Transcript 第11組

財務數學
第11組
組員
游哲愷
顏莉穎
黃郁翔
吳函儒
黃硯潔
姜彥廷
布朗運動
一隨機過程(X(t),t>=0)稱為布朗運動若其滿足：
•( i) X(0) = 0且 X(t)在t = 0連續
•(ii) {X(t), t ≥ 0}有固定常數及獨立增量
•(iii) 對∀t > 0,X(t)有N (μt, σ^2t)之分佈, 其中 μ, σ為二常數
•上述二常數μ及σ^2分別稱為布朗運動之偏差(drift) 及擴散係數
(diffusion coeffi- cient)。若μ= 0且σ^2= 1, 則此過程稱為標準
(standard)布朗運動。
•由於若令Xf(t) =(X(t) −µt)/σ, 則過程{Xf(t), t ≥ 0}為一標準布朗運動,
即可將一任意之布朗運動轉換為一標準布朗運動, 故我們通常只須
考慮標準布朗運動。
幾何(指數)布朗運動(GBM)之形式
• 指連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的
對數遵循布朗運動，我們也稱之為Wiener Process，
幾何布朗運動在金融數學中之應用，在布萊克-舒
爾斯定價模型中應用於模仿股票價格。
• 以幾何布朗運動來做為股價的模型，我們寫成：
dS = μSdt + σSdw 其中 μ參數稱為股票的預期報酬
(expected rate of return)。μ與股票 的風險、利率
水準、投資人的風險趨避程度有關。σ參數稱為波
動率，波動率越大，風險越大。
布朗運動與幾何布朗運動之差異
相較布朗運動而使用幾何布朗運動來描述股票價格
的理由：
•(1)幾何布朗運動的期望與隨機過程的價格（股票價
格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望是相符的。
•(2) 幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真
實的股票價格。
• (3) 幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的
價格軌跡呈現了同樣的「roughness」。
• (4) 幾何布朗運動過程計算相對簡單。
幾何布朗運動並不完全符合現實，
尤其存在一些嚴重缺陷
• (1)在真實股票價格中波動隨時間變化
(possibly stochastically), 但是在幾何布朗運動中，
波動是不隨時間變化的。
• (2)在真實股票價格中，收益通常不服從常態分
佈(真實股票收益有更高的峰度'fatter tails’，代
表了有可能形成更大的價格波動)。
Wiener Process
• 由實證得知，股利、利率及匯率變動過程呈現
隨機行為而無法預測，它的變 動過程可用一
種隨機過程(Stochastic Process)來代表。其中一
種是Wiener Process又稱Standard Browian
Motion(標準步朗運動)，因此Wiener過程是
random walk 的極限型態。如果把”位置”看成
是股票價格，則股價在連續時間下的隨機走步
正是Wiener Process。
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股票公司:和大股限公司
• 平均股價：20.88622
• 標準差：1.608203
• 假設：現在最大股價是50元，常態分佈約
是96%，非下手時機，所以要等到常態分佈
是100%，再購買此股票。