 

   
x 2 
dt
2 dt  dt   dt 
2
2
(b)
dx dx
d dx 1 d  dx

(
x

dt dt
dt dt 2 dt  dt
2
  dx 
d 2 x 1 d  dx2 
     x 2 

)
dt
2 dt  dt 
  dt 
2
2
d
x
dx
將 (a).(b)代入
 
 m x 2   fx  xX
dt
dt
m d  dx


2 dt  dt
2

 f dx
 dx 
  m  
 xX
2 dt
 dt 

2
(2)
2
(3)
將方程式(3)對大群粒子取平均，可得
m d  dx

2 dt  dt
2
2

dx

f
dx
 
  m  
 xX
2 dt
 dt 

2
(4)
對液體中的懸浮粒子， xX 可正可負，因此正負機率相等，平均值為零
m d  dx

2 dt  dt
2
2

 f dx
 dx 
  m  
 xX
2 dt
 dt 

2
將粒子視為一個大分子，應用能量均分原理，可得平均動能為
2
1 2 m  dx 
1
mv     kT
2
2  dt 
2
將 (5) 以及
(5)
dx2
d 2

x 代入(4)，可得
dt
dt
m d 2 2 f d x2
x 
 kT
2
2 dt
2 dt
(6)
m d 2 2 f dx2
x 
 kT
2
2 dt
2 dt

2
m
(6)
2
d 2 f d 2 2kT
 2 x 
x 
dt
m dt
m
令
d x2
u
dt
d d 2 f d 2 2kT
du fu 2kT
x 
x 



dt dt
m dt
m
dt m
m
利用一階線性微分方程式通解，可得
2kT
x 
t  C1e
f
2

ft
m
 C2
(7)
斯托克斯(Stokes)證明

f  6r
取
= 流體的黏滯係數
r = 球體的粒子半徑
3
(8)
  102 poise,   1 g cm , r  1m
f 6r
9
7



10
m
m
2r 2
代入(7)的指數項
4 3
(m   r )
3
當 t  106，指數項可以忽略不計，若將 X 從原點開始算起，可得
2kT
X 
t  2 Dt
f
(9)
kT
kT
D

f
6r
(10)
2
其中擴散係數
前述式子的推導中，是對一群粒子取平均所得的結果
對一群粒子取平均與對單一個粒子多次取平均的結果會相同
每隔 τ 秒量一次粒子的位移，共量 n 次
n 次的位移為△X1、 △X2、…、 △Xn
t  n
總位移 x 
n
 X
i
kT
RT
x  2 D 

3r 3rN 0
2
對一個粒子的多次位移平方取平均值
求出亞弗加厥常數
(11)
i
儀器與步驟
顯微鏡
電視
拿穩攝像影機
後，再將下方
鎖緊，讓其可
固定在顯微鏡
的上方。
 將載玻片以試鏡紙擦拭乾淨後，把懸浮液體




滴於凹槽中，再用蓋玻片覆蓋，若有氣泡則
重新填裝。
使用水平儀使顯微鏡呈水平。
玻片至於夾物台上，使光源均勻照射，若不
均勻則部分溫度偏高，會產生對流。
調粗調節輪使夾物台距物鏡2mm。
用X軸、 Y軸調節螺線移動玻片後，再調細調
節輪直至發現作布朗運動之粒子。
 選取一粒子調整至視野中央，每隔30秒紀錄
一次粒子之ＸＹ位置。
 觀察２５分鐘，紀錄５１組數據。若粒子於
觀測２５分鐘前跑出視野外，調整玻片使之
從新回至中央。
 若有X次調整玻片，須觀察（５０＋X）／２
分鐘。
 粒子座標的記錄方式:粒子接觸線以整數紀錄
粒子未接觸線以０.５紀錄。
數據處理
 將紀錄的座標(Xi, Yi)分別算出(△Xi, △Yi)
 合併兩值得到100組的△X，按照負到正排列，並算
出△X的出現機率和累積機率。
 將統計好的表格做成機率對△X的折線圖，圖形應近
似高斯分佈。
 再做一張累積機率對△X的折線圖。
求亞佛加厥常數N0
 以通過圖上(-1/4,50)的點，繪一最適直線。
 找出其標準差σ，再以方格線校正值換算成
實際的σ值 (單位:公尺) 。
 代入愛因斯坦導式求得亞佛加厥常數N0。
kT
RT
x  2 D 

3r 3rN 0
2
參考資料
http://www.zwbk.org/zh-tw/Lemma_Show/161998.aspx
http://www.particle2cosmos.com/home/?action-viewnews-itemid-118
http://web.phys.ntu.edu.tw/asc/FunPhysExp/ModernPhys/exp/BrownianMotion.pdf
Thanks!!