Transcript 數學閱讀＿講義1020306

數學閱讀
吳昭容
臺灣師大教育心理與輔導學系
102.03.06
數學閱讀研究的演進
• 數學解題中有數學閱讀
word problems solving
• 閱讀教科書、文章學習數學
content area reading; disciplinary reading
• 數學素養
mathematical literacy
2
數學閱讀和語文科閱讀的關係？
• 若數學閱讀是獨特的能力，則應該和語文
科閱讀表現的相關不高 Österholm（2006）
• 數學閱讀是文字中多了數學符號，若數學
閱讀和語文科閱讀共享類似的閱讀能力，
則二者應該有中高相關
– 若數學閱讀和語文科閱讀共享了高階的認知歷
程，則控制閱讀基本技巧對數學讀題的影響後，
二者仍有顯著相關
Lindeman(2000)
– 語文科閱讀是數學閱讀的中介變項
Jordan, Kaplan, & Hanich (2002)
3
Österholm（2006）主張二者獨立
• 參與者：61名自然組的高三學生、34名主修工
程或教育的大學生
• 程序：
–
–
–
–
–
–
收集資本資料、說明研究程序
收集先備知識（數學和歷史）
閱讀數學文本（群論，分文字版、符號版，各半）
測驗數學文本的閱讀理解
閱讀歷史文本
測驗歷史文本的閱讀理解
4
研究結果
• 數學先備知識：符號組≒文字組，
數學文本的閱讀理解： 符號組＜文字組
• 年齡間的比較：文本的閱讀理解
符號版大學生≒符號版高中生(一樣差)，但
文字版大學生＞ 文字版高中生
歷史/大學生＞ 歷史/高中生
• 數學閱讀理解和歷史的閱讀理解的相關：
文字版的顯著 vs. 符號版的不顯著
• 以符號表示的數學文本需要不同的閱讀技巧，且
此種技巧的增長和一般文字閱讀能力的增長非同步。
5
Lindeman(2000) 主張兩者有共同處
• 探討數學文字題解題和閱讀理解的關聯性
• 受試者：19個班、225名四年級學生，其中
24%接受部分時間的特殊教育
• 工具
– 閱讀理解測驗(兩篇敘述文、兩篇說明文，各有12
題選擇題)
– 數學文字題解題(比較題、改變題、合併題、focus，
共20題)
– 字串念讀，同時考慮速度與正確性
• 根據字串念讀將受試者分為優讀者 vs. 劣讀者
6
結果＿數學文字題與閱讀理解
• 在兩種表現上，均為優讀者 > 劣讀者
優讀者
劣讀者
7
結果＿數學文字題與閱讀理解
• 字串念讀顯著預測數學解題（r2= .18, p <.001）
• 字串念讀顯著預測文章閱讀（r2 = .23, p <.001）
• 控制字串念讀之後的數學解題潛在因素和文章
閱讀的潛在因素，兩者仍有顯著相關 (p <.001)
數學文字題的解題和語文的閱讀理解
共享了基本的閱讀能力—字串念讀，
也共享了高階的邏輯推理能力
8
MD, MDRD, RD, NA比較的研究派典
• 若某數學作業四組的表現為
– MDRD、RD < MD、NA ，則與閱讀能力有關
– MDRD、MD < RD、NA ，則數學能力有關
– MDRD < MD、RD、NA ，則閱讀和數學都有關
• 口述計算題或文字題的解題，MD > MDRD
• 估算、位值、number facts的快速提取、多位數
筆算， MD  MDRD
在需要語言中介的數學作業上，MD比MDRD好，
但在數量理解、視覺空間處理、自動化等認知
表現上，兩者差不多。例：洪儷瑜，2011
9
閱讀障礙在數學基本能力的表現
洪儷瑜（2011）
簡單計算
個位數不進位加法
基本形式：3＋5、…
類化形式：35＋24、…
個位數進位加法
個位數減法
基本形式：9－7、…
類化形式：85－51、…
個位數乘法
NA > MD, MD&RD
RD > MD
RD ≒NA
10
閱讀障礙在數學基本能力的表現
洪儷瑜（2011）
數字意義（位值、數列）
位值
這兩個數字都有8，哪一個8最大？請把比
較大的8圈起來。
3872 4180
這個數字有兩個2，請把比較大的2圈起來。
92021
數列
1，3，5，7，
3， ___，9，12
NA>RD>MD, MD&RD
閱讀障礙低於一般同儕
11
