Transcript 布朗運動

布朗運動
49712071 蔡品雯 目的、原理、討論、應用
49712072 葉友芳 公式推導
49712052 歐易鑫 儀器、步驟、數據處理
一、目的
以顯微鏡觀察水中粒子的布朗運動，求取
亞佛加厥常數。
 了解隨機程序(Random Process)之性質及
統計特質。

二、原理
發現：1872年，植物學家布朗(Robert
Brown)，以顯微鏡觀察水中的花粉，發現
花粉微粒不停的作不規則的運動。
 定義：粒子在流體中，因不停碰撞而作連
續不規則的折線式運動，稱為布朗運動。



原因：四面八方的流體分子不斷碰撞粒子
所引起。
路徑：大小不同的力造成撞擊不平衡，而
作轉折運動，且無法預測運動模式。
直線部分為各方撞擊相互抵消或未受撞擊。



假設液體中懸浮粒子質量=m，密度=ρ
懸浮粒子的受力：
─重力mg
─周圍分子碰撞的作用力：
1)浮力mg
2)阻力-fv

3)亂力即隨機作用的力F
朗之萬方程(Langevin’s equation)描述布朗運動：
F  ma
2
m
d x
dt
同乘x
f
2
dx
dt
2
mx
d x
dt
 X ......( 1)
2
  fx
dx
dt
 Xx ......( 2 )
x
dx

dt
1
2

dx
dt
2
 1
dx 
   2 x
......( a )
dt 
 2
2
2


dx
dx
d
x
1
d
dx
微分


 x

2

dt dt
dt
2 dt  dt 
2
x
d x
dt
2
2
1 d  dx


2 dt  dt
2
  dx 

 ......( b )

  dt 
將(a)、(b)代入(2)式得：
2
2
2
m d  dx 
 f dx
 dx 

  m
 xX ......( 3 )
 


2 dt  dt 
2 dt
 dt 

將(3)式對每個粒子求平均，即把大群粒子的運動方程式
相加除去粒子總數，加一橫線表示求得的平均值：
2
2
2
m d  dx 
 f dx
 dx 

  m
 xX ......( 4 )
 


2 dt  dt 
2 dt
 dt 
xX  0
2
m  dx 
1
2
mv 

  kT ......( 5 )
2
2  dt 
2
1
dx
dt
2

d
dt
x
2
(粒子的平均動能)

利用以上各結果代(4)式得：
令
dx
dt
2
u
m d
2
2 dt
2
m du
2
dt

2
 kT ......( 6 )
2 dt
f

2 dt
du

x 
f dx
u  kT
2
f
u 
m
2 kT
m
ㄧ階線性微分方程標準形式：
y  P ( x) y  Q ( x)
P (t ) 
f
m
；Q ( t ) 
2 kT
m

非齊次方程通解形式：
 P ( x ) dx 
 P ( x ) dx dx  C 
y e 
Q
(
x
)
e
 

 f
u  e
m
f
e
t
t
m
 2 kT

 m

f
e
t
m
f
2 kT
e

dt  C 

t
m
m
dx
2

2 kT
dt

 Ce

m
f
 Ce
m
f

f
t
m
f
上式積分得(6)式通解為：
x 
2
2 kT
f
 ft
t  C 1e
m
 C 2 ......( 7 )
t

斯托克斯(Stokes)定理：
阻力以–fv表示，懸浮粒子以緩慢的速度v在流體中
運動，此時阻力的大小與顆粒的速度成正比，比例常數f
為：
 =流體的黏滯係數
f  6  r ......( 8 )
r=作為球體的粒子半徑

取
 10
2
poise ,   1 g cm , r  1 m ，則(7)式指數項：
3
f

6 r
m

m

9
2 r
2
 10
7
(m  
4
r )
3
3
當 t  10  6，指數項忽略不計。當一開始x在原點，則得：
X
2

2 kT
t  2 Dt ......( 9 )
f
D 
kT
f

kT
6  r
......( 10 )

在間隔 秒內觀察單一粒子的位移，在時間 t  n  量n次，
n
總位移為 x 
  x 代入(9)式：
i
i
x

2
 2D 
3 r

RT 
3 rN
......( 11 )
0

R 
k 


N 0 

布朗運動是隨機無規則，所以  x 的分布近似正規分佈(高
斯函數)，公式為：
1
P  x  

kT 
2π σ
e
  x  

2
2

正規分佈的累積機率：
P   
1


-
P   x d   x 
2



......( 12 )
三、儀器與藥品
聚苯乙烯乳膠粒子懸浮液(粒徑=1.09μm)
latex beads polystyrene
 顯微鏡、X40接物鏡、X10接目鏡(連接至電
視機螢幕，並投射於螢幕上之芳格線與座標，
方格線間距為8μm)
 有凹槽之載玻片、蓋玻片
 水平儀

四、實驗步驟

把顯微鏡架設完成並連接電視，以水平儀
確認水平且確認顯微鏡垂直

用試鏡紙將載玻片拭淨，凹槽向上，並滴
入懸浮液，蓋上蓋玻片，拭淨多於液體，
不能有氣泡(干擾布朗運動)

將載玻片放於slide holder上開電源、調
整光線(避免造成熱對流)
打開電視，並以X- Y-軸調整玻片位置，再
以細調節螺絲調整焦距，使粒子清楚出現
於螢幕中。
 選定粒子，調整玻片使粒子位於視野中央。
每格30秒觀察一次，得到各50組的
∆Xi ∆Yi,若粒子逸出座標範圍，盡量使之
回到視野中央。
 每次調整玻璃位子，需重新觀察30秒。


記錄方式：未接觸方格以0.5，接觸則為整
數。
 將記錄的(X,Y)座
標，計算(  X , Y )
 把 X
跟  Y 合併成
100個值，由負到
正排列
∆X
出現次數
出線機率%
累積機率%
-5.5
1
1
1
-5
0
0
1
-4.5
0
0
1
-4
2
2
3
-3.5
3
3
6
-3
4
4
10
-2.5
8
8
18
-2
8
8
26
-1.5
11
11
37
-1
12
12
49
-0.5
13
13
62
0
4
4
66
0.5
2
2
68
1
4
4
72
1.5
3
3
75
2
3
3
78
2.5
3
3
81
3
6
6
87
3.5
3
3
90
4
3
3
93
4.5
2
2
95
5
3
3
98
5.5
2
2
100
△X出線機率分布圖
 算出  X
14
12
10
出現機率%
的累
積機率並做圖，
正規分佈累積
機率圖跟累積
機率圖兩種
8
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
位移X
X累積出線機率分布圖
由
算出亞
2
佛加厥常數
X
X累積出線機率分布圖
100
80
60
40
20
0
-6
-4
-2
0
位移X
X  2 D  
2
k T
3  r

R T
3  r N0
2
4
6
五、討論
(一)公式本身未考慮之因素
1. 形狀的影響
2. 重力的影響
(二)公式中之各項變因
1. 黏滯係數
2. 粒子半徑 r 之判定
3. 溫度 T
(三)實驗操作技術的改進
1. 外界的震動
2. 溶劑內部的分布
(四)實驗本身的限制
1. 邊界的效應
2. 解析度
六、應用
1.生物族群的擴散現象
2.人耳的聽覺
3.口罩設計
七、資料來源

http://www.phy.ntnu.edu.tw/physics/theory/
Report/Brown%27s%20motion.htm

物理雙月刊(廿八卷一期)《漫談布朗運動》龐寧寧
http://www.lsbu.ac.uk/water/explan2.html