Jordan, Kaplan, & Hanich (2002)發現
數學解題的發展受閱讀理解能力影響
• 從600百多名2年級學生中篩選出四群學生，共
180名，每群人數如下。
• 3年級末時流失率約13%。
12
四群學生三種能力起始的百分等級
數學作業採用
口語報讀，不
涉及閱讀
13
追蹤兩年的閱讀表現
• RD和MDRD的閱讀發展趨勢相同，控制IQ後亦同
• 見Fig. 1
數學困難對後續
的閱讀發展沒有
明顯的影響
Fig. 1 閱讀的成長
14
追蹤兩年的數學表現
• MD和MDRD二上的數學表現一樣，但三下時的數學，
MD > MDRD
• RD和NA二上的數學
表現一樣，但三下的
數學RD < NA
• 見Fig. 2
伴隨有閱讀困難的學生，
數學表現的發展會變差
• Why?數學教學得透過
語文說明。
Fig. 2 數學的成長
15
如果語文閱讀是個障礙
• 那麼
搬開
繞道
16
提昇語文閱讀能力
• 語文閱讀能力：
– 認字(解碼)
• 從字形觸接到語音、語意，要足夠流暢(正確、速度）
– 理解
• 組織語句內容以掌握文章所欲傳達的訊息
• Learning to read vs. Reading to Learn
– 字形辨認、字義抽取、語句整合、 組字知識、字彙知識、
語法知識
– 文章理解、掌握主題、推論、一般知識、學科知識、文體知
識、後設認知
17
閱讀的參考書目
• 閱讀與學習（柯華葳，臺灣師大開放課程）
http://ocw.lib.ntnu.edu.tw/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=817
• 我可以學習更好—學習診斷與輔導手冊
（低年級、中年級、高年級）（心理出版社）
• 突破閱讀困難理念與實務 （心理出版社）
• 中文閱讀障礙（心理出版社）
• …….
18
繞道而行
1/3
• 數學學習會受到語文理解的影響，所以，
教學時，要採用多元表徵（見後）：
– 電報式
– 圖像
– 具體物操作
– 透過類比
– ……
19
繞道而行
2/3
• 基本閱讀技能（解碼流暢性）影響文字題
閱讀理解，所以，應減少基本閱讀技能的
影響
– 特殊生提供報讀
– 允許學生讀出聲音來
– 延長時間
– 題目用語盡量避免使用低頻字
• 例子
20
一捆繩子長63公尺，爸爸每9公尺剪成一段，用來
綑綁回收書籍，這捆繩子可以剪成幾段？
字距範圍
相異字累
相異 相異字佔
積百分比 字庫查詢(出現次數)
字數 全文字數
百分比% %
70.83 一(2) 來(1) 這(1) 子(2) 以(1) 可(1)
用(1) 成(2) 長(1) 公(2) 回(1) 幾(1)
爸(2) 每(1) 書(1) 收(1) 段(2)
1-500
17
70.83
501-1000
1
4.17
75.00 尺(2)
1001-1500
2
8.33
83.33 剪(2) 繩(2)
1501-2000
1
4.17
87.50 籍(1)
2001-2500
1
4.17
91.67 綁(1)
2501-3000
1
4.17
95.83 捆(2)
3501-4000
1
4.17
100.00 綑(1)
中文學習補救教學資源網「文章分析」
21
由常用字庫抽樣測得學生的識字量
年級
一
二
三
王瓊珠、洪儷瑜等
（2006）
700（268-1,156）
李俊仁
（Lee, 1999）
--
1,200（885-1,611）
1,506
2,100（1,292-2,924）
1,964
四
五
六
2,600（1,805-3,515）
2,334
3,100（2,146-4,138）
2,474
3,300（2,342-4,338）
--
七
八
3,500（2,549-4,545）
--
3,500（2,482-4,560）
--
九
3,700（2,666-4,828）
-22
小學三年級國語課文（447字）
字距範圍
相異字
相異 相異字佔
累 積 百 字庫查詢(出現次數)
字數 全文字數
百分比% 分比%
1-500
136
72.34
72.34 的(20) 一(7) 是(1) 了(9) 不(1) 我(7) 有
(2)在(4) 人(4)…，以下略
501-1000
35
18.62
90.96 夜(4) 遊(2) 忙(1) 環(2) 裝(1) 備(1) 坐
(1) 視(1) 燈(16) …，以下略
1001-1500
10
5.32
96.28 俗(1) 街(1) 溪(7) 姓(1) 繞(1) 潮(1) 谷
(1) 飄(3) 柔(1) 夕(1)
1501-2000
5
2.66
98.94 映(1) 盜(1) 祈(2) 芒(1) 夕(1)
2001-2500
3
1.6
2501-3000
0
0
3001-3500
1
0.53
100 湧(1) 宵(2) 傍(2)
100
100 匪(1)
中文學習補救教學資源網「文章分析」
23
閱讀障礙在數學基本能力的表現
洪儷瑜（2011）
文字題解題
控制文字難度、句子和名詞之干擾後
NA > MD, MD&RD
RD > MD, MD&RD
MD > MD&RD
閱讀障礙RD沒有顯著低於一般同儕
24
數學測驗的語言因素
• 從NAEP數學評量抽出題目，保留術語和題目結構，
以較為簡單的文字改寫成簡化版
– if a marble is taken from phase  if you take a marble
from the bag（被動改主動）
– the pattern of the puppy’s weight gain  the pattern
above（改短）
– If two batteries in the sample were found to be dead 
he found tree broken skateboards in the sample(改掉
條件子句)
– Which is the best approximation of the number 
approximately how many(改掉複雜的問句形式)
• 學生知覺研究：訪談36位學生對兩版本的知覺
• 解題表現研究：用兩版本測驗1174名八年級學生
25
學生知覺研究＿方法
• 受試者：背景種族多元，數學程度A-D均有
• 程序：
– 簡單說明後，提供一組題目（原版和簡化版）
– 「如果你在有限時的考試中，你要選一題來做，
你會選那一題？大聲念一遍。另一題也請大聲
念一遍。哪些字眼可能會讓一些學生弄不懂意
思？你選的那個什麼地方比較簡單？」
– 重複程序，共四組題目
26
學生知覺研究＿結果
• 63％選簡化版，37％選原版，達顯著差異
• 選簡化版的理由多是「易讀、易懂；寫得
比較少，比較不會浪費時間」
• 選原版的理由是「比較有趣；比較有挑戰
性；兩個很像，我先讀了這個的，就選它」
27
學生解題表現＿方法
• 受試者：11校39班，共1174名八年級學生
• 工具：20＋5題取自NAEP(1992)釋出的69題
試題，A卷含其中10題原版、另10題簡化版，
B卷相反。兩卷均另加5題最不會誤解的試題。
• 程序：每班兩卷各半，隨機發下，時間1hr
28
繞道而行
3/3
• 數學表現與閱讀理解共享高階的認知能力—
邏輯推理……
– 數學的推理和語文推理一樣嗎？
• PIRLS中的詮釋理解
• PISA的閱讀素養
• PISA的數學素養
29
閱讀主成分
閱讀的
主要成分
認字
理解
PIRLS 2006臺灣學生的表現
• 直接理解得分541，排行 16
• 詮釋理解得分530，排行 25
• 直接理解的表現(73%通過率)顯
著優於詮釋理解(49%通過率)
字面上
脈絡間
直接理解
詮釋理解
引自柯華葳網頁資料
30
兩種主成份的內涵
• 直接歷程
• 讀者可以在書面／字面上找到答案，包括「直接提取」
和「直接推論」
• 「直接理解」是以文本為基礎的歷程
• 詮釋歷程
• 讀者需詮釋訊息、歸納出重要的觀點及以批判的方式
檢視文章的特性（例如，內容、情緒、架構等），包
括「詮釋整合」和「比較評估文章內容、表達方式及
寫作特色」。
• 「詮釋理解」則需要更多的推論
31
PISA(2002)閱讀素養目標
提取資訊
形成理解
發展詮釋
反思與評價訊
息內容
反思與評價
訊息形式
32
PISA數學素養評量的內涵
• 數學素養為個人能在多樣的情境下
– 將情境問題轉化成數學問題
– 應用數學概念、事實、程序，及推理來解題
– 能銓釋、應用、評估數學結果數學。
• 強調 情境 和 數學內容知識
– 現實生活的問題 –
–
–
–
量(quantity)
空間與圖形(space & shape)
變與關係(change & relationships)
不確定性(uncertainty)
33
數學表現與閱讀推理的關係
• 從數學解題的觀點，宜盡量關照數學推理的特性
– 有限例 歸納
– 動態例 不變性
– 類比
– 臆測
（改自林福來，2012 PPT）
– 視知覺
• 從數學素養的觀點，宜整合閱讀素養的關照點
– 反思與評價資料的關聯性、有效性…
– 非連續文本的整合
34
因地制宜
• 不同的目的有不同的作法
– 對誰、為了什麼目的，該採繞道而行？
– 對誰、為了什麼目的，該正面迎戰？
該如何正面迎戰？
35
數學閱讀的認字與理解
• 認識符號、術語、語法
– 數學語言和日常語言的差異
– 數學符號、術語的多義性
– 邏輯語言
• 建立與運用基模
– Mayer、 Kintsch
– 圖示、操作、語言
– 工作例(worked examples) 、 類比
36
有意義學習的認知歷程
教學呈現
感覺記憶
文字
耳朵
工作記憶
選擇
文字
語音
組織
長期記憶
言語模式
文字
整合
先前知識
圖畫
眼睛
選擇
心像
心像
組織
圖像模式
心像
取自Mayer, R. E. (2008). Learning and instruction (2nd ed.).
37
數學解題的四成分、五知識 Mayer, R.
成分
知識類型
地磚問題的例子
問題轉譯 事實知識
1公尺=100公分
語言知識
長方形房間、正方形地磚、長、寬、邊長
問題整合 基模知識
長方形面積=長×寬、包含除問題
解題計畫 策略知識
及監控
規劃解題步驟：(1)用7.2公尺×5.4公尺來找房間
面積；(2)以0.3公尺×0.3公尺來找每個地磚的面
積；(3)用房間的面積除以每個地磚的面積算出
地磚的個數；(4)將個數乘以80.7元得到所需要
的總價格。
解題執行 程序性知識 7.2 ×5.4＝38.88
0.3 ×0.3＝0.09
38.88÷0.09＝432
432×80.72＝34862.4
38
日常語言和數學語言
• 相似 vs. 相似形
• x點x分 vs. x小時x分鐘 vs. x時x分
– 6時17分起飛的飛機，經過8時30分抵達目的地，
問抵達時是幾時幾分？
– 6時17分起飛的飛機，抵達目的地時是8時30分，
問經過了幾時幾分？
• 放大、縮小
– 放大兩倍，是×2還是×3？
– 有縮小兩倍，這種話嗎？
– 影印機的倍率是指面積，還是邊長？
39
冷卻了20度
冷卻為20度
冷卻20度
李源順等人(2009)分析TIMSS的表現
40
某版本第12冊最後一單元
同版本第13冊第一單元
41
國中、國小數學課本的文本比較
國小課本
字較少
國中課本
字很多
數字或文字
符號化
活動式、解題式 說明文
直述句
約4-5倍
特殊語法
a為任意數，a的相反數為－a
若…，則
給定…，…
42
原住民中學生數學文本的閱讀理解
吳昭容
• 宜蘭縣某山地部落的原住民國中
• 由七(31人)、八(23人)年級學生，均施以識字
量、聽覺理解、閱讀理解挑出能力較佳者
年級
七
識字量T
全體(n＝31)
聽覺理解T 閱讀理解T
44.74 ( 8.98) 37.02 (12.37) 44.75(8.59)
受訪者(n＝10) 48.75 ( 5.81) 40.47 ( 9.66) 48.65(5.07)
八
全體(n＝19)
40.74(11.36) 43.09 (10.79) 43.93(8.61)
受訪者(n＝6) 49.26( 5.43) 52.74 ( 2.19) 50.29(7.34)
43
研究材料與程序
• 採該校使用的翰林版數學課本單元1整數與
數線的文本，預試後，補充其它版本（南
一、康軒、國編）的相關段落。
• 三個主題：符號、相反數、絕對值。
• 「符號」作業，請學生朗讀，記錄其讀音
或停頓等表現
44
符號的讀音
1/5
圖1 「正數與負數」的閱讀材料（取自翰林，2009，頁7）
45
符號的讀音
2/5
• 七年級學生
– 6/10讀音正確
– 2/10所有的「＋」讀為「加」、「－」則讀為
「負」
– 1/10將所有的「＋」、「－」讀為「加」、
「減」
– 1/10將單獨的「＋」、「－」讀為「加」、
「減」，後面有數字的，如＋5、－1，讀為
「正五」、「負1」
• 預試的八年級學生
46
符號的讀音
歐:命名
3/5
零:位置
歐括號零
圖2 「數線」的閱讀材料（取自翰林，2009，頁10）
47
符號的讀音
4/5
• 七年級
– 10/10唸成「點零」、「零括號零」
– 僅有2名表達疑惑
• 八年級
– 2/6讀音正確
48
符號的讀音
5/5
• 受訪者學生半數無法區辨＋、－號在文本
中是運算符號，還是性質符號
• 更無法分辨數線上原點〔O（0）〕表示名
稱與標示與原點間距離的表徵
• 但，以讀音作為內在表徵的指標是否有效？
49
多音符號讀音的意義
1/2
• 多音字（破音字）
– 得「ㄉㄜ˙」是副詞語助詞
– 得「ㄉㄟˇ」是「必須」
– 得「ㄉㄜˊ」是「可以」
• 牽涉的認知能力
– 掌握前後文的語義脈絡
– 音義配對關係的知識
50
多音符號讀音的意義
2/2
• 數學符號「＋」和「－」在中文各有兩種讀音，例
如：
– 5 － (－3)，中文讀作「5減負3」
– Minus則既是減，也是負
• 林保平（2005）認為讀音的區分有助於區分「運算」
和「性質」兩種意義
• Adda, J. (1982). Difficulties with mathematical
symbolism: synonymy and homonymy. Visible
Language, 16(3), 205-214.
• Chen & Okada(2001). Structural analysis and
semantic understanding for offline mathematical
expressions.
51
分數的多義性
• Nj
– 弧長等於圓心角除以360，再乘以2r
– 弧長等於360分之圓心角，再乘以2r
– 弧長等於圓心角佔360的比率乘以圓周長
(弧長可依圓心角佔360的比率乘以圓周長求得）
• 分數模式
– 部份/整體模式
– 子集合/總集合模式
– 商模式
– 數線模式
– 比值模式
52
數學符號的synonymy & homonymy
•
• 2 = 2.00 =
0.999… = 0.
• three times a  aaa
•
=1
53
基模知識
• 問題類型的辨認
– 大禮堂有一些三腳椅和四腳椅，全部是102張
椅子，數了數椅腳是366支，問三腳椅和四腳
椅各幾張？
• 典型的數學問題基模
– 面積問題、植樹問題、母子和/母子差、同向追
趕問題…
• 單一步驟的加減文字題的基模
– 合併題、改變題、比較題
54
一步驟加減文字題—比較題
• 差異量未知(比較1、2)
– 小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小明比小華多幾顆糖？
– 小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小華比小明少幾顆糖？
• 被比較量未知(比較3、4)
– 小明有3顆糖，小華比小明多5顆糖，問小華有幾顆糖？
– 小明有8顆糖，小華比小明少5顆糖，問小華有幾顆糖？
• 參照量未知(比較5、6)
– 小明有8顆糖，小明比小華多5顆糖，問小華有幾顆糖？
– 小明有3顆糖，小明比小華少5顆糖，問小華有幾顆糖？
55
一步驟加減文字題—改變題
• 結果量未知(改變1、2)
– 小明有3顆糖，小華給了小明5顆糖，問小明現在有幾顆糖？
– 小明有8顆糖，他給小華5顆糖，問小明現在有幾顆糖？
• 改變量未知(改變3、4)
– 小明有3顆糖，小華給小明一些糖後，現在小明有8顆糖，問
小華給小明幾顆糖？
– 小明有8顆糖，他給小華一些糖後，現在小明有3顆糖，問小
明給小華幾顆糖？
• 起始量未知(改變5、6)
– 小明有一些糖，小華給他5顆糖後，現在小明有8顆糖，問小
明原來有幾顆糖？
– 小明有一些糖，他給小華5顆糖後，現在小明有3顆糖，問小
明原來有幾顆糖？
56
數學文字題解題基模
Kintsch, W.
• Walter Kintsch提出閱讀的建構整合理論
(Construction-integration model)
• 文字題解題＝文本理解＋問題解決
– 算術文字題蘊含一些必須學習的基模
•
•
•
•
改變基模(Transfer schema)
部份整體基模(Part whole schema)
比較基模(More/less-than schema)
……
– 基模是由一些溝槽(slots)組成的架構，這些溝
槽可填入數量、物件
57
基模
• 解題就是透過高階基模把文字題提供的數個set整合
起來，以確認其中的某個數量
• Set
–
–
–
–
Object:<count noun>
Quantity:<number, some, many>
Specification:<owner, location, time>
Role:<start, transfer, result;
superset, subset;
large-set, small-set, difference-set>
• 例：小明有3顆彈珠
• 比…提示compare sch.;給、拿…提示transfer sch.;紅
花、白花、問有多少花 提示part-whole she.
58
改變3的問題分析
小明had 3顆彈珠，小華給他一些彈珠，
現在小明has 8顆，問小華給小明幾顆彈珠？
• S1
– object: 彈珠
– quantity: 3
– specification: owner小明
過去
– role: unknown
• S2
– object: 彈珠
– quantity: 一些
– specification: 後來的
owner是小明 （給提示
transfer）
– role: 改變量
• S1的role被指定為起始量，可
預期題目必須提供結果量
• S3
– object: 彈珠
– quantity: 8
– specification: owner小華
– role: 結果量
• S4指定問題為S2的一些。
解題程序可能為count on的
數數策略
59
比較5的範例
小明有8顆彈珠，他比小華多5顆，問小華有幾顆彈珠？
• S1
• S1的role被指定為大的集合
(語意整合)，問題求小的集合
– object: 彈珠
– quantity: 8
– specification: owner小明 • S3
– object: 彈珠
– role: unknown
– quantity: ？
• S2
– specification: owner小華
– object: 彈珠
– role: 小的集合
– quantity: 5
– specification: owner小明
– role: 差值
Convert the More-Then schema into a Part-Whole schema with S1 as the superset, S2 as
a subset, and S3 as the goal set for solution by a procedure called Separate-From.
60
圖示
改變/增加
合併
比較
改變/減少
比較
分離
取走後相等
加入後相等
Lindvall & Tamburino的圖示系統
61
操作
1/3
• 花片遊戲
– 以具體物操作熟悉「多」、「少」、「多n」、
「少n」的意思
– 情境有差異量未知、被比較量未知、參照量未
知，以及等化四種情境。
63
操作
2/3
定性
1.（各自拿一些花片）你比較多/少，還是我的比較多/少？
2. 這是我的花片，你的花片要比我的多/少，你拿拿看。
3. 這是我的花片，我的花片要比你的少/多，你拿拿看。
定量
4. （各自拿一些花片）你比較多/少，還是我的比較多/少？
多/少多少？
5. 這是我的花片，你的花片要比我的花片多/少5個，你拿拿
看。那你有多少個花片？
6. 這是我的花片，我的花片要比你的少/多5個，你拿拿看。
那你有多少個花片？
64
操作
3/3
7.（教學者把自己的花片蓋住）你現在隨便拿一些花片，但
不要超過10個。好了，我的花片比你的多/少5個，猜我有
幾個花片呢？（答不出來時）你試著拿拿看。
8. （教學者把自己的花片蓋住）你現在隨便拿一些花片，但
不要超過10個。好了，你的花片比我的少/多3個，猜我有
幾個花片呢？（答不出來時）你試著拿拿看。
9. 我的花片再加上/拿走8個，會和你的花片一樣多。猜我有
幾個花片？
10.你的花片再加上/拿走4個，會和我的花片一樣多，猜我有
幾個花片？
65
語言問答澄清
• 一元一次方程式的列式、解題
– 美華今年x歲，天又比美華大5歲，已知天佑是18歲，
問…
– 比x大5的數是18，求x。
– 18比x大5，求x 。
• 小英的錢比小新少100元，那麼，誰的錢比
較少？
66
工作例 (worked examples)
• 工作例涵蓋問題、解題步驟，及註解三部分
• 通常伴隨至少一個類似題
• 建基在認知負荷的觀點上
Rittle-Johnson＆ Star (2007)
67
數學課本常採工作例呈現教材
• 但
– 並未呈現完整的
解題步驟
– 未必每個解題步
驟都附有註解(圖
示或說明)
68
分數除法的工作例
1/3
(劉禎芸,2012)
通分組
通分
分子相除
圖1 通分組範例教學材料
69
分數除法的工作例
2/3
顛倒相乘組
以顛倒相乘
計算答案
圖2 顛倒相乘範例教學材料
70
分數除法的工作例
3/3
• 合併範例
通分原則
箭頭指示以
察覺顛倒相乘
圖3 合併範例教學材料
71
搭配練習題
練習題
練習題解答
72
概念性知識與程序性知識正確率分析
表12 三組受試者概念性知識（概念性分量表）的正確率
73
73
概念性知識與程序性知識正確率分析
表14 三組受試者程序性知識（教學內容分量表）的正確率
74
低先備知識學生於三組範
例教學學習表現分析
「合併」或「顛倒相乘」組的
「合併」組的概念性知識
程序性知識顯著優於「通分」
表16顯著優於「顛倒相乘」組
三組低先備知識描述統計分析摘要表
組
75
75
75
基模的區辨—試題比對活動
1/2
• 這兩個問題有什麼不一樣？說說看？並畫圖說明。
• (1) 1盒雞蛋裝10顆，媽媽買了5盒，總共有幾顆？
(2) 冰箱有雞蛋10顆，媽媽又買了5顆，總共有幾顆？
• (3) 1條巧克力有8顆，4條合起來有幾顆？
(4) 弟弟有巧克力8顆，哥哥有4顆，合起來有幾顆？
• (5)1包湯圓有12顆，4包有多少顆？
(6)1包湯圓有4顆，12顆可以裝成多少包？
76
基模的區辨—試題比對活動
2/2
• 這兩個問題有什麼關係？畫圖說說看？
• 乘法 vs. 除法
– 乘法：每個人有4個橘子，3個人共有幾個橘子？
– 等分除： 12個橘子平均分給3個人，每人可以分
得幾個？
– 包含除：每人給4個橘子，12個橘子可以分給幾
人？
77
基模的運用從簡化問題開始
•
•
•
•
•
簡化問題(改數字、改情境）
理解題意
從嘗試錯誤中找到解題步驟
(從兩個簡化題中找到解題步驟的規律性)
套回原本的題目
78
分數的比例問題
29
• 7
公升的沙拉油有
4公斤重時，多少公
升的沙拉油會有20
公斤重？
不懂
79
完整的教學流程
•
•
•
•
簡化問題的教學法要求理解並走完算式
類比是簡化問題的重點
難題的題目 難題的解法
簡化題的題目簡化題的解法
• 簡化問題使解題的捷思法heuristics得以運
作
80
• 小南原本寫成
20÷4＝5×2＝10
• 老師要求小南寫成合法的算式
• 小南更正為
20÷4＝5, 5×2＝10
• 老師要求用已經學過比例的寫法
• 2：4＝（ ）：20
81
PISA
數學試題
• 如果公式中的
每分鐘步行為
70步，那步長
為何?
82
83
關照數學閱讀的教學
• 提供學生表達的機會，以增進數學語言的能力
• 考量低閱讀能力學生的學習與動機
– 控制文本、試題的語文難度
– 以多元表徵重複呈現
– 提供協助、放寬施測限制
• 宜提供能促進數學符號、術語、語法、基模發展
的學習情境
– 基本概念的解釋、多元表徵、舉正反例…
– 能掌握同一數學問題類型中，各種數量或情境對學
童的難易度，以便找到學童可以理解的起點
– 非連續文本閱讀整合的經驗
